伍建成

摘要：選擇能夠模擬大變形問題并獲得破壞過程中流體動力特征的數(shù)值方法很重要，大變形問題主要采用無網(wǎng)格法，在眾多元網(wǎng)格法中，物質點法（MPM）已顯示出其一定的優(yōu)越性，需要在今后進一步提出一個全耦合模型。

關鍵詞：物質點法；巖土工程；無網(wǎng)格法

1物質點法概述

物質點方法的研究最早可以追溯到1964年，Harbw通過物質點在面定背景網(wǎng)格內(nèi)移動成功模擬了流體流動問題，之后Sulsky等用該方法模擬土力學問題，并且第一次正式稱之為物質點法m a te rial Poin tM elhod，MPM）。MPM可以認為是有限元法中的一種任意拉格朗日一歐拉方法（ALE），發(fā)揮了純拉格朗曰算法和歐拉算法的優(yōu)點，避免了普通歐拉方法中，由于非線性對流項所產(chǎn)生的數(shù)值求解困難，也克服了傳統(tǒng)拉格朗日方法中，由于網(wǎng)格畸變所產(chǎn)生的數(shù)值精度下降問題。MPM法的基礎思想是拉格朗曰質點（材料點）在歐拉背景網(wǎng)格（通常為矩形網(wǎng)格）內(nèi)移動，雖然存在網(wǎng)格，但其目的只是用于求解控制方程，為了計算方便而設置。材料參數(shù)被賦給質點，并由質點攜帶，網(wǎng)格不攜帶固定信息，因此，MPM法也被認為是一種無網(wǎng)格法。MPM多采用顯式時間積分，多用于固體力學分析。雖然MPM方法作為無網(wǎng)格法存在的時間不長，已被研究人員成功用于模擬土力學問題。

基于物質點法的特點，模擬一些巖土工程問題的發(fā)生過程，如邊坡或地基失穩(wěn)、泥石流、海底滑坡、面結過程、深基坑或地鐵施工時土體的涌入等，均可得到比較有趣的結果。

2相關模擬成果

（1）模擬不同材料的相互作用。York等采用MPM方法模擬薄膜材料，模擬流體與薄膜的相互作用。流體與薄膜之間的邊界條件采用無滑移邊界，并且不需要額外的附加條件，求解動量方程獲得連續(xù)速度場保證了不會有流體滲透通過薄膜。MPM方法顯示了采用無滑移邊界模擬不同類型相互作用的材料方面的優(yōu)勢，如果是模擬滑動邊界條件則需要考慮一些特殊的方法（2）模擬干煤土體。B ardenhagen采用MPM顯式時間積分提出一種連續(xù)模型來模擬內(nèi)部顆粒變形和顆粒同的接觸問題。該方法結合了DEM特征，但是并不對顆粒速度進行比較，顆粒材料的運動采用庫倫摩擦模型，顆粒間的接觸通過比較所有顆粒插值獲得的節(jié)點速度與單個顆粒插值獲得的節(jié)點速度比較的方式處理，當二者所得的速度不同時就定義一個接觸，當顆粒相互接近時對顆粒的運動進行約束，采用接觸算法定義滑動摩擦，不考慮成對的兩兩相互作用，在研究土體與結構物相互接觸問題時以上的接觸算法是很有幫助的.以上的研究也表明了MPM在顆粒材料微觀力學分析方面的適用性。（3）模擬流-固兩相相互作用。G uilkey用歐拉流體和拉格朗日固體的方法來求解流體一結構物相互作用問題。流體采用有限體積法，多材料可壓縮計算流體動力學（CFD）模型，固體采用MPM模擬。他們將這種方法用于模擬爆炸過程，其中的流體主要為可壓縮氣體，在整個歐拉系統(tǒng)的所有區(qū)域中采用單元中心計算法，該方法僅對可壓縮流體有效。

3物質點法與傳統(tǒng)有限元法的出較

物質點法和傳統(tǒng)有限元法主要區(qū)別在于：（1）有限元法采用高斯積分，將積分轉化為被積函數(shù)在各高斯點處的值與該高斯點的權重及其所代表的體積之積的和：物質點法采用質點積分，將積分轉化為被積函數(shù)在各質點處的值與該質點所代表的體積之積的和。（2）有限元方法中計算網(wǎng)格始終與材料固連，而物質點法中計算網(wǎng)格只在每個計算時間步內(nèi)與材料固連，時間步結束之后，丟棄已經(jīng)變形了的計算網(wǎng)格，因此不會受到網(wǎng)格變形的約束。

此外，對于小變形問題，有限元法的計算效率和計算精度優(yōu)于物質點法；而對于材料大變形、特大變形問題，有限元法的效率和精度不如物質點法。

4物質點法與其他無兩格法的比較

幾乎所有無網(wǎng)格法都可歸為特殊形式的緊支試函數(shù)加權余量法，物質點法可以看作是一種采用質點和網(wǎng)格雙重描述的緊支試函數(shù)加權余量法，試函數(shù)為基于背景網(wǎng)格的有限元形函數(shù)，加權佘量格式采用G alerkin弱形式。物質點法的形函數(shù)相對簡單，計算量與常用的無網(wǎng)格法近似函數(shù)相比也小得多，而且物質點法的背景網(wǎng)格通常較為規(guī)則，計算質點的影響節(jié)點容易定位，且不需要搜索臨近節(jié)點，大大降低了計算量，物質點算法中速度場的單值條件自動滿足，即使不采用額外復雜的算法也不會出現(xiàn)物質間的穿透現(xiàn)象。在分析泡沐材料、生物體微組織結構分析等問題時，可能會出現(xiàn)非常復雜的接觸現(xiàn)象，使得有限元離散模型難以建立，即使采用某些無網(wǎng)格法建立了離散模型，大量復雜的接觸過程也是難以處理的.而物質點法卻可以方便地建立離散模型并進行模擬計算分析。

5物質點法的優(yōu)勢和不足

相比于傳統(tǒng)有限元方法，物質點法充分的展現(xiàn)了其優(yōu)勢：（1）物質點法將計算區(qū)域內(nèi)的材料離散為一系列不連續(xù)的質點來進行求解，背景網(wǎng)格布置簡單，既便于離散模型的建立，又便于進行前后處理。（2）在每個時步中，物質點之間通過背景網(wǎng)格相互作用，在背景網(wǎng)格上獲得控制方程離散形式并完成求解，不需要建立臨近質點列表，顯著提高計算效率。（3）物質點法中計算網(wǎng)格只在每個計算時間步內(nèi)與材料固連，時間步結束之后，丟棄已經(jīng)變形了的計算網(wǎng)格，克服了傳統(tǒng)拉格朗日方法中，由于網(wǎng)格畸變所產(chǎn)生的數(shù)值精度下降問題。（4）物質點攜帶了材料的所有信息，使得物質點法能夠更加容易的追蹤材料界面，而不需要計算對流項，避免了普通歐拉方法中，由于非線性對流項所產(chǎn)生的數(shù)值求解困難。雖然物質點法在傳統(tǒng)有限元方法無法解決或解決不好的問題上展現(xiàn)了其獨特的優(yōu)勢，但目前仍然存在一些問題需要改進：（1）計算時需在物質點與背景網(wǎng)格之間進行反復映射，而目前映射的效率還相對較低。（2）在背景網(wǎng)格中進行每時步的計算，背景網(wǎng)格規(guī)則便于質點的搜索，但對于復雜形狀材料邊界的模擬比較困難，而背景網(wǎng)格不規(guī)則時將導致質點搜索量增加，如何解決好此矛盾可以大幅提高計算效率，縮短計算時間。（3）目前還沒有徹底解決質點穿越網(wǎng)格所引起的數(shù)值震蕩噪聲問題。物質點方法仍然處于發(fā)展階段，如何進—步改善其求解精度和計算效率，與其他方法的結合，開發(fā)并行計算方法等方面，將是其今后重要的發(fā)展方向。