任　露， 黃穎為

(西安理工大學(xué) 印刷包裝與數(shù)字媒體學(xué)院， 陜西 西安 710048)

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基于牛頓迭代法的分形圖像研究

任露， 黃穎為

(西安理工大學(xué) 印刷包裝與數(shù)字媒體學(xué)院， 陜西 西安 710048)

通過(guò)調(diào)用牛頓迭代法繪制分形圖像，利用繪圖參數(shù)和運(yùn)算法則構(gòu)造著色方案，研究復(fù)平面分形圖像結(jié)構(gòu)特征并提供多個(gè)新的著色方案，發(fā)現(xiàn)復(fù)平面分形圖像結(jié)構(gòu)有規(guī)律可循，圖像色彩難以揣測(cè)。

牛頓迭代法； 分形圖像； 結(jié)構(gòu)特征； 著色方案

分形[1]，通常被定義為“一個(gè)粗糙或零碎的幾何形狀，可以分成數(shù)個(gè)部分，且每一部分都(至少近似地)是整體縮小后的形狀”。即分形具有自相似特征，可利用計(jì)算機(jī)迭代來(lái)生成。牛頓迭代法作為計(jì)算機(jī)迭代的主要方法之一，繪制的分形圖像結(jié)構(gòu)具有對(duì)稱性且有一定規(guī)律可循，圖像像素點(diǎn)色彩和迭代次數(shù)相對(duì)應(yīng)。相比于實(shí)數(shù)迭代分形集，在二維平面上，牛頓迭代法生成的復(fù)迭代分形集結(jié)構(gòu)更加復(fù)雜，色彩更加豐富，包含更多信息，也具有更強(qiáng)的防偽特征[2-3]。本文利用牛頓迭代法繪制基于復(fù)迭代公式f(Z)=Zn-1(其中Z為復(fù)平面上的點(diǎn)，n為實(shí)數(shù)且n≥2)的廣義Julia集，研究實(shí)數(shù)n對(duì)圖像結(jié)構(gòu)的影響，迭代參數(shù)及迭代參數(shù)與運(yùn)算符的組合方式對(duì)圖像色彩的影響，為實(shí)現(xiàn)分形圖像的個(gè)性化和多樣化設(shè)計(jì)提供參考。

1　牛頓迭代法繪制復(fù)平面分形圖像

根據(jù)牛頓迭代法[4]求解復(fù)平面方程f(Z)=0，f(Z)的牛頓迭代函數(shù)為：

(1)

(2)

此時(shí)f(Z)的零點(diǎn)也是φ的超吸引不動(dòng)點(diǎn)。當(dāng)|Z|較大時(shí)，φ(Z)～Z(1-1/n)，n為f(Z)的階，∞是f(Z)的斥性點(diǎn)，則記A(ω)={Z0:φ(Zk)→ω}，其中A(ω)表示零點(diǎn)ω的吸引域，即在牛頓迭代法下收斂于ω的初始點(diǎn)集。

牛頓迭代法繪制復(fù)平面分形圖像的流程[5]如圖1所示。首先設(shè)置迭代方程，然后在復(fù)平面上選擇一點(diǎn)Z0作為迭代初始點(diǎn)，再進(jìn)行著色處理，最終生成分形圖像。

具體過(guò)程[6]如下。

設(shè)顯示器的分辨率為A×B點(diǎn)，可顯示的顏色為k+1種，分別用0,1,2,…,k表示。

1) 設(shè)置迭代方程f(Z)=zn-1中n的取值；

2) 選擇繪圖區(qū)域坐標(biāo)xmax=2，ymax=1.5，xmin=-2，ymin=-1.5，設(shè)當(dāng)前迭代次數(shù)為M，最大迭代次數(shù)為N，迭代精度為ε，dx=(xmax-xmin)/(A-1)，dy=(ymax-ymin)/(B-1)；

3) 設(shè)定迭代初始點(diǎn)值Z0=x0+y0i，x0=xmin+mx*dx,y0=ymin+my*dy，其中mx=0,1,…,A-1,my=0,1,…,B-1。

圖1　分形圖像繪制流程Fig.1　The procedure of fractal images generated

對(duì)所有點(diǎn)作如下循環(huán)：

for (x=0;x

for (y=0;y

{

xk=xmin+x*dx;

yk=ymin+y*dy;

M=0;

do

{

mod=|Zk+1-Zk|;

Zk+1=Zk;k++;

} while (mod≥ε&&k

if (mod<ε)用顏色k顯示點(diǎn)(xk,yk);

else if (M==N)用某一固定顏色顯示點(diǎn)(xk,yk)；

}

2　復(fù)多項(xiàng)式f(Z)=Zn-1牛頓迭代分形圖像結(jié)構(gòu)特征

用牛頓迭代法求f(Z)=Z3-1=0的特解，根據(jù)式(1)，該方程迭代函數(shù)為：

設(shè)ρ(Z)=Ze2πi/3，ρ(Z)是繞原點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)120°的旋轉(zhuǎn)變換，則：

根據(jù)牛頓迭代法繪制的f(Z)=Z3-1的Julia集如圖2所示，可以很明顯地觀察到圖像有關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的3個(gè)部分，3條“鏈”分別對(duì)應(yīng)f(Z)的3個(gè)零點(diǎn)，且每條“鏈”本身又具有無(wú)限精細(xì)結(jié)構(gòu)。

圖2　牛頓函數(shù)φ(Z)=(2Z3+1)/(3Z2)的Julia集Fig.2　Julia set of Newton-Raphson fuction φ(Z)=(2Z3+1)/(3Z2)

圖2采用的是圖像迭代點(diǎn)色彩與迭代次數(shù)相對(duì)應(yīng)的傳統(tǒng)著色方案，圖像呈現(xiàn)出“鏈”結(jié)構(gòu)特征。本文將分形圖像迭代參數(shù)與各種運(yùn)算符組合構(gòu)造新型著色方案，圖3(a)～(j)所示為其中一種著色方案下，n取不同值時(shí)，方程f(Z)=Zn-1=0分別對(duì)應(yīng)的分形圖像。

經(jīng)大量計(jì)算機(jī)試驗(yàn)后，觀察發(fā)現(xiàn)：當(dāng)n=4t時(shí)(t為正整數(shù))，圖像左右兩部分各有2t條鏈，且每條鏈結(jié)構(gòu)相似；當(dāng)n=4t-1時(shí)，圖像左右兩部分各有(2t-2)條獨(dú)立的鏈，垂直中心線處有兩條交融鏈(由左右兩部分鏈交融形成)；當(dāng)n=4t+1時(shí)，圖像左右兩部分各有2t條完整的鏈，垂直中心線處有兩小段鏈；當(dāng)n=4t+2時(shí)，圖像左右兩部分各有2t條鏈，垂直中心線處有兩條完整的鏈。

由此可知，復(fù)多項(xiàng)式f(Z)=Zn-1中n的取值影響圖像結(jié)構(gòu)。按照上述規(guī)律繪制的分形圖像可用于系列化產(chǎn)品包裝，實(shí)現(xiàn)裝潢圖形與圖形之間的迭代變換和推移組合，這種“自相似”的“重復(fù)”結(jié)構(gòu)可強(qiáng)化包裝設(shè)計(jì)的序列視覺(jué)變化效果[7]。

圖3　不同n值的分形圖像Fig.3　Images according to different values of n

3　復(fù)多項(xiàng)式f(Z)=Zn-1牛頓迭代分形圖像著色方案

M=11；

C=RGB(255-abs((int)fabs(C1-(2*C2-

255)*pow((log(fabs(l1+l3+

0.01)))*2,a))%510-255), 255-

abs((int)fabs(C2-(3*C3-255)*

pow((log(l2*0.1))*4,a)+N)%510-

255), 255-abs((int)fabs(C3-

(5*C1-255)*pow((log(fabs(l4+

0.001)))*3+M,a))%510-255));

1.1.4 結(jié)局指標(biāo) ①中央角膜厚度（CCT）；②頂端角膜厚度（ACT）；③最薄角膜厚度（TCT）；④眼壓。

break;

由上述代碼可知，影響圖像著色方案的因素分別為迭代初始參數(shù)N和M、顏色初始值(C1,C2,C3)、顏色漸變參數(shù)a和顏色通道表達(dá)式。現(xiàn)以多項(xiàng)式f(Z)=Z6-1為例，探討這5個(gè)因素對(duì)著色效果的影響。

1) 迭代初始參數(shù)N不同，其他參數(shù)相同。

當(dāng)顏色初始值RGB為(118,158,108)，顏色漸變參數(shù)a為5，M為11，顏色通道表達(dá)式同圖3，N分別為25和26時(shí)，對(duì)應(yīng)圖像如圖4(a)和(b)所示。

2) 迭代初始參數(shù)M不同，其他參數(shù)相同。

當(dāng)顏色初值RGB為(118,158,108)，顏色漸變參數(shù)a為5，N為24，顏色通道表達(dá)式同圖3，M分別為9和10時(shí)，對(duì)應(yīng)圖像如圖5(a)和(b)所示。

3) 顏色初始值不同，其他參數(shù)相同。

當(dāng)N為24,M為10，顏色漸變參數(shù)a為6，顏色通道表達(dá)式同圖3，顏色初值RGB分別為(118,158,108)和(100,210,140)時(shí)，對(duì)應(yīng)分形圖像如圖6(a)和(b)所示。

圖4　不同迭代初始參數(shù)N對(duì)應(yīng)的分形圖像Fig.4　Images according to different initial iterative parameter N

圖5　不同迭代初始參數(shù)M對(duì)應(yīng)的分形圖像Fig.5　Images according to different initial iterative parameter M

圖6　不同顏色初始值對(duì)應(yīng)的分形圖像Fig.6　Images according to different initial values of RGB

4) 顏色漸變參數(shù)不同，其他參數(shù)相同。

當(dāng)N為24,M為11，顏色初值RGB為(118,158,108)，顏色通道表達(dá)式同圖3，顏色漸變參數(shù)a分別為5和6時(shí)，對(duì)應(yīng)圖像如圖7(a)和(b)所示。

5) 顏色通道表達(dá)式不同，其他參數(shù)相同

當(dāng)N為25，M為11，顏色初始值RGB為(118,158,108)，顏色漸變參數(shù)a為6時(shí)，顏色通道表達(dá)式不同，對(duì)應(yīng)圖像分別如圖8(a)～(d)所示。

由圖4～8可知，對(duì)于同一多項(xiàng)式，迭代初始參數(shù)、顏色初始值、顏色漸變參數(shù)或顏色通道表達(dá)式任何一個(gè)發(fā)生變化都會(huì)引起分形圖像色彩變化。參數(shù)集與運(yùn)算符的組合形式?jīng)Q定了著色方案，幾乎所有的運(yùn)算符都可使用，如取三角函數(shù)、取反三角函數(shù)等，并且同一方案中各參數(shù)的取值又影響著具體的著色效果。利用上述結(jié)論，將分形理論與計(jì)算機(jī)創(chuàng)作結(jié)合，可實(shí)現(xiàn)分形圖像的數(shù)字化和多樣化設(shè)計(jì)[9]。

圖7　不同顏色漸變參數(shù)a對(duì)應(yīng)的分形圖像Fig.7　Images according to different values of color gradient parameter a

圖8　不同顏色通道表達(dá)式對(duì)應(yīng)的分形圖像Fig.8　Images according to different coloring programs

4　結(jié)　語(yǔ)

試驗(yàn)證明，牛頓迭代法繪制的復(fù)多項(xiàng)式f(Z)=Zn-1的分形圖像結(jié)構(gòu)與n的取值有關(guān)，且有一定規(guī)律可循，借用此規(guī)律可設(shè)計(jì)系列產(chǎn)品包裝裝潢圖案，建立個(gè)性化圖像素材庫(kù)；著色方案中參數(shù)集或顏色通道表達(dá)式的變化均會(huì)引起圖像色彩變化，開(kāi)發(fā)者可選擇不同參數(shù)和運(yùn)算符構(gòu)造不同著色方案，實(shí)現(xiàn)多樣化設(shè)計(jì)，最終將繪制的分形圖像用于產(chǎn)品商標(biāo)或包裝以實(shí)現(xiàn)防偽。

[1] MANDELBROT B B. The fractal geometry of nature[M].New York: W.H. Freeman and Company,1982.

[2]王文,劉夏.廣義Julia集在防偽設(shè)計(jì)中的應(yīng)用[J].山東建筑大學(xué)學(xué)報(bào),2013,28(4):386-389.

WANG Wen, LIU Xia. Application of Julia set to anti-counterfeiting design[J].Journal of Shandong Jianzhu University, 2013,28(4):386-389.

[3]張靜,王化雨.基于實(shí)數(shù)分形的圖案設(shè)計(jì)[J]. 信息技術(shù)與信息化,2010,(6):24-26.

ZHANG Jing, WANG Huayu. The design of pattern based on real fractal[J]. Information Technology & Informatization, 2010,(6):24-26.

[4]葉家鳴,蔣永花.基于牛頓迭代算法的分形藝術(shù)圖形設(shè)計(jì)[J].計(jì)算機(jī)技術(shù)與發(fā)展,2008,18(4):88-91.

YE Jiaming,JIANG Yonghua. Design of fractal art graphics based on Newton iterative algorithm[J]. Computer Technology and Development, 2008,18(4):88-91.

[5]田興彥,鄧基園,朱永嬌.基于VS的分形圖形繪制[J]. 微計(jì)算機(jī)信息,2012,28(1):1-3.

TIAN Xingyan, DENG Jiyuan, ZHU Yongjiao. Use Visual Studio to draw fractal graphic[J]. Microcomputer Information, 2012,28(1):1-3.

[6]孫博文.分形算法與程序設(shè)計(jì):Visual C++實(shí)現(xiàn)[M].北京：科學(xué)出版社，2004:118-133.

[7]熊承霞.解讀當(dāng)代包裝設(shè)計(jì)中的分形結(jié)構(gòu)創(chuàng)意[J].包裝工程,2012,33(18):1-4.

XIONG Chengxia. Interpretation of the fractal structure creativity in contemporary packaging design[J].Packaging Engineering, 2012,33(18):1-4.

[8]侯思松.牛頓法解方程之混沌情況[EB/OL].( 2014-06-06)[2015-07-20]. http://www.fractal.cn/supply/read.asp?supplyid=134.

[9]靳曉曉,陳晨.分形開(kāi)拓?cái)?shù)字化圖形設(shè)計(jì)新思路[J].包裝工程,2013,34(22):9-12,23.

JIN Xiaoxiao,CHEN Chen.New thinking of digital graphic design of fractal expanding[J]. Packaging Engineering, 2013,34(22):9-12,23.

(責(zé)任編輯王衛(wèi)勛,王緒迪)

Research on the fractal image of Newton-Raphson method

REN Lu， HUANG Yingwei

(School of Printing, Packaging Engineering and Digital Media Technology,Xi’an University of Technology, Xi’an 710048,China)

The fractal image is mapped through Newton-Raphson method. The graphic parameters and operational rules are used to construct the coloring scheme. The structure characteristics of the fractal image on the complex plane are studied, and a number of new coloring schemes are provided in this paper. The research results indicate that on the complex plane, the structure of fractal images have laws to follow and colors of fractal images are difficult to estimate.

Newton-Raphson method； fractal image； structure feature； coloring scheme

1006-4710(2016)02-0247-06

10.19322/j.cnki.issn.1006-4710.2016.02.019

2015-06-02

任露，女，碩士生，研究方向?yàn)橛∷①|(zhì)量控制與防偽。E-mail ：renlu_lenka@163.com

黃穎為，女，教授，研究方向?yàn)橛∷①|(zhì)量控制與防偽。E-mail ：huangyw12@163.com

TP391.41

A