江蘇省蘇州實驗中學　(215011)

丁益民

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引導學生進行反思整理的實踐與思考

江蘇省蘇州實驗中學(215011)

丁益民

現(xiàn)代學習觀指出：學生的學習是一種選擇性學習，是一種實踐性學習，是一種創(chuàng)新性學習.從本質(zhì)上看，學生的數(shù)學學習過程是一個自主構(gòu)建自我理解數(shù)學知識的過程，即在自己原有的知識背景、活動經(jīng)驗和理解的基礎(chǔ)上進行學習活動，并通過自己的主動活動，包括獨立思考、與他人交流和自我反思等，主動地去進行數(shù)學的建構(gòu)與理解.在這樣的過程中，獲得經(jīng)驗、對經(jīng)驗的分析與理解、對獲得過程以及活動方式的反思至關(guān)重要，但實際教學中學生的“反思”不夠，“整理”不多，原因出在我們教師不敢或不愿給學生“反思”的機會，反而用大量重復的“題?！庇柧毢谋M了學生自主反思整理的時間，殊不知，沒有反思的學習過程必定是低效甚或無效的.

在近一年的教學實踐中，筆者在任教班級(我校為江蘇省四星級高中，學生為我校高一年級最好生源，學生基礎(chǔ)扎實，數(shù)學水平較高)進行“優(yōu)秀生”的反思整理的指導實踐，根據(jù)學生自身的學習情況進行適當?shù)姆此颊?，整理學習過程中的學習心得，反思學習過程中的經(jīng)驗體會，一年的嘗試與探索，得到了一些收獲與啟示，本文試借一些案例談談具體的做法與思考.[注：部分作業(yè)的文字表述和篇幅筆者作了適當?shù)恼{(diào)整與完善]

一、反思整理認知誤區(qū)，弄清錯誤的前因后果

在某一知識點學習過程中，學生的認知進程并非一帆風順，有時會出現(xiàn)認知錯誤，特別是知識建構(gòu)的初始階段，如不及時引導學生進行反思，將影響學生對知識的準確理解，并且這樣的認知隱患還可能影響與之相關(guān)問題的處理.通過反思整理，可讓學生認識到原有認知錯誤的根源，同時整理出正確的理解方式，為今后的“再學習”提供有理有據(jù)的學習材料.

案例1高一潘智康同學在學習不等式內(nèi)容進行了如下整理：

問題已知實數(shù)-1≤m-n≤1，1≤m+n≤3，求m+2n的范圍.

錯解：因為-1≤m-n≤1，1≤m+n≤3，所以0≤m≤2，0≤n≤2，即0≤2n≤4，故0≤m+2n≤6.

分析：錯解在于單純地把m，n進行分離重組，沒有意識到他們的內(nèi)在聯(lián)系，它們是互相牽制的.

圖1

圖2

在學習過線性規(guī)劃知識后，可以作出平面區(qū)域解釋這樣做“范圍擴大”了，以圖2為證：

從圖中明顯可見，四邊形DEFG區(qū)域的是它原本表示的區(qū)域，而四邊形OABC區(qū)域則是運算后的區(qū)域，顯然“擴大”了，值得警惕!

正解：1°、待定系數(shù)法

設m+2n=x(m-n)+y(m+n)，可得

2°、換元法

3°、線性規(guī)劃法

記S=m+2n，變形為m=S-2n，可知目標函數(shù)的兩個最優(yōu)解為(0，1)，(2，1)，即Smax=1，Smax=5，即1≤m+2n≤5.

圖3

總結(jié)：以上幾種方法有一個共同點，就是整體化，這樣就不產(chǎn)生多余的運算以致擴大范圍.

相比來看，待定系數(shù)法與換元法可行性更高，而線性規(guī)劃法要畫圖，比較復雜，一旦畫不準還會影響結(jié)果.

這是一份對自己認知錯誤進行完整的反思整理作業(yè)，既有錯解暴露，又有錯因分析，既有正解展示，又有方法比較，將原有認知錯誤的前因后果總結(jié)得清清楚楚，學生對相關(guān)知識理解的深度必然不是局限在方法層面了，而是將認知的觸角上升至理性分析的高度，這正是學習數(shù)學的本真之道.

二、反思整理認知視角，逐步建立起完備的認知觀念

學生的認知過程是一個循序漸進、螺旋上升的過程，而認知觀念的建立則更是長期的系統(tǒng)建構(gòu)過程，在不斷的滲透與長期的訓練中，經(jīng)常引導學生進行相關(guān)問題認知視角的反思整理，有可能讓學生建立起完備的認知系統(tǒng)．

案例2 高一周明浩同學在解決以下“平面幾何”問題后，歷時近半個月，多次和筆者、同學探討，經(jīng)過多次的反思后整理而成：

問題在△ABC中，已知AB=AC=6，AD=4，且△ABC的外心在BD上，求BC的長度.

這是一道平面幾何問題，之前在課上學到：幾何問題可從多個角度研究.

回憶：在學習“正(余)弦定理”時，老師讓我們從多個角度研究解三角形問題，主要有：正余弦定理知識、坐標法(解析法)、向量法、純幾何方法.下面也從這四個角度來解決該問題：

整理1：正(余)弦定理知識(老師課堂講的方法)

在△ABD與△ABC中分別由余弦定理得

點評：本法是課本中的基本模型(蘇教版必修5第10頁例2，第16頁例6)，其中蘊含的“算二次”數(shù)學思想體現(xiàn)得淋漓盡致，值得擁有！關(guān)注課本，重視數(shù)學思想方法是今后學習的重中之重！

整理2：坐標法(自己課后的思考方法)

圖4

在Rt△ABO中，由勾股定理得m2+n2=36(2)

點評：顯而易見，坐標法處理本題的優(yōu)勢是不涉及“角”，容易想到，運算不難，關(guān)鍵是要大膽去“設點”，另外，其中又一次運用了“算兩次”的數(shù)學思想也值得關(guān)注.

整理3：向量法(與老師交流后的想法)

圖5

點評：向量法的精髓在于“向量關(guān)系數(shù)量化”，其中兩組三點共線又看到了“算兩次”數(shù)學思想的影子，此法相對于其他方法似乎運算量較大，相對而言，有點笨重.

整理4：純幾何方法(與同學相互研討后而得)

圖6

點評：幾何法難想，尤其是輔助線不容易想到，對我們的要求比較高，但在和幾位同學的討論后，還是能夠接受這樣的“挑戰(zhàn)”，可作為上述方法的“錦上添花”之作.

這樣的反思整理，真心為學生的毅力和鉆研精神點贊，也越發(fā)說明只要我們給學生充分的反思時間，給予他們適當?shù)狞c撥與指導，他們是可以將課堂中的“研究”延續(xù)到課后的“反思”中去.他們在反思整理中有對課堂聽課內(nèi)容的“整理”，有自己與同學、老師交流后的“反思”，加上教師的點評，學生對問題的認識可上升為知識框架下的系統(tǒng)認識.這樣的反思整理實為一份學習成果匯報，與老師互動，與同學合作，學習的過程是真實的、互動的，更重要的是學生在此過程中建立了良好的認知觀念(幾何問題可從哪些角度去研究)，感受到核心數(shù)學思想的價值(“算兩次”思想的多次體會)，而這些都將有利于學生建立起完備的認知觀念.

三、反思整理思維過程，“二次”反思優(yōu)化思維結(jié)構(gòu)

學習的過程也是學生逐步調(diào)整和優(yōu)化的過程，他們在解決一些問題時，最初的思維線路并非清晰簡潔，甚或是繁雜無章.通過老師的講評與指導，思維線路有了明顯的改進或改變.若在此基礎(chǔ)上再與同學探究討論，與老師交流(包括書面交流)，查閱相關(guān)資料等，再對已有的思維線路進行改進與調(diào)整，直至形成較為清晰順暢的思維結(jié)構(gòu)，這對學生的思維訓練的個體性是很有效的.

案例3高一俞婷同學對一道試題的思維方式的反思整理

題目設α∈R，若x>0時，均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0(①)，則實數(shù)a=_________.

圖7

最初想法：對于①式，如果用因式分解會得到

筆者在批閱該作業(yè)時評注：本例可否從其他角度入手？比如函數(shù)的圖像.

幾日后，學生進行了“二次”整理：

換一種思路：用函數(shù)圖像來研究

圖8

老師，本題是否還有其他比較好的解法？盼告知.

筆者思考后慎重地給學生再次做了引導性的交流批注：

這個不等式的主變量是哪個？具有任意性的變量可否從特殊值上思考？試試看.

次日，學生再次整理道：這是一道關(guān)于變量x的不等式恒成立的問題，而且最后結(jié)果是一個確定的值，可選用特殊值來逼出a的值：

當x=1時，有(a-2)(0-a)≥0，可得0≤a≤2.

感受：盡管沒有求出a的值，但縮小了范圍，離目標近了.

感受：意料之外的結(jié)果，但又是情理之中，特殊值發(fā)揮了很多的作用.

學生在反思整理作業(yè)中完全真實地暴露了研究問題的思維過程：從一開始的茫然(思維受阻)到教師點撥后的切換角度研究問題(思維轉(zhuǎn)換)，再主動與老師交流后的反思整理，最后根據(jù)問題的特點巧妙迅速解決了問題(思維變通).整個反思整理的過程中學生經(jīng)歷的何止是思維過程的優(yōu)化呢？這恰是歷練了做學問的“三重”境界，由此獲得的情感、態(tài)度和價值觀層面的深刻體悟是難以磨滅的.

四、反思整理解題經(jīng)驗，個性總結(jié)印象深刻

學習需要總結(jié)反思，尤其是解題活動中，解題失敗或錯誤是普遍現(xiàn)象，關(guān)鍵是要引導學生學會總結(jié)反思，提取出相關(guān)解題經(jīng)驗作為后續(xù)學習的基礎(chǔ).在總結(jié)時，有時抽象晦澀的文字語言無法表達出對解題經(jīng)驗的學習體會，我們可以給學生充分的自由度，指導學生自己根據(jù)自身情況選用符合他們認知理解的方式進行總結(jié)，讓其自由發(fā)揮，進行自我表征，印象自然深刻.

案例4高一李康同學擅長打油詩，在其整理作業(yè)中常見打油詩式的總結(jié)性反思.

案例4.1在訂正不等式恒成立習題后，他用如下“打油詩”加以總結(jié)：

遇到恒成立,方法要選對;先把函數(shù)看,單調(diào)最好解;若非單調(diào)也無妨,圖像畫出來幫忙;分離變量是通法,再無思路全靠它.

案例4.2在訂正有關(guān)解三角形習題后，又用如下頗有韻味的“詩”進行總結(jié)：

解形需從多角度,邊角互化形伴數(shù).向量坐標和定理,焉知"幾何"巧妙處?

學生運用“打油詩”等喜聞樂見且貼近個性的方式，將解題經(jīng)驗總結(jié)得精準到位，這樣的反思性整理肯定是學生經(jīng)過切身體會后的有感而發(fā)，俏皮活潑中不失數(shù)學方法，富含文采卻不缺數(shù)學理性，學生將在自己營造的輕松氛圍中接受了相關(guān)解題經(jīng)驗，這樣的經(jīng)驗將是深刻牢固的.

在長期的教學實踐中，我們越來越體會到反思性整理作業(yè)的重要性和可行性，或許我們多給學生一點自由反思的時間和機會，多給學生一些反思整理的引導與關(guān)注，他們將獲得的不僅是數(shù)學知識和數(shù)學方法，可能獲得的是學習數(shù)學的信心與樂趣，將以理性和欣賞的心態(tài)去面對數(shù)學、學習數(shù)學.