陳旋，陳金香（內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué) 電力學(xué)院，內(nèi)蒙古呼和浩特010080）

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離散時間切換雙時標(biāo)系統(tǒng)的建模與狀態(tài)反饋控制

陳旋，陳金香
（內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué) 電力學(xué)院，內(nèi)蒙古呼和浩特010080）

摘要：針對一類參數(shù)不確定性的線性離散時間雙時標(biāo)系統(tǒng)，將奇異攝動理論和切換理論相結(jié)合，建立離散時間切換雙時標(biāo)系統(tǒng)（DSTTSs）動態(tài)模型，切換理論的引入主要解決系統(tǒng)中參數(shù)不確定性部分對系統(tǒng)模型精確度的影響。主要討論了離散時間雙時標(biāo)切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析以及狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計問題。利用譜范數(shù)法和線性矩陣不等式（LMIs）方法，將上述一系列問題都將歸結(jié)為求解與攝動參數(shù)ε無關(guān)的線性矩陣不等式，并采用實例仿真證明該方法的有效性。

關(guān)鍵詞：離散時間雙時標(biāo)系統(tǒng)；參數(shù)不確定性譜范數(shù)；狀態(tài)反饋；線性矩陣不等式（LMIs）

本文引用格式：陳旋，陳金香.離散時間切換雙時標(biāo)系統(tǒng)的建模與狀態(tài)反饋控制［J］.新型工業(yè)化，2016，6（6）：11-16.

Citation： CHEN Xuan， CHEN Jin-xiang.Modeling and State Feedback Control of Discrete-time Singularly Perturbed Systems［J］.The Journal of New Industrialization，2016，6（6）： 11-16.

0 引言

系統(tǒng)變量呈現(xiàn)慢、快兩種時標(biāo)特性的雙時標(biāo)系統(tǒng)廣泛存在于實際控制系統(tǒng)，因其快時標(biāo)特性影響，此類系統(tǒng)的建模與控制均比常規(guī)系統(tǒng)復(fù)雜［1］。20世紀(jì)60年代Klimushev提出的奇異攝動理論成為解決雙時標(biāo)問題的有效工具。

目前，對奇異攝動系統(tǒng)的研究成果很多，文獻(xiàn)［2-4］論述了奇異攝動系統(tǒng)的穩(wěn)定性，文獻(xiàn)［5-7］對奇異攝動系統(tǒng)的控制器設(shè)計也做了深入研究，在實際系統(tǒng)中，由于工作環(huán)境的突然變化，系統(tǒng)元部件磨損老化等因素會導(dǎo)致系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化，以往的研究成果大多數(shù)未考慮系統(tǒng)參數(shù)變化對系統(tǒng)模型的精確度的影響，進(jìn)而不能得到更好的控制精度。而且大多數(shù)研究僅局限于連續(xù)時間域，假設(shè)條件較多增加了結(jié)果的保守性。近年來，對復(fù)雜系統(tǒng)參數(shù)不確定性的研究也不斷涌出，但成果較少。文獻(xiàn)［8-10］論述了切換奇異攝動系統(tǒng)的穩(wěn)定性，該復(fù)雜系統(tǒng)由若干子系統(tǒng)組成，并未對不確定性部分進(jìn)行詳細(xì)描述，增加了系統(tǒng)的保守性。文獻(xiàn)［11］論述了非線性系統(tǒng)中含有不確定性參數(shù)的切換控制器的設(shè)計，文中對對系統(tǒng)參數(shù)不確定部分進(jìn)行了詳細(xì)分析。文獻(xiàn)［12］ 論述了含有參數(shù)不確定性的非線性系統(tǒng)的切換模糊動態(tài)輸出反饋H∞控制器設(shè)計。綜上，以往研究大多針對于連續(xù)時間切換系統(tǒng)，對離散時間復(fù)雜系統(tǒng)的研究較少，近年來，離散時間雙時標(biāo)系統(tǒng)的研究吸引了很多學(xué)者的關(guān)注，但是成果并非豐富，文獻(xiàn)［13，14］分別論述了離散時間奇異攝動無時延和有時延時的穩(wěn)定性。文獻(xiàn)［15］對離散時間不確定奇異攝動系統(tǒng)的控制進(jìn)行深入的研究，將系統(tǒng)分為快慢子系統(tǒng)分別設(shè)計控制器進(jìn)行控制。綜上，以往研究對離散時間雙時標(biāo)參數(shù)不確定性系統(tǒng)研究還未成形，本文的創(chuàng)新點(diǎn)在于首次提出了對含有系統(tǒng)參數(shù)不確定性的離散時間雙時標(biāo)切換系統(tǒng)控制問題的解決方法，在本文中，我們假設(shè)系統(tǒng)不確定性參數(shù)是時變的且有界，采用切換理論處理系統(tǒng)參數(shù)不確定性部分

本文將結(jié)合奇異攝動理論和切換控制理論對該類系統(tǒng)進(jìn)行建模、系統(tǒng)穩(wěn)定性分析和狀態(tài)反饋控制器設(shè)計。借用文獻(xiàn)［12］中對參數(shù)不確定部分的處理方法建立切換線性奇異攝動系統(tǒng)模型，利用譜范數(shù)、Lyapunov函數(shù)和線性矩陣不等式（LMIS）方法求解控制器增益，并結(jié)合實例驗證該方法的有效性。本文以線性系統(tǒng)為例，未來研究可拓展到非線性奇異攝動系統(tǒng)。

1 非時延離散時間線性系統(tǒng)建模

根據(jù)被控系統(tǒng)采樣速率的不同，離散時間奇異攝動系統(tǒng)可分為標(biāo)準(zhǔn)離散奇異攝動系統(tǒng)和非標(biāo)準(zhǔn)離散模糊奇異攝動模型，采用非時延標(biāo)準(zhǔn)離散奇異攝動系統(tǒng)模型如下

假設(shè)狀態(tài)完全可測 ，狀態(tài)反饋控制器

將控制律式（2）代入系統(tǒng)式（1）中，可得閉環(huán)系統(tǒng)模型

1.1 狀態(tài)反饋控制器設(shè)計

1.1.1 矩陣譜范數(shù)法

定義1.1 設(shè)A為屬于復(fù)矩陣空間 Cm×n的矩陣。按某一對應(yīng)規(guī)則在 Cm×n上定義A的一個實值函數(shù)，記作。如果該函數(shù)滿足如下條件：

其中，

那么存在 0*＞ε ，以至對于 ］，0（*εε∈? ，閉環(huán)系統(tǒng)式（3）漸進(jìn)穩(wěn)定。

鑒于εP的結(jié)構(gòu)，可推出如果存在一個標(biāo)量 ε，那么對于，矩陣εP滿足如下等式

構(gòu)造如下線性變換

由于

由于

切換規(guī)則選取：

首先是排比。“紅磚墻/老牌樓/琉璃瓦”這句是三字偏正式詞語的排比，短短九個字就勾勒出具有古典美、歲月感的時代環(huán)境，使得整首歌都染上了古意。

由式（6）得

令γ=1-Mmax，從式（9）可推出

對于式（12）應(yīng)用Schur補(bǔ)定理可得

可將式（14）寫為

1122

2 仿真實例

考慮一個四階系統(tǒng)，離散時間切換奇異攝動系統(tǒng)模型

其中，

圖1、圖2分別為離散時間切換雙時標(biāo)系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)曲線和輸出響應(yīng)曲線，該仿真結(jié)果進(jìn)一步驗證了切換狀態(tài)反饋控制器在處理奇異攝動參數(shù)不確定性系統(tǒng)時，該方法的有效性。

圖1 閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)Fig.1 The state response of the closed-loop system

圖2 閉環(huán)系統(tǒng)輸出響應(yīng)Fig.2 The output response of the closed-loop system

3 結(jié)論

本文融合切換理論和奇異攝動理論，對離散時間切換線性奇異攝動系統(tǒng)建模，切換理論的引入主要解決系統(tǒng)參數(shù)不確定性問題，參數(shù)不確定性部分是時變且有界的。利用矩陣譜范數(shù)法和線性矩陣不等式方法，研究了離散時間切換線性奇異攝動系統(tǒng)的模型建立和切換狀態(tài)反饋控制器設(shè)計，將對控制器增益的求解轉(zhuǎn)化為求解一組與攝動參數(shù)ε無關(guān)的線性矩陣不等式的問題，避免了由ε引起數(shù)值求解的病態(tài)問題，仿真結(jié)果表明證明了該方法的有效性。

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DOI：10.19335/j.cnki.2095-6649.2016.06.002

基金項目：國家自然科學(xué)基金項目（51374082）

作者簡介：陳旋（1990-），女，碩士，主要研究方向：復(fù)雜系統(tǒng)的建模和控制；陳金香（1972-）女，高級工程師，博士，主要研究方向：工業(yè)軋鋼

Modeling and State Feedback Control of Discrete-time Singularly Perturbed Systems

CHEN Xuan， CHEN Jin-xiang
（Inner Mongolia University of Technology ， College of electric power， Huhehaote ， Inner 010080， China ）

ABSTRACT：For a class of discrete-time singularly perturbed complex system with uncertain part， combining the singular perturbation theory with the switching theory， a dynamic model of switched discrete-time singularly perturbed systemsis builted.Switching mechanism is introduced to handle the unknown parameters， to achieve the precise control performance of the system.Stability a analysis and state-feedbackcontrol problems for switched discrete-time singularly perturbed systems （DSTTSs） are mainly investigated in this paper.With the spectral matrix normand linear matrix inequalities （LMIs） approaches ， a series problems are solved by a set of ε-independent linear matrix inequalities.A numerical example is presented to illustrate the effectiveness of the proposed approach.

KEyWORDS：Discrete-timesingularly perturbed system； Parameter uncertainties； Switching control； State feedback； Linear matrix inequalitiees （LMIs）