蔣　濤

(1. 礦山空間信息技術國家測繪地理信息局重點實驗室,河南 焦作 454000;2.河南理工大學　測繪與國土信息工程學院，河南 焦作 454000)

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基于卡爾曼濾波的優(yōu)化GM(1,1)模型在建筑物沉降預測中的應用

蔣濤1,2

(1. 礦山空間信息技術國家測繪地理信息局重點實驗室,河南 焦作 454000;2.河南理工大學測繪與國土信息工程學院，河南 焦作 454000)

為了提高灰色GM(1,1)模型的抗擾動能力和預測精度，運用卡爾曼濾波對原始沉降數據進行濾波去噪，并重新構建灰色GM(1,1)模型的背景值，建立基于卡爾曼濾波的優(yōu)化GM(1,1)模型。以某建筑物實測沉降數據為例，進行新模型、傳統(tǒng)灰色GM(1,1)模型和優(yōu)化的GM(1,1)模型的計算比較，結果表明，新模型不僅可以有效剔除監(jiān)測數據中的隨機噪聲， 而且提高了模型精度。

GM(1,1)模型；背景值；卡爾曼濾波；沉降預測

通過已有沉降監(jiān)測數據的處理和分析研究，構建科學的預測模型，對建筑物的安全監(jiān)測與災害預報工作具有極其重要的實際意義。近年來，國內外學者圍繞灰色理論在沉降監(jiān)測預測方面的應用進行了大量研究。文獻[1]從傳統(tǒng)灰色GM(1,1)建模原理入手，從模型的初值選取[2]、背景值的構造[2-3]以及殘差的處理方面[4]進行綜合系統(tǒng)的優(yōu)化，并將優(yōu)化模型運用到大壩的變形監(jiān)測實驗中，綜合優(yōu)化的模型可獲得較高精度的大壩沉降預測結果。文獻[5]針對沉降觀測中時間序列間隔不同，提出了非等距灰色GM(1,1)模型，并將其加權處理模型應用到建筑物的沉降觀測工作中，獲得了比傳統(tǒng)模型更高精度的預測結果。文獻[6-8]應用灰色GM(1,1)的組合模型高層建筑物以及大壩的沉降工作，耦合的灰色 GM(1,1)預測模型提高了預測精度，能夠滿足沉降監(jiān)測的需求。但對于沉降監(jiān)測工作中，實測數據存在觀測噪聲，具有波動性大的問題，傳統(tǒng)灰色及其優(yōu)化模型都不能很好解決。本文利用卡爾曼濾波具有較好的抗噪聲能力，運用卡爾曼濾波對原始沉降數據進行濾波降噪處理，并針對傳統(tǒng)灰色GM(1,1)模型的固有系統(tǒng)誤差，從構造模型的原理出發(fā)，建立了基于卡爾曼濾波的優(yōu)化GM(1,1)模型。最后結合某建筑物沉降數據進行預測，并與傳統(tǒng)灰色GM(1,1)和背景值優(yōu)化的灰色GM(1,1)模型進行預測對比分析。

1　背景值優(yōu)化的灰色GM(1,1)模型

1.1傳統(tǒng)灰色GM(1,1)模型

傳統(tǒng)的灰色GM(1,1)模型的建模過程如下：

假設一組原始數據序列，記為X(0)。

(1)

對數據X(0)序列進行一次AGO(原始數據進行累加)，生成的新數據序列記為X(1)。

(2)

令Z(1)為X(1)數據序列的均值序列(MEAN)，則

(3)

則灰色GM(1,1)模型的灰色微分方程為

(4)

式中：a為發(fā)展系數，b為灰作用量。

式(4)的白化型式可進一步表述為

(5)

(6)

式中：

則傳統(tǒng)的灰色GM(1,1)模型的預測方程為

(7)

最后，恢復時間序列(模型值進行累減)，得到灰色GM(1,1)模型的預測值為

(8)

1.2傳統(tǒng)灰色GM(1,1)模型系統(tǒng)誤差分析

圖1　背景值Z (1)序列的構造示意圖

1.3構造新的背景值

(9)

經過式(9)重新構造的背景值，重復式(3)到式(8)的建模過程，即構建了背景值優(yōu)化的灰色GM(1,1)預測模型。

2　卡爾曼濾波

卡爾曼濾波是一種通過對被提取信號有關的觀測量的算法估計得出所需信號的濾波方法[9]。離散系統(tǒng)卡爾曼濾波的數學模型由狀態(tài)方程和觀測方程構成，可表示為[10-11]

(10)

式中：Xk為n×1階狀態(tài)向量，Lk為m×1階觀測向量，Fk/k-1為n×n階狀態(tài)轉移矩陣，Gk-1為n×r階動態(tài)噪聲矩陣，Wk-1為r×1階動態(tài)噪聲，Vk為m×1階觀測噪聲，Hk為m×n階觀測矩陣。

利用最小二乘原理，隨機離散型卡爾曼濾波遞推公式為[9-12]

(11)

離散型卡爾曼濾波模型的一步預測值的方差矩陣為

(12)

卡爾曼濾波模型的狀態(tài)向量的估計值為

(13)

卡爾曼濾波模型的狀態(tài)向量估計值的方差矩陣為

(14)

式中，Jk為卡爾曼濾波增益矩陣

(15)

3　工程應用

該工程為鄭州市某項目新建居民樓，在1～9#棟居民樓布設28個沉降觀測點，按照二等水準測量的要求進行往返測量，監(jiān)測周期為一周，以確定每棟樓沉降的穩(wěn)定性。選取位于8#樓的監(jiān)測點8-12的觀測數據，將原始的觀測數據進行卡爾曼濾波處理，獲取去噪的更加平滑的建模數據，然后就濾波后的數據進行背景值優(yōu)化灰色GM(1,1)模型的擬合以及預測，借此反映該棟樓的沉降情況。原始的觀測數據如表1所示。

3.1卡爾曼濾波降噪

表1　監(jiān)測點原始數據序列

表2　濾波值與原始值的對比

3.23種預測模型的數據結果分析

按照1.1章節(jié)的傳統(tǒng)灰色GM(1,1)模型的建模過程，利用表1中原始數據的前7期數據建立傳統(tǒng)的灰色GM(1,1)模型，進行后4期數據的預測，該模型為模型1；按照1.3章節(jié)重新構造背景值的優(yōu)化方法，利用表1中原始數據的前7期數據建立背景值優(yōu)化的灰色GM(1,1)模型，進行第8～11期數據的預測，該模型為模型2；利用表2中卡爾曼濾波數據的前7期數據建立基于卡爾曼濾波的背景值優(yōu)化的灰色GM(1,1)模型，進行后4期數據的預測，該模型為模型3。3種預測模型的擬合值和預測結果如表3所示。另外，3種模型的數據與實測數據曲線比較如圖2所示。

表3　3種模型擬合值和預測值

圖2　3種模型的預測值與實測值比較

從表3中可以看出，經過卡爾曼濾波降噪處理的數據建立背景值優(yōu)化的灰色GM(1,1)模型的殘差中誤差為0.19 mm；利用原始數據構建的背景值優(yōu)化的灰色GM(1,1)模型的殘差中誤差為0.21 mm；傳統(tǒng)灰色GM(1,1)的殘差中誤差為0.25 mm。同時，從圖2中可以看出，基于卡爾曼濾波的優(yōu)化GM(1,1)模型的數據擬合曲線最接近實際的觀測值。實驗驗證得出，卡爾曼濾波降噪的有效性，通過重構背景值的灰色GM(1,1)模型的精度優(yōu)于傳統(tǒng)灰色GM(1,1)模型，卡爾曼濾波降低了建模數據的干擾噪聲，使預測數據更有實際的參考價值。

4　結束語

建筑物的沉降監(jiān)測工作中，利用實測的觀測數據建立科學的預測模型。在滿足工程應用的精度要求下，預測模型需要的觀測資料較少，減輕了大量的外業(yè)實測工作，提高了工作效率，同時提供了可靠的參考資料，對建筑物的安全監(jiān)測與預報工作具有極其重要的意義。本文針對傳統(tǒng)灰色GM(1,1)模型的固有系統(tǒng)誤差，從構造模型的原理出發(fā)，重新構造了模型的背景值對傳統(tǒng)模型進行優(yōu)化，利用卡爾曼濾波具有較好的抗噪聲能力，運用卡爾曼濾波對原始沉降數據進行濾波降噪處理，建立基于卡爾曼濾波的優(yōu)化GM(1,1)模型，使得建模數據的抗干擾能力增強，改善優(yōu)化的灰色GM(1,1)模型的穩(wěn)定性。并結合某建筑物沉降數據進行預測和對比分析。通過實例對比分析表明,基于卡爾曼濾波的優(yōu)化GM(1,1)模型不僅可以有效剔除監(jiān)測數據中的隨機噪聲， 而且提高了模型精度，具有一定的參考價值。

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[責任編輯：劉文霞]

Application of an optimized GM(1,1) model based on Kalman filter to the subsiding prediction of buildings

JIANG Tao1,2

(1.Key Laboratory of Mine Spatial Information Technologies, National Administration of Surveying, Mapping and Geoinformation, Jiaozuo 454000, China;2.School of Surveying and Landing Information Engineering, Henan Polytechnic University, Jiaozuo 454000, China)

To improve the disturbance ability and prediction precision of the Grey GM(1,1) model, using the KALMAN filter to denoise the original settlement data and reconstruct the background value of the grey GM(1,1) model, this paper obtains an optimized M(1,1) prediction model based on KALMAN filter. A case study upon a building subsidence measure data is conducted. The calculation results based on new model,traditional GM(1,1) model and the optimized GM(1,1) model are compared. The results show that new model can not only reduce random noise in monitoring data effectively, but also improve the precision of the model.

GM (1, 1) model; background value; Kalman filter；subsidence prediction

10.19352/j.cnki.issn1671-4679.2016.04.002

2016-04-11

國家自然科學基金資助項目(41001226)

蔣濤(1989-)，男，碩士研究生，研究方向：3S集成與應用.

P208

A

1671-4679(2016)04-0007-04