張繼國(guó),管耀宗,朱永忠

(1. 河海大學(xué)水利信息統(tǒng)計(jì)與管理研究所,江蘇 常州　213022; 2. 河海大學(xué)理學(xué)院,江蘇 南京　210098)

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降雨空間分布的模糊熵聚類分析

張繼國(guó)1,管耀宗2,朱永忠2

(1. 河海大學(xué)水利信息統(tǒng)計(jì)與管理研究所,江蘇 常州213022; 2. 河海大學(xué)理學(xué)院,江蘇 南京210098)

為了提高降雨量插值精度,充分挖掘降雨變量信息,利用模糊熵聚類分析算法,對(duì)流域內(nèi)雨量站進(jìn)行模糊熵聚類研究,通過(guò)基于可能性分布和距離判定的聚類有效性函數(shù)確定模糊熵系數(shù)和聚類數(shù),從而得到模糊聚類結(jié)果,改進(jìn)原有的插值方法。以淮河流域蚌埠站以上區(qū)域99個(gè)雨量站雨量數(shù)據(jù),分別在一般情況下和模糊熵聚類情況下做交叉驗(yàn)證,結(jié)果顯示,模糊熵聚類分析在反距離平方插值法中對(duì)降雨精度有所提升。

降雨空間分布;降雨數(shù)據(jù)精度;模糊熵聚類分析;聚類有效性分析;降雨量插值

HohaiUniversity,Changzhou213022,China;2.CollegeofSciences,HohaiUniversity,Nanjing210098,China)

降雨量是水文模型中徑流模擬最基本、最主要的一個(gè)輸入項(xiàng),是研究其他水文問(wèn)題的基礎(chǔ)。其空間分布特征是影響產(chǎn)匯流模擬及其他一系列水文問(wèn)題的重要控制因素[1]。隨著研究的深入,水文模型對(duì)降雨數(shù)據(jù)精度和廣度的要求越來(lái)越高。理論上獲取高精度降雨數(shù)據(jù)的方法是建立高密度的雨量站網(wǎng),但是由于經(jīng)濟(jì)條件和技術(shù)手段的約束,大部分地區(qū)氣象觀測(cè)站點(diǎn)數(shù)量不足,分布密度有限。因此,利用現(xiàn)有氣象觀測(cè)站的數(shù)據(jù),通過(guò)空間插值對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行補(bǔ)充尤為重要,孔云峰等[2]通過(guò)多種插值方法探究了美國(guó)德州的空間雨量數(shù)據(jù)。然而,大尺度流域上的降雨空間具有很強(qiáng)的時(shí)空分布不均勻性和復(fù)雜性,對(duì)此,在區(qū)域內(nèi)對(duì)已有站點(diǎn)作聚類分區(qū)處理,即將復(fù)雜的降雨測(cè)量站點(diǎn)系統(tǒng)劃分成不同的子系統(tǒng),減少不確定性因素的影響,是一種切實(shí)有效的研究方法[3]。李生辰等[4]在2007年研究了青藏高原降雨分區(qū)問(wèn)題。楊絢等[5]在2008年通過(guò)降雨變化特征對(duì)中國(guó)干旱地區(qū)進(jìn)行了聚類劃分;鄭永宏等[6]2012年研究了湖北省的降雨分區(qū)問(wèn)題。

聚類分區(qū)主要分硬聚類和模糊聚類。相對(duì)于硬聚類,模糊聚類方法能夠?qū)︻惻c類之間有交叉的數(shù)據(jù)樣本集進(jìn)行有效的聚類,所得的聚類結(jié)果明顯優(yōu)于硬聚類方法。由于模糊聚類建立了數(shù)據(jù)樣本對(duì)于類別的不確定性的描述,表達(dá)了樣本類屬的模糊性,因此能夠更客觀地反映實(shí)際情況[7],并被廣泛應(yīng)用于水文研究中[8-9]。本文根據(jù)模糊熵聚類算法,將淮河流域蚌埠站以上的99個(gè)雨量站進(jìn)行模糊劃分,并研究模糊聚類分析在降雨量插值精度中的應(yīng)用,為流域內(nèi)雨量建模分析、水文循環(huán)研究、災(zāi)害預(yù)報(bào)等提供理論依據(jù)。

1　模糊熵聚類

1.1模糊熵目標(biāo)函數(shù)

Tran等提出的模糊熵聚類算法(fuzzy entropy clustering)[10]是在模糊C均值聚類算法(fuzzyC-means clustering)基礎(chǔ)上,引入熵的概念,對(duì)隸屬度值分布進(jìn)行了算法優(yōu)化。

(1)

(2)

式中:C——聚類數(shù);T——樣本數(shù);uit——成員xt對(duì)聚類Ci的隸屬度;n——模糊熵系數(shù);θi——聚類中心;d(xt,θi)——樣本xt與θi的差異距離。

利用拉格朗日算子對(duì)目標(biāo)函數(shù)求極值可以得到模糊熵聚類算法隸屬度矩陣和聚類中心的更新方程(推導(dǎo)過(guò)程見文獻(xiàn)[10]):

uit={∑Cj=1ed2(xt,θi)ed2(xt,θj)[?1n}-1θi=∑Tt=1uitxt∑Tt=1uitì?í?????ù?úúúúú(3)(4)

1.2聚類數(shù)的確定

相應(yīng)地,每一個(gè)聚類中心對(duì)T個(gè)樣本構(gòu)成的可能性分布也有一個(gè)香農(nóng)信息熵,由此定義可能性劃分熵為

(5)

范九倫[12]根據(jù)Bezdek劃分熵和可能性劃分熵定義了基于可能性分布的聚類有效性函數(shù)(式(6)),并提出當(dāng)HP(U;C)取得最大值的時(shí)候,U為最佳聚類隸屬度矩陣、C為最佳聚類數(shù)。

(6)

1.3模糊熵系數(shù)的確定

在已知數(shù)據(jù)樣本中選取Xi、Xj、Xk、Xl(i、j、k、l=1，2，…，T)4個(gè)樣本作為樣本空間Ω,其隸屬度向量為ui、uj、uk、ul,定義基于距離判定的模糊聚類有效函數(shù)為

(7)

式中:P{*}——事件*發(fā)生占總樣本空間Ω的比例。

1.4研究步驟

1.5聚類合理性驗(yàn)證

通過(guò)真實(shí)降雨量矩陣Z、一般情況下的插值雨量矩陣Z′和模糊熵聚類情況下的插值雨量矩陣Z*計(jì)算多個(gè)交叉統(tǒng)計(jì)量[13]。記Xo,Xe分別是已知降雨量數(shù)據(jù)和交叉檢驗(yàn)的插值計(jì)算降雨量數(shù)據(jù),N為數(shù)據(jù)個(gè)數(shù),各統(tǒng)計(jì)量(相關(guān)系數(shù)R、平均相對(duì)誤差RMAE、均方根誤差RMSE、復(fù)合相對(duì)誤差CRE)計(jì)算公式如下:

(8)

相關(guān)系數(shù)除去了偏差和方差的影響,考慮了插值估計(jì)數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)變化的同步性,表示了插值估計(jì)序列替代實(shí)際觀測(cè)序列的潛在能力。平均相對(duì)誤差和均方根誤差反映了插值估計(jì)序列與實(shí)際序列比較得到的誤差平均情況。復(fù)合相對(duì)誤差是描述插值序列與實(shí)際序列的相似性指標(biāo),該統(tǒng)計(jì)量對(duì)大誤差數(shù)據(jù)十分敏感。

2　研 究 實(shí) 例

2.1數(shù)據(jù)來(lái)源及相似度計(jì)算

研究數(shù)據(jù)來(lái)自淮河流域蚌埠站以上區(qū)域99個(gè)雨量站1953—2013年732個(gè)月的降雨量數(shù)據(jù),站點(diǎn)基本情況見文獻(xiàn)[14]。

淮河流域位于東經(jīng)112°～118°、北緯31°～35°的區(qū)域內(nèi),介于長(zhǎng)江和黃河兩大流域之間。在氣候上,它處于南北氣候過(guò)渡帶,降水時(shí)空分布嚴(yán)重不均,差異較大?；春佑质俏覈?guó)南北方的一條自然分界線。因此,研究淮河流域的降水時(shí)空不確定性具有較高的科學(xué)價(jià)值。

(9)

(10)

2.2聚類結(jié)果

研究發(fā)現(xiàn),當(dāng)聚類數(shù)過(guò)大時(shí),出現(xiàn)聚類中心彼此靠近并有重合現(xiàn)象;模糊熵系數(shù)小于0.02時(shí)聚類劃分過(guò)于分明,近似硬聚類,當(dāng)系數(shù)大于0.03時(shí)聚類間過(guò)于模糊。因此,擬定聚類數(shù)C=2、3、4、5,模糊熵系數(shù)n=0.02、0.022、0.024、0.026、0.028、0.03和停止閾值ε=0.000 1。計(jì)算相應(yīng)的聚類有效性值HP,當(dāng)C=2、3、4、5時(shí),HP=0.000 4、0.101 1、0.058 4、0.032 6。比較可得,當(dāng)C=3時(shí),HP取得最大值,因此選取最優(yōu)聚類數(shù)C*=3。

在C*=3的情況下分別計(jì)算各模糊熵系數(shù)對(duì)應(yīng)隸屬度矩陣的距離判定有效性值E,當(dāng)n=0.02、0.022、0.024、0.026、0.028、0.03時(shí),E=0.761 8、0.763 2、0.764 0、0.764 2、0.762 5、0.764 1。比較可得,在C*=3的情況下,當(dāng)n*=0.026時(shí)E取得最大值。從而得到相應(yīng)的最優(yōu)隸屬度矩陣U*。聚類結(jié)果如圖1所示(圖中所示星點(diǎn)表示已知雨量站位置)。

圖1　聚類隸屬度分布Fig. 1　Distribution of degree of membership in EFC

圖1中3幅圖分別表示3個(gè)聚類的隸屬度分布,其中顏色越淺表示該區(qū)域?qū)Υ司垲惖碾`屬度越高,反之越低。中部雨量站集中在第一聚類中,南部雨量站集中在第二聚類中,北部雨量站集中在第三聚類中。可以看出,算法得到的聚類結(jié)果有明顯的地理位置聚攏性,十分符合實(shí)際情況,即地理位置較近的地方,降雨量差異性較小。此外,分區(qū)多以緯度劃分為主,說(shuō)明降雨量在緯度變化中的差異變化大,符合我國(guó)淮河流域基本自然情況,即南北降雨量差異大、東西降雨量差異小。

表1　交叉驗(yàn)證統(tǒng)計(jì)量對(duì)比Table 1　Comparison of statistics in cross-validation

2.3驗(yàn)證結(jié)果

模糊熵聚類情況下和一般情況下反距離平方加權(quán)插值法各交叉統(tǒng)計(jì)量如表1所示。

可以看出,與一般情況相比,模糊熵聚類分析情況下,站點(diǎn)雨量插值與測(cè)量值相關(guān)系數(shù)有所提高,各類誤差都有所下降,表明模糊熵聚類方法具有一定的優(yōu)越性。

3　結(jié)　　語(yǔ)

通過(guò)模糊熵聚類分析,可以深入挖掘降雨信息在流域內(nèi)的分布,有利于更加深入地探究降雨系統(tǒng)內(nèi)部的關(guān)系,以及多種不確定因素。本文對(duì)淮河流域蚌埠站以上區(qū)域降雨量數(shù)據(jù)進(jìn)行了模糊熵聚類分析,獲得模糊熵聚類結(jié)果。同時(shí),通過(guò)交叉驗(yàn)證法,說(shuō)明了模糊熵聚類算法在反距離平方加權(quán)插值中的實(shí)用性。

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Fuzzy entropy clustering analysis of spatial distribution of precipitation

ZHANG Jiguo1, GUAN Yaozong2, ZHU Yongzhong2

(1.InstituteofInformationStatisticsandManagementofWaterResources,

In order to improve the accuracy of precipitation interpolation and fully explore the information regarding precipitation variables, fuzzy entropy clustering (FEC) was carried out at rain gauge stations in a basin. A clustering validity function, based on possibility distribution and distance determination, was used to determine the fuzzy entropy coefficient and the number of clusters, so as to obtain the fuzzy clustering results and improve the original interpolation method. Based on data from 99 rain gauge stations located above the Bengbu Station in the Huaihe River Basin, cross validation was conducted under non-clustering and FEC conditions. The results demonstrate that FEC improves the precipitation accuracy in the inverse distance squared interpolation method.

spatial distribution of precipitation; accuracy of precipitation data; fuzzy entropy clustering (FEC) analysis; clustering validity analysis; precipitation interpolation

1000-1980(2016)04-0353-05

10.3876/j.issn.1000-1980.2016.04.012

2015-10-17

江蘇省自然科學(xué)基金(BK20131135);江蘇省自然科學(xué)青年基金(BK20130242)

張繼國(guó)(1956—),男,湖北漢川人,教授,主要從事水文不確定性分析、信息熵理論與方法研究。E-mail:zhangjg@hhuc.edu.cn

P467

A