崔　立

(上海第二工業(yè)大學工學部，上海 201209)

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基于預緊軸承動剛度的高速電主軸動特性分析*

上海市自然科學基金項目(14ZR1416800)；上海市聯(lián)盟計劃項目(LM201408)；國家自然科學基金資助(51305251、50905061)；上海第二工業(yè)大學重點學科“材料與工程”(XXKZD1601)

崔立

(上海第二工業(yè)大學工學部，上海 201209)

針對定位預緊的電主軸球軸承，基于球和套圈相互作用模型，推導了球軸承剛度求解模型，使用Newton-Raphson方法求解可到剛度矩陣?；赗iccati傳遞矩陣法，給出了考慮軸承動剛度的電主軸臨界轉(zhuǎn)速計算方法。建立了銑削激振下考慮軸承動剛度的電主軸動力學方程，使用Runge-Kutta法求解得到電主軸動力學響應。對某銑削高速電主軸計算，結(jié)果發(fā)現(xiàn)軸承徑向剛度隨轉(zhuǎn)速增大而減小，采用定位預緊后剛度增大，且隨轉(zhuǎn)速增大軸心預緊剛度增大明顯?？紤]軸承動剛度可得到更為準確的電主軸動特性結(jié)果，最后通過高速電主軸動特性實驗證明了該模型對動特性預測的準確性。

高速電主軸；動剛度；球軸承；動態(tài)特性；臨界轉(zhuǎn)速

電主軸的動態(tài)特性指它抵抗受迫及自激振動的能力。動態(tài)特性包括固有振動特性和響應特性，這些特性對機床加工性能的影響很大，不僅影響機床的加工精度、使用壽命，也影響著其高效率性能的發(fā)揮。

為提高電主軸的精度，主軸上使用的滾動軸承需預緊，軸承預緊后各滾動體受力將更加均勻，可提高抗振性。目前關(guān)于考慮軸承預緊，研究電主軸性能的研究已有不少。Alfares等[1]建立了電主軸的五自由度動力學方程，分析了軸承預緊力對電主軸動力學性能影響，結(jié)果表明隨著初始預緊力的增大主軸的振動量減小，但預緊力增大到一定程度時，主軸的振動將不再明顯減小。Lin等[2]研究了在超高速情況下電主軸的動力學特性，軸承預緊力對軸承剛度與主軸動力學的影響，高轉(zhuǎn)速對軸承球離心力、陀螺力矩，進而分析了對主軸整機動力學的影響。Kang等[3]用有限元法，使用Ansys軟件分別完成機床主軸軸承系統(tǒng)靜態(tài)、動力學特性與機床的顫振分析。趙志剛等[4]基于Ansys軟件對電主軸轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)進行了動靜態(tài)性能分析，給出了軸承位置及跨距對電主軸動特性影響。李松生等[5-6]用有限元法，建立了高速電主軸軸系轉(zhuǎn)子動力學模型，分析了軸承支承特性隨速度變化的非線性特性和電主軸固有頻率。邱海飛等[7]設計了電主軸動力學試驗臺，確定了不同轉(zhuǎn)速段軸承最小預緊力。以上這些研究中，研究了預緊力對電主軸動特性的影響，但未考慮預緊作用下軸承動剛度的影響。

本文提出了考慮軸承動剛度的電主軸動特性計算方法，給出了電主軸臨界轉(zhuǎn)速和動態(tài)響應的計算方法，通過對高速電主軸動特性測試驗證模型的可靠性。

1　考慮動剛度的電主軸臨界轉(zhuǎn)速分析

1.1考慮預緊的軸承剛度模型

軸承預緊方式有定位預緊和定壓預緊。由于定位預緊方式對增加軸承剛度更為有效，所以定位預緊廣泛應用于大功率高速機床主軸上。

圖1a為球軸承初始狀態(tài)時球和內(nèi)外圈溝道曲率中心相對位置，內(nèi)外圈溝道的曲率中心分別為O2和O1，球的曲率中心為Ob，初始接觸角為α0。在外圈受到定位預緊作用下，外圈曲率中心從O1移動到O1′，假設球軸承工作時受軸向載荷和徑向載荷作用，圖1b為受載狀態(tài)下，外圈曲率中心不變，內(nèi)圈曲率中心沿軸向和徑向移動到O2′，球的曲率中心移動到Ob′，α1i、α2i分別為受載后第i個滾動體與外圈、內(nèi)圈的接觸角。

-(f1-0.5)Dw

(1)

-(f2-0.5)Dw

(2)

(3)

(4)

由赫茲接觸理論[8-9]可求得球和外圈、內(nèi)圈的接觸力Q1i、Q2i。

假設軸承所受載荷[Fi]={Fx,Fy,Fz}，建立球和內(nèi)圈的力平衡方程可得：

Q1isinα1i= Q2isinα2i

(5)

式中：ωoi是第i個球的公轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速，采用Newton-Raphson方法求解非線性方程組。軸承剛度可得

(6)

式中：Kb為剛度矩陣，求解方程組得到的雅可比矩陣即為軸承剛度矩陣。

1.2考慮動剛度的電主軸臨界轉(zhuǎn)速計算

電主軸實際工作過程中應避開臨界轉(zhuǎn)速，因此應計算出電主軸的臨界轉(zhuǎn)速。而電主軸運轉(zhuǎn)過程中由于軸承剛度會發(fā)生變化，為準確計算電主軸臨界轉(zhuǎn)速，應該考慮軸承動剛度進行計算。本文采用求解快速且精度較高的傳遞矩陣法。

將電主軸軸承系統(tǒng)劃分為若干桿單元和節(jié)點，建立動力學方程如下：

(7)

式中：u為節(jié)點位移矩陣；M為質(zhì)量矩陣；C為阻尼矩陣；G為陀螺力矩陣；F為載荷矩陣；Ks為轉(zhuǎn)軸剛度矩陣[10]，Kb為軸承剛度矩陣。

電主軸運轉(zhuǎn)過程中，當軸承轉(zhuǎn)速或所受載荷變化時軸承剛度也將發(fā)生變化，因此應考慮動剛度，聯(lián)立式(6)與式(7)，使用Riccati傳遞矩陣法[10]求解可得到系統(tǒng)的頻率方程式：

(8)

式中：S為電主軸的Riccati傳遞矩陣。使用Newton-Raphson方法求解式(8)可得各階特征值：

s=λj+iωj

(9)

式中：λj為衰減因子；ωj為固有頻率。

在電主軸轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)計算系統(tǒng)的特征值，得到固有頻率，當固有頻率與電主軸轉(zhuǎn)速相等時，即為電主軸臨界轉(zhuǎn)速。

2　考慮動剛度的電主軸響應分析

銑床電主軸的激振力主要來自于銑刀的銑削力，圓柱銑刀的平均圓周切削力公式為：

(10)

式中：CF為銑削材料系數(shù)；ae為銑削深度；af為每齒進給量；dq為銑刀直徑；ap為銑削寬度；Z為銑刀齒數(shù)。

銑削激振力可寫為：

q(t)=Fqcos(ωqt)

(11)

式中：ωq為激振力頻率，ωq=Zω；ω為軸頻。

銑削激振力是周期性的激振力，為分析銑削激振力作用下的動態(tài)響應，將式(11)中的銑削激振力g(t)替代式(7)，聯(lián)立式(5)求解軸承動剛度矩陣Kb。使用Runge-Kutta法求解式(7)，得到電主軸各節(jié)點的動力學響應。

3　電主軸動態(tài)性能分析與實驗

3.1電主軸臨界轉(zhuǎn)速分析

以圖2所示的銑削電主軸為例進行分析，電主軸總長度為550 mm，前支承軸承采用3個型號相同的角接觸球軸承7014，后支承軸承采用兩個型號相同的角接觸球軸承7010，前后支承軸承都采用定位預緊，電主軸最高工作轉(zhuǎn)速為18 000 r/min。

對前支承軸承7014進行剛度計算。圖3給出了在電主軸最高轉(zhuǎn)速18 000 r/min時，前支承軸承剛度隨預緊量變化曲線?？梢钥闯鲚S向剛度和徑向剛度均隨預緊量增大而增大，但增大幅度隨預緊量增大逐漸減小。考慮到高速電主軸發(fā)熱量隨預緊量增大也會逐漸增大，選取較輕預緊，預緊量為10 μm。

當定位預緊為10 μm時，圖4給出了在聯(lián)合載荷作用下球軸承徑向剛度隨隨轉(zhuǎn)速增大呈非線性減小，軸向剛度隨轉(zhuǎn)速增大而增大。軸承采用定位預緊后，軸向和徑向剛度與沒有預緊相比均增大，且隨轉(zhuǎn)速增大預緊剛度的增大更加明顯。

使用本文給出的動剛度方法計算電主軸固有頻率，同時與不考慮動剛度方法計算對比，圖5給出了電主軸的一階、二階臨界轉(zhuǎn)速計算結(jié)果對比，圖中虛線為同步激勵線，同步激勵線與各固有頻率曲線的交點即為電主軸的各階臨界轉(zhuǎn)速。

可以看出，考慮動剛度計算得到的電主軸臨界轉(zhuǎn)速為22 500 r/min、31 500 r/min，而不考慮動剛度計算得到的電主軸臨界轉(zhuǎn)速則為25 000 r/min、38 000 r/min，兩種計算方法得到的一階和二階臨界轉(zhuǎn)速差別分別為11.1%和20.6%，這是由于軸承剛度隨轉(zhuǎn)速增大而改變，引起臨界轉(zhuǎn)速值的改變。

3.2電主軸動態(tài)響應分析

CF取68．2，銑削深度ae取2 mm，每齒進給量af取0.2 mm，銑刀直徑dq取32 mm，銑削寬度ap為25 mm，銑刀齒數(shù)Z為4。在最大轉(zhuǎn)速18 000 r/min時，銑削激振力為：q(t)=1935cos(1200t)，將電主軸劃分為10個節(jié)點，求電主軸各節(jié)點位移響應。

圖6為考慮動剛度和未考慮動剛度時，電主軸各節(jié)點位移響應最大值曲線，可看出最大位移在電主軸前端，考慮動剛度和未考慮動剛度時最大位移分別為19 μm和15 μm，未考慮動剛度時電主軸位移響應整體偏小。

3.3電主軸動態(tài)特性實驗

在自主開發(fā)的高速大功率電主軸實驗臺上測試，實驗臺包括電主軸、變頻器、水冷裝置、空氣壓縮機，以及溫度、振動、位移、LMS數(shù)據(jù)采集等測試系統(tǒng)。圖7是電主軸性能測試實驗臺，電主軸最高轉(zhuǎn)速18 000 r/min，功率45 kW，支承軸承為角接觸球軸承，預緊量為10 μm。

使用該實驗臺進行高速電主軸前端振動位移測試，轉(zhuǎn)速測試范圍為2 000 r/min到18 000 r/min，加載轉(zhuǎn)矩20 N·m，圖8為電主軸前端位移實驗結(jié)果和計算結(jié)果對比，隨轉(zhuǎn)速增大振動位移逐漸增大，考慮動剛度計算與測試結(jié)果較為接近，高速時有一定誤差，是由于電主軸內(nèi)部零件存在不平衡量導致的振動，實驗結(jié)果驗證了文中方法的可靠性。

4　結(jié)語

建立了考慮預緊的球軸承剛度求解模型，基于Riccati傳遞矩陣法，給出了考慮軸承動剛度的電主軸臨界轉(zhuǎn)速計算方法和動特性計算方法，對某高速電主軸動特性進行了分析，得到如下結(jié)果：

(1)球軸承徑向剛度隨轉(zhuǎn)速增大而減小，軸向剛度隨轉(zhuǎn)速增大而增大，采用定位預緊后，軸向和徑向剛度與沒有預緊相比均增大，且隨轉(zhuǎn)速增大預緊軸向剛度增大更加明顯。

(2)考慮滾動軸承的動剛度計算轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速，與定剛度值計算相比有較大差別，為準確計算電主軸臨界轉(zhuǎn)速應考慮動剛度。

(3)實驗驗證了考慮軸承動剛度可得到更為準確的電主軸動特性結(jié)果，為電主軸動態(tài)特性的準確分析提供了方法。

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(編輯李靜)

(收修改稿日期：2016-05-11)

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Dynamic characteristics analysis of high speed motorized spindle based on dynamic stiffness of rolling bearing with preload

CUI Li

(Faculty of Engineering, Shanghai Polytechnic University, Shanghai 201209, CHN)

For spindle bearings with position preload, bearing stiffness model is presented based on the interactions model between the ball and rings. Newton-Raphson method is used to solve the stiffness matrix. Based on Riccati transfer matrix method, calculation method of critical speed of motorized spindle considering the dynamic stiffness of bearing is presented. The dynamic equation of the motorized spindle considering dynamic stiffness of bearing under milling excitation is given, and the dynamic responses are solved by using Runge-Kutta method. Taking a high speed milling spindle as an example, results show that radial stiffness of the bearing decrease with increase of rotating speed, the bearing stiffness increases with the positioning preload, and the increase becomes obvious with the increases of speed. More accuracy of dynamic responses of the spindle system can be obtained by considering dynamic stiffness. Finally the dynamic characteristic experiment of high-speed electric spindle demonstrates the accuracy of the proposed model.

high speed motorized spindle; dynamic stiffness; ball bearing; dynamic characteristics; critical speed

TH133.3

A

10.19287/j.cnki.1005-2402.2016.07.014

崔立，男，1981年生，博士，副教授，研究方向為高速軸承技術(shù)、摩擦學、轉(zhuǎn)子動力學，已發(fā)表論文30余篇。

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