呂心瑞，黃朝琴，趙娟

(1.中國石化 石油勘探開發(fā)研究院，北京 100083；2.中國石油大學(xué)(華東) 石油工程學(xué)院，山東 青島 266555；3.中海油 研究總院，北京 100029)

?

非均質(zhì)碳酸鹽巖油藏油水兩相流動(dòng)模擬

呂心瑞1，黃朝琴2，趙娟3

(1.中國石化 石油勘探開發(fā)研究院，北京 100083；2.中國石油大學(xué)(華東) 石油工程學(xué)院，山東 青島 266555；3.中海油 研究總院，北京 100029)

為了模擬考慮非均勻基質(zhì)情況下裂縫的特殊導(dǎo)流作用，采用離散裂縫模型結(jié)合有限體積方法進(jìn)行多裂縫非均質(zhì)碳酸鹽巖油藏兩相流動(dòng)模擬研究，對(duì)裂縫顯式降維處理，根據(jù)基質(zhì)巖塊非均質(zhì)特征分區(qū)劃分Delaunay三角網(wǎng)，以此為基礎(chǔ)構(gòu)建非均勻控制單元，采用有限體積法推導(dǎo)其數(shù)值計(jì)算格式，并基于IMPES方法進(jìn)行求解。該方法避免了由于介質(zhì)交界面處滲透率變化較大、利用標(biāo)準(zhǔn)有限體積方法產(chǎn)生不準(zhǔn)確速度場的問題，實(shí)現(xiàn)了非均質(zhì)碳酸鹽巖油藏油-水兩相流動(dòng)模擬。最后通過算例驗(yàn)證了該方法的正確性，并開展了含復(fù)雜裂縫非均勻基質(zhì)碳酸鹽巖油藏水驅(qū)數(shù)值模擬研究，為此類油藏的開采提供參考依據(jù)。

非均質(zhì)碳酸鹽巖油藏；離散裂縫模型；有限體積法；兩相流動(dòng)；數(shù)值模擬

呂心瑞，黃朝琴，趙娟.非均質(zhì)碳酸鹽巖油藏油水兩相流動(dòng)模擬[J].西安石油大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2016，31(4):75-81.

LYU Xinrui,HUANG Zhaoqin,ZHAO Juan.Numerical simulation of water flooding development of heterogeneity carbonate reservoir[J].Journal of Xi'an Shiyou University (Natural Science Edition),2016,31(4):75-81.

引　言

碳酸鹽巖油氣藏分布廣泛、類型多樣，其油、氣儲(chǔ)量分別占世界油、氣總儲(chǔ)量的48%和28%，油、氣產(chǎn)量分別約占世界油、氣總產(chǎn)量的60%和30%[1]。碳酸鹽巖油藏分布最為廣泛的類型主要為孔隙(溶洞)型、混合(裂縫-孔隙)型和裂縫型[2]。與常規(guī)陸源碎屑巖油藏相比，其巖性復(fù)雜，巖相變化大，儲(chǔ)集空間類型多樣，多數(shù)含有不同尺度的裂縫，基質(zhì)由溶孔、溶洞、孔隙等組成，非均質(zhì)性強(qiáng)，這些因素造成此類油藏復(fù)雜的滲流機(jī)理和相對(duì)較低的采收率。目前，此類油藏商業(yè)化數(shù)值模擬軟件多采用連續(xù)性介質(zhì)模型，但均存在不同的缺點(diǎn)[3-7]，難以精確描述裂縫的特殊導(dǎo)流作用，且并非所有類型都可等效為連續(xù)性介質(zhì)，其表征單元體的大小及等效滲透系數(shù)的確定也都存在一定困難。近年來，諸多學(xué)者應(yīng)用離散裂縫模型對(duì)此類強(qiáng)非均質(zhì)性油藏進(jìn)行數(shù)值模擬研究，基于多種數(shù)值計(jì)算方法對(duì)模型進(jìn)行了離散求解，在考慮絕對(duì)滲透率非均質(zhì)性和單相流的各向異性等方面取得一定進(jìn)展[8-13]。但由于非均質(zhì)介質(zhì)交界面處滲透率變化較大，存在著利用標(biāo)準(zhǔn)控制體積方法會(huì)產(chǎn)生不準(zhǔn)確速度場的問題。

因此，為了獲取精確的速度場，準(zhǔn)確刻畫裂縫的特殊導(dǎo)流作用，同時(shí)考慮基質(zhì)巖塊非均質(zhì)特征，本文基于離散裂縫模型建立相應(yīng)的油-水兩相流動(dòng)數(shù)學(xué)模型，在整個(gè)研究區(qū)域，同時(shí)考慮降維裂縫及非均勻基質(zhì)的影響，分區(qū)劃分Delaunay三角網(wǎng)，構(gòu)建非均勻控制體積單元，應(yīng)用有限體積法建立其數(shù)值計(jì)算格式，并采用IMPES方法進(jìn)行求解。通過算例驗(yàn)證本方法的正確性，以此為基礎(chǔ)開展含復(fù)雜裂縫非均勻基質(zhì)碳酸鹽巖油藏注水開發(fā)模擬，分析裂縫的存在及基質(zhì)非均質(zhì)性對(duì)油藏開發(fā)效果的影響。

1　離散裂縫數(shù)學(xué)模型

根據(jù)離散裂縫模型原理[9]，裂縫中流體流動(dòng)符合N-S方程，通過立方定律可得到裂縫的等效滲透率及沿裂縫開度方向的滲流速度分布，且等效后的流動(dòng)參數(shù)及相關(guān)物理量沿裂縫開度方向不變，據(jù)此可對(duì)裂縫以等效達(dá)西定律的形式進(jìn)行降維處理。分別建立基質(zhì)巖塊和裂縫中油-水兩相流動(dòng)控制方程，利用疊加原理將基質(zhì)巖塊與裂縫的流動(dòng)控制方程進(jìn)行疊加。由于基質(zhì)巖塊的非均質(zhì)性引起含水飽和度不連續(xù)，據(jù)此建立二者飽和度關(guān)系表達(dá)式，構(gòu)建離散裂縫模型的油水兩相數(shù)學(xué)模型。

考慮油藏中不可壓縮油-水兩相流動(dòng)，其流動(dòng)控制方程包括質(zhì)量守恒方程、Darcy定律、飽和度方程和毛管壓力關(guān)系等，具體如下：

(1)質(zhì)量守恒方程

根據(jù)質(zhì)量守恒原理分別建立油水兩相的連續(xù)性方程，對(duì)于油相：

(1)

對(duì)于水相：

(2)

(2)運(yùn)動(dòng)方程

當(dāng)油藏中流體滲流服從Darcy定律時(shí)，滲流速度的矢量表達(dá)式為：

油相

(3)

水相

(4)

其中：μi為流體黏度，Pa·s；pi為流體壓力，Pa；g為重力加速度，m/s2；z為由某一基準(zhǔn)面算起的垂直深度坐標(biāo)，向上為正，m；kri為相對(duì)滲透率；k為滲透率張量，在各向同性地層中可以用標(biāo)量k表示，m2。

(3)輔助方程

飽和度方程：So+Sw=1。

(5)

毛管壓力方程：po-pw=pc(Sw)。

(6)

其中，pc為毛管壓力，Pa。

將上述油水兩相的運(yùn)動(dòng)方程分別帶入各自的連續(xù)性方程，利用復(fù)合求導(dǎo)法進(jìn)行化簡，建立描述油藏中油水兩相不可壓縮流體非混相驅(qū)替的標(biāo)準(zhǔn)控制方程，對(duì)于油相，

V Theory of toothpaste raw material (To be continued) 2 58

(7)

對(duì)于水相，

(8)

其中，qi=Qi/ρi，i={o,w}，表示單位時(shí)間內(nèi)流入或流出的體積流量。

定義上述方程中各相的流度

(9)

這樣，各向同性均質(zhì)地層中用滲透率標(biāo)量k來代替滲透率張量。油水兩相不可壓縮流體非混相流動(dòng)，在不考慮重力情況下的控制方程為：

對(duì)于油相

(10)

對(duì)于水相

(11)

將上面描述油相和水相的控制方程式(10)和式(11)相加，并保留水相控制方程，結(jié)合兩個(gè)輔助方程，可將上述數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為偏微分方程

(12)

(13)

式(12)稱為流動(dòng)壓力方程，式(13)稱為飽和度方程。

數(shù)學(xué)模型的初始條件為：

pi(x,0)=pi(x)，Si(x,0)=Si(x)，i={w,o}。

(14)

邊界條件可以為各種形式的Dirichlet邊界條件、Neumann邊界條件以及二者的混合形式。

Dirichlet邊界條件為：

pi(x,t)=pi，Si(x,t)=Si，i={w,o}。

(15)

Neumann邊界條件，本文假設(shè)油藏的邊界為不滲透邊界，即

vi·n=-(λipi)·n=0，Si·n=0，i={w,o}。

(16)

以上即為油藏中不可壓縮油-水兩相非混相流動(dòng)的數(shù)學(xué)模型。

在上述二維離散裂縫模型中，二維基質(zhì)巖塊區(qū)域控制方程系統(tǒng)為：

(17)

(18)

一維裂縫區(qū)域控制方程系統(tǒng)為：

(19)

(20)

這里，l表示沿裂縫方向的坐標(biāo)系。

利用f來代表壓力方程和飽和度方程系統(tǒng)，在單孔隙介質(zhì)模型中，整體形式方程的積分可以寫為

∫ΩfdΩ=∫ΩmfmdΩm+∫ΩfffdΩf=0，

(21)

(22)

這樣建立了油-水兩相離散裂縫模型流動(dòng)方程，理論上離散裂縫模型可以用于任意復(fù)雜形狀的裂縫性多孔介質(zhì)。相比于單孔隙介質(zhì)模型，離散裂縫模型在裂縫內(nèi)的積分大大簡化了問題。為了使積分形式保持一致性，裂縫開度e作為系數(shù)出現(xiàn)在一維積分形式前面。

在對(duì)方程(22)中非線性項(xiàng)線性化以及對(duì)時(shí)間和空間離散化后，可得到系統(tǒng)的離散化方程

∫ΩfdΩ=Amxm-bm+Afxf-bf=0。

(23)

在基質(zhì)巖塊-裂縫交界面處，由于沒有流體質(zhì)量的變化，因此通過交界面的各相流量及法向速度是連續(xù)的，即

qif*=qm*i;vim·nmf=vim·nfm,i={w,o}。

(24)

其中，nmf是邊界上的法向向量。由于在離散裂縫模型中利用疊加原理把流動(dòng)方程整合在一起，當(dāng)把基質(zhì)巖塊和裂縫的流動(dòng)方程加在一起時(shí)這些項(xiàng)被消去，因此在流動(dòng)方程中可以忽略基質(zhì)巖塊和裂縫交界面處的流量。

基質(zhì)巖塊-裂縫交界面處任意給定點(diǎn)的pim=pif。這里，i={w,o}。由式(13)可知毛管壓力也相等，即

pcm(Swm)=pcf(Swf)。

(25)

圖1　不同介質(zhì)交界面處毛管壓力Fig.1　Capillary pressure in the interface of different media

因此，利用毛管壓力的連續(xù)性假設(shè)條件，在基質(zhì)巖塊-裂縫交界面處建立Swm與Swf之間的物理關(guān)系

(26)

利用式(24)和復(fù)合求導(dǎo)法則，裂縫中飽和度方程可以應(yīng)用基質(zhì)巖塊含水飽和度Swm表達(dá)為

(27)

根據(jù)xm=xf=x的假設(shè)，僅當(dāng)基質(zhì)巖塊和裂縫中毛管壓力函數(shù)相同時(shí)，也就是dSwf/dSwm=1時(shí)適用。因此，對(duì)于不同的基質(zhì)巖塊和裂縫毛管壓力表達(dá)式，需要計(jì)算相應(yīng)的dSwf/dSwm。

2　非均質(zhì)基質(zhì)巖塊離散裂縫模型數(shù)值計(jì)算格式

基于有限體積方法對(duì)壓力方程和飽和度方程進(jìn)行空間離散，首先對(duì)方程在一個(gè)控制體積單元上進(jìn)行積分，控制體單元即為二維Delaunay三角形或三維四面體的重心與各邊中點(diǎn)連線所構(gòu)成的對(duì)偶網(wǎng)格。圖2(a)為常規(guī)考慮均質(zhì)基質(zhì)巖塊的裂縫性多孔介質(zhì)控制體積單元示意圖，其離散裂縫模型不可壓縮油-水兩相數(shù)值計(jì)算格式在文獻(xiàn)[8]中已建立，本文考慮含裂縫非均質(zhì)基質(zhì)巖塊多孔介質(zhì)控制體積單元，如圖2(b)所示示意圖，建立其不可壓縮油-水兩相數(shù)值計(jì)算格式。

圖2　含有裂縫的控制體積單元Fig.2　Control volume unit containing a fracture

如圖2(b)所示，在一個(gè)控制體單元內(nèi)，存在1條裂縫和2種不同的基質(zhì)巖塊，考慮不同基質(zhì)巖塊間毛管壓力連續(xù)，可建立非均質(zhì)基質(zhì)巖塊間飽和度的關(guān)系，即

(28)

(29)

這里上角標(biāo)k=1，…，nm是控制體內(nèi)不同介質(zhì)的指數(shù)?；诿芰B續(xù)概念，可以建立不同介質(zhì)飽和度的關(guān)系。此處以方程(29)中Bk最大值為參考介質(zhì)。

根據(jù)方程(18)和復(fù)合求導(dǎo)法則可以得到

(30)

源匯項(xiàng)的積分可以寫為

(31)

散度項(xiàng)的積分可以依照式

(32)

來確定，控制體單元包含的每個(gè)三角形都是局部均質(zhì)的，不同介質(zhì)間飽和度可以通過方程(26)進(jìn)行關(guān)聯(lián)計(jì)算。

其中N表示邊界單元的個(gè)數(shù)，將式(30)、(31)、(32)結(jié)合在一起即得到流動(dòng)壓力方程和飽和度方程的數(shù)值計(jì)算格式，即

(33)

因此，基于控制體積方法建立了式(33)所示的考慮基質(zhì)巖塊非均質(zhì)性的離散裂縫模型流動(dòng)方程的數(shù)值計(jì)算格式。

3　算例分析

3.1正確性驗(yàn)證

為了驗(yàn)證上述理論與方法的正確性，建立單裂縫多孔介質(zhì)注水模型，分別基于離散裂縫模型和單孔隙介質(zhì)模型進(jìn)行數(shù)值模擬，并對(duì)模擬結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。本文采用文獻(xiàn)[8]中基礎(chǔ)物理模型，模型尺寸、裂縫參數(shù)及流體物性均與之相同。但此處基質(zhì)巖塊為非均質(zhì)多孔介質(zhì)，如圖3所示，基質(zhì)巖塊平分為4個(gè)區(qū)域，相鄰基巖塊物性不同，物性分布如表1所示。

以含θ=45°裂縫的物理模型為例，首先將研究區(qū)域劃分為Delaunay三角網(wǎng)，然后構(gòu)建有限體積控制單元。圖4為網(wǎng)格劃分結(jié)果，以油藏邊界、裂縫及不同基質(zhì)巖塊區(qū)域邊界作為網(wǎng)格劃分邊界，實(shí)現(xiàn)了不同區(qū)域非均勻網(wǎng)格劃分，共得到2704個(gè)控制體單元節(jié)點(diǎn)。以單孔隙介質(zhì)模型計(jì)算結(jié)果作為參考，將基于本文方法流動(dòng)模擬計(jì)算結(jié)果與之對(duì)比，如圖5所示，可以看出二者具有較好一致性，從而驗(yàn)證本文方法正確性。

圖3　單裂縫多孔介質(zhì)幾何模型Fig.3　Geometrical configuration of the porous media with a fracture

巖塊類型孔隙度滲透率/(10-3um2)巖塊10.21.0巖塊20.31.5巖塊30.31.5巖塊40.21.0

圖4　物理模型網(wǎng)格劃分示意圖Fig.4　Grid division of the physical model with a fracture

圖5　基于2種模型的油相采出程度對(duì)比Fig.5　Oil recovery percent comparison of fractured media based on two models

同時(shí)，基于本方法得到的控制體積單元節(jié)點(diǎn)遠(yuǎn)小于基于單孔隙介質(zhì)模型得到的28 773個(gè)單元節(jié)點(diǎn)，計(jì)算效率顯著提高，說明了本方法的高效性。此外，從計(jì)算結(jié)果發(fā)現(xiàn)基質(zhì)巖塊的非均質(zhì)特征對(duì)油藏的采出程度也產(chǎn)生了影響，在相同開采條件下，非均勻基質(zhì)巖塊油藏比均勻基質(zhì)巖塊油藏最終采出程度小1.3%。

3.2復(fù)雜裂縫油藏注水開發(fā)模擬

基于本文方法，開展復(fù)雜裂縫油藏注水開發(fā)模擬，考慮圖6所示的1/4五點(diǎn)井網(wǎng)注水模型，油藏規(guī)模為300 m×300 m，厚度為10 m，基質(zhì)巖塊物性分布見表2，油藏中含有3條裂縫，各條裂縫起始坐標(biāo)分別為(30,150)、(240,225)，(125,30)、(200,275)和(50,100)、(250,50)。油水的物性參數(shù)以及裂縫參數(shù)與算例3.1中一致；束縛水飽和度為0.2，殘余油飽和度為0.2，基質(zhì)巖塊和裂縫的水相相對(duì)滲透率krw=Se2，油相相對(duì)滲透率kro=(1-Se)2，

圖6　含復(fù)雜裂縫的二維油藏模型示意圖Fig6　Schematic of 2D reservoir model with complex fractures

基質(zhì)巖塊孔隙度滲透率/(10-3um2)巖塊10.10.5巖塊20.31.5巖塊30.21.0巖塊40.31.5巖塊50.21.0巖塊60.31.5巖塊70.21.0巖塊80.31.5巖塊90.10.5

其中Se=(Sw-Swr)/(1-Swr-Sor)；初始油藏壓力為10MPa，初始含水飽和度為0.2，忽略毛管力和重力的影響，注入端和采出端的速度均為30m3/d。

對(duì)復(fù)雜裂縫性油藏物理模型進(jìn)行Delaunay三角形網(wǎng)格劃分，離散結(jié)果共得到3 377個(gè)控制體單元節(jié)點(diǎn)，基于此網(wǎng)格系統(tǒng)構(gòu)建有限體積數(shù)值計(jì)算控制單元。通過本文理論方法，數(shù)值計(jì)算可得復(fù)雜裂縫性油藏模型中各時(shí)刻含水飽和度分布情況，圖7分別為150 d、300 d、600 d、1 200 d、2 400 d、4 800 d時(shí)油藏中含水飽和度分布?？梢钥闯鲭S著油井的生產(chǎn)，油藏壓力逐漸降低，由于裂縫具有較大的滲透率，裂縫對(duì)油藏中流體流動(dòng)產(chǎn)生了很大的影響，注入水沿裂縫大量竄進(jìn)，沿著裂縫方向的水驅(qū)油速度相對(duì)于基質(zhì)巖塊大大加快，裂縫中的含水飽和度迅速增大。不同區(qū)域基質(zhì)巖塊由于物性的差異，使得基質(zhì)巖塊中水驅(qū)油速度和含水飽和度也有差異，造成了其注水開發(fā)的復(fù)雜性。

圖7　不同時(shí)刻含水飽和度分布剖面Fig.7　Water saturation profiles at different times

圖8(a)為含復(fù)雜裂縫非均質(zhì)油藏與均質(zhì)油藏采出程度隨時(shí)間的變化曲線；圖8(b)為復(fù)雜裂縫性非均質(zhì)油藏與均質(zhì)油藏油井含水率隨時(shí)間的變化曲線。從圖中可以看出：裂縫及基質(zhì)巖塊非均質(zhì)性的存在使得油藏采出程度變小，油井見水時(shí)間提前，且采油速度變慢，不利于油藏的開采。因此，正確認(rèn)識(shí)裂縫的分布和基巖非均質(zhì)狀況對(duì)注水開發(fā)效果評(píng)價(jià)及注采井網(wǎng)的布置有非常重要的意義。

圖8　復(fù)雜非均質(zhì)性對(duì)油藏采出程度和油井含水率影響Fig.8　Effect of reservoir heterogeneity on recovery percent of oil reservoir and water cut of oil well

4　結(jié)　論

(1)建立了可用于含裂縫非均質(zhì)碳酸鹽巖油藏兩相流流動(dòng)模擬的方法，采用離散裂縫模型結(jié)合有限體積方法較好地描述了裂縫的特殊導(dǎo)流作用及基質(zhì)巖塊非均質(zhì)特征，并通過算例驗(yàn)證了方法的正確性及高效性。

(2)該方法對(duì)整體研究區(qū)分區(qū)域劃分Delaunay三角網(wǎng)，并在此基礎(chǔ)上構(gòu)建非均勻控制單元，建立了考慮非均勻基質(zhì)巖塊的有限體積數(shù)值計(jì)算格式，避免了由于不同物性介質(zhì)交界面處滲透率變化較大、利用標(biāo)準(zhǔn)有限體積方法會(huì)產(chǎn)生不準(zhǔn)確速度場。

(3)該方法可用于非均質(zhì)碳酸鹽巖油藏?cái)?shù)值模擬，尤其適應(yīng)于含有裂縫且基質(zhì)巖塊非均質(zhì)性較強(qiáng)的復(fù)雜油藏。文中僅對(duì)二維兩相問題予以研究，對(duì)于多相、三維問題有待深入研究。

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責(zé)任編輯：賀元旦

Numerical Simulation of Water Flooding Development of Heterogeneous Carbonate Reservoir

LYU Xinrui1,HUANG Zhaoqin2,ZHAO Juan3

(1.Research Institute of Petroleum Exploration and Development,SINOPEC,Beijing 100083,China;2.Faculty of Petroleum Engineering,China University of Petroleum (East China),Qingdao 266555,Shandong,China;3.Research Institute,CNOOC,Beijing 100029,China)

Most carbonate reservoir contains multi-scale fractures,and carbonate matrix has strong heterogeneity.In order to accurately describe the special flow guiding effect of the fractures in the heterogeneous matrix,the two-phase flow in the water flooding process of the heterogeneous carbonate reservoir with multi-scale fractures was simulated using finite volume method based on discrete fracture model.The model simplifies fracture by using (n-1)-dimensional cells in a n-dimensional domain,meanwhile the heterogeneity of matrix is considered.Delaunay triangulation subdivision is used in the whole research area,and then the inhomogeneous control volume cells are constructed based on the Delaunay triangulation.The numerical computational scheme is derived based on the finite volume method,and the equations are solved by IMPES method.The method avoids producing the inaccurate velocity field because of the great permeability change in the interface between different media using standard finite volume method.So the numerical simulation of the two-phase flow in the water flooding process of the heterogeneous carbonate reservoir is realized.At last the correctness of the theory and algorithm of the method is verified through examples.The numerical simulation of heterogeneous carbonate reservoir based on this method provides the reference for the development of this kind of reservoirs.

heterogeneous carbonate reservoir;discrete fracture model;finite volume method;two-phase flow;numerical simulation

A

2016-03-10

國家科技重大專項(xiàng)“碳酸鹽巖油田開發(fā)關(guān)鍵技術(shù)”(編號(hào)：2011ZX05014)

呂心瑞(1983-)，男，主要從事油氣田開發(fā)相關(guān)研究。E-mail:lvxr.syky@sinopec.com

10.3969/j.issn.1673-064X.2016.04.013

TE319

1673-064X(2016)04-0075-07