徐睿妤，劉　剛，陳　雷，滕厚興，盧興國，許繼凱

（中國石油大學（華東）儲運與建筑工程學院，山東 青島 266580）

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同軸圓筒流變儀初始瞬態(tài)黏度的解析與數值研究

徐睿妤，劉剛，陳雷，滕厚興，盧興國，許繼凱

（中國石油大學（華東）儲運與建筑工程學院，山東 青島 266580）

同軸圓筒流變儀在恒剪速或恒應力測試初始過程中測試黏度遠高于真實值的現象與流場非穩(wěn)態(tài)作用等因素有關。測量間隙內的Couette流動研究主要集中在邊界條件為恒值或某一具體時間函數下的理論推導，而測量間隙的邊界條件實際為某一動邊界。假設動邊界為任意f（t），將同軸圓筒間Newtonian流體初始流變測試過程簡化為無限大平板間Couette流動，采用特征函數法和Laplace變換推導應力和剪速邊界下流場及表觀黏度精確解，同時依據不同間隙尺寸和運動黏度對6種邊界條件下的瞬態(tài)表觀黏度進行數值計算。結果表明：當υ ＜20 mm2·s-1時，控制剪速邊界下流場及表觀黏度平衡時間更短；當20 mm2·s-1＜υ＜20000 mm2·s-1時，控制應力邊界下流場及表觀黏度平衡時間更短；當υ ＞20000 mm2·s-1時，兩類邊界條件下的平衡時間相近。

黏度；流體動力學；數值分析；同軸圓筒流變儀；Couette流動；動邊界函數；特征函數法

DOI：10.11949/j.issn.0438-1157.20150865

引　言

旋轉流變儀作為流變測量的重要工具，其準確測量將為工業(yè)及科研領域的物料流變性研究提供一系列可靠的基礎數據。然而，在流變儀轉子由靜止逐步達到設定轉速或扭矩的瞬態(tài)過程中流場非穩(wěn)態(tài)與儀器機械性能的綜合作用導致牛頓流體測試黏度遠高于真實值。啟動初始，轉子加速的機械反饋調節(jié)復雜，使得流變儀加載應力或剪速的有效值低于設定值，實際邊界條件形式不便描述，邊界條件的動態(tài)變化最終也體現為流場非穩(wěn)態(tài)。若待測介質為牛頓流體，可待數據穩(wěn)定后再進行采集；若待測介質為非牛頓流體（如黏彈性和觸變性流體），則其流變性對加載條件與剪切歷史極為敏感，數據采集應從測量夾具旋轉開始，初始非穩(wěn)態(tài)數據失真將直接影響研究者對物料屬性的判斷。

旋轉流變測量即建立測量間隙內流場的邊界測量值與流變參數間的力學響應，測量間隙內介質的初始流動過程類似于平板拖動或旋轉體系下的Couette流動。已有諸多學者開展了瞬態(tài)Couette流動的理論與實驗研究。針對平板拖動Couette流動（一板運動、一板靜止），學者們推導了不同運動邊界下的流場解析解。如Erdo?an等［1-4］求解了恒速邊界下的瞬態(tài)流場，Papanastasiou等［5］求解了振蕩速度u（t）=u0cos（ωt）邊界下的瞬態(tài)流場。針對旋轉體系Couette流動，平行平板［6-8］、同軸圓筒體系［9］研究的邊界條件亦包括恒角速度邊界、振蕩速度邊界等［10］。Parter等［11］和Rajagopal［12］進一步在平行平板體系下考慮了黏性不可壓縮流體以相同角速度繞不同軸旋轉的不對稱流場分布，Lai等［13］和Daniel［14］依據其理論開展了數值驗證。除此之外，為增加工程適用性，一些學者考慮了加載外力、摩損、壓降等外部因素對旋轉體系的瞬態(tài)流場影響。Seth等［15］在平板旋轉體系中加載橫向電磁場，求解了黏性電導不可壓縮流體的非穩(wěn)態(tài)流動；Daniel［14］和Sheikholeslami等［16］則分別對平行平板中上板具有摩擦損耗的恒速度邊界進行了解析與數值求解；Danish等［17］考慮恒蒸發(fā)損耗率和恒壓降梯度，求解了受上板轉速U（t）驅動的旋轉平板間瞬態(tài)流場。盡管Couette流動的解析研究眾多，但針對旋轉流變儀邊界、幾何規(guī)格、測試結果建立流動參數與“瞬態(tài)黏度值”的研究尚不多見。

事實上，理論分析的模型均為無限大平板或無限長同軸圓筒，無限大空間尺寸導致流場最終達到均一而非穩(wěn)態(tài)。Varsakelis等［18］采用Chebyshev多項式法求解并分析特征問題，通過線性穩(wěn)定性分析研究單向非穩(wěn)態(tài)Couette流動的穩(wěn)定性，證明了流動始終非穩(wěn)態(tài)，但由于流場變化的增長率很小而導致辨別非穩(wěn)態(tài)十分困難。盡管如此，數值計算在一定的精度范圍內仍可視其為穩(wěn)態(tài)值。

除了流變儀測量間隙內流場本身的非穩(wěn)態(tài)外，流變儀啟動過程中轉子系統(tǒng)的啟動加速、機械慣性和反饋調節(jié)也會導致流場邊界條件動態(tài)變化。Ravey等［19-21］指出，慣性空氣軸承式黏度計的剪速或扭矩均非直接加載于轉子，在電磁場一定時轉子有效扭矩取決于轉子瞬時角速度，轉子需經歷靜止到設定值的加速過程，并不能瞬間達到預設值。Gleissle［22］在研究儀器非穩(wěn)態(tài)機械特征時也指出，在控制剪速條件下測試黏彈性流體黏度時，若忽略剪切速率加速至預設值的階段將導致黏度計算結果出現明顯錯誤，其測試高分子硅油的表觀黏度與穩(wěn)態(tài)黏度關系得到了Hua［23］和Borg等［24］的認可?？梢?，有必要對旋轉流變儀內初始瞬態(tài)過程做進一步研究。

因此，考慮已有研究的邊界條件與旋轉流變儀實際邊界條件的差距，本研究假設控制應力及控制剪速邊界條件為任意f（t），將同軸圓筒流變儀測量間隙內的瞬態(tài)流動簡化為無限大平行平板間的Couette流動，忽略重力作用，進行理論模型解析求解。同時，采用兩種間隙尺寸和不同運動黏度對不同邊界條件下的初始表觀黏度進行數值計算。

1　數學描述及其精確解

旋轉流變儀同軸圓筒測量系統(tǒng)的測量間隙相對于轉子長度非常?。ū戎导s1%），若忽略轉子端部效應，則間隙內的流動可簡化為兩無限長同軸圓筒間的流動。測量間隙的邊界包括動邊界與靜邊界，動邊界在初始過程由靜止逐步達到穩(wěn)定，流場也由靜止逐步發(fā)展并趨于穩(wěn)定。根據同軸圓筒內流場的軸對稱性，進一步將模型簡化為流場沿徑向變化的一維瞬態(tài)模型，即兩無限大平板間的Couette流動，如圖1（a）和圖1（b）所示。化簡平板間牛頓流體的NS方程，可得控制方程為

旋轉流變儀可實現控制應力加載或控制剪速加載，常用加載方式為恒應力或恒剪速加載。根據流變儀廠家空載試驗的經驗值，采用恒應力加載模式時轉子達到設定應力需5～10 ms，采用恒剪速加載模式時轉子達到設定剪速需30～50 ms。由于與機械響應有關，施加的應力或剪速隨時間動態(tài)變化并趨于穩(wěn)定，因而將邊界條件設為與時間有關的動邊界條件。

1.1控制應力邊界加載

邊界條件：移動邊界處σ（0，t）= μ （?u/?x）|x=0，其剪切速率隨時間變化，（?u/?x）|x=0=f（t）；固定邊界處速度始終為0，u（d，t）=0。

初始條件：平板間隙內流體初始速度全部為0，u（x，t）=0（0≤x≤d）。該問題數學描述為

求解式（2）問題時，通過構造輔助函數將具有非齊次邊界條件的齊次方程轉化為具有齊次邊界的非齊次泛定方程。u（x，t）=v（x，t）+w（x，t）為輔助函數，w（x，t）=f（t）（x-d），采用特征函數法及Laplace變換求解可得速度分布，如式（3）所示

其中

圖1　實際及模型簡圖、邊界函數形式Fig .1　Actual and simplified models and different boundary conditions

上述u（x，t）表達式中包含邊界剪速函數的導數f′（t）。若f（t）在整個初始過程內連續(xù)可導，則上述公式適用；若f（t）在初始過程存在不可導點，如f（t）在轉子自平衡時間t0內由0線性增加到設定值，此后保持設定值不變，t0為不可導點［如圖1（c）中邊界（Ⅲ）和（Ⅵ）］，則仍需進一步推導。

取t0為新的時間起點，計算t＞t0的速度分布。x=0處邊界條件為（?u/?x）|x=0=σ0/μ，初始條件為u（x，0）= u（x，t0）。同樣運用邊界條件齊次化和固有函數法，可得t＞0（t0為時間起點）速度分布。利用t=t-t0統(tǒng)一時間起點，得整個初始過程的速度分布，如式（4）所示

其中

式中，f′（t-ζ）始終指t≤t0時的導數。

測試黏度為

故理論相對黏度系數為

1.2控制剪速邊界加載

流變儀控制剪速加載通過控制轉速實現，σ ∝n。初始啟動過程中，轉速n由0逐漸增長至設定值n0，故u（0，t）=2πrn=f（t）。設t0為轉子自平衡時間，即達到設定剪速值的時間，當t＞t0時u（0，t）=u0。

邊界條件：移動邊界處u（0，t）=f（t）；固定邊界處速度始終為0，u（d，t）=0。

初始條件：平板間隙內流體初始速度全部為0，u（0，t）=0 （0≤x≤d）。

該問題的數學描述為

假設內邊界上f（t）在t0處存在不可導點，采用如同1.1節(jié)的處理可得該加載方式下的速度分布，如式（8）所示。

其中

理論黏度為

1.36種邊界條件下相對黏度系數

根據控制應力和控制剪速在任意邊界條件f（t）下的Couette解析解推導了6種特殊邊界函數f（t）下的相對黏度系數??？刂茟ο碌?種邊界：（Ⅰ）恒應力；（Ⅱ）應力由0線性增加；（Ⅲ）應力由0線性增加至設定值后保持恒定。控制剪速下的3種邊界：（Ⅳ）恒速度；（Ⅴ）速度由0線性增加；（Ⅵ）速度由0線性增加至設定值后保持恒定。

邊界函數的形式如圖1（c）所示。6種邊界下的相對黏度系數見表1。?趨近于1，表明瞬態(tài)過程逐步趨于穩(wěn)態(tài)，表觀黏度μf越接近牛頓流體的真實黏度μ。

表1　R6種邊界條件下的相對黏度系數?Table 1　Relative viscosity coefficient ? under six kinds of boundary conditions

2　數值計算

根據（Ⅰ）～（Ⅵ）邊界條件下相對黏度系數的解析解編制Matlab程序，對初始瞬態(tài)過程進行數值計算?？臻g尺度采用d=0.712 mm和d=1.136 mm兩種規(guī)格；時間尺度取0～T；牛頓流體運動黏度選取2～200000 mm2·s-1。在計算域（0～d，0～T）內設置時空節(jié)點完成區(qū)域離散。

2.1轉子自平衡時間處的“流場趨勢變化”

圖2　6種邊界條件下?隨t的變化Fig. 2　Variation of ? with t under six boundary conditions υ=1000 mm2·s-1，d= 0.712 mm

為了分析不同邊界條件下的瞬態(tài)黏度變化，分別模擬了6種邊界條件下（d= 0.712 mm，υ = 1000 mm2·s-1）的?=μf/μ隨時間的變化（圖2）和邊界條件（Ⅲ）下測試不同黏度標準黏度液的?τic隨時間的變化（圖3）。當邊界條件為（Ⅲ）時，參考MCR 102達到設定應力的實際時間為5～10 ms，取t0=10 ms；當邊界條件為（Ⅵ）時，參考MCR 102達到設定剪速的實際時間為30～50 ms，取t0=50 ms。

圖3　不同運動黏度下?τic隨t的變化Fig.3　Variation of ?τicwith t under six boundary conditions υ=2—20000 mm2·s-1，d=0.712 mm，Ⅲ

2.2介質真實黏度、加載邊界、測量間隙對瞬態(tài)平

衡時間的影響

采用運動黏度υ =2～200000 mm2·s-1和兩種間隙尺寸計算（Ⅰ）～（Ⅵ）6種邊界條件下的相對黏度平衡時間，如圖4所示。相對黏度系數的平衡時間檢出時，認為|? （t）-1|＜0.1%時流場達到穩(wěn)態(tài)，取td=t。

由圖4可知，運動黏度增大時不同加載邊界及測量間隙下的黏度平衡時間迅速減小，這是因為黏度大的流體層間內摩擦力增大，動邊界的剪切傳遞效果得到強化，故而黏度平衡時間短。另外，不同測量間隙內流場的平衡時間不同，測量間隙越小，平衡時間越短，表觀黏度將更快地接近真實值，這是因為剪切傳遞速度相同時測量間隙小的系統(tǒng)內的黏度平衡更快。在6種加載邊界中，若計算時間足夠長，則（Ⅰ）、（Ⅲ）、（Ⅳ）、（Ⅵ）4種邊界下的表觀黏度可達到其真實值，而（Ⅱ）、（Ⅴ）邊界下的流場由于邊界加載隨時間線性增加，將始終不能達到真正的穩(wěn)態(tài)，僅能達到流場均一化，? （t）將趨近于1并大于1。因此，在控制應力邊界和控制剪速邊界中，分段邊界下的黏度平衡過程均體現為恒定邊界和線性增加邊界下平衡過程的過渡。

在控制應力邊界條件下，當υ＞200 mm2·s-1時，黏度平衡時間略滯后于轉子自平衡時間（10 ms）；當υ＜100 mm2·s-1時，流場平衡過程趨近于（Ⅰ）恒應力或（Ⅳ）恒剪速邊界下的平衡過程；當υ＞5000 mm2·s-1時，流場平衡過程趨近于（Ⅱ）應力線性增加或（Ⅴ）速度線性增加邊界下的平衡過程。在控制剪速邊界條件下，當υ＞20 mm2·s-1時，黏度平衡時間略滯后于轉子自平衡時間（50 ms）；υ＜20 mm2·s-1時，流場平衡過程趨近于（Ⅰ）恒應力或（Ⅳ）恒剪速邊界下的平衡過程；υ＞1000 mm2·s-1時，流場平衡過程趨近于（Ⅱ）應力線性增加或（Ⅴ）速度線性增加邊界下的平衡過程。

圖4　6種邊界下不同運動黏度的牛頓流體平衡時間Fig. 4　Balance time of Newton fluid with different viscosity under six kinds of boundary conditions

圖5　不同邊界下不同運動黏度流體的平衡時間Fig. 5　Balance time of Newton fluid with different viscosity under different boundary conditions

兩種測量間隙內6種邊界條件下的表觀黏度平衡如圖5所示。在同一測量系統(tǒng)間隙下比較不同的6種邊界條件下的相對黏度平衡時間，可知（Ⅱ）≈（Ⅴ）＞（Ⅰ）＞（Ⅳ）。當υ處于20～20000 mm2·s-1范圍內時，6種邊界條件下表觀黏度平衡時間的關系為：（Ⅱ）≈（Ⅴ）＞（Ⅵ）＞（Ⅲ）＞（Ⅰ）＞（Ⅳ）。若測試介質黏度在該范圍內，則控制應力邊界下或控制剪速邊界下不同運動黏度流體的瞬態(tài)平衡時間相差不大，均略滯后于轉子自平衡時間（10 ms或50 ms），而且在該黏度范圍內控制應力邊界下流體的非穩(wěn)態(tài)平衡時間更短。若υ＜20 mm2·s-1，采用控制剪速邊界的平衡時間更短；若υ＞20000 mm2·s-1，則兩類邊界下的平衡時間相近。可見，表觀黏度平衡時間除了取決于啟動本身非穩(wěn)態(tài)過程外，邊界條件形式將大大影響整個非穩(wěn)態(tài)階段的平衡時間，即轉子反饋調節(jié)達到設定應力或設定剪速的自平衡時間越長，啟動初始的平衡時間越長。

3　結　論

（1）旋轉流變儀在測試標準黏度液黏度時，初始階段黏度測試值遠高于其真實值。類推至與剪切歷史密切相關的非牛頓流體，該段非穩(wěn)態(tài)剪切所采集的數據將不能準確描述其流變性。

（2）旋轉Couette流動的現有理論研究在邊界條件上與流變儀測量間隙的實際邊界存在差距。本研究將同軸圓筒流變儀測量間隙內的流動簡化為由靜止邊界和運動邊界組成的平板Couette流動，以牛頓流體為例求解了加載任意應力邊界或剪速邊界下的流場及表觀黏度解析解，適用于邊界函數不超過1個不可導點的任意情況，并求解了控制應力邊界及控制剪速邊界的6種邊界條件下表觀黏度解析解。

（3）本研究將兩種間隙尺寸和運動黏度2～200000 mm2·s-1代入6種加載邊界的解析解進行數值計算。計算結果表明：（Ⅲ）、（Ⅵ）平衡過程均體現為恒定值邊界向線性增加邊界的過渡，并在轉子自平衡時間t0處存在“流場變化趨勢”轉變；測量間隙越大，表觀黏度達到真實值的平衡時間越大；不同黏度的牛頓流體瞬態(tài)平衡時間不同，黏度越大剪切傳遞作用越強，越接近線性邊界的平衡過程，黏度越小則越接近恒值邊界的平衡過程。運動黏度υ＜20 mm2·s-1時，控制剪速邊界下的瞬態(tài)平衡更快；運動黏度υ處于20～20000 mm2·s-1時，控制應力邊界下的瞬態(tài)平衡更快，平衡時間略滯后于轉子自平衡時間（10 ms）；運動黏度υ＞20000 mm2·s-1時，兩類邊界條件下的平衡時間相差不大。轉子自平衡時間t0反映了流變儀機械響應的速度，是除啟動流場非穩(wěn)態(tài)外又一影響非穩(wěn)態(tài)過程的重要因素。

（4）旋轉流變儀測試系統(tǒng)復雜，可結合轉子端部效應、測量夾具轉動慣量等影響邊界條件的機械因素對初始非穩(wěn)態(tài)過程做進一步探討。

符號說明

d，x——兩無限大平板間距、與運動板距離，m

f（t） ——運動邊界函數

M，M0——與時間有關的扭矩、設定扭矩值，N·m

n，n0——與時間有關的轉速、設定轉速值，r·min-1

t，t0——瞬態(tài)時間、轉子自平衡時間，s

u（x，t） ——位置x時間t時的速度，m·s-1

βn——特征值，m

γ. ——剪速，s-1

ζ ——積分參量

μ，μf——牛頓流體黏度、瞬態(tài)表觀黏度，Pa·s

σ ——應力，Pa

υ ——運動黏度，m2·s-1

? ——相對黏度系數

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Analytical and numerical studies on apparent viscosity in coaxial cylinder rotational rheometer during initial unsteady stage

XU Ruiyu， LIU Gang， CHEN Lei， TENG Houxing， LU Xingguo， XU Jikai
（College of Pipeline and Civil Engineering， China University of Petroleum （East China）， Qingdao 266580， Shandong， China）

During the initial testing stage with controlled stress or controlled shear rate， apparent viscosity is much higher than its true value because of factors such as transient flow process. Most existing researches about Couette flow in the measuring gap of coaxial cylinder rotational rheometer focus on constant boundary or time-dependent boundary in special form， which may has a gap with the actual changing boundary condition within rheometer. Thus， the arbitrary moving boundary condition was taken as f（t）， and the transient flow was simplified in coaxial cylinder for Couette flow into two infinite parallel plates. The exact solutions of apparent viscosity and velocity under controlled stress boundary and controlled shear rate boundary were derived through eigenfunction method and Laplace transform. Meanwhile， the numerical calculations of apparent viscosity under six boundary conditions were made according to two kinds of gap size and different viscosity （2—200000 mm2·s-1）. It showed that when the viscosity of newton fluid was below 20 mm2·s-1， the equilibrium of flow and apparent viscosity under controlled shear rate boundary cost less time. When the viscosity was among 20—20000 mm2·s-1， the equilibrium under controlled stress boundary cost less time. However， the equilibrium time under two kinds of boundary was nearly the same when the viscosity was over 20000 mm2·s-1.

date： 2015-06-09.

Prof. LIU Gang， liugang@upc.edu.cn

supported by the Innovation Youth Foundation Project in China University of Petroleum （East China） （14CX02107A）.

viscosity；hydrodynamics；numerical analysis；coaxial cylinder rotational rheometer；Couette；moving boundary condition；eigenfunction method

O 357.1； TE 81

A

0438—1157（2016）05—1784—07

2015-06-09收到初稿，2015-10-05收到修改稿。

聯系人：劉剛。第一作者：徐睿妤（1990—），女，碩士研究生。

中國石油大學（華東）自主創(chuàng)新青年基金項目（14CX02107A）。