張　翔

(1.貴州大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，貴州 貴陽　550025；2.貴州師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，貴州 貴陽　550014)

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受限的廣義Sylvester矩陣方程的相容性和通解

張翔1，2

(1.貴州大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，貴州 貴陽550025；2.貴州師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，貴州 貴陽550014)

摘要：通過研究一個受限于FZ=G的廣義Sylvester矩陣方程組AiXi+YiBi+CiZDi=Ei,其中矩陣Ai,Bi,Ci,Di,Ei,(i=1,2)和F，G是給定矩陣， Xi，Yi，Z為未知矩陣。 用Moore-Penrose逆給出了以上方程組相容的充分必要條件以及通解表達(dá)式，并且推廣了一些已發(fā)表的結(jié)果。

關(guān)鍵詞：矩陣方程；通解；Moore-Penrose逆

1引言

系統(tǒng)與控制論中的許多問題最后都劃歸成Sylvester方程的求解問題。在實(shí)際中，Sylvester矩陣方程有很多應(yīng)用，例如在反饋控制[1-4], 魯棒控制[5]，極點(diǎn)/特征結(jié)構(gòu)配置設(shè)計[6]，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[7]等等。

Roth[8]給出了廣義Sylvester矩陣方程:

A1X+YB1=C1

(1)

相容的一個充分必要條件。Bakasalary和Kala[9]用廣義逆給出了廣義Sylvester矩陣方程(1)的通解表達(dá)式。最近幾年，國內(nèi)外一些學(xué)者研究了廣義混合Sylvester矩陣方程組。Lee和Vu[10]研究了如下廣義混合Sylvester矩陣方程組的相容性

(2)

其中Ai，Bi和Ci是給定的矩陣。他們給出了廣義混合Sylvester矩陣方程組(2)相容的充分必要條件。王卿文教授和何卓衡博士[11]給出了廣義混合Sylvester矩陣方程組(2)相容的可計算的充分必要條件，以及通解表達(dá)式。本文主要研究了一個受限的廣義Sylvester矩陣方程

(3)

其中Ai，Bi，Ci，Di，Ei(i=1,2)和F，G是給定矩陣，Xi，Yi，Z是未知矩陣。注意到方程組(1)和(2)都可以看成是矩陣方程組(3)的特殊情況。我們在第二節(jié)中，用Moore-Penrose逆給出受限的廣義Sylvester矩陣方程(3)相容的充分必要條件，以及通解表達(dá)式。

2受限的廣義Sylvester矩陣方程(3)的相容性及其通解

在這一節(jié)中，我們用系數(shù)矩陣的Moore-Penrose逆給出受限的廣義Sylvester矩陣方程(3)相容的充分必要條件，以及通解表達(dá)式。我們需要用到以下引理。

引理1[12]給定矩陣F和G。則矩陣方程FZ=G相容的充分必要條件是

RFG=0。

在可解的情況下，矩陣方程FZ=G的通解可表示為：

引理2[13,14]給定矩陣A1∈m×n1，B1∈p1×q，C3∈m×n2，D3∈p2×q，C4∈m×n3,D4∈p3×q和E1∈p×q。令

A=RA1C3，B=D3LB1，C=RA1C4，D=D4LB1，

E=RA1E1LB1，M=RAC，N=DLB，S=CLM。

則矩陣方程

A1X1+X2B1+C3X3D3+C4X4D4=E1

(4)

相容當(dāng)且僅當(dāng)

RMRAE=0，ELBLN=0，RAELD=0，RCELB=0。

(5)

在可解的情況下，矩陣方程(4)的解可表示為：

其中V1，V2，V3，V4，V5，W1，W2，W3是上任意適合維數(shù)的矩陣。

現(xiàn)在我們給出本文的主要定理。

定理1給定矩陣Ai，Bi，Ci，Di，Ei(i=1,2) 和F，G。令

C=RA2C2LF，D=B4LB2，E=RA2C4LB2，M=RAC，N=DLB，S=CLM。

則受限的廣義Sylvester矩陣方程(3)相容當(dāng)且僅當(dāng)

RFG=0，RA3C3=0，C3LB3=0，RMRAE=0，ELBLN=0，RAELD=0。

在可解條件下, 受限的廣義Sylvester矩陣方程(3)的通解可表達(dá)為：

(6)

(7)

其中

(8)

(9)

矩陣W1，…，W11是上任意適合維數(shù)的矩陣。

證明我們把受限的廣義Sylvester矩陣方程(3)分成3部分

FZ=G，

(10)

A1X1+Y1B1+C1ZD1=E1，

(11)

和

A2X2+Y2B2+C2ZD2=E2。

(12)

引理1可得矩陣方程(10)相容當(dāng)且僅當(dāng)RFG=0。在可解條件下，矩陣方程(10)的解可表示為：

(13)

其中矩陣T是上任意適合維數(shù)的矩陣。將 (13) 代入矩陣方程(11)可得：

(14)

從引理2可得矩陣方程(14)相容當(dāng)且僅當(dāng)

RA3C3=0，C3LB3=0。

在可解條件下，矩陣方程(14)的通解可表示為：

(15)

其中W1，W2，W3，U和V是上任意適合維數(shù)的矩陣。將(13)和(15)代入(12)可得

A2X2+Y2B2+A4UD2+C2LFVB4=C4。

(16)

所以受限的廣義Sylvester矩陣方程(3)相容當(dāng)且僅當(dāng)(10)，(14)和(16)分別相容。 從引理2可得矩陣方程(16)相容當(dāng)且僅當(dāng)

RMRAE=0，ELBLN=0，RAELN=0，RCELB=0。

我們從引理2可得矩陣方程(16)的通解可表示為(6)-(9)。

在定理1中，令F，G和Bi為零矩陣，Ci=I，我們可以得到廣義混合Sylvester矩陣方程組(2)相容的充分必要條件以及通解表達(dá)式。

推論1[11]給定矩陣Ai，Bi和Ci(i=1,2)。令

則廣義混合Sylvester矩陣方程組(2)相容當(dāng)且僅當(dāng)

RA1C1LB1=0，RBD=0，DLC=0。

在相容的條件下，廣義混合Sylvester矩陣方程組(2)的通解可表示為：

矩陣W1，…，W6是上任意適合維數(shù)的矩陣。

在定理1中，令F，G和Ai，Bi為零矩陣，我們可以得到如下經(jīng)典矩陣方程組相容的充分必要條件以及通解表達(dá)式：

(17)

注意到?zgiiler[15]，王卿文[16]，vanderWoude[17]研究了經(jīng)典矩陣方程組(17)。

推論2給定矩陣Ci，Di和Ei(i=1,2)。令

則矩陣方程組(17)相容當(dāng)且僅當(dāng)

RCiEi=0，EiLDi=0，RACLB=0。

在相容條件下，矩陣方程組(17)的通解可表示為：

矩陣W1，…，W5是上任意適合維數(shù)的矩陣。

參考文獻(xiàn)：

[1]DUANGR.Eigenstructureassignmentandresponseanalysisindescriptorlinearsystemswithstatefeedbackcontrol[J].IntJControl,1998,69(5):663-694.

[2]K?GSTRMB,WESTINL.GeneralizedSchurmethodswithconditionestimatorsforsolvingthegeneralizedSylvesterequation[J].AutomaticControl,IEEETransactionson,1989,34(7):745-751.

[3]WUAG,DUANGR,ZHOUB.SolutiontogeneralizedSylvestermatrixequations[J].IEEETransactionsonAutomaticControl,2008,53(3):811-815.

[4]ZHOUB,LIZY,DUANGR,etal.WeightedleastsquaressolutionstogeneralcoupledSylvestermatrixequations[J].JComputApplMath,2009,224(2):759-776.

[5] III R K,BHATTACHARYYA S P.Robust and well-conditioned eigenstructure assignment via Sylvester's equation[J].Optimal Control Applications and Methods,1983,4(3):205-212.

[6] FLETCHER L R,KAUTSKY J,NICHOLS N K.Eigenstructure assignment in descriptor systems[J].IEEE Transactions on Automatic Control,1986,31(12):1138-1141.

[7] ZHANG Y,JIANG D,WANG J.A recurrent neural network for solving Sylvester equation with time-varying coefficients[J].Neural Networks, IEEE Transactions on,2002,13(5):1053-1063.

[8] ROTH W E.The equationAX-YB=CandAX-XB=Cin matrices[J].Proceedings of American Mathematical Society,1952,3(3):392-396.

[9] BAKSALARY J K,KALA P.The matrix equationAX-YB=C[J]. Linear Algebra Appl,1979,25:41-43.

[10]LEE S G,VU Q P.Simultaneous solutions of matrix equations and simultaneous equivalence of matrices[J].Linear Algebra Appl,2012,437(9):2325-2339.

[11]WANG Q W,HE Z H.Solvability conditions and general solution for the mixed Sylvester equations[J]. Automatica,2013,49(9):2713-2719.

[12]PENROSE R.A generalized inverse for matrices[C/OL]//Mathematical proceedings of the Cambridge philosophical society. Cambridge University Press,1955,51(3):406-413(1955 July) [2015-09-02].http://journals.cambridge.org/action/displayAbstract?fromPage=online&aid=2043984&fileId=S0305004100030401.

[13]HE Z H,WANG Q W.The general solutions to some systems of matrix equations[J].Linear and Multilinear Algebra,2015,63(10):2017-2032.

[14]WANG Q W,HE Z H.Some matrix equations with applications[J]. Linear and Multilinear Algebra,2012,60(11-12):1327-1353.

[15]?ZGüLER A B,AKAR N.A common solution to a pair of linear matrix equations over a principle domain[J].Linear Algebra Appl,1991,144:85-99.

[16]WANG Q W.A system of matrix equations and a linear matrix equation over arbitrary regular rings with identity[J].Linear Algebra Appl,2004,384:43-54.

[17]VAN DER WOUDE J W.Almost non-interacting control by measurement feedback[J].Systems & Control Letters,1987,9(1):7-16.

文章編號：1004—5570(2016)01-0037-03

收稿日期：2015-09-09

基金項目：國家自然科學(xué)基金[11401125];貴州師范大學(xué)博士點(diǎn)基金

作者簡介：張翔(1974-)，女，教授，博士，研究方向：矩陣代數(shù)，E-mail: zxjnsc@163.com.

中圖分類號：O151.21;O151.26

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

The consistence and solutions to the subjected generalized Sylvester matrix equations

ZHANG Xiang1,2

(1.College of mathematics, Guizhou University, Guiyang, Guizhou 550025, China; 2.School of Mathematics and Computer Science, Guizhou Normal University, Guiyang,Guizhou, 550014, China)

Abstract:In this paper, we derive some necessary and sufficient conditions for the solvability to the system of generalized Sylvester matrix equations AiXi+YiBi+CiZDi=Ei,where Z is subject to FZ=G.We give an expression of the general solution to the above mentioned system by Moore-Penrose inverse. Furthermore, we generalize some known published results.

Key words:system of matrix equation; general solution; Moore-Penrose inverse