劉士亞，肖紅軍，屈莉莉，劉子君

（1.佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院自動(dòng)化系，廣東佛山528000；2.長(zhǎng)沙中輕機(jī)械有限公司，湖南長(zhǎng)沙410000）

線性時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件

劉士亞1，肖紅軍1，屈莉莉1，劉子君2

（1.佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院自動(dòng)化系，廣東佛山528000；2.長(zhǎng)沙中輕機(jī)械有限公司，湖南長(zhǎng)沙410000）

運(yùn)用復(fù)變函數(shù)理論，將特征方程轉(zhuǎn)化為幅值條件和相位條件，通過分析得到幅值與相位之間的單調(diào)特性。將系統(tǒng)的穩(wěn)定條件對(duì)應(yīng)右半復(fù)平面特征方程無(wú)解，獲得了單時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件。其結(jié)論與相關(guān)參考文獻(xiàn)比較，穩(wěn)定性條件與時(shí)滯之間的關(guān)系是顯式的，不需要試算。文末給出的數(shù)值實(shí)例說明了結(jié)果的簡(jiǎn)潔性與有效性。

特征方程；線性時(shí)滯系統(tǒng)；幅值；相位

時(shí)滯系統(tǒng)常指這樣一類系統(tǒng)，系統(tǒng)的輸入通道存在滯后，并且這種滯后的影響不可忽略。系統(tǒng)中時(shí)滯的出現(xiàn)，一方面是因?yàn)閷?shí)際系統(tǒng)的構(gòu)件不可避免地具有滯后，另一方面人們希望在控制器設(shè)計(jì)中巧妙地利用時(shí)滯特性來達(dá)到控制目的。

描述時(shí)滯系統(tǒng)的微分方程由18世紀(jì)Laplace和Condurcet引入［1］，基于這一模型穩(wěn)定性的基本理論由Ponttryagin在1942年提出。標(biāo)量時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定的研究成果，包括Hale［2］給出的充分必要條件和Corless［3］的Lamberw函數(shù)的解算法。Sun［4］進(jìn)一步在Matlab平臺(tái)上實(shí)現(xiàn)了矩陣Lamberw的算法，并將結(jié)果應(yīng)用到了多變量時(shí)滯系統(tǒng)?；谔卣鞣匠痰慕馕鼋饧皵?shù)值解的研究成果見文獻(xiàn)［5-6］。這些結(jié)論的局限是沒有直接指出系統(tǒng)穩(wěn)定的允許時(shí)滯界，需要試算找出允許時(shí)滯上限。在文獻(xiàn)［7］中，運(yùn)用頻域率和幾何理論得出穩(wěn)定的時(shí)滯上界估計(jì)式。

本文利用復(fù)變函數(shù)理論研究一維時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，這一方法的優(yōu)點(diǎn)是概念清晰簡(jiǎn)潔，且能獲得系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件。在文末給出的數(shù)值實(shí)例，表明該方法可行且有效。

1　系統(tǒng)模型及預(yù)備知識(shí)

1.1系統(tǒng)模型及符號(hào)說明

具有時(shí)滯的線性系統(tǒng)如下

其中，x（t）（t≥0）為系統(tǒng)的狀態(tài)；a∈R-，b∈R-，b、bi（i∈n）均為實(shí)常數(shù)；τi＞0（i=1，2，…，∞）為系統(tǒng)的時(shí)滯，h≥τi為系統(tǒng)可能的最大時(shí)滯。設(shè)上述各系統(tǒng)在t∈［-h，0］的狀態(tài)是確定的（可以是未知的）。

為方便敘述起見，引進(jìn)下列符號(hào)：1）C+、C-、C=C++C-分別為右半復(fù)平面、左半復(fù)平面和整個(gè)復(fù)平面。2）R+、R-、R=R++R-分別為正實(shí)、負(fù)實(shí)和實(shí)數(shù)域。為復(fù)數(shù)s的模。

系統(tǒng)（1）的特征方程分別為

1．2特征方程右半復(fù)平面的幅相曲線改寫特征方程（2）為下列形式

相角條件為

幅值條件為

其中，k為整數(shù)。對(duì)應(yīng)右半復(fù)平面有

其中，argθ為主值幅角。

為方便敘述起見，引進(jìn)下面兩個(gè)個(gè)定義。

定義1稱滿足式（4）的r-θ關(guān)系曲線為相位曲線。

定義2稱滿足式（5）的r-θ關(guān)系曲線為幅值曲線。

相位和幅值曲線在s右半平面有下列特性。

引理1相位曲線在右半平面單調(diào)減少，幅值曲線單調(diào)增加。因此對(duì)

定理1設(shè)a＜0，b≥0則特征方程（4）無(wú)右半平面解的充要條件是

證明（1）必要性?？紤]特征方程的實(shí)數(shù)解

若a+b＞0，由連續(xù)函數(shù)性質(zhì)可知D（σ）=0有正實(shí)解，必要性得證。

（2）充分性。對(duì)于?s∈C+有

故特征方程（2）在右半平面無(wú)解。充分性得證。

定理1表明當(dāng)延遲器以正反饋形式反饋到積分器前端時(shí)，時(shí)滯的大小不影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。當(dāng)延遲以負(fù)反饋形式出現(xiàn)時(shí)，a+b＜0總是能夠得到保證，從定理1的證明過程可以看出，當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)仍然是穩(wěn)定的，當(dāng)這一條件不滿足時(shí)，于是有下面的定理。

定理2設(shè)a＜b＜0，則特征方程在右半平面無(wú)解的充要條件是

其中

注1 θm=0（a=b），蘊(yùn)含實(shí)特征值，由定理1的證明可知，a+b＜0已經(jīng)保證了右半平面無(wú)實(shí)根，故此種情形下系統(tǒng)是時(shí)滯無(wú)關(guān)穩(wěn)定的，由式（10）可知，τ＜∞。在其他情形下式（10）取等號(hào)時(shí)，特征值有純虛根，此時(shí)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。

2　實(shí)例

例1考慮下列系統(tǒng)的穩(wěn)定性

例2考慮下列系統(tǒng)的穩(wěn)定性［8］

分析 對(duì)于系統(tǒng)

其中，A∈Rn×n為Jordan或?qū)菢?biāo)準(zhǔn)形，其對(duì)角線元素記為｛ai，i=1，…，n｝，B為上三角陣（通信系統(tǒng)中常常是這種情形，即子系統(tǒng)對(duì)下一級(jí)系統(tǒng)傳輸有滯后），其對(duì)角上元素記為｛bi，i=1，…，n｝。系統(tǒng)（14）的特征方程為

簡(jiǎn)單計(jì)算可知，特征方程（15）具有負(fù)實(shí)解等價(jià)于標(biāo)量lambertw方程在右半s平面均無(wú)特征根，即

注2大量文獻(xiàn)對(duì)上例進(jìn)行了研究，結(jié)論是系統(tǒng)是時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定的，本文結(jié)果表明對(duì)任一時(shí)滯都是穩(wěn)定的。

例3考慮下列系統(tǒng)的穩(wěn)定性

3　小結(jié)

單變量時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性研究是多變量時(shí)滯系統(tǒng)的基礎(chǔ)，本文運(yùn)用復(fù)變函數(shù)理論得到線性時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件，該方法的特點(diǎn)是顯式地給出了系統(tǒng)穩(wěn)定的時(shí)滯上界，將本文結(jié)果推廣到不確定線性和多變量線性時(shí)滯系統(tǒng)的分析是后續(xù)進(jìn)一步研究的課題。

［1］GORECI H.Analysis and synthesis oftime delaysystems［M］.Hoboken：John Wiley&Sons Inc，1989.

［2］HALE J K，LUNELSMV.Introduction tofunctional differential equations［M］.［S.l.］：Springer Science&Business Media，2013.

［3］IVANOVIENE I，RIMAS J.Complement to method of analysis of time delay systems via the Lambert W function［J］. Automatica，2015，54：25-28.

［4］YI S，ULSOY A G.Solution of a system of linear delay differential equations using the matrix Lambert function［C］//American Control Conference.Chicago：IEEE Computer Society，2006

［5］FALBO C E.Analytic and numerical solutions to the delay differential equations［C］//Joint Meeting of the Northern and Southern California Sections ofthe MAA.California：［s.n.］，1995.

［6］張冬梅，俞立.線性時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性分析綜述［J］.控制與決策，2008，23（8）：841-849.

［7］張怡林，朱育志，劉士亞.一個(gè)新的時(shí)滯線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件［J］.佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2015 （4）：49-51.

［8］LU R，WU H，BAI J.Newdelay-dependent robust stability criteria for uncertain neutral systems with mixed delays［J］.Journal ofthe Franklin Institute，2014，351（3）：1386-1399.

【責(zé)任編輯：任小平renxp90@163.com】

A new necessary and sufficient condition for linear systems with delay

LIUShi-ya1，XIAOHong-jun1，QULi-li1，LIUZi-jun2

（1.Department ofAutomation Engineering，F(xiàn)oshan University，F(xiàn)oshan 528000，China；2.Changsha Middle And Light MachineryCo.Ltd.，changsha 410000，China）

Characteristic equation of linear delay systems is transferred as magnitude and phase conditions with complex variable functions.Analysis shows magnitude curve with phase is monotonic increasing while phase curve is monotonic decreasing.As to stability is equal to no any roots of characteristic equation on right s-plane，a sufficient and necessary condition is obtained here.Several examples are given to illustrate our results and its application.

characteristic equation；linear delaysystems；magnitude；phase

TP273

A

1008-0171（2016）04-0030-04

2015-10-20

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51277030）；廣東省高等學(xué)校高層次人才資助項(xiàng)目（2050205-194）

劉士亞（1990-），女，湖南益陽(yáng)人，佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院實(shí)驗(yàn)師，碩士。