陳元千，唐　瑋

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評(píng)Lee的油氣資源量發(fā)現(xiàn)過(guò)程模型及預(yù)測(cè)模型的建立

陳元千，唐瑋

（中國(guó)石油勘探開(kāi)發(fā)研究院，北京100083）

Lee的專(zhuān)著《Statistical Methods for Estimating Petroleum Resources》第4章和第7章的發(fā)現(xiàn)過(guò)程模型是評(píng)價(jià)油氣資源量的重要理論基礎(chǔ)。Lee利用對(duì)數(shù)正態(tài)（Lognormal）分布、威布爾（Weibull）分布、伽馬（Gamma）分布、邏輯斯諦（Logistic）分布和帕雷托（Pareto）分布的概率密度函數(shù)來(lái)描述一個(gè)含油氣盆地單峰周期資源量的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，但Lee引用的5種概率密度函數(shù)，除對(duì)數(shù)正態(tài)分布正確外，其余4種都是錯(cuò)誤的，因而，必然影響到發(fā)現(xiàn)過(guò)程模型的正確性。此外，由于概率密度函數(shù)是0-1的無(wú)因次量，必須進(jìn)行量綱的變換，才能建立可靠的預(yù)測(cè)模型，但Lee在專(zhuān)著中沒(méi)有提到關(guān)于概率密度函數(shù)的量綱變換。本文以對(duì)比的方式，指出了Lee引用的概率密度分布函數(shù)存在的錯(cuò)誤，并經(jīng)過(guò)量綱變換和推導(dǎo)，建立了評(píng)價(jià)油氣資源量的預(yù)測(cè)模型。

油氣資源量；發(fā)現(xiàn)過(guò)程模型；預(yù)測(cè)模型；概率密度函數(shù)

P.J.Lee（李沛然，1934—1999）是一位加拿大籍華裔的地球化學(xué)家。1979—1996年在加拿大地質(zhì)調(diào)查局沉積與石油地質(zhì)研究所工作，從事含油氣盆地與區(qū)帶的資源評(píng)價(jià)研究，1996年轉(zhuǎn)入中國(guó)臺(tái)灣成功大學(xué)任教，1999年11月離世。在他生前留下了大量的科研和教學(xué)方面的手稿，經(jīng)朋友、同事們的整理和編輯，于2008年出版了專(zhuān)著《Statistical Methods for Estimating Petroleum Resources》［1］，后經(jīng)李小地教授等人翻譯，于2011年出版了中文版專(zhuān)著《油氣資源評(píng)價(jià)的統(tǒng)計(jì)方法》［2］。在專(zhuān)著中的發(fā)現(xiàn)過(guò)程模型是Kaudman教授于20世紀(jì)70—80年代在研究含油氣盆地或區(qū)帶的資源量發(fā)現(xiàn)過(guò)程時(shí)首先提出來(lái)的。Lee在專(zhuān)著的第4章和第7章中引用的概率密度函數(shù)，是油氣田發(fā)現(xiàn)過(guò)程模型的理論基礎(chǔ)。但令人遺憾的是，Lee引用的5種概率密度函數(shù)，除對(duì)數(shù)正態(tài)分布正確外，其余4種均是錯(cuò)誤的。此外，概率密度函數(shù)是0-1的無(wú)因次量，必須進(jìn)行量綱的變換才可用于建立有效的預(yù)測(cè)模型。Lee在其專(zhuān)著中卻忽略了這一重要的技術(shù)要求。本文指出了Lee的發(fā)現(xiàn)過(guò)程模型所引用的概率密度函數(shù)存在的錯(cuò)誤，并經(jīng)過(guò)量綱變換和推導(dǎo)，建立了預(yù)測(cè)一個(gè)含油氣盆地或區(qū)帶資源量的不同模型。

1　對(duì)Lee發(fā)現(xiàn)過(guò)程模型基礎(chǔ)的質(zhì)疑

Lee的發(fā)現(xiàn)過(guò)程模型，就是在專(zhuān)著第4章和第7章中引用的對(duì)數(shù)正態(tài)（Lognormal）分布、威布爾（Weibull）分布、伽馬（Gamma）分布、邏輯斯諦（Logistic）分布和帕雷托（Pareto）分布的概率密度函數(shù)。應(yīng)當(dāng)指出的是，這些概率密度函數(shù)，除對(duì)數(shù)正態(tài)分布的正確外，其余4種都是錯(cuò)誤的。

（1）Lee引用的對(duì)數(shù)正態(tài)分布概率密度函數(shù)［1-2］為

在這里，Lee引用的對(duì)數(shù)正態(tài)分布概率密度函數(shù)（1）式是正確的。應(yīng)當(dāng)指出，正態(tài)分布的特點(diǎn)在于，當(dāng)變量趨近于無(wú)窮大時(shí)，單峰隨機(jī)變量的乘積是正態(tài)分布，2個(gè)或2個(gè)以上分布的乘積也是正態(tài)分布。因此，對(duì)數(shù)正態(tài)分布適用于多參數(shù)相乘計(jì)算地質(zhì)儲(chǔ)量的容積法。

（2）Lee引用的威布爾分布的概率密度函數(shù)［1-2］為

應(yīng)當(dāng)指出，Lee引用的（2）式是不正確的，正確的表達(dá)式［3-5］為

（3）Lee引用的伽馬（Gamma）分布的概率密度函數(shù)［1-2］為

應(yīng)當(dāng)指出，Lee引用的（4）式是不正確的，正確的表達(dá)式［5-6］為

（4）Lee在專(zhuān)著的第7章［1-2］中以回歸法命名的邏輯斯諦分布的概率密度函數(shù)為

應(yīng)當(dāng)指出，Lee引用的（6）式是不正確的，正確的表達(dá)式［7-8］應(yīng)為

（5）在文獻(xiàn)［1］和文獻(xiàn)［2］中，Lee直接給出的所謂帕雷托分布概率密度函數(shù)為

應(yīng)當(dāng)指出，帕雷托分布是一個(gè)有因次量的確定性分布，完全不同于上述4種無(wú)因次量的概率分布。帕雷托采用一個(gè)負(fù)指數(shù)冪函數(shù)表示按儲(chǔ)量規(guī)模排序的油氣資源評(píng)價(jià)方法，詳見(jiàn)本文的第3部分。

2　資源量預(yù)測(cè)模型的建立及求解方法

上述5種概率密度函數(shù)的概率f（x）是0-1的無(wú)因次量。而年度發(fā)現(xiàn)的資源量為有因次量。因此，必須進(jìn)行量綱的變換，才能建立可靠的預(yù)測(cè)模型。若設(shè)一個(gè)含油氣盆地t年度的油氣發(fā)現(xiàn)量為N（t），預(yù)期最終可能發(fā)現(xiàn)的總資源量為NT，那么，t年度發(fā)現(xiàn)資源量的概率為

2.1對(duì)數(shù)正態(tài)分布的預(yù)測(cè)模型

將（1）式代入（9）式得，對(duì)數(shù)正態(tài)分布的預(yù)測(cè)模型［9］為

為了利用線(xiàn)性迭代試差法，確定模型常數(shù)a，b和c的數(shù)值，以及由（12）式和（13）式確定分布參數(shù)α和β的數(shù)值，將（10）式取常用對(duì)數(shù)

logtQ（t）=A-B（logt-b）2，（14）

式中

根據(jù)不同t時(shí)間的實(shí)際發(fā)現(xiàn)資源量Q（t），給定不同的b值，由（14）式進(jìn)行線(xiàn)性迭代試差，并以最佳直線(xiàn)關(guān)系的回歸求得A和B的數(shù)值后，再由（15）式和（16）式分別求得α和β的數(shù)值，最后由（13）式代入（11）式，可得確定總資源量的關(guān)系式

式中式中

為了進(jìn)行線(xiàn)性迭代試差法求解，將（18）式改寫(xiě)并取常用對(duì)數(shù)得式中

給定不同的b值，由（22）式的線(xiàn)性迭代試差法，求得最佳直線(xiàn)的A和B的數(shù)值后，再由（23）式和（24）式分別求得a和c的數(shù)值。然后，由下式確定總資源量：

2.2威布爾分布的預(yù)測(cè)模型

由（3）式代入（9）式得，威布爾分布的預(yù)測(cè)模型［10］為

2.3伽馬分布的預(yù)測(cè)模型

由（5）式代入（9）式得，伽馬分布的預(yù)測(cè)模型［11］為

式中

為了進(jìn)行線(xiàn)性迭代試差，將（26）式改寫(xiě)后再取常用對(duì)數(shù)為

式中

給不同的b值，由（30）式線(xiàn)性迭代試差法，求得最佳直線(xiàn)關(guān)系后，經(jīng)線(xiàn)性回歸求得A和B的數(shù)值，進(jìn)而由（31）式和（32）式確定a和c的數(shù)值，然后由下式確定總資源量：

2.4邏輯斯諦分布的預(yù)測(cè)模型

由（7）式代入（9）式得，邏輯斯諦分布的預(yù)測(cè)模型［7］為

由（34）式對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)數(shù)得

由（35）式除以（34）式得

將（36）式等號(hào)右端的分子，同時(shí)加和減一項(xiàng)bN（t）得，（36）式改寫(xiě)為

式中

根據(jù)由（37）式線(xiàn)性回歸求得直線(xiàn)的截距A和斜率B的數(shù)值后，將（38）式代入（39）式，得總資源量為：

3　帕雷托（Pareto）分布的性質(zhì)及預(yù)測(cè)模型的建立

帕雷托分布是一個(gè)由已發(fā)現(xiàn)油氣田儲(chǔ)量的規(guī)模排序，預(yù)測(cè)含油氣盆地或區(qū)帶的總資源量和未發(fā)現(xiàn)資源量的方法。對(duì)于一個(gè)含油氣盆地或區(qū)帶，按油氣田儲(chǔ)量規(guī)模，由大到小排序，相應(yīng)的油氣田按x=1，2，3…m…n…的正整數(shù)由小到大編號(hào)。因此，帕雷托分布是一個(gè)連續(xù)性分布的函數(shù)。由文獻(xiàn)［12］和文獻(xiàn)［13］可看出，帕雷托1897年提出的分布，是一個(gè)有因次量的確定性分布，并采用了如下的負(fù)指數(shù)冪函數(shù)表示

應(yīng)當(dāng)說(shuō)明，美國(guó)地質(zhì)調(diào)查局（USGS）的研究單位曾用（41）式對(duì)美國(guó)各州含油氣盆地的資源量進(jìn)行評(píng)價(jià)［14-16］。然而，由（41）式看出，將油氣田按儲(chǔ)量大小的編號(hào)作為函數(shù)的縱軸，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)很不方便。因此，文獻(xiàn)［12］設(shè)A=a1b和B=1/b，將（41）式改為下式

在儲(chǔ)量規(guī)模排序中，任取m和n兩個(gè)序點(diǎn)，由（42）式可寫(xiě)出

由（43）式除以（44）式得：

將（45）式取常用對(duì)數(shù)得：

我國(guó)許多油氣資源評(píng)價(jià)工作者，將（45）式和（46）式誤稱(chēng)為帕雷托定律，這是一個(gè)誤解，而在Lee的專(zhuān)著中將（45）式稱(chēng)為齊波夫定律［1-2］也是不正確的。

當(dāng)儲(chǔ)量編號(hào)x=1時(shí)，由（42）式可得油氣田儲(chǔ)量最大值為

將（47）式代入（42）式，即得中國(guó)第3輪全國(guó)油氣資源量評(píng)價(jià)時(shí)廣泛應(yīng)用的公式

應(yīng)當(dāng)指出，這種把N（1）作為資源量預(yù)測(cè)的基礎(chǔ)是不可靠的。由（42）式可看出，當(dāng)i=0時(shí)，N（0）=∞（無(wú)窮）是不正確的。因?yàn)?，作為一個(gè)連續(xù)性?xún)绾瘮?shù)關(guān)系，當(dāng)x=0時(shí)，N（0）不應(yīng)當(dāng)?shù)扔凇?，而?yīng)當(dāng)是一個(gè)實(shí)數(shù)，即模型常數(shù)A.

將（42）式等號(hào)兩端取常用對(duì)數(shù)得

式中

由（49）式可以看出，log N（x）與log x之間應(yīng)為直線(xiàn)下降關(guān)系。然而，在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙上的實(shí)際數(shù)據(jù)點(diǎn)卻是一條明顯的曲線(xiàn)。為了使用帕雷托分布，建立預(yù)測(cè)盆地或區(qū)帶油氣資源量的模型，文獻(xiàn)［12］對(duì)（42）式進(jìn)行了如下的修正

由（52）式看出，當(dāng)x=0時(shí)，N（0）=A，這就符合了連續(xù)性負(fù)指數(shù)冪函數(shù)的要求。根據(jù)已發(fā)現(xiàn)油氣田儲(chǔ)量規(guī)模的排序，為了確定模型常數(shù)A和B的數(shù)值，將（52）式等號(hào)兩端取常用對(duì)數(shù)得

式中

由（53）式看出，logN（x）與log（x+1）之間為直線(xiàn)關(guān)系。根據(jù)實(shí)際數(shù)據(jù)，利用（53）式的線(xiàn)性回歸求得λ和ω的數(shù)值后，再由（54）式和（55）式分別確定A和B的數(shù)值。一個(gè)含油氣盆地或區(qū)帶的的總資源量（總地質(zhì)儲(chǔ)量）由下式確定為

將（52）式代入（56）式經(jīng)積分后得，預(yù)測(cè)含油氣盆地或區(qū)帶的總資源量的關(guān)系式為

由（57）式看出，預(yù)測(cè)一個(gè)含油氣盆地或區(qū)帶的總資源量，除與A和B的數(shù)值有關(guān)外，還與經(jīng)濟(jì)極限儲(chǔ)量的編號(hào)xEL的數(shù)值有關(guān)。當(dāng)由經(jīng)濟(jì)評(píng)價(jià)確定了經(jīng)濟(jì)極限儲(chǔ)量NEL后，可由下式確定與其相應(yīng)的儲(chǔ)量編號(hào)

未（待）發(fā)現(xiàn)的油氣田資源量（地質(zhì)儲(chǔ)量），由下式確定

采用文獻(xiàn)［12］的實(shí)例，我國(guó)金湖凹陷的A=1 327，B=0.926 6和xEL=175，將其代入（57）式可得金湖凹陷的總資源量（總地質(zhì)儲(chǔ)量）為

金湖凹陷已累計(jì)探明的地質(zhì)儲(chǔ)量為6 764×104t，因此，未發(fā)現(xiàn)的地質(zhì)儲(chǔ)量約為1 584×104t.

4　結(jié)語(yǔ)

P.J.Lee（李沛然）于2008年出版的《Statistical Methods for Estimating Petroleum Resources》專(zhuān)著，在北美和我國(guó)受到業(yè)內(nèi)人士的高度重視。在專(zhuān)著的第4章和第7章中，Lee提出的發(fā)現(xiàn)過(guò)程模型可以說(shuō)是專(zhuān)著的核心部分。然而，作為發(fā)現(xiàn)過(guò)程模型理論基礎(chǔ)的概率密度函數(shù)，除對(duì)數(shù)正態(tài)分布正確外，其余的威布爾分布、伽馬分布、邏輯斯諦分布和帕雷托分布都是錯(cuò)誤的。因此，如果應(yīng)用這些錯(cuò)誤的概率密度函數(shù)，作為發(fā)現(xiàn)過(guò)程模型的理論基礎(chǔ)，進(jìn)行油氣資源量的評(píng)價(jià)，肯定得不到正確的結(jié)果。當(dāng)然，即使這些概率密度函數(shù)都是正確的，如果不進(jìn)行量綱的變換，也建立不了可靠的預(yù)測(cè)模型。本文以對(duì)比的方式指出了在Lee的發(fā)現(xiàn)過(guò)程模型中，所引用的威布爾分布、伽馬分布、邏輯斯諦分布和帕雷托分布的錯(cuò)誤，并經(jīng)過(guò)量綱變換和推導(dǎo)，建立了預(yù)測(cè)年度發(fā)現(xiàn)資源量和總資源量的不同實(shí)用模型。同時(shí)，本文對(duì)于在中國(guó)第3輪全國(guó)油氣資源評(píng)價(jià)中，廣泛應(yīng)用的儲(chǔ)量規(guī)模排序法（即帕雷托分布）存在的問(wèn)題，以及筆者進(jìn)行的修正原因作出了說(shuō)明。最后，應(yīng)當(dāng)指出，在文獻(xiàn)［17］和文獻(xiàn)［18］中提出的多峰預(yù)測(cè)模型，以及在文獻(xiàn)［19］、文獻(xiàn)［20］和文獻(xiàn)［21］中提出的典型曲線(xiàn)擬合求解法，都可以用于油氣資源量的預(yù)測(cè)。最后，應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)指出，文獻(xiàn)［22］提出的應(yīng)用于油氣資源量評(píng)價(jià)的SP（Shifted Pareto）分布、STP（Shifted Truncated Pareto）分布、LDP（Lognormal Developed Process）分布，以及由文獻(xiàn)［23］提出的廣義帕雷托分布，均因未經(jīng)過(guò)嚴(yán)格推導(dǎo)，而存在相當(dāng)大的不確定性和不可靠性，值得大家關(guān)注，有待進(jìn)一步探討。

符號(hào)注釋

A，B——不同概率密度函數(shù)的直線(xiàn)截距和斜率；

a，b，c——不同概率密度函數(shù)的模型常數(shù)；

aL——Lee引用的帕雷托分布的儲(chǔ)量上限，104m3；

bL——Lee引用的帕雷托分布的儲(chǔ)量下限，104m3；

f（x）——x變量的概率；

f（t）——t時(shí)間發(fā)現(xiàn)資源量的概率；

Ndis——已發(fā)現(xiàn)的資源量（或地質(zhì)儲(chǔ)量），104m3；

Nundis——未發(fā)現(xiàn)的資源量（或地質(zhì)儲(chǔ)量），104m3；

NT——總資源量（或總地質(zhì)儲(chǔ)量），104m3；

N（x）——編號(hào)x油氣田的地質(zhì)儲(chǔ)量，104m3；

N（m）——編號(hào)為m油氣田的地質(zhì)儲(chǔ)量，104m3；

N（n）——編號(hào)為n油氣田的地質(zhì)儲(chǔ)量，104m3；

N（t）——t年度發(fā)現(xiàn)的資源量（或地質(zhì)儲(chǔ)量），104m3/a；

N（1）——在一個(gè)含油氣區(qū)帶內(nèi)x=1油氣田的最大地質(zhì)儲(chǔ)量，104m3；

Q（t）——t年度發(fā)現(xiàn)的資源量（或地質(zhì)儲(chǔ)量），104m3/a；

t——時(shí)間變量，a；

x——概率分布變量；

xEL——帕雷托分布的經(jīng)濟(jì)極限儲(chǔ)量編號(hào)；

xL——Lee引用的帕雷托分布的儲(chǔ)量規(guī)模，104m3；

Γ（α）——伽馬函數(shù)值；

Γ（b+1）——b+1的伽馬函數(shù)值；

α，β——控制不同分布形態(tài)的分布參數(shù)；

θ——帕雷托分布的形狀因子（Shape factor）；

λ，ω——帕雷托分布的直線(xiàn)截距和斜率。

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（編輯楊新玲）

Review of Lee's Discovery Process Model for Petroleum Resources and Establishment of Prediction Model

CHEN Yuanqian，TANG Wei
（Research Institute of Petroleum Exploration and Development，PetroChina，Beijing 100083，China）

The discovery process model in Chapters 4 and 7 of Lee's Statistical Methods for Estimating Petroleum Resources is the important theoretical foundation to evaluate oil and gas resources.Lee uses probability density functions of Lognormal distribution，Weibull distribution，Gamma distribution，Logistic distribution and Pareto distribution to describe the discovery process of unimodal cyclic resources in a petroliferous basin.But，it is found that except for Lognormal distribution，other 4 distributions are all wrong，which will inevitably influence the accuracy of the model.Additionally，dimension transformation must be performed to establish a reliable prediction model because the probability density function is a dimensionless quantity of 0～1.But Lee never mentions the dimension transformation of the probability density functions in his monograph.Based on comparison，the authors point out the mistakes of probability density functions introduced by Lee，and establishes a prediction model to evaluate petroleum resources through dimension transformation and derivation.

petroleum resource；discovery process model；prediction model；probability density function

TE319

A

1001-3873（2016）04-0442-05

10.7657/XJPG20160410

2016-05-15

陳元千（1933-），男，河南蘭考人，教授級(jí)高級(jí)工程師，油氣田開(kāi)發(fā)，（Tel）15910321810（E-mail）twei@petrochina.com.cn