江蘇省建湖高級中學　(224700)

劉友明

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執(zhí)“數(shù)”造“林”拔霧見日
——圓錐曲線中一類定量問題的教學案例

江蘇省建湖高級中學(224700)

劉友明

一、背景分析

縱觀全國各省近幾年的高考數(shù)學試卷，其中圓錐曲線被考察的部分分值約占25分左右，其重要地位不言而喻．圓錐曲線中蘊涵著笛卡爾獨樹一幟的數(shù)學精神，思想方法，個性品質(zhì)及發(fā)明創(chuàng)造的思維線索和心理歷程，然而在現(xiàn)實的教學中，很大一部分老師和學生并沒有領(lǐng)會其中的精髓，疲于應付，教學低效，學生得分“慘不忍睹” ．教師們往往側(cè)重于將幾何問題代數(shù)化，試圖以訓練計算為手段，靠大量的題海來提高代數(shù)運算技巧，急功近利，忽視了對代數(shù)結(jié)果背后的幾何本質(zhì)的研究.顯然，這樣的教學是無趣的，不利于調(diào)動學生的積極性，同時學生的創(chuàng)造力和勇于探索的精神得不到培養(yǎng)．學習興趣初濃漸淡，終因難生厭．

二、案例描述

2015年常州市高三一模數(shù)學試卷第18題，同時也是內(nèi)江市2015屆高三第四次模擬考試理科第20題，第(2)問是一道典型的探索型問題，可以先由對稱性知直線l2必為與x軸垂直的一條直線，再由特殊位置：當AB⊥x軸時，確定l2:x=4.然后通過分析法轉(zhuǎn)化為求證kPD=kBD,進而得證(證略).但此題的價值遠不止于此，如果僅僅滿足于此類技巧：利用對稱性，特殊性，轉(zhuǎn)化的思想，并不是一個完美的結(jié)局．因為這也僅僅是解決了這個問題，而對這一類的問題，你解決了嗎？觸動學生的那根心弦你找到了嗎？其實對于此類問題的延伸也很簡單：你只要問學生問題中的數(shù)據(jù)是怎么來的？是偶然還是必然？是否有一般情形？當然這需要教師本人在課前做大量的準備，不然就會出現(xiàn)兩市聯(lián)考試題原封不動的被選用，而作為高三后期的考試，這樣的情況理應是杜絕發(fā)生的．

師：同學們能否將之推廣到一般情形呢？

師：同學們真是太棒了！能夠善于將具體數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為a,b,c的關(guān)系．當然，同學們，還可以再猜想，那究竟是哪個呢？

生：我們可以一一驗證！

師: 那么多怎么驗證？可行但可惜很難操作！有無更好的辦法呢？

. . . . . .

師：那么同學們能否將我們猜想的成果仿照原題陳述出來呢？

師：下面請同學們給出證明(仿照原題證明方法即可)．

由②易證①成立.

師：非常好！一個大膽的猜想就在同學們的協(xié)同配合下得到了驗證．同學們能否再換個角度深入挖掘一下呢？(可以提示從充要性角度思考)

師：如何證明呢？

生：仿照原結(jié)論的證法先由對稱性知，如果存在，必在x軸上，再由垂直的特殊情況得出點D, 再證kPD=kBD，可得直線BP恒過定點D.(證略)

師：真棒！作為這類定量問題，請同學們總結(jié)一下目前可以有哪幾種研究方案？

生：一方面，可以將具體的數(shù)猜想成關(guān)于a,b,c的表達式，從而得出一般性結(jié)論；另一方面，可以從充要性角度逆向考慮問題.

師：同學們還有其他方面的思考嗎？(提示：剛才我們僅僅研究了橢圓方面的應用及推廣)

生：還可以考慮推廣到雙曲線中！

生：拋物線中也可以！

師：好！請同學們一起嘗試一下吧！…

師：非常完美！那么在拋物線中會有相應的兩個結(jié)論嗎？

師：你真是太棒啦！老師請同學們看一道題，你們會有何發(fā)現(xiàn)呢？

(2001·全國理19)設拋物線y2=2px (p>0)的焦點為F，經(jīng)過點F的直線交拋物線于A、B兩點，點C在拋物線的準線上，且BC∥x軸．證明直線AC經(jīng)過原點O．

生：就是我們研究出的結(jié)論2.

師：對的，同學們你們都會出高考題了！由此可見，只要我們善于動腦筋，高考試題就在我們手邊！當然從年份來看，可以看出高考試題的研究價值．可以斷言，出題者的思路就是從研究該高考試題得到的．為此老師留下2014年福建理科高考第19題供同學們課后思考，請同學們遵循今天我們研究問題的方法作深入的推廣吧！老師期待你們研究的成果！

(1)求雙曲線E的離心率；

圖1

點評：考慮到時間問題，此題留到了課后，這樣同學們會有更多的時間來進行小組研究．長此以往，學生的學習興趣必然會得到充分的調(diào)動，而且學生思維的寬度和廣度都會得到質(zhì)的飛躍．

事實上，課后有不少同學紛紛來找我，興奮不已地告訴我“老師我有研究成果了！”通過交流，絕大多數(shù)同學都會將面積8猜想出與a,b的關(guān)系：S△AOB=ab．同學們研究成果概括如下：

點評：結(jié)論1是結(jié)論2的特殊情況，對于結(jié)論2的發(fā)現(xiàn)還是非常出乎我意料之外的，學生告訴我他發(fā)現(xiàn)雙曲線的漸近線是不變的，也就是離心率相同，所以才這樣思考的．還有很多同學想將之推廣到橢圓，拋物線中，但均無所收獲．

三、案例反思

在整個過程中我們要注意以下幾點:

1.學生運算能力的培養(yǎng)固然重要，但單純以訓練學生運算技巧為目的，看不到數(shù)字背后的價值：情感，意志力，信心以及創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，這樣急功近利的教學顯然是低效的.我們要開放思想，敢于放手，突破傳統(tǒng)，讓學生大膽猜想，自主參與研究，其效果必然是你意想不到的．事實證明，如此進行下去，學生的運算能力不僅沒有得到削弱，反而得到了更大的提高.

2.圓錐曲線這類定量問題的教學中要教會學生執(zhí)“數(shù)”造“林”的研究策略：①由具體到一般；②正反兩面(充要性)；③類比推廣.

3.要善于撥動學生的那根“興奮弦”，同時讓每一位學生都要有發(fā)言的機會，這樣才是真實的課堂，才有生命力.“學困生”是我們課堂最好的調(diào)料，沒有他們這一道菜就沒有味.要勇于讓學生犯錯誤，我們要樹立這樣一個理念：課堂的生命力就在于有矛盾沖突，有沖突才會有精彩的高潮.

圓錐曲線內(nèi)容在高中數(shù)學課程中承擔著提升學生數(shù)學思想，數(shù)學文化素養(yǎng)的功能.由于傳統(tǒng)的教學只注重數(shù)的計算而忽視了學生的意志情感，創(chuàng)新品質(zhì)的培養(yǎng)，從而弊端百出.這就要求教師，特別是工作在一線的高三教師深刻的認識到：由于學生長期疲于應付這部分內(nèi)容，已無興趣可言，而這部分內(nèi)容恰恰是后期同學們得分的一個大的增長點.因為學生們往往會處于能做但做不對，會做而做不下去的尷尬境地，學生們?nèi)鄙俚氖且环N克服困難的勇氣和信心以及創(chuàng)新精神. 圓錐曲線這類定量問題的教學中教師只需利用：由數(shù)到形，從特殊到一般，正反兩面，類比推廣的探究式教學策略，就會抓住學生的心弦，激起學生的學習熱情，讓學生感受到數(shù)學的美妙與神奇，其效果自然是水到渠成，花開飄香，碩果累累.