葉文雄

（廣西中煙工業(yè)有限責(zé)任公司廣西 南寧 530001）

等間隔采樣的信號(hào)拆分方法在壓縮感知中的應(yīng)用

葉文雄

（廣西中煙工業(yè)有限責(zé)任公司廣西 南寧 530001）

基于壓縮感知重構(gòu)算法中常用的OMP算法，針對(duì)壓縮感知在處理整段大數(shù)據(jù)量信號(hào)時(shí)存在的重構(gòu)效率低，以及處理過(guò)程需為觀測(cè)矩陣開(kāi)辟巨大存儲(chǔ)空間的問(wèn)題，考慮到將信號(hào)進(jìn)行合適拆分后再運(yùn)用壓縮感知進(jìn)行處理，同時(shí)針對(duì)常規(guī)信號(hào)拆分方法，即常規(guī)分段方法存在的局限性，提出一種等間隔采樣的信號(hào)拆分方法。通過(guò)實(shí)驗(yàn)分析，以上所提問(wèn)題得以解決，基于此拆分信號(hào)方法的信號(hào)在壓縮感知處理中，重構(gòu)信號(hào)質(zhì)量及效率都得到較大的提高；同時(shí)相對(duì)于常規(guī)信號(hào)分段方法，此信號(hào)拆分方案適用于任何類型的信號(hào)，適用范圍更廣。

壓縮感知；大數(shù)據(jù)量信號(hào)；信號(hào)拆分；正交匹配追蹤（OMP）

1 引言

傳統(tǒng)奈奎斯特采樣定理要求信號(hào)的采樣頻率必須大于信號(hào)最高頻率的兩倍，受其約束。然而為滿足實(shí)時(shí)性要求和提高分辨率及精確度，某些系統(tǒng)在信號(hào)處理過(guò)程與硬件設(shè)備要求上面臨著信號(hào)高采樣率，數(shù)據(jù)處理效率慢及存儲(chǔ)空間巨大等問(wèn)題的嚴(yán)峻挑戰(zhàn)。

近年來(lái)，D.Donoho、E.Candes及T.Tao等提出了一種全新的信號(hào)采樣理論——壓縮感知（Commpressed Sensing，CS）。理論指出，在信號(hào)滿足稀疏性的條件下，在信號(hào)獲取的同時(shí)就對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)壓縮，其采樣率可遠(yuǎn)低于奈奎斯特采樣率。

由于CS的特殊性質(zhì)以及對(duì)傳統(tǒng)奈奎斯特采樣定理的，其一經(jīng)提出，在信息論，圖像處理、模式識(shí)別、無(wú)線通信、雷達(dá)成像、醫(yī)學(xué)成像等領(lǐng)域得到了廣泛的研究與應(yīng)用，同時(shí)引起廣大信號(hào)處理專家及數(shù)學(xué)家的興趣，迅速成為了信號(hào)處理領(lǐng)域的一個(gè)研究熱點(diǎn)。

2 壓縮感知理論概述

傳統(tǒng)的信號(hào)采集、編解碼過(guò)程如圖1所示：編碼端先對(duì)信號(hào)進(jìn)行采樣，再對(duì)所有采樣值進(jìn)行變換，并將其中重要系數(shù)的幅度和位置進(jìn)行編碼，最后將編碼值進(jìn)行存儲(chǔ)或傳輸：信號(hào)的解碼過(guò)程僅僅是編碼的逆過(guò)程，接收的信號(hào)經(jīng)解壓縮、反變換后得到恢復(fù)信號(hào)。采用這種傳統(tǒng)的編解碼方法，由于信號(hào)的采樣速率不得低于信號(hào)帶寬的2倍，使得硬件系統(tǒng)面臨著很大的采樣速率的壓力。此外在壓縮編碼過(guò)程中，大量變換計(jì)算得到的小系數(shù)被丟棄，造成了數(shù)據(jù)計(jì)算和內(nèi)存資源的浪費(fèi)。

圖1 傳統(tǒng)信號(hào)編解碼流程圖

壓縮感知理論指出，只要信號(hào)時(shí)可壓縮的或在某個(gè)變換基上的分解表示結(jié)果呈現(xiàn)稀疏性，那么就可以用一個(gè)與變換基不相關(guān)的測(cè)量矩陣（RIP準(zhǔn)則）將稀疏變換后的高維信號(hào)投影到一個(gè)低維空間上，最后可通過(guò)對(duì)優(yōu)化問(wèn)題的求解即可高精度重構(gòu)出原始信號(hào)。

壓縮感知理論框架下的信號(hào)編解碼流程圖如圖2所示。對(duì)于一可壓縮稀疏信號(hào)X∈RN×1，在某個(gè)正交基ψ上得到其稀疏表示Θ=ψTX，其稀疏度用K表示，滿足關(guān)系K=N。然后設(shè)計(jì)一個(gè)與正交基不相關(guān)的M×N維觀測(cè)矩陣φ，通過(guò)觀測(cè)矩陣φ觀測(cè)得到低維的M個(gè)觀測(cè)量Y，且滿足關(guān)系M＜N。最后通過(guò)求解最優(yōu)化問(wèn)題可精確重構(gòu)或近似逼近原始信號(hào)。

圖2 壓縮感知理論框架下的信號(hào)編解碼流程圖

3 壓縮感知在處理大數(shù)據(jù)量信號(hào)時(shí)遇到的問(wèn)題

有一時(shí)域觀測(cè)信號(hào)如圖3所示，由圖可知該信號(hào)為稀疏信號(hào)。信號(hào)長(zhǎng)度為580，稀疏度為20。由于信號(hào)本身為一稀疏信號(hào)，故稀疏變換步驟可以省略。觀測(cè)矩陣φ選取M×N維的高斯白噪聲矩陣。重構(gòu)算法選取壓縮感知在工程上常用的正交匹配追蹤（OMP）算法。從圖4可看出，經(jīng)過(guò)壓縮感知處理后，原始信號(hào)得到了精確的重構(gòu)。

由上可了解到壓縮感知在一維信號(hào)處理中的應(yīng)用，然而當(dāng)所需處理數(shù)據(jù)量較大時(shí)，壓縮感知的應(yīng)用遇到了阻礙。如圖4所示信號(hào)—高速采樣雷電信號(hào)，此信號(hào)包含雷電峰值信息以及噪聲信息，經(jīng)濾波器處理，噪聲基本可忽略。由于系統(tǒng)處理過(guò)程中對(duì)精確度和分辨率要求較高，每段信號(hào)數(shù)據(jù)量很大，為5000000，稀疏度在60000左右。

圖3 基于CS理論的OMP算法對(duì)一維信號(hào)的重構(gòu)

圖4 雷電信號(hào)，數(shù)據(jù)量500000，稀疏度60000左右

面對(duì)類似稀疏信號(hào)，應(yīng)用壓縮感知對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理遇到了障礙，主要存在兩個(gè)問(wèn)題：

（1）重構(gòu)效率太低，由于所使用重構(gòu)算法復(fù)雜度依賴于信號(hào)長(zhǎng)度、信號(hào)稀疏表示后的稀疏度K以及觀測(cè)矩陣φ的大小，故對(duì)此類大數(shù)據(jù)量信號(hào)運(yùn)用壓縮感知處理，重構(gòu)效率很低，無(wú)法達(dá)到某些系統(tǒng)的實(shí)時(shí)性傳輸要求；

（2）硬件設(shè)備壓力太大，當(dāng)信號(hào)數(shù)據(jù)量過(guò)大時(shí)，壓縮感知處理過(guò)程中的變換矩陣和M×N維觀測(cè)矩陣φ元素?cái)?shù)量會(huì)非常大，使得軟件處理過(guò)程中需要為它們開(kāi)辟巨大空間，則容易出現(xiàn)空間分配不足的問(wèn)題，例如實(shí)驗(yàn)證明，對(duì)圖4的信號(hào)，在matlab上采用壓縮感知處理時(shí)，在分配變換矩陣和測(cè)量矩陣時(shí)，產(chǎn)生了溢出，壓縮感知在此將無(wú)法使用。

4 改進(jìn)信號(hào)拆分方案的提出

4.1 針對(duì)上文中遇到的兩個(gè)問(wèn)題，我們很容易想到一個(gè)信號(hào)拆分方案，就是將大數(shù)據(jù)量的信號(hào)進(jìn)行適當(dāng)常規(guī)分段，即從頭至尾對(duì)信號(hào)進(jìn)行合適數(shù)量的分段，再對(duì)每段信號(hào)運(yùn)用壓縮感知處理。以下是一種常用的信號(hào)等長(zhǎng)分段方法。

假設(shè)有一長(zhǎng)度為N一維向量x，記為x（n），n∈[1，2，…，N]。現(xiàn)將其分段，取每段長(zhǎng)度為L(zhǎng)，則分段數(shù)為R=[N/L]。則一維向量可拆分為R段向量，分別記為X1，X2，…，XR。且Xi=x（j），j∈[1+（i-1）×L，…，L＋（i-1）×L]，其中i∈[l，…，R]。則有X1={x（1），x（2），…，x（L）}，依次類推，即可得到所有分段后的信號(hào)，且為方便程序設(shè)計(jì)及實(shí)現(xiàn)，若最后一段信號(hào)長(zhǎng)度不夠L，則補(bǔ)零即可。分段處理后，再分別對(duì)每一小段信號(hào)進(jìn)行壓縮感知處理，再將得到的R段重構(gòu)信號(hào)直接進(jìn)行連接，即可得到重構(gòu)的原始大數(shù)據(jù)量信號(hào)。

當(dāng)然，面對(duì)某些結(jié)構(gòu)類型的稀疏信號(hào)，此類方法是可行的。在壓縮感知處理圖像中用到的圖像分塊處理方法，即用到了類似于上述分段的方法，其原理一樣。其中還有一種自適應(yīng)子信號(hào)長(zhǎng)度的分段的方法，即可根據(jù)信號(hào)實(shí)際情況決定每段子信號(hào)的長(zhǎng)度，而不是等長(zhǎng)分段，此類方法適用性更強(qiáng)，但由于子信號(hào)長(zhǎng)短不一，對(duì)于子信號(hào)的壓縮重構(gòu)過(guò)程也比較繁瑣，在此對(duì)這些方法的的說(shuō)明就不再贅述。

然而上述的分段方法用來(lái)處理圖4的大數(shù)據(jù)信號(hào)顯然是行不通的。首先分析其原因。由圖4可知，從整體上看，該信號(hào)屬于稀疏信號(hào)。但此信號(hào)有其自身特點(diǎn)，即非零點(diǎn)相對(duì)集中。假設(shè)分段長(zhǎng)度為1000，則可分為5000段。若簡(jiǎn)單從頭至尾進(jìn)行分段，則會(huì)出現(xiàn)某些子信號(hào)全為零值，某些子信號(hào)全為非零點(diǎn)的數(shù)據(jù)段，則得到的大部分子信號(hào)將不再滿足稀疏信號(hào)特性，故用壓縮感知進(jìn)行處理得到的結(jié)果必然是錯(cuò)誤的。同樣，自適應(yīng)信號(hào)長(zhǎng)度的分段方法顯然也是行不通的。為此，面對(duì)以上信號(hào)拆分方法存在的問(wèn)題，此處考慮到一種新的拆分大數(shù)據(jù)量信號(hào)的方法。

4.2 以下提出一種改進(jìn)的信號(hào)拆分方案在壓縮感知中的應(yīng)用

針對(duì)于4.1中分段方案存在的問(wèn)題，此處考慮到一種基于等間隔采樣的信號(hào)拆分方案。具體實(shí)現(xiàn)步驟如下：

（1）同理，假設(shè)有一長(zhǎng)度為N一維向量x，記為x（n），n∈[1，2，…，N]。現(xiàn)將其分段，根據(jù)實(shí)際信號(hào)結(jié)構(gòu)，取每段長(zhǎng)度為L(zhǎng)，則分段數(shù)為R=[N/L]。則一維向量可拆分為R段向量，分別記為X1，X2，…，XR。則對(duì)整段信號(hào)即按采間隔為R進(jìn)行采樣，有Xi=x（j），j∈[i+（h-1）×R，h∈[1，…，L]]，其中i∈[1，…，R]。即可得Xi={x（i），x（i+R），…，x（i+（L-1）×R）}，最終可得到拆分后的所有小段稀疏子信號(hào)。同理，為方便程序設(shè)計(jì)及工程實(shí)現(xiàn)，若最后一段信號(hào)長(zhǎng)度不夠，則補(bǔ)零即可。

（2）對(duì)每一子信號(hào)Xi，取相同的觀測(cè)矩陣φ0，其維數(shù)為M0×N0，且在OMP算法中，取M0=L×P，P∈（0，1），即為采樣率，N0=L。對(duì)整段信號(hào)處理中的M×N維的觀測(cè)信號(hào)φ，取M=N×P，P∈（0，1），N為原始信號(hào)的長(zhǎng)度，且滿足N=N0×R。由上分析易知相對(duì)于φ，φ0所需要開(kāi)辟的存儲(chǔ)空間顯然要小的很多，故經(jīng)信號(hào)拆分處理后既大大降低了實(shí)現(xiàn)過(guò)程所消耗存儲(chǔ)空間，也在一定程度上加快了壓縮感知實(shí)現(xiàn)的效率。

（3）根據(jù)步驟（2）中的觀測(cè)矩陣，對(duì)每一個(gè)子信號(hào)Xi進(jìn)行稀疏量化，得到對(duì)應(yīng)的觀測(cè)值Yi，再采用OMP算法從以上所得的低維觀測(cè)值中重構(gòu)出每個(gè)原始子信號(hào)Xi，最后根據(jù)信號(hào)拆分的規(guī)則依次插入Xi中各元素，即可得xr={X1（1），…，XR（1），…，X1（j），…，XR（j）}，其中j∈[1，…，L]，最終可得到重構(gòu)的信號(hào)xr。

在此說(shuō)明，子信號(hào)長(zhǎng)度L及采樣間隔R的選取與實(shí)際信號(hào)的長(zhǎng)度，信號(hào)結(jié)構(gòu)和所用軟件、計(jì)算機(jī)配置相關(guān)，子信號(hào)數(shù)太少或太多都可能達(dá)不到分段處理的優(yōu)化效果。

5 實(shí)驗(yàn)對(duì)比分析

（1）首先以圖3中的原始信號(hào)為研究對(duì)象，根據(jù)其結(jié)構(gòu)特性，為便于研究，此處對(duì)信號(hào)不進(jìn)行拆分、分為兩個(gè)子信號(hào)、四個(gè)子信號(hào)進(jìn)行對(duì)比分析，當(dāng)然分段數(shù)還可以是其它參數(shù)，在此不再贅述。不進(jìn)行拆分的仿真結(jié)果在圖3已經(jīng)得到。再基于4.2中的步驟，得到子信號(hào)數(shù)為2和子信號(hào)數(shù)為4的信號(hào)處理仿真圖如圖5～8所示，其中各處理過(guò)程中采樣率均取P=0.5。即信號(hào)長(zhǎng)度N，觀測(cè)值個(gè)數(shù)M，以及對(duì)應(yīng)的觀測(cè)矩陣φ滿足關(guān)系：M/N=0.5，且相應(yīng)的φ的維數(shù)為各自對(duì)應(yīng)的M×N。

由于OMP算法存在一定的隨機(jī)性，故對(duì)于每一個(gè)拆分方案進(jìn)行10次實(shí)驗(yàn)，并分別求取相應(yīng)的平均運(yùn)行時(shí)間及平均重構(gòu)誤差。其中單個(gè)重構(gòu)誤差計(jì)算公式為：誤差=（原始信號(hào)-重構(gòu)信號(hào)）/原始信號(hào)。各項(xiàng)參數(shù)對(duì)比表如表1所示。

得出結(jié)論：在一定范圍按4.2中方法內(nèi)對(duì)信號(hào)進(jìn)行拆分后，基于壓縮感知的信號(hào)處理效率及重構(gòu)信號(hào)質(zhì)量比未分段之前要高，且在合理范圍內(nèi)，處理效率及重構(gòu)信號(hào)質(zhì)量與分段數(shù)是成正比的。同時(shí)，例如在硬件平臺(tái)上實(shí)現(xiàn)時(shí)，可對(duì)每段信號(hào)采取并行處理，信號(hào)重構(gòu)的效率將有質(zhì)的飛躍。

圖5 拆分為兩段子信號(hào)

圖6 重構(gòu)信號(hào)與原始信號(hào)比較（拆分?jǐn)?shù)為2）

圖7 拆分為四段子信號(hào)

圖8 拆分為四段子信號(hào)

表1 不同子信號(hào)數(shù)下信號(hào)處理時(shí)間及重構(gòu)誤差比較

（2）再以圖4信號(hào)為研究對(duì)象，實(shí)驗(yàn)證明，若不采取信號(hào)拆分處理，在處理過(guò)程中將出現(xiàn)變換矩陣與觀測(cè)矩陣存儲(chǔ)空間分配不足的問(wèn)題，壓縮感知根本無(wú)法實(shí)現(xiàn)。其次若采用4.1的分段方法進(jìn)行分段，簡(jiǎn)單分析即可知重構(gòu)信號(hào)結(jié)果是錯(cuò)的，從實(shí)驗(yàn)結(jié)果來(lái)看，也得到證實(shí)，即重構(gòu)后得不到原始信號(hào)，說(shuō)明對(duì)于此類信號(hào)，4.1中的分段方法是行不通的，最后采取4.2中所提出的等間隔采樣信號(hào)拆分方法，可以精確恢復(fù)原始信號(hào)，重構(gòu)誤差僅為6.2364e-016。結(jié)果如圖9所示。

圖9 重構(gòu)雷電信號(hào)與原始雷電信號(hào)比較

綜上，運(yùn)用信號(hào)拆分方法，相對(duì)于不進(jìn)行信號(hào)拆分而言，可以大大提高了壓縮感知在信號(hào)處理過(guò)程中的效率，并在一定程度上提高重構(gòu)信號(hào)的質(zhì)量，同時(shí)，對(duì)信號(hào)處理過(guò)程中所需開(kāi)辟內(nèi)存也會(huì)大大減小，節(jié)約了存儲(chǔ)空間。

同時(shí)對(duì)于4.1中的分段方法而言，由于其使用的局限性，無(wú)法實(shí)現(xiàn)對(duì)圖4中雷電信號(hào)的重構(gòu)，而文中在4.2提出新的信號(hào)拆分方法可以較精確的實(shí)現(xiàn)對(duì)雷電信號(hào)的重構(gòu)，說(shuō)明文中所提出的信號(hào)拆分方法適用范圍更廣。

6 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)基于壓縮感知的大數(shù)據(jù)量信號(hào)的處理，本文提出了一種基于等間隔采樣的信號(hào)拆分方法，將信號(hào)拆分后再運(yùn)用OMP算法進(jìn)行重構(gòu)。實(shí)驗(yàn)證明，該方法加快了壓縮感知中信號(hào)處理速度，并提高了信號(hào)重構(gòu)質(zhì)量，并在一定范圍內(nèi)，優(yōu)化效果和拆分子信號(hào)數(shù)量是成正比的。同時(shí)相對(duì)于簡(jiǎn)單的將信號(hào)常規(guī)分段處理來(lái)說(shuō)，文中提出的方法適用范圍更廣。

在以上研究的基礎(chǔ)上，還存在很多需要研究的內(nèi)容。例如子信號(hào)數(shù)的數(shù)量怎么確定，信號(hào)的分段數(shù)并不是越多越好，因?yàn)樽有盘?hào)也要受到稀疏性這個(gè)條件的限制。還有針對(duì)OMP算法的穩(wěn)定性也是一個(gè)值得研究的問(wèn)題等等。

[1]李樹(shù)濤，魏丹.壓縮感知綜述.自動(dòng)化學(xué)報(bào)，2009，35（11）：1～7.

[2]張春梅，尹忠科，肖明霞.基于冗余字典的信號(hào)超完備表示和稀疏分解.科學(xué)通報(bào)，2006，51（6）：628～633.

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1004-7344（2016）16-0324-03

2016-4-12