郭　彪　龔曉南　李亞軍

(①云南省交通規(guī)劃設計研究院陸地交通氣象災害防治技術國家工程實驗室　昆明　650041)(②浙江大學　杭州　310058)

?

考慮加載過程及樁體固結變形的碎石樁復合地基固結解析解*

郭彪①龔曉南②李亞軍①

(①云南省交通規(guī)劃設計研究院陸地交通氣象災害防治技術國家工程實驗室昆明650041)(②浙江大學杭州310058)

為了完善碎石樁復合地基固結理論，通過假設從樁體排出的水量等于流入樁體的水量與樁體體積變化之和以及地基擾動區(qū)土體水平滲透系數(shù)呈線性變化，并考慮上部荷載逐漸施加，推導了考慮樁體體積變化的碎石樁復合地基超靜孔壓及固結度解析解。當加載時間趨于零時，本文解可退化為瞬時加載情況下的解； 當加載時間及樁徑同時趨于零時，本文解可進一步退化為Terzaghi一維固結解，這證明了本文解的正確性。通過與已有解的比較，對地基固結性狀進行了分析。結果表明，加載過程對地基固結度影響顯著，加載歷時越長，固結越慢； 在各種條件下，不考慮樁體固結變形時地基固結始終比考慮樁體變形時快，并且其影響隨著加載歷時變小、樁徑比變小、樁土模量比變小、樁土滲透系數(shù)變小而逐漸增大，這說明在實際工程固結計算中不考慮樁體固結變形是偏于不安全的。

碎石樁復合地基固結加載過程樁體固結變形解析解

0　引　言

采用碎石樁處理軟土地基是一種簡單經濟有效的措施，地基沉降是碎石樁復合地基的主要的問題之一，要對地基沉降進行分析，就必須研究復合地基的固結理論。

碎石樁復合地基和砂井地基相比，具有應力向碎石樁集中以及樁徑比(碎石樁影響區(qū)半徑與樁半徑之比)較小的特點。與砂井地基相比，碎石樁復合地基固結理論研究起步較晚，研究較少。Yoshikuni(1979)最早提出了復合地基應力集中效應并引入到復合地基的固結理論研究中。此后，王瑞春等(2001， 2002， 2004)、Han et al.(2001， 2002)、孫舉等(2008)、張玉國等(2005， 2014)眾多學者對復合地基固結理論不斷進行了研究完善，發(fā)展了未打穿復合地基、雙層復合地基、變荷載、考慮碎石樁施工的擾動作用以及樁體滲流阻力作用、半透水邊界等多種工況及影響因素下的碎石樁復合地基固結理論。

擾動區(qū)土體的水平滲透系數(shù)變化對復合地基固結有很大的影響，近年來在這方面有較多的研究。樁體周圍擾動土體滲透系數(shù)隨擾動作用強弱變化這一現(xiàn)象由Sharma et al.(2002)通過試驗研究發(fā)現(xiàn)，此后，wlader Hal et al.(2002)、Zhang et al.(2006)、Xie et al.(2009)進行了進一步研究和完善，得到了水平滲透系數(shù)線性連續(xù)變化、二次拋物線形式連續(xù)變化等情況下的固結解。

不過在以上的理論中，均沒有考慮碎石樁的豎向變形，假定某一時刻從樁體排出的水量就等于土體流入樁體的水量，這與理論所采用的等應變假設是不符的。于是盧萌盟(2009)、趙明華等(2010)針對這一點，通過對樁周流量假設進行改進考慮了樁體的豎向變形，從而解決了這一矛盾。

然而，在盧萌盟(2009)、趙明華等(2010)的研究中，假定外部荷載是瞬時施加的，這與工程實際不符，使得這一理論難以得到廣泛應用。鑒于此，本文推導得到了變荷載下考慮樁體變形的復合地基固結解析解，并考慮地基涂抹區(qū)水平滲透系數(shù)呈線性變化，與現(xiàn)有解進行了比較驗證，分析了地基固結性狀。

1　固結方程及求解條件

圖1為變荷載下碎石樁復合地基固結簡化模型。圖中re為碎石樁影響區(qū)半徑，rs為涂抹區(qū)半徑，rc為碎石樁半徑，us、uc分別為土體及樁體內的超靜孔壓力，Es、Ec分別為土體及樁體的壓縮模量，kr(r)為土體水平滲透系數(shù)，kv為土體豎向滲透系數(shù)，kc為碎石樁體滲透系數(shù)，H為碎石樁深度，q(t)為上部荷載。

除了樁土等應變假設以及達西定律，本文還作了以下假定： ①地基上部荷載是時間的函數(shù)，附加應力隨深度不變； ②從樁體排出的水量等于從土體流入樁體的水量與樁體體積減小之和。

圖1　碎石樁復合地基示意圖Fig. 1　Sketch diagram of gravel pile composite foundation

根據謝康和(1993)，Xie et al.(2009)，Zhang et al.(2006)文獻的研究，復合地基土體的固結方程可以寫成：

(1)

其徑向的邊界條件為：

(2)

(3)

(4)

式(1)中， kr(r)為土體水平滲透系數(shù)，為隨r變化的函數(shù)，其表達式為：

(5)

式(1)為一個多元多次偏微分方程，無法直接求解，需對其作進一步推導。

下面首先推導地基的應變εv的表達式：

復合地基上部荷載由碎石樁及土體共同承擔，地基豎向的平衡方程為：

(6)

又根據等應變假設，即地基土體與樁體在任意時刻應變相等，有：

(7)

由式(6)、式(7)可得：

(8)

(9)

式(9)可以改寫為：

(10)

將式(5)、式(8)帶入式(1)可得：

(11)

接下來對式(11)進行消元推導：

對式(11)兩邊關于r積分并利用邊界條件(2)可得：

(12)

再對式(12)兩邊關于r積分并利用邊界條件(3)可得：

(13)

其中，

(14)

將式(10)帶入式(13)后，再將式(13)帶入式(4)可得：

(15)

其中，

(16)

(17)

本文假設從樁體排出的水量等于流入樁體的水量與樁體體積變化之和，在地基固結過程中，樁體的體積變化量ΔVc可以寫成：

(18)

由達西定律，參考盧萌盟(2009)的研究，從樁體向上流出的水量Qvc的表達式為：

(19)

同時，從地基土體流入樁體的水量Qhs的表達式為：

(20)

故可得在dt時間段內樁體內水量的變化量ΔQc為：

(21)

由樁周流量假設可知ΔQc=ΔVc，將式(18)、式(21)帶入整理可得：

(22)

(23)

由式(22)、式(23)有：

(24)

將式(8)、式(10)帶入式(24)整理可得：

(25)

其中，

(26)

(27)

(28)

其中，

(29)

(30)

再結合式(25)和式(28)可得：

(31)

式(31)即為變荷載下考慮樁體變形的碎石樁復合地基固結控制方程，考慮頂面排水，底面不排水，其豎向邊界條件為：

(32)

地基不同位置處土體水平向滲透系數(shù)的變化情況(圖2)。圖中kh為未受到碎石樁施工影響范圍內的水平滲透系數(shù)，ks為受到施工影響最大處(緊臨樁體)土體水平滲透系數(shù)。

圖2　土體平滲透系數(shù)Fig. 2　Permeability coefficient in soil

本文描述滲透系數(shù)隨r變化的函數(shù)f(r)形式為(盧萌盟， 2009)：

(33)

其中， δ=kh/ks。

由式(14)、式(16)、式(17)、式(33)可得：

(34)

式中， s=rs/rc。

2　方程求解

在實際工程，荷載逐漸施加的，加載至最終荷載后保持不變(圖3)。式中，t1為加載到最終荷載所經歷的時間，qu為最終荷載。

圖3　荷載隨時間變化圖Fig. 3　Variation of preloading with time

荷載可表示為：

(35)

將上式代入式(31)可得：

當0≤t

(36)

當t≥t1時：

(37)

設方程(36)的解為：

(38)

根據邊界條件式(32)可解得：

從而可得：

(39)

式(39)代入式(36)可得：

(40)

在式(40)兩端同乘以某一具體項sin(Mz/H)后在[0，H]上積分可得：

(41)

其中，

(42)

(43)

由初始條件可得：

(44)

在式(44)兩端同乘以某一具體項sin (Mz/H)后在[0，H]上積分可得：

(45)

方程(41)和式(45)分別為關于Tm(t)的常微分方程以及初始條件，其解可寫為：

(46)

將式(46)代入式(39)可得：

(47)

式(37)解的形式可寫成：

(48)

其初始條件為：

(49)

由式(48)、式(49)可得：

(50)

將(50)代入式(48)可得：

(51)

綜上所述，可得地基某時刻某深度處的平均孔壓為：

當0≤t

(52)

當

(53)

將式(42)、式(43)代入式(53)并整理可得：

(54)

地基任一時刻的固結度為：

(55)

將式(35)、式(52)、式(54)代入式(55)可得：

0≤t

(56)

t≥t1時：

(57)

將系數(shù)A、B、C、D代入式(42)可得βm的表達式為：

(58)

3　解的驗證及比較

為了驗證本文解的合理性，將解進行退化。

在瞬時加載情況下，t1→0，式(54)退化為：

(59)

式(58)、式(59)即為盧萌盟(2009)的解。

進一步地，如n→∞，即樁的半徑趨于0時，式(58)退化為：

(60)

式(59)、式(60)即為Terzaghi一維固結解。

上述退化結果表明，盧萌盟(2009)的解及Terzaghi一維固結解均為本文解的特例，本文解是合理正確的。

圖4　本文解與盧萌盟(2009)解的比較Fig. 4　Comparison of the average degree of consolidation by the present solution and the Lu M M(2009) solution

圖4是本文解與盧萌盟(2009)的解的比較，盧萌盟(2009)的解認為荷載瞬時施加。圖中Tv1為t1時刻對應的地基豎向固結時間因子。計算參數(shù)為：n=4，s=2，H/rc=20，Y=5，kh/kv=2，kc/kh=500，δ=0.4。

從圖可以看出，逐漸加載與瞬時加載固結度差別是巨大的，加載歷時越長，固結越慢，在實際工程中，堆載都是逐漸施加的，本文解比盧萌盟(2009)解更加合理適用。

圖5～圖8 是本文解與Xie et al.(2009)的解的比較，在Xie et al.(2009)的解中考慮了加載過程以及涂抹區(qū)水平滲透系數(shù)呈線性變化，但沒有考慮樁體的固結變形，通過與此解全面的比較可突出本文的研究成果。

圖5是不同樁徑比時兩者固結速度的比較。計算參數(shù)為：Tv1=0.001，s=1.6，H/rc=40，Y=5，kh/kv=2，kc/kh=500，δ=0.4。從圖可以看出，不考慮樁體變形時地基固結仍然比考慮樁體變形時快，可見在工程應用中不考慮樁體變形是偏不安全的，這會低估地基的工后沉降。不過隨著樁徑比的增大，兩者的差異逐漸減小。

圖6是不同樁土模量比時解的比較。計算參數(shù)為：Tv1=0.001，n=2，s=1.6，H/rc=40，kh/kv=2，kc/kh=500，δ=0.4。從圖可以看出，不同樁土模量比下不考慮樁體變形時地基固結仍然比考慮樁體變形時快，隨著樁土模量比的增大，兩者的差異逐漸減小。

圖7是不同樁土滲透系數(shù)比時解的比較。計算參數(shù)為：Tv1=0.001，n=2，s=1.6，H/rc=40，kh/kv=2，Y=2，δ=0.4。從圖可以看出，不同樁土滲透系數(shù)比下不考慮樁體變形時地基固結同樣比考慮樁體變形時快，隨著樁土滲透系數(shù)比的增大，兩者的差異逐漸減小。

圖6　不同樁土模量比時與Xie et al.(2009)解的比較Fig. 6　Comparison with the Xie et al.(2009) solution under different compression modulus ratios of column and soils

圖7　不同樁土滲透系數(shù)比時與Xie et al.(2009)解的比較Fig. 7　Comparison with the Xie et al.(2009)solution under different permeability coefficient ratios of column and soils

圖8　不同加荷歷時條件下與Xie et al.(2009)解的比較Fig. 8　Comparison with the Xie et al.(2009)solution under different loading time

圖8是不同加載歷時考慮樁體固結變形與不考慮時地基的固結速度比較。計算參數(shù)為：n=2，s=1.6，H/rc=20，Y=5，kh/kv=2，kc/kh=500，δ=0.4。從圖可以看出，不考慮樁體變形時地基固結比考慮樁體變形時快，不過，加載速度越慢，兩者的差距越小，但這樣做會耽誤工期，影響施工進度。

圖9是本文解與王瑞春等(2002)的解的比較，在王瑞春等(2002)的解中考慮了加載過程，但沒有考慮涂抹區(qū)水平滲透系數(shù)的變化以及樁體的固結變形。計算參數(shù)為：Tv1=0.01，s=2，H/rc=20，Y=10，kh/kv=2，kc/kh=500，δ=0.4。從圖可以看出，考慮涂抹區(qū)水平滲透系數(shù)呈線性變化比不考慮要快，當樁徑比n=5時兩者差距較大，而當n=2時兩者差距明顯縮小，通過前面的分析可知，這是因為當樁徑較小時，不考慮樁體固結變形對地基固結度影響較大，與不考慮涂抹區(qū)水平滲透系數(shù)變化兩因素相抵所致。

圖9　不同樁徑比時與王瑞春等(2002)解的比較Fig. 9　Comparison with the Wang et al.(2002)solution under different diameter ratios

4　結　論

本文推導得到了變荷載下考慮樁體變形的復合地基固結解析解，解可退化到瞬時荷載下的解，并可進一步退化到Terzaghi解，說明本文解是正確的。

通過地基固結比較分析可知：

(1)逐漸加載與瞬時加載固結度差別顯著，加載歷時越長，固結越慢，本文考慮荷載施加過程，更加符合工程實際。

(2)考慮涂抹區(qū)水平滲透系數(shù)呈線性變化比不考慮要快。

(3)在各種條件下，不考慮樁體變形時地基固結始終比考慮樁體變形時快，并且其差值隨著加載歷時變小、樁徑比變小、樁土應力比變小、樁土滲透系數(shù)變小而逐漸增大。

也就是說，不考慮樁體變形會高估地基的固結速度，從而低估地基的工后變形量。因此，在實際工程固結計算中不考慮樁體變形是偏于不安全的，本文解可使計算結果更符合實際。

Han J，Ye S L. 2001. Simplified method for consolidation rate of stone column reinforced foundations[J]. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering，127(7)： 597～603.

Han J，Ye S L. 2002. A theoretical solution for consolidation rates of stone column-reinforced foundations accounting for smear and well resistance effects[J]. International Journal of Geomechanics，2(2)： 135～151．

Hawlader B C，Imai G，Muhunthan M. 2002. Numerical study of the factors affecting the consolidation of clay with vertical drains[J]. Geotextiles and Geomembranes，20(4)： 213～239．

Lu M M. 2009. Analytical Study on Consolidation Theory of Composite Ground under Complicated Conditions[D]. Hangzhou： Zhejiang University．

Sharma J S，Xiao D. 2002. Characterization of a smear zone around vertical drains by large-scale laboratory tests[J]. Canadian Geotechnical Journal，37(6)： 1265～1271．

Sun J，Xie X Y，Xie K H. 2008. Analytical theory for consolidation of double-layered composite ground with granular columns[J]. Rock and Soil Mechanics，29(2)： 321～326．

Wang R C，Xie K H. 2001. Analytical theory for consolidation of double-layered composite ground with granular columns[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering，23(4)： 418～422．

Wang R C，Xie K H，Guan S H. 2002. Analytical solutions for consolidation of composite ground with granular columns under time-dependent loading[J]. Journal of Zhejiang University(Engineering Science)， 36(1)： 12～16．

Wang R C，Xie K H，Tang X W. 2004. Analytical study on consolidation of composite ground with partially penetrated granular columns[J]. Journal of highway and transportation research and development，21(6)： 12～16．

Xie K H. 1993. Research status and development of composite foundation consolidation theory[J]. Ground Improvement，4(3)： 1～14．

Xie K H，Lu M M，Hu A F，et al. 2009. A general theoretical solution for the consolidation of a composite foundation[J]. Computers and Geotechnics，36(1—2)： 24～30．

Yoshikuni H. 1979. Design and control of construction in the vertical drain method[M]. Tokyo： Gihoudou．

Zhang Y G，Xie K H，Ying H W，et al. 2005. Consolidation analysis of composite foundation of granular columns with impeded boundaries[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering，27(3)： 304～307．

Zhang Y G, Xie K H，Wang Z. 2006. Consolidation analysis of composite ground improved by granular columns considering variation of permeability coefficient of soil[J]. Ground Modification and Seismic Mitigation， ASCE，Geotechnical Special Publication， GSP152： 135～142．

Zhang Y G，Sun M，Xie K H. 2014. Study of simplifying solution to consolidation of composite ground with partially penetrated granular columns[J]. Rock and Soil Mechanics，35(5)： 1303～1310．

Zhao M H，Liu D P，Zhang L. 2010. Analytical solution for consolidation of composite ground with granular columns accounting for consolidation deformation of pile[J]. Rock and Soil Mechanics，31(2)： 483～488．

盧萌盟. 2009. 復雜條件下復合地基固結解析理論研究[D]. 杭州：浙江大學．

孫舉，謝新宇，謝康和. 2008. 雙層散體材料樁復合地基固結理論[J]. 巖土力學，29(2)： 321～326．

王瑞春，謝康和. 2001. 雙層散體材料樁復合地基固結解析理論[J]. 巖土工程學報，23(4)： 418～422．

王瑞春，謝康和，關山海. 2002. 變化荷載下散體材料樁復合地基固結解析解[J]. 浙江大學學報(工學版)， 36(1)： 12～16．

王瑞春，謝康和，唐曉武. 2004. 未打穿散體材料樁復合地基固結解析研究[J]. 公路交通科技，21(6)： 12～16．

謝康和. 1993. 復合地基固結理論研究現(xiàn)狀與發(fā)展[J]. 地基處理，4(3)： 1～14．

張玉國，謝康和，應宏偉，等. 2005. 雙面半透水邊界的散體材料樁復合地基固結分析[J]. 巖土工程學報，27(3)： 304～307．

張玉國，孫敏，謝康和. 2014. 未打穿散體材料樁復合地基固結簡化解研究[J]. 巖土力學，35(5)： 1303～1310．

趙明華，劉敦平，張玲. 2010. 考慮樁體固結變形的散體材料樁復合地基固結解析計算[J]. 巖土力學，31(2)： 483～488.

ANALYTICAL SOLUTION FOR CONSOLIDATION OF STONE COLUMN-REINFORCED FOUNDATIONS TAKING INTO ACCOUNT CONSOLIDA￣TION DEFORMATION OF PILE UNDER PROGRESSIVE LOADING

GUO Biao①GONG Xiaonan②LI Yajun①

(①National Engineering Laboratory for Land Transport Meteorological Disaster Control Technology， Broadvision Engineering Consultants， Kunming650041)(②Zhejiang University， Hangzhou310058)

For the sake of improvement of the composite foundations consolidation theory， an analytical solution is obtained for consolidation of stone column-reinforced foundations taking into account the consolidation deformation of pile under progressive loading. Column consolidation and deformation are considered with the following two assumptions：(1)the quantity of water flowing through the disturbed soil zone into the column is not equal to that flowing out from the column and (2)the difference between them is equal to the volume change of the column. In addition， the linear distribution pattern of the horizontal permeability of soil in the disturbed zone is also taken into account for the disturbance effect of columns construction on the surrounding soil. To prove the correctness of the solution， a discussion is performed in the article. If the loading time tends to zero， the obtained solution can be convert to the solution in the condition of constant load. Furthermore， if the loading time and the size of stone columns tend to zero at the same time， the obtained solution can be convert to the one-dimensional solution obtained by Terzaghi. In the end， the average degree of consolidation of a composite foundation is obtained and discussed. The results show that the influence of loading process on the consolidation is obvious. The consolidation rate under the linear distribution pattern of the horizontal permeability of soil in the disturbed zone is faster than the consolidation rate in the condition of constant permeability. The consolidation rate considering deformation of pile is slower than consolidation rate using traditional assumptions. So that it is unsafe to ignore deformation of pile. Furthermore， the differences increase gradually as the loading time， the radius ratio， the stress ratios and the permeability coefficient ratios decrease．

Stone column-reinforced foundations， Consolidation， Preloading process， Column consolidation， Analytical solution

10.13544/j.cnki.jeg.2016.03.010

2015-05-22;

2016-03-30.

云南省交通廳科技項目(2015(A)12)，云南省山間盆地高等級公路軟基處置新技術研究資助.

郭彪(1982-)，男，博士，高級工程師，主要從事地基方面的研究工作. Email: gb25891775@163.com

TU472

A