卓小麗，李保軍

(廣西交通科學(xué)研究院，廣西　南寧　530007)

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基于MATLAB語(yǔ)言的變截面無鉸拱拱軸線數(shù)值優(yōu)化方法

卓小麗，李保軍

(廣西交通科學(xué)研究院，廣西南寧530007)

文章以某無支架施工的空腹式變截面特大跨無鉸拱為背景，利用MATLAB對(duì)拱圈考慮架設(shè)過程后的有限元內(nèi)力計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析，并采用三次樣條差值函數(shù)優(yōu)化模型對(duì)內(nèi)力結(jié)果進(jìn)行迭代后擬合出最優(yōu)拱軸線。在拱軸線形優(yōu)化過程中架設(shè)過程對(duì)成橋內(nèi)力的影響最大為8.8%，影響最大的控制截面約在1/8跨徑位置；優(yōu)化后的拱軸線使節(jié)點(diǎn)最大壓力線偏離量減小了27.8%，且拱軸線與壓力線正負(fù)偏離值更接近，這樣有利于控制截面上下緣對(duì)稱布筋，提高了經(jīng)濟(jì)效益。

變截面；無鉸拱；MATLAB；拱軸線；偏離量；數(shù)值優(yōu)化方法

0　引言

拱橋主拱圈軸線的合理選擇是拱橋設(shè)計(jì)中的重要問題之一，陳寶春、肖汝誠(chéng)等認(rèn)為大跨徑施工的拱橋設(shè)計(jì)中合理拱軸線優(yōu)化因橋而異[1]。在設(shè)計(jì)過程中，由實(shí)腹式拱橋恒載分布規(guī)律導(dǎo)出的A.Strassner懸鏈線被較多采用，且荷載分布模式比較常規(guī)。周水興、姜旭東等在拱軸線優(yōu)化方面研究的內(nèi)容著重于等截面主拱圈的合理共軸線優(yōu)化，忽略了施工架設(shè)過程中積累的內(nèi)力變化量[2][3]。然而實(shí)際施工過程中，荷載壓力線由于荷載分布比較復(fù)雜從而難以用簡(jiǎn)單函數(shù)來描述，若通過五點(diǎn)重合法或主拱圈上少數(shù)截面逼近恒載壓力線，主拱圈上某些非控制截面的壓力線可能會(huì)與拱軸線的吻合情況不佳，使得主拱圈彎矩過大，從而受力不利。本文的優(yōu)化方法考慮了架設(shè)過程中積累的內(nèi)力變化量，基于MATLAB語(yǔ)言的強(qiáng)大數(shù)值分析功能，實(shí)現(xiàn)了三次樣條差值作為逼近函數(shù)對(duì)一座變寬截面拱軸線形進(jìn)行優(yōu)化，較人工多次試算的方法提高了效率，且優(yōu)化效果明顯。隨著拱橋跨徑的不斷增大，合理拱軸線的重要性使結(jié)構(gòu)在施工及成橋狀態(tài)的受力更加突出。

1　工程概況

貴州某采用纜索吊裝斜拉扣掛法施工的鋼筋混凝土變寬截面拱式渡槽，半跨立面如圖1所示。凈跨徑l0=200 m，矢高f0=40 m，主拱圈采用變寬設(shè)計(jì)，從拱腳的12 m漸變至拱頂5.5 m，拱圈高度不變。拱圈采用懸鏈線，拱軸系數(shù)m=2.24，拱頂位置設(shè)預(yù)拱度0.35 m。節(jié)點(diǎn)劃分時(shí)，為了包含常用的五點(diǎn)重合法位置，將拱圈等分后進(jìn)行單元?jiǎng)澐帧?/p>

圖1　渡槽半跨立面圖(單位：m)

2　變寬拱圈恒載內(nèi)力計(jì)算

拱圈在進(jìn)行變截面設(shè)計(jì)時(shí)，為了便于施工，往往僅選擇對(duì)拱圈寬度或高度其中之一進(jìn)行變截面設(shè)計(jì)，本文以較為復(fù)雜的變寬進(jìn)行計(jì)算[4]。

2.1變寬拱圈微元形心計(jì)算

對(duì)于變寬截面拱圈，在變寬拱圈微元ds順橋方向上近似簡(jiǎn)化為梯形截面進(jìn)行形心位置計(jì)算(見圖2～3)：

引入變寬方程b(x)=2ksh(kξ)/(m-1)，ξ=2x/l，則有：

A=(a+b)h/2

(1)

將b=2ksh(2k(xi-ds)/l)/(m-1)；a=2ksh(2k(xi+ds)/l)/(m-1)代入式(2)積分即可求解形心位置。

圖2　變寬截面主拱圈自重計(jì)算圖

圖3　變寬截面微元形心計(jì)算圖

2.2自重內(nèi)力計(jì)算及變寬截面面積函數(shù)

圖4　變寬截面面積函數(shù)計(jì)算圖

dMi=A(xi)×γ×ds×(x-xi′)

(3)

積分可得：

(4)

A(xi′)=2×(bmax-b(xi))N+Amin

(5)

式中：γ——拱圈單位體積容重；

bmax——拱圈設(shè)計(jì)最大變寬寬度；

Amin——拱圈設(shè)計(jì)最小變寬寬度對(duì)應(yīng)的橫截面面積；

N——拱圈設(shè)計(jì)頂、底板厚度。

另外，拱圈橫隔板重量根據(jù)初步設(shè)計(jì)擬定的坐標(biāo)采用集中荷載方式考慮。

2.3主拱圈拱上建筑

本工程主拱圈拱上建筑為排架及槽殼，空腹式拱橋分為梁式腹拱及拱式腹拱，集中力作用在主拱圈上是梁式腹拱拱上建筑荷載分配的主要方式。本文研究的工程對(duì)象屬于梁式腹拱，故以梁式腹拱的拱上建筑為例進(jìn)行計(jì)算分析(見圖5)。

圖5　主拱圈拱上建筑計(jì)算圖

排架墩為集中荷載：

∑MP=∑P(i)·(li-x)

(6)

排架上部結(jié)構(gòu)為均布荷載：

∑Mq=∑q·s·(li-lq/2)

(7)

式中：q——排架上部結(jié)構(gòu)的均布荷載集度；

P(i)——排架墩i的集中荷載，由上式可以計(jì)算出拱上建筑對(duì)控制截面(拱頂、l0/4、拱腳)或者任意截面的力矩。

3　拱軸線優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型

3.1三次樣條差值函數(shù)

拱軸系數(shù)優(yōu)化的方法主要有迭代法、最小二乘法等，分段解析函數(shù)法以三次樣條差值函數(shù)作為恒載壓力線的逼近函數(shù)較為常用，同樣適用變截面拱軸系數(shù)的優(yōu)化，其數(shù)學(xué)模型為[5]：

f(x)=aix3+bix2+cix+di，(i=0，1，…，n-1)

(8)

λimi-1+2mi+μimi+1=di(i=0，1，…，n-1)

(9)

其次，補(bǔ)充邊界條件f′(x0)=m0，f′(xn)=mn則式(9)可以確定唯一的m0，m1，…，mn，從而確定了三次樣條差值函數(shù)f(x)。

主拱圈的跨徑、矢高以及拱上建筑的構(gòu)造根據(jù)橋跨布置即可確定。根據(jù)對(duì)稱性原則，將半跨拱圈分為若干節(jié)點(diǎn)0=x0

(10)

求得m0，m1，…，mn后，利用前面介紹的方法計(jì)算各單元在節(jié)點(diǎn)處的彎矩Mi及軸力Ni(i=0，1，…，n-1)，同時(shí)結(jié)合公式(10)對(duì)內(nèi)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)做如下修正：

3.2計(jì)算模型及優(yōu)化流程

3.2.1計(jì)算模型

在進(jìn)行合理拱軸線優(yōu)化過程中，其最初的拱軸線是設(shè)計(jì)擬定的原始軸線。如由于拱圈及拱上建筑是對(duì)稱結(jié)構(gòu)，取拱軸線的一半為研究對(duì)象，拱圈控制節(jié)點(diǎn)按半跨拱軸線20等分得到，這樣可以包含常用的五點(diǎn)重合法位置，半跨共有21個(gè)節(jié)點(diǎn)，20個(gè)單元[6]，見圖6。

圖6　拱軸線單元、節(jié)點(diǎn)劃分圖

3.2.2優(yōu)化流程

利用常規(guī)的荷載分布模式來求得恒載壓力線進(jìn)而擬合拱軸線這種優(yōu)化方式，忽略了拱圈分擔(dān)的荷載與架設(shè)過程有關(guān)，對(duì)大跨徑無支架施工拱橋的拱軸線確定影響更大，在拱軸線優(yōu)化過程中須考慮施工階段架設(shè)過程對(duì)成橋狀態(tài)的影響量，本文以設(shè)計(jì)拱軸線計(jì)算出的施工階段內(nèi)力影響量為基礎(chǔ)進(jìn)行優(yōu)化。

Step1：有限元計(jì)算施工階段對(duì)成橋狀態(tài)的內(nèi)力影響量；

Step2：計(jì)算變寬主拱圈及拱上建筑自重對(duì)拱圈控制截面內(nèi)的節(jié)點(diǎn)彎矩及軸力；

Step3：根據(jù)初擬的拱軸線，計(jì)算控制點(diǎn)初始坐標(biāo)；

Step4：根據(jù)邊界條件m0=f′(x0)=(y1-y0)/(x1-x0)，mn=f′(xn)=0求解矩陣唯一解m0，m1，…，mn；

Step6：輸出控制點(diǎn)坐標(biāo)、擬合拱軸線方程。

4　優(yōu)化結(jié)果

由圖7分析可知，由于施工過程中的誤差累積對(duì)主拱圈成橋狀態(tài)的內(nèi)力影響不可忽略。對(duì)本橋而言，施工階段對(duì)成橋狀態(tài)的內(nèi)力(彎矩)影響量最大為8.8%，影響最大的位置約在1/4跨徑附近。

圖7　施工階段對(duì)k成橋狀態(tài)內(nèi)力(彎矩)影響量曲線圖

從表1及圖8可以看出，按最初擬合的拱軸線在拱腳位置的壓力線偏離量較大，在迭代過程中靠近拱腳附近的拱軸線豎直坐標(biāo)調(diào)整相對(duì)較大。拱圈軸線優(yōu)化后使得偏離量更小，在2號(hào)控制點(diǎn)位置，最大偏離量比優(yōu)化前減小了27.6%。拱軸線擬合結(jié)果如圖9所示。

圖8　拱軸線控制節(jié)點(diǎn)壓力線偏離量?jī)?yōu)化前后對(duì)比圖

控制節(jié)點(diǎn)號(hào)x坐標(biāo)(m)優(yōu)化前y坐標(biāo)(m)優(yōu)化后y坐標(biāo)(m)1100.0040.3540.35295.0040.2640.14390.0040.0139.78485.0039.5839.47580.0038.9838.83675.0038.2038.04770.0037.2437.03865.0036.1036.13960.0034.7634.831055.0033.2233.271150.0031.4731.541245.0029.5129.571340.0027.3227.341435.0024.9024.931530.0022.2222.261625.0019.2819.311720.0016.0516.071815.0012.5312.531910.008.708.68205.004.534.52210.000.000.00

圖9　三次樣條差值擬合結(jié)果示意圖

5　結(jié)語(yǔ)

本橋在考慮拱圈施工狀態(tài)轉(zhuǎn)換對(duì)成橋內(nèi)力及線形有直接影響的情況下，根據(jù)工程中拱圈變寬、纜索吊裝斜拉扣掛的設(shè)計(jì)及施工特點(diǎn)，采用三次樣條差值函數(shù)優(yōu)化模型對(duì)內(nèi)力結(jié)果進(jìn)行迭代后擬合出最優(yōu)拱軸線，得到如下結(jié)論：

(1)本文提供了一種利用MATLAB編程工具進(jìn)行變截面拱軸系數(shù)優(yōu)化的方法，恒載內(nèi)力的計(jì)算精度滿足工程需要，與人工試算相比，數(shù)值優(yōu)化方法的效率得到了提高，而且擬合出的拱軸線對(duì)比五點(diǎn)重合法更加合理。

(2)本橋拱軸線形優(yōu)化過程中架設(shè)過程對(duì)成橋內(nèi)力的影響最大為8.8%，影響最大的控制截面約在1/8跨徑位置，故設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)充分考慮拱圈施工狀態(tài)轉(zhuǎn)換過程中內(nèi)力和線形的變化。

(3)工程優(yōu)化后的壓力線與拱軸線吻合更好，恰當(dāng)?shù)暮爿d偏離彎矩可以改善控制截面的內(nèi)力分布，優(yōu)化后最大偏離對(duì)比優(yōu)化前減小了27.6%。

(4)優(yōu)化后的拱軸線與壓力線正負(fù)偏離值更接近，這樣有利于控制截面上下緣對(duì)稱布筋，提高經(jīng)濟(jì)效益。

[1]陳寶春.鋼管混凝土拱橋計(jì)算理論研究進(jìn)展[J].土木工程學(xué)報(bào)，2003(12)：47-57.

[2]周瀟，周水興.大跨徑拱橋計(jì)算程序開發(fā)與承載力驗(yàn)算方法研究[D].重慶：重慶交通大學(xué)，2008.

[3]姜旭東，張新勝，等.基于MATLAB語(yǔ)言的拱橋拱肋線形優(yōu)化設(shè)計(jì)[J].路基工程，2010(1)：67-68，69.

[4]楊克鑒，李鳳芹，等.大跨度上承式鋼管混凝土拱橋設(shè)計(jì)研究[J].鐵道工程學(xué)報(bào)，2008(12)：66-71.

[5]石博強(qiáng)，騰貴法.MATLAB數(shù)學(xué)計(jì)算范例教程[M].北京：中國(guó)鐵道出版社，2004.

[6]C.Hu，Y.Wan and X.ShangGuan.A new practice in the design of arch axis[C].Proceedings of ARCH′10-the 6～(th)International Conference on Arch Bridges，2010.

Numerical Optimization Methods of Variable-section Hingeless Arch Axis Based on MATLAB Language

ZHUO Xiao-li，LI Bao-jun

(Guangxi Transportation Research Institute，Nanning，Guangxi，530007)

With a hollow variable-sectional super-large span hingeless arch under non-support construc-tion as the background，and through MATLAB，this article analyzed the finite element internal force cal-culation results after arch ring erection considerations，and the cubic spline interpolation function optimization model was used to fit the optimum arch axis after the iteration of internal force results.During the linear optimization of arch axis，the influence of erection process on the internal forces of completed bridge is up to 8.8%，the controlling cross-section with greatest impact is at the position of about 1/8 span；the optimized arch axis can reduce the maximum pressure line deviation of node point by 27.8%，and the arch axis is much closer to the positive and negative offset values of pressure line，which can help control the symmetric rebar layout at the upper and lower edges of control sections，so as to improve economic efficiency.

Variable cross-section；Hingeless arch；MATLAB；Arch axis；Discrepancy；Numerical optimi-zation methods

2016-05-12

U448.22

A

10.13282/j.cnki.wccst.2016.06.013

1673-4874(2016)06-0047-05

卓小麗(1989—)，碩士，從事橋梁工程設(shè)計(jì)、科研、試驗(yàn)檢測(cè)、技術(shù)咨詢工作;

李保軍(1982—)，碩士，工程師，從事橋梁工程設(shè)計(jì)、科研、試驗(yàn)檢測(cè)、技術(shù)咨詢工作。