張俊騏　吳命利

(北京交通大學電氣工程學院　北京　100044)

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電氣化鐵路牽引網(wǎng)節(jié)點方程組數(shù)值解法比較

張俊騏吳命利

(北京交通大學電氣工程學院北京100044)

電氣化鐵路牽引網(wǎng)是一個復雜的單相含地不平衡網(wǎng)絡，其潮流計算方法不同于三相電力系統(tǒng)。常用的網(wǎng)絡描述方法是節(jié)點分析法，將列車視為功率源，迭代求解非線性的節(jié)點方程組。目前應用最廣泛的算法是Picard迭代法，但如果計算中設置的負荷過重，計算可能不收斂。對于Picard迭代法不收斂是否意味著潮流無解，目前還沒有文獻討論。通過算例，比較了Picard迭代法、Newton-Raphson迭代法和Levenberg-Marquardt法的收斂特性，探討了算法收斂性和潮流可解性的關(guān)系，并討論了Picard迭代法的迭代次數(shù)、迭代過程中列車電壓的變化以及初值的影響。

電氣化鐵路牽引網(wǎng)潮流計算節(jié)點分析法數(shù)值算法

0　引言

潮流計算是電力系統(tǒng)分析中一個重要內(nèi)容，是判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性和優(yōu)化調(diào)度的基礎(chǔ)[1-6]。與三相電力系統(tǒng)不同，電氣化鐵路牽引網(wǎng)是一個復雜的單相含地不平衡網(wǎng)絡，故其潮流計算也有不同于三相電力系統(tǒng)的特點。在1980年，文獻[7]就利用多導體傳輸線模型，建立了自耦變壓器(Autotransformer，AT)供電方式牽引網(wǎng)的鏈式網(wǎng)絡模型，并將機車負荷視為電流源，分別編制了基于節(jié)點電壓法和回路電流法的計算程序，指出節(jié)點電壓法的通用性強于回路電流法。文獻[8，9]報道了鏈式網(wǎng)絡的節(jié)點電壓法在電氣化鐵路對通信線干擾計算上的應用。同一時期，國外也有文獻報道了這種方法[10-12]。文獻[13]則利用改進的PQ分解法求解牽引供電系統(tǒng)的潮流。文獻[14]推廣了鏈式網(wǎng)絡模型，用以描述任意供電方式的牽引網(wǎng)。從整體上看，牽引網(wǎng)的骨架是平行多導體傳輸線，拓撲結(jié)構(gòu)為鏈式網(wǎng)絡，由縱向串聯(lián)元件和橫向并聯(lián)元件組成，如圖1所示。設平行導體數(shù)為m，則圖中各阻抗矩陣和導納矩陣的階數(shù)均為m，而各切面的電壓矢量Vi(i=1，2，…，n)和可能于各切面的注入電流源矢量Ii(i=1，2，…，n)(用于模擬變電所和列車)為m維。

圖1　鏈式網(wǎng)絡Fig.1　Chain network

文獻[14]還指出，為了計及同一供電區(qū)段內(nèi)不同列車取流的相互影響，應將列車視為功率源，并基于Picard迭代法(以下簡稱P法)，給出了迭代算法，編制了計算程序。之后國內(nèi)開發(fā)的牽引網(wǎng)潮流計算程序大多也采用這種算法[15-20]。然而，實際計算中發(fā)現(xiàn)，對于給定的牽引網(wǎng)，如果計算條件中設置的負荷過重，如列車功率很大或追蹤間隔很密，這時迭代計算可能不收斂，尚不清楚不收斂是否就意味著潮流無解(超出牽引網(wǎng)供電能力)。本文分別用P法、Newton-Raphson迭代法(以下簡稱NR法)和求解最小二乘問題的Levenberg-Marquardt法(LM法)，對一個單線牽引網(wǎng)算例進行了計算，比較了3種算法的收斂特性，探討了算法收斂性和潮流可解性的關(guān)系，并分析了Picard迭代法的迭代次數(shù)、迭代過程中列車電壓的變化以及初值對迭代過程的影響。

1　節(jié)點方程組的數(shù)值解法

1.1節(jié)點方程組

網(wǎng)絡的節(jié)點電壓方程組(以下稱為電流型方程組)為

YV=I

(1)

式中，Y為網(wǎng)絡的節(jié)點導納矩陣；V為節(jié)點電壓矢量；I為節(jié)點注入電流矢量。牽引網(wǎng)中通常有大量的橫向并聯(lián)元件和附加導線，其節(jié)點注入電流為零；變電所可由諾頓等效變換為恒流源與阻抗的并聯(lián)，其節(jié)點注入電流為常數(shù)。以上節(jié)點對應的分量方程是線性方程。少量有列車的節(jié)點只出現(xiàn)在接觸線和鋼軌上，只有這些節(jié)點注入的電流才與式(1)左側(cè)未知的節(jié)點電壓有關(guān)，其對應的分量方程才是非線性方程，其形式為

(2)

式中，P為列車吸收的有功功率；Q為列車吸收的無功功率；Yij為節(jié)點i和節(jié)點j的互導納(i=j時為節(jié)點i的自導納)；Vj為節(jié)點j的電壓相量；“*”表示取復共軛；節(jié)點在鋼軌上時取正號，在接觸網(wǎng)上時取負號。等號右端項因為待求的電壓在分母上，所以對電壓求導會使分子出現(xiàn)電壓的一次方，分母為電壓的平方。實際計算中，因為列車電壓模值的數(shù)量級通常為104，所以求出的導數(shù)很小，數(shù)量級為10-5，遠小于導納矩陣元素10-2的數(shù)量級。這說明等號右端項在方程組的解附近對電壓的變化很不敏感，即式(1)雖然是非線性方程組，但非線性很弱。

在式(1)兩端乘以Y-1可以得到它的一種等價形式(以下稱為電壓型方程組)

V=Y-1I

(3)

顯然它的非線性也很弱。另外還可以按照三相電力系統(tǒng)潮流方程的建立方法，在式(1)中非線性分量方程的兩端乘以列車電壓的共軛，得到另一種等價形式(以下稱為功率型方程組)

(4)

1.2Picard迭代法

設有非線性方程組

F(V)=0

(5)

若

F(V)=BV-G(V)

(6)

式中，B為可逆矩陣；G(V)為V的非線性函數(shù)，則有P法迭代

V(k)=B-1G(V(k-1))

(7)

顯然，3種等價形式中，只有電壓型方程組適合用P法求解，矩陣B就是節(jié)點導納矩陣Y，非線性函數(shù)G(V)就是節(jié)點注入電流I，即

V(k)=Y-1I(k-1)

(8)

這樣就將求解非線性方程組轉(zhuǎn)換為多次求解線性方程組，其本質(zhì)仍然是在電流型方程組中，將節(jié)點電壓作為未知數(shù)求解。

將式(8)寫成矩陣形式有

(9)

由于節(jié)點導納矩陣是分塊三對角矩陣，故可利用塊追趕法求解式(9)。對節(jié)點導納矩陣進行塊LU分解得

(10)

式中，1表示單位矩陣。令

(11)

得

(12)

由式(12)可解得

(13)

由式(11)可解得

(14)

收斂條件為方程組殘差矢量的范數(shù)小于給定值

‖F(xiàn)(V(k))‖<ε

(15)

或列車電壓改變量矢量的范數(shù)小于給定值

‖ΣΔU‖<ε

(16)

算法流程如圖2所示。P法不需要計算導數(shù)，所以只具有一階收斂速度，但塊追趕法利用了網(wǎng)絡節(jié)點導納矩陣的分塊三對角形式，將原來的大規(guī)模方程組化為多個小規(guī)模方程組求解，有利于節(jié)省內(nèi)存和縮短計算時間。

圖2　P法流程圖Fig.2　Flow chart of Picard iteration

1.3Newton-Raphson迭代法

3種等價形式都可用NR法求解。設式(5)的解為V′，V(k)為V′的k次近似，將式(5)在V(k)處進行多元泰勒展開后可得J(V(k))(V′-V(k))=-F(V(k))-R(V′-V(k))

(17)

式中，J(V(k))為F(V)在V(k)處的Jacobian矩陣；R(V′-V(k))為(V′-V(k))的高階余項。當(V′-V(k))很小時，可略去R(V′-V(k))，用線性方程組

J(V(k))ΔV(k)=-F(V(k))

(18)

的解ΔV(k)近似(V′-V(k))，即

ΔV(k)=V′-V(k)+δV(k)

(19)

式中，δV(k)為近似誤差。令

V(k+1)=V(k)+ΔV(k)

(20)

式(18)和式(20)即為NR法，收斂條件可取式(15)或式(16)。算法流程如圖3所示。NR法具有二階收斂速度，是應用最廣泛的非線性方程組數(shù)值解法。電流型和電壓型方程組的Jacobian矩陣也是分塊三對角矩陣，其修正方程式(18)也可以用塊追趕法求解。事實上，由于非線性很弱，它們分別接近于節(jié)點導納矩陣和單位矩陣。若忽略非線性部分，則針對這兩種形式的NR法退化為P法。

圖3　NR法流程圖Fig.3　Flow chart of Newton-Raphson iteration

1.4Levenberg-Marquardt法

3種等價形式都可用LM法求解。易知存在如下等價關(guān)系：

?V′使F(V′)=0?min FT(V)F(V)=0

(21)

所以求解最小二乘問題

min FT(V)F(V)

(22)

也可求得式(5)的解，并且，如果求得

min FT(V)F(V)≠0

(23)

則說明式(5)無解?？梢灾苯优卸ǚ匠探M是否有解，是求解最小二乘問題的優(yōu)勢所在。

由極值必要條件有

JT(V)F(V)=0

(24)

用NR法解式(24)可得Gauss-Newton法

JT(V(k))J(V(k))ΔV(k)=-JT(V(k))F(V(k))

(25)

V(k+1)=V(k)+ΔV(k)

(26)

為了改善JT(V(k))J(V(k))的條件數(shù)，引入阻尼因子μ(k)，即得LM法

[JT(V(k))J(V(k))+μ(k)·1]ΔV(k)=-JT(V(k))F(V(k))

(27)

V(k+1)=V(k)+ΔV(k)

(28)

收斂條件只能取式(15)，且范數(shù)只能取2-范數(shù)。算法流程如圖4所示。

圖4　LM法流程圖Fig.4　Flow chart of Levenberg-Marquardt algorithm

2　算例

2.1計算條件

1)線路為單線，牽引網(wǎng)供電方式為直接供電方式，供電臂長20 km。

2)牽引變電所進線電壓為110 kV，短路容量為500 MV·A。

3)變壓器為純單相接線，額定容量20 MV·A，額定電壓110 kV/27.5 kV，短路電壓百分數(shù)8.4。

4)牽引網(wǎng)懸掛導線如圖5所示，接觸網(wǎng)阻抗為(0.178+j0.594) Ω/km，接觸網(wǎng)與鋼軌互阻抗為(0.049+j0.314) Ω/km。

5)鋼軌漏泄電阻100 Ω·km，大地電阻率100 Ω·m。

6)收斂條件為方程組殘差矢量的2-范數(shù)小于10-4。

圖5　直供牽引網(wǎng)導線Fig.5　Conductors in direct feeding network

2.2算法收斂性與潮流可解性的關(guān)系

牽引網(wǎng)所帶負荷分為圖6所示4種情況。列車數(shù)多于1時，假定所有列車取用的復功率相等。圖7是由LM法求得的，使得最小二乘問題式(22)為零的列車最大有功功率之和與功率因數(shù)角的關(guān)系，即不同列車數(shù)目下，列車負荷功率因數(shù)取不同值時，牽引網(wǎng)所能供給的最大有功功率。由P法和NR法也可以求得，使得算法收斂的列車最大有功功率與功率因數(shù)角的關(guān)系。計算表明，在相同的功率因數(shù)角下，3種方法的結(jié)果相差不超過0.002 kW，近似相等。這說明，P法和NR法收斂與式(22)為零是等價的，又由等價關(guān)系(21)，可知P法和NR法收斂與節(jié)點電壓方程組有解是等價的，在給定負荷條件下算法不收斂就意味著潮流問題無解，說明給定的負荷條件已超出牽引網(wǎng)供電能力。

圖6　直供牽引網(wǎng)Fig.6　Direct feeding traction network

圖7　列車最大有功功率之和與功率因數(shù)角的關(guān)系Fig.7　Relation between sum of train maximum active power and power factor angle

從圖7中還可以看出，列車越多，最大有功功率之和越大。這是因為列車越靠近變電所，牽引網(wǎng)上的功率損耗就越小，網(wǎng)絡能支撐的有功功率就越大。全部負荷集中在牽引網(wǎng)末端時，供電能力最小。

2.3不同算法收斂速度比較

令牽引網(wǎng)僅末端帶1列車，功率因數(shù)為1，列車電壓初值為27.5 kV，列車有功功率為17 946 kW，此時節(jié)點電壓方程組有解，但已接近牽引網(wǎng)能支撐的極限列車功率17 946.647 kW。在CPU為Intel(R) Core(TM) i5-3470(主頻3.20 GHz)的計算機上進行計算，用3種算法分別求解不同形式的節(jié)點方程組，結(jié)果如表1所示。

表1　不同算法的結(jié)果Tab.1　Results of different algorithms

可見不同算法求得的列車電壓十分接近，相互之間模值相差不超過0.1。P法的計算時間最短，功率型NR法次之，二者相差不大，但前者的迭代次數(shù)幾乎是后者的100倍，這說明前者的單步計算量遠遠小于后者。當牽引網(wǎng)的導線和切面增多時，方程組的規(guī)模變大，P法單步計算量小的優(yōu)勢會體現(xiàn)得更加明顯。進一步的研究發(fā)現(xiàn)，只有當列車功率非常接近網(wǎng)絡支撐極限，如算例中取17 946.6 kW，或收斂條件非常強，如方程組殘差矢量的2-范數(shù)小于10-5時，功率型NR法二階收斂的優(yōu)勢才能得到體現(xiàn)，計算時間才會比P法短。在正常的負荷范圍內(nèi)，P法的計算時間比功率型NR法短，且P法的算法簡單，代碼量最小。

3　對Picard法的討論

3.1迭代次數(shù)

仍令牽引網(wǎng)僅末端帶1列車，功率因數(shù)分別為1、0.97(交直交機車典型值)和0.8(交直機車典型值)，列車電壓初值為27.5 kV，P法迭代次數(shù)與列車有功功率的關(guān)系如圖8所示。隨著負荷功率的增大，迭代次數(shù)先是緩慢增加，當負荷增大到接近網(wǎng)絡支撐極限時，迭代次數(shù)急劇增加。

圖8　P法迭代次數(shù)與列車有功功率的關(guān)系Fig.8　Relation between Picard iteration time and train active power

增加列車數(shù)量，并令所有列車的功率因數(shù)為1，有功功率和分別為定值16 000 kW和8 000 kW，將列車從距變電所20 km處向前等間隔排列(參見圖6)，P法迭代次數(shù)與列車數(shù)的關(guān)系如圖9所示?？梢婋S著列車數(shù)量的增加，迭代次數(shù)最終分別保持在15次和10次?？梢姷螖?shù)并不取決于非線性方程的個數(shù)，而主要取決于負荷與網(wǎng)絡支撐極限的接近程度。

圖9　P法迭代次數(shù)與列車數(shù)的關(guān)系Fig.9　Relation between Picard iteration time and train numbers

3.2迭代過程中的列車電壓變化

圖10　P法迭代過程中列車電壓及其改變量的模值Fig.10　Train voltage magnitude and train voltage difference magnitude during Picard iteration

仍令牽引網(wǎng)僅末端帶1列車，功率因數(shù)為1，列車電壓初值為27.5 kV，分別令列車有功功率為 17 946 kW和17 947 kW(后者節(jié)點電壓方程組無解)，P法迭代過程中列車電壓及其改變量的模值如圖10所示。可見在方程組有解時，隨著迭代的進行，列車電壓及其改變量一直減小。當列車電壓改變量很小時，可以認為列車電壓已經(jīng)收斂，列車電流得以確定，其他節(jié)點的電壓也就隨之確定。而當方程組無解時，一開始，列車電壓及其改變量也在減小。當列車電壓改變量達到極小值時，因為方程組無解，所以這個極小值并不足夠小到可以認為列車電壓已經(jīng)收斂。隨著迭代繼續(xù)進行，列車電壓繼續(xù)減小，而列車電壓改變量開始增加，使列車電壓減小得越來越快。當列車電壓改變量達到極大值時，改變的方向已經(jīng)變成了列車電壓的增加方向，使其大幅度增加。之后列車電壓一直重復先減小后增加的振蕩過程，無法收斂。

3.3初值影響

仍令列車有功功率為17 946 kW，功率因數(shù)為1，電壓初值分別取浮點數(shù)最大值、最小值、±10-300，P法均能收斂，求得的列車電壓與初值為27.5 kV時相比，實部和虛部均相差不到10-6，計算時間沒有明顯變化，取浮點數(shù)最大值、最小值時，迭代次數(shù)多1次，取±10-300時多2次。這說明P法屬于大范圍手鏈，對初值不敏感。令列車電壓初值為正實數(shù)，1次迭代后，列車電壓模值如圖11所示，其中橫縱坐標均已取常用對數(shù)。可見當初值很小時，迭代后電壓隨初值的減小而增大；當初值很大時，迭代后電壓幾乎不變，均為27 520 V左右。這說明，無論初值與方程組的解偏差有多大，若初值很小，則2次迭代后，列車電壓就能被修正到距離解較近的點；若初值很大，則僅需1次迭代。從該點出發(fā)繼續(xù)迭代，P法仍能收斂。這也是節(jié)點電壓方程組無解時，列車電壓振蕩而不發(fā)散的原因。

圖11　1次P法迭代后列車電壓的模值Fig.11　Train voltage magnitude after one Picard iteration

4　結(jié)論

將列車負荷描述為功率模型時，牽引網(wǎng)節(jié)點方程組是一個非線性方程組，有電流型、電壓型和功率型3種等價形式，其中前兩種形式的非線性很弱。P法、NR法與LM法等數(shù)值算法都可以求解作為負荷潮流問題的牽引網(wǎng)節(jié)點方程組。

LM法求解的是最小二乘問題，它可以直接判定方程組是否有解。P法和NR法求得的負荷最大功率與LM法求得的一致，說明P法和NR法的收斂和方程組有解是等價的。

只要牽引網(wǎng)潮流有解，選擇不同算法和方程組形式對計算結(jié)果沒有影響，但迭代次數(shù)和計算時間有明顯差別。除負荷十分接近牽引網(wǎng)支撐功率極限的情況外，基于電壓型方程的P法計算時間最短。計算也表明，P法的迭代次數(shù)與列車數(shù)目無關(guān)，而與負荷總功率接近牽引網(wǎng)支撐功率極限的程度有關(guān)。另外，P法還具有代碼量小、單步計算量小和對初值不敏感等優(yōu)點，在求解牽引網(wǎng)潮流問題上應該首選P法。

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Comparison of Numerical Methods for Nodal Analysis in Electric Railway Traction Network

Zhang JunqiWu Mingli

(School of Electrical EngineeringBeijing Jiaotong UniversityBeijing100044China)

The traction power supply network in electric railways is a complicated single-phase unbalanced network with the earth as a part of the current return loop，which is different from the three-phase power system.The nodal analysis is a method in common use to describe the network.With the train regarded as a power consumption model，it needs iterations to solve the nonlinear power flow equations.The Picard iteration is the most popular iteration method.However，if the loads are set to be very heavy in the calculation，it may fail to converge.It has not been discussed whether the failure of the Picard iteration means the nonexistence of the power flow solution or not.In this paper，the converging characteristics of the Picard iteration，the Newton-Raphson method and the Levenberg-Marquardt algorithm are compared with an example.The relation between the convergency of the algorithms and the existence of the power flow solution is discussed.The Picard iteration is also discussed in the aspects of the iteration time，the change of the train voltage during the iteration，and the influence of the initial value.

Electric railway，traction network，power flow，nodal analysis，numerical method

2015-05-20改稿日期2015-07-16

TM74；U223

張俊騏男，1991年生，博士研究生，研究方向為電氣化鐵道供電和電力系統(tǒng)數(shù)字仿真。

E-mail：14117384@bjtu.edu.cn

吳命利男，1971年生，教授，博士生導師，研究方向為電氣化鐵道供電、電能質(zhì)量和電力系統(tǒng)數(shù)字仿真。

E-mail：mlwu@bjtu.edu.cn(通信作者)

中國鐵路總公司科研開發(fā)計劃重點課題(2015J008-F)資助項目。