陳文輝（廣東省建筑科學研究院集團股份有限公司）

不同地震激勵輸入方法下結(jié)構(gòu)反應(yīng)差異的理論推導(dǎo)和數(shù)值分析

陳文輝
（廣東省建筑科學研究院集團股份有限公司）

本文推導(dǎo)并說明了加速度輸入模型中的等效荷載法和位移輸入法的差異在于外加阻尼力的引入，并證明其對結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)的影響不可忽略。根據(jù)某框架結(jié)構(gòu)縮尺模型數(shù)據(jù)，建立結(jié)構(gòu)整體有限元模型。分析比較地震加速度輸入和位移輸入條件下的無阻尼局部模型結(jié)構(gòu)反應(yīng)，驗證了兩種地震記錄的一致性。采用兩種地震激勵輸入方法分別進行動力時程分析，將分析結(jié)果與振動臺試驗結(jié)果進行比較，驗證了兩種地震激勵輸入方法分析結(jié)果的可靠性和準確性，并說明了外加阻尼力對分析結(jié)果的影響。

等效荷載法；位移輸入法；地震記錄；框架結(jié)構(gòu)縮尺模型振動臺試驗

1　引言

根據(jù)地震激勵輸入方法的不同，結(jié)構(gòu)響應(yīng)分析方法通常分為加速度輸入法和位移輸入法。本文從理論推導(dǎo)出發(fā)，對比分析加速度輸入法中的等效荷載法和位移輸入法的差異。根據(jù)某高層框架結(jié)構(gòu)縮尺模型尺寸數(shù)據(jù)，應(yīng)用有限元軟件建立結(jié)構(gòu)整體有限元模型，分別采用兩種地震激勵輸入方法進行一致地震激勵結(jié)構(gòu)彈性響應(yīng)時程分析，驗證兩種地震激勵輸入方法的可靠性，并證明其分析結(jié)果存在差異的結(jié)論。

2　地震激勵輸入方法

2.1 等效荷載法

當結(jié)構(gòu)處于彈性階段，可將結(jié)構(gòu)的絕對反應(yīng)分解為地面激勵部分 Ug和結(jié)構(gòu)相對地面運動部分 Ur，即U=Ug+Ur。一致激勵輸入下，與基礎(chǔ)運動相關(guān)的剛體速度和位移不會引起附加阻尼和結(jié)構(gòu)內(nèi)力。采用粘滯阻尼理論，多自由度體系的動力平衡方程可表示為：

上式中，M、C、K分別表示結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣、粘滯阻尼矩陣和剛度矩陣。用式（1）求解結(jié)構(gòu)反應(yīng)的地震激勵輸入模型稱為等效荷載法［1］。上述方法為目前動力時程分析中常用的地震激勵輸入方法。

2.2 相對運動法

在絕對坐標系下，結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)動力平衡方程可寫為分塊矩陣的形式，即：

式中，下標ss、bb、sb分別表示上部結(jié)構(gòu)自由度、支承點自由度以及它們的耦合項，矩陣大小分別為n×n、 m×m、n×m（m×n）和Ub分別表示上部結(jié)構(gòu)和支承點處的位移、速度和加速度，P為作用于支承點的地震激勵。

若結(jié)構(gòu)處于彈性階段，可將結(jié)構(gòu)絕對反應(yīng)分解為擬靜力反應(yīng)和動力反應(yīng)，即：

用式（4）求解結(jié)構(gòu)反應(yīng)的地震激勵輸入方法稱為相對運動法［1，2］。當?shù)卣鸺顬橐恢录顣r，且不考慮結(jié)構(gòu)反應(yīng)的時滯效應(yīng)，擬靜力位移與地面位移相同，即：U，其中E為n維單位列向量。此時，式（4）可表達為：

將式（1）與式（5）比較，分析可得相對運動法和等效荷載法求解結(jié)構(gòu)在一致激勵下的彈性反應(yīng)結(jié)果是一致的。與等效荷載法相同，相對運動法也只適用于求解結(jié)構(gòu)彈性反應(yīng)。兩者的區(qū)別在于相對運動法可以通過偽靜力響應(yīng)的影響系數(shù)矩陣考慮多點激勵下的結(jié)構(gòu)反應(yīng)，而等效荷載法一般只適用于一致激勵輸入。

2.3 位移輸入法

用式（6）求解結(jié)構(gòu)反應(yīng)的地震激勵輸入方法稱為位移輸入法［2］。位移輸入法的假設(shè)條件如下：①結(jié)構(gòu)反應(yīng)為絕對反應(yīng)；②采用集中質(zhì)量矩陣。該方法在理論推導(dǎo)過程中忽略了等效荷載中的阻尼項。由于位移輸入法沒有涉及結(jié)構(gòu)反應(yīng)的分解，所以此方法理論上可以應(yīng)用于求解結(jié)構(gòu)的非線性地震反應(yīng)。

2.4 一致激勵輸入下等效荷載法和位移輸入法的理論差異

由式（1）和式（5）可知，一致激勵輸入下的等效荷載法可表達為：

式（7）的前提條件為：①結(jié)構(gòu)處于彈性階段；②考慮一致地震激勵輸入；③采用集中質(zhì)量矩陣。該方法在推導(dǎo)過程中忽略了等效荷載中的阻尼項。

由式（6）和式（7）分析可得，兩者差別在于等效荷載法求得的是結(jié)構(gòu)的相對反應(yīng)，而位移輸入法求得的是結(jié)構(gòu)的絕對反應(yīng)。若兩式的右邊等效荷載項一致，不論左式是相對反應(yīng)還是絕對反應(yīng)，求得的結(jié)構(gòu)反應(yīng)也一致。由此可得出，兩者差異主要在于等式右邊的等效荷載。

由兩者的推導(dǎo)過程可得，相對于位移輸入法式（6），等效荷載法式（7）忽略了阻尼項。這個結(jié)論也可證明如下：在結(jié)構(gòu)線性反應(yīng)階段，將擬靜力反應(yīng)的概念引入位移輸入模型，即將式（3）上式代入式（6），可得：

在一致激勵輸入下，，將其代入式（8），可得：

上式中，E為n×1維單位列向量，E＇為m×1維單位列向量。

由此，上式右邊可消去位移項，可得：

3　某框架結(jié)構(gòu)縮尺模型振動臺試驗與數(shù)值分析

3.1 某框架結(jié)構(gòu)縮尺模型振動臺試驗

同濟大學土木工程防災(zāi)國家重點實驗室振動臺試驗室于2003年6月16日對一單跨12層鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)縮尺模型進行62個工況的模擬地震激勵，并記錄了地震激勵全過程中的結(jié)構(gòu)反應(yīng)（加速度、應(yīng)變）。該模型的設(shè)計和制作、測點的布置和試驗加載制度詳見文獻［3］，在此不再贅述。試驗選用地震波形有El Centro波、Kobe波、上海人工波及上?；鶐r波，本次數(shù)值模型分析選用其中的El Centro波進行分析。

3.2 縮尺模型的整體有限元模型

本次分析應(yīng)用通用有限元分析軟件ANSYS，選用三維有限應(yīng)變梁單元BEAM188［4，5］模擬柱、梁，選用彈性殼單元SHELL43［4，5］模擬樓板，采用多線性隨動強化模型（MKIN）模擬混凝土本構(gòu)關(guān)系，采用雙線性隨動強化模型（BKIN）模擬鋼筋本構(gòu)關(guān)系，由此建立該框架結(jié)構(gòu)縮尺模型的整體有限元模型，如圖1所示。本次結(jié)構(gòu)分析采用Rayleigh阻尼模型，根據(jù)有限元模型分析結(jié)果與試驗數(shù)據(jù)對比，確定前4個加載階段粘滯阻尼比為3%，后3個加載階段粘滯阻尼比為4%。

圖1　框架結(jié)構(gòu)縮尺模型的整體有限元模型

3.3 動力時程分析加載工況及地震記錄的一致性

本次分析地震加速度輸入工況同試驗加載工況一致，為0.090g～0.904g，不考慮工況之間加載順序的影響。地震記錄采用太平洋地震工程研究中心（PEER）［6］數(shù)據(jù)庫中El Centro波N-S分量加速度和位移記錄。El Centro波N-S分量加速度記錄和位移記錄如圖2、圖3所示（圖中加速度峰值縮比為1m/s2，位移記錄根據(jù)加速度記錄縮比進行相應(yīng)峰值調(diào)整）。

圖2　El Centro波N-S分量加速度時程記錄

圖3　El Centro波N-S分量位移時程記錄

為了驗證該加速度記錄與位移記錄的一致性，本次分別采用等效荷載法和位移輸入法，將地震加速度激勵和地震位移激勵輸入原有限元模型的局部模型（截取2層，其余參數(shù)同原有限元模型），計算相應(yīng)激勵作用下的結(jié)構(gòu)反應(yīng)。如上文所述，兩種地震激勵輸入方法的差別主要由外加阻尼力引起。因此，在分析地震記錄時不考慮阻尼的影響，以避免不同地震激勵輸入方法對分析結(jié)果的影響。

無阻尼局部模型在地震加速度激勵（峰值為0.09g）和相應(yīng)強度位移激勵下，頂點相對位移如圖4、圖5所示。由對比可見，兩者頂點位移的波形完全一致，位移激勵下結(jié)構(gòu)反應(yīng)稍大（約10%），且在初始階段位移輸入下結(jié)構(gòu)反應(yīng)比加速度輸入下明顯偏大。不同地震記錄輸入下結(jié)構(gòu)反應(yīng)的差異源于在位移記錄處理過程中在起點處引入了小量初速度和初位移以達到位移記錄結(jié)束處為零速度和零位移的目的，由此產(chǎn)生一定能量輸入，對結(jié)構(gòu)反應(yīng)有所影響，但其計算結(jié)果還屬于滿足工程精度的范圍。由以上分析可得出，在地震激勵穩(wěn)定階段，該地震加速度記錄和位移記錄的一致性滿足工程精度的要求。

圖4　加速度輸入下頂點相對位移時程

圖5　位移輸入下頂點相對位移時程

3.4 不同地震激勵輸入方法下結(jié)構(gòu)反應(yīng)對比分析

3.4.1 頂點相對加速度峰值的絕對值

將不同地震激勵強度輸入下，等效荷載法和位移輸入法分析的結(jié)果列于表1，并與試驗結(jié)果進行對比。

表1　頂點相對加速度峰值對比

由表1可得，不同地震激勵強度輸入下，等效荷載法分析結(jié)果與試驗結(jié)果的差值范圍為 -13.36%～13.39%；位移輸入法分析結(jié)果與試驗結(jié)果的差值范圍為0.81%～28.35%。由分析結(jié)果對比，等效荷載法分析結(jié)果與試驗結(jié)果更為接近，位移輸入法分析結(jié)果均比等效荷載法分析結(jié)果稍大，最大差值為16.67%。但除去地震輸入記錄的影響（無阻尼狀態(tài)下兩者差值約10%），兩種地震激勵輸入方法分析結(jié)果還是較為一致的。綜上所述，相對于等效荷載法，引入外部阻尼力的位移輸入法確實會使分析結(jié)果有所增大，但增大的幅度并不是十分明顯。

為了驗證所得結(jié)果的合理性，可將地震激勵輸入增幅與試驗結(jié)果增幅、等效荷載法分析結(jié)果增幅和位移輸入法分析結(jié)果增幅進行對比并列于表2。

表2　頂點相對加速度峰值增幅對比

由表2可見，等效荷載法和位移輸入法所得結(jié)果的增幅與地震激勵增幅較為一致，由此驗證了有限元方法的正確性。而試驗結(jié)果的增幅則與地震激勵增幅相差較大，分析其原因如下：①隨著地震激勵的增大，試驗?zāi)Ｐ偷慕Y(jié)構(gòu)損傷不斷累積，結(jié)構(gòu)逐漸進入塑性階段，相應(yīng)結(jié)構(gòu)反應(yīng)增幅小于地震激勵增幅。有限元模型分析雖然能反應(yīng)結(jié)構(gòu)的部分塑性性能，但是無法考慮結(jié)構(gòu)損傷的累積。②結(jié)構(gòu)試驗采用逐級加載方式。隨著加載工況數(shù)量增加，結(jié)構(gòu)損傷不斷累積，先前工況對后續(xù)工況模型初始狀態(tài)的影響越來越大。加載工況順序?qū)Y(jié)構(gòu)損傷累積的影響無法在有限元模型分析中體現(xiàn)。因此，結(jié)構(gòu)的塑性性能和加載工況的非獨立性是造成有限元模型分析結(jié)果和試驗結(jié)果差別逐漸增大的主要原因。

3.4.2 柱底應(yīng)變峰值

將不同地震激勵強度輸入下，等效荷載法和位移輸入法分析的柱底應(yīng)變峰值結(jié)果列于表3，并與試驗結(jié)果進行對比。

由表3可見，在不同地震激勵強度下，等效荷載法分析結(jié)果與試驗結(jié)果的差值范圍為-28.98%～39.90%；位移輸入法分析結(jié)果與試驗結(jié)果的差值范圍為10.55% ～191.56%。由分析結(jié)果對比，兩者分析結(jié)果均不理想，但等效荷載法分析結(jié)果更接近于試驗值，而位移輸入法在后三個加載工況分析結(jié)果的誤差已遠超工程精度允許范圍。與頂點加速度峰值分析結(jié)果一致，引入外部阻尼力的位移輸入法求得的柱底應(yīng)變峰值均比等效荷載法分析結(jié)果偏大，但相對于結(jié)構(gòu)其他部位，結(jié)構(gòu)底部的地震反應(yīng)增幅更大。分析上述現(xiàn)象產(chǎn)生原因如下：①隨著地震激勵強度的增大，位移輸入法引入的外加阻尼力增大，其對結(jié)構(gòu)反應(yīng)的影響程度隨之增大，未考慮該阻尼力的等效荷載法分析結(jié)果偏于不安全；②由于位移輸入法引入的外加阻尼力是作用于結(jié)構(gòu)支承處附近，因此底柱地震反應(yīng)相對于結(jié)構(gòu)其他部位反應(yīng)增幅更大。結(jié)構(gòu)底柱支承整個結(jié)構(gòu)，對結(jié)構(gòu)安全的重要性大于其他構(gòu)件，若不考慮外加阻尼力的影響，底柱抗震能力分析結(jié)果偏于不安全，進而影響對整個結(jié)構(gòu)抗震性能的評估。

表3　柱底應(yīng)變峰值對比

4　結(jié)論

本文通過理論推導(dǎo)、數(shù)值分析結(jié)果和振動臺數(shù)據(jù)對比可得結(jié)論如下：

⑴一致激勵輸入下，位移輸入法是在等效荷載法的基礎(chǔ)上考慮阻尼項來計算結(jié)構(gòu)的線性相對反應(yīng)，并疊加擬靜力反應(yīng)后得出結(jié)構(gòu)的絕對反應(yīng)。因此，在計算有阻尼體系一致激勵輸入下的結(jié)構(gòu)線性相對反應(yīng)時，采用兩種地震激勵輸入方法所得結(jié)果會有所差異，主要是由于阻尼項的不同考慮而導(dǎo)致。外部阻尼力對結(jié)構(gòu)反應(yīng)的影響不可忽略，等效荷載法求得的結(jié)構(gòu)反應(yīng)是偏于不安全的。

⑵對于計算結(jié)構(gòu)整體地震反應(yīng)（以頂點相對加速度峰值為代表），等效荷載法和位移輸入法分析結(jié)果均較為精確，與試驗數(shù)據(jù)結(jié)果擬合較好。等效荷載法分析結(jié)果更接近于試驗數(shù)據(jù)結(jié)果，位移輸入法所得結(jié)果稍大，但兩者差值很小，影響不大。對于計算結(jié)構(gòu)底部局部構(gòu)件地震反應(yīng)（以柱底應(yīng)變?yōu)榇恚刃Ш奢d法和位移輸入法分析結(jié)果差異較大。

⑶隨著地震激勵強度的增大，位移輸入法引入的外部阻尼力也不斷增大，且由于其主要作用于結(jié)構(gòu)底部局部構(gòu)件，對結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)的影響不容忽略。

⑷有限元模型分析結(jié)果與試驗數(shù)據(jù)存在較大差異的原因在于，有限元模型不能完全模擬結(jié)構(gòu)的塑性性能，不能考慮先前加載工況導(dǎo)致的結(jié)構(gòu)損傷累積和塑性程度加劇。結(jié)構(gòu)損傷累積對結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)的重大影響難以在有限元模型分析中體現(xiàn)，這就是本次分析中影響有限元模型分析結(jié)果與試驗結(jié)果一致性的最大原因。

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