王會(huì)姣, 趙　瑜，原三領(lǐng)

(上海理工大學(xué) 理學(xué)院，上海 200093)

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具有模糊性的單種群恒化器動(dòng)力學(xué)模型研究

王會(huì)姣, 趙瑜，原三領(lǐng)

(上海理工大學(xué) 理學(xué)院，上海 200093)

摘要：研究了一類具有模糊性的單種群恒化器模型. 給出了模型依賴于模糊參數(shù)p的得失相當(dāng)常數(shù)λ(p)，且模型的動(dòng)力學(xué)完全由λ(p)決定：如果λ(p)<1，微生物絕滅平衡態(tài)全局漸近穩(wěn)定；如果λ(p)>1， 微生物存在的正平衡態(tài)全局漸近穩(wěn)定. 基于上述分析，進(jìn)而得到了依賴于模糊性的動(dòng)力學(xué)行為的參數(shù)空間，并通過(guò)數(shù)值仿真驗(yàn)證了所得理論結(jié)果. 研究結(jié)果為預(yù)測(cè)在模糊參數(shù)影響下的恒化器中微生物的演化趨勢(shì)提供了有效的區(qū)間估計(jì)方法.

關(guān)鍵詞：恒化器； 不確定因素； 區(qū)間值參數(shù)； 漸近行為

恒化器(chemostat)是實(shí)驗(yàn)室中對(duì)微生物連續(xù)培養(yǎng)的一種裝置，在生態(tài)學(xué)和微生物生態(tài)學(xué)上具有非常重要的作用. 在生態(tài)學(xué)上，恒化器可用來(lái)模擬海洋和湖泊中單細(xì)胞藻類浮游生物的增長(zhǎng)過(guò)程；在微生物發(fā)酵工程方面，它可以看作大型生物反應(yīng)器的實(shí)驗(yàn)室裝置. 恒化器有許多優(yōu)點(diǎn)：在實(shí)驗(yàn)室中可以操作，有關(guān)參數(shù)可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)得，且所建立的數(shù)學(xué)模型可以進(jìn)行較為詳盡的數(shù)學(xué)分析. 因此，對(duì)恒化器動(dòng)力學(xué)的建模研究吸引了許多學(xué)者的關(guān)注，且得到了許多有意義的成果[1-7]. 這些工作在一定程度上為從事生物發(fā)酵以及海洋湖泊微生物增長(zhǎng)研究的生物工作者提供了可靠的數(shù)學(xué)依據(jù). 最簡(jiǎn)單的單營(yíng)養(yǎng)單種群恒化器模型[4]為

(1)

其中：S(t)和x(t)分別為t時(shí)刻恒化器中營(yíng)養(yǎng)和微生物的濃度. 模型(1)中的所有參數(shù)均為正的常數(shù)：γ為微生物的增長(zhǎng)系數(shù)，表示從營(yíng)養(yǎng)到微生物的轉(zhuǎn)化率；S0為限制性營(yíng)養(yǎng)的輸入濃度；D為稀釋率；mS/(a+S)表示Monod型微生物增長(zhǎng)的功能反應(yīng)函數(shù)，其中m為微生物的最大增長(zhǎng)率，a為半飽和常數(shù). 模型(1)的動(dòng)力學(xué)完全由得失相當(dāng)常數(shù)λ=aD/(m-D)決定：當(dāng)λ≤S0時(shí)，模型(1)存在一個(gè)全局穩(wěn)定的絕滅平衡點(diǎn)E0；當(dāng)λ>1時(shí)，系統(tǒng)存在兩個(gè)平衡態(tài)(絕滅平衡點(diǎn)E0和微生物持續(xù)平衡點(diǎn)E*)，其中微生物持續(xù)平衡點(diǎn)E*全局漸近穩(wěn)定，而絕滅平衡點(diǎn)E0不穩(wěn)定.

模型(1)的參數(shù)是基于假設(shè)對(duì)生物系統(tǒng)和環(huán)境參數(shù)已經(jīng)能夠準(zhǔn)確了解基礎(chǔ)上的確定性參數(shù). 然而，由于微生物增長(zhǎng)過(guò)程非常復(fù)雜，要準(zhǔn)確測(cè)得恒化器中所有的狀態(tài)變量非常困難. 同時(shí)，由于受到操作誤差、測(cè)量信息缺失等因素的影響，通常測(cè)得的模型參數(shù)都會(huì)落在某一區(qū)間范圍內(nèi)而不是精確的固定值[8-10]. 利用模糊微分方程來(lái)刻畫參數(shù)落在某一區(qū)間范圍的模糊動(dòng)力學(xué)過(guò)程已成為一種有效的方法[11]. 例如，文獻(xiàn)[8]利用模糊微分方程刻畫了一類模糊參數(shù)的食餌-捕食模型；文獻(xiàn)[9-10]探討了一類具有模糊區(qū)間生物參數(shù)的食餌-捕食模型的最佳捕獲問題. 受此啟發(fā)，在模型(1)中考慮其模糊區(qū)間的生物參數(shù)將更加符合實(shí)際情況，所得的模型能夠更好地刻畫微生物的生長(zhǎng)過(guò)程. 本文利用模糊微分方程相關(guān)的理論和方法來(lái)探討模糊參數(shù)對(duì)單種群恒化器模型動(dòng)力學(xué)行為的影響.

1模型的建立及預(yù)備知識(shí)

首先對(duì)模型(1)進(jìn)行無(wú)量綱化，令

則模型(1)可寫成如下的形式(仍用原來(lái)的符號(hào)表示各個(gè)變量和參數(shù))：

(2)

在模型(2)中將參數(shù)m和a用模糊區(qū)間值函數(shù)的方式進(jìn)行刻畫，即

(3)

具有初值：

S(0)≥0,x(0)≥0,

(4)

(a) m∧和a∧的變化范圍

(b) 功能反應(yīng)函數(shù)mS/(a+S)的變化范圍

一個(gè)區(qū)間數(shù)B可由閉區(qū)間[b,c]表示，并可定義為

B=[b,c]={x:b≤x≤c,x∈R}

其中：b和c分別稱為區(qū)間數(shù)B的左極限和右極限. 對(duì)任意的實(shí)數(shù)b可表示成區(qū)間數(shù)[b,b].

定義1[7]令b>0，c>0,對(duì)區(qū)間[b,c]，由于任何實(shí)數(shù)都可在一條數(shù)軸上進(jìn)行表示，故將區(qū)間用一個(gè)函數(shù)來(lái)表示, 則區(qū)間[b,c]可表示成如下形式的函數(shù)：

h(p)=b(1-p)cp, p∈[0,1]

令B=[bl,bu],C=[cl,cu]為兩個(gè)區(qū)間值，下面給出其運(yùn)算法則：

(1) 加法.B+C=[bl,bu]+[cl,cu]=[bl+cl,bu+cu]， 其中bl+cl>0. 對(duì)應(yīng)的區(qū)間值函數(shù)h(p)=(bl+cl)1-p(bu+cu)p,p∈[0,1].

(2) 減法.B-C=[bl,bu]-[cl,cu]=[bl-cu,bu-cl]， 其中bl-cl>0. 對(duì)應(yīng)的區(qū)間值函數(shù)h(p)=(bl-cl)1-p(bu-cu)p,p∈[0,1].

下面的定理1給出了模型(3)與其區(qū)間值函數(shù)形式模型(5)的等價(jià)性.

定理1模型(3)與下面的區(qū)間值函數(shù)模型(5)是等價(jià)的

(5)

其中：(ml)1-p(mu)p和(al)1-p(au)p(0≤p≤1)分別表示m和a的模糊區(qū)間值函數(shù).

證明：模型(3)可寫成如下區(qū)間值的形式：

(6)

令m1∈[ml,mu],a1∈[al,au]， 根據(jù)區(qū)間值的運(yùn)算法則，系統(tǒng)(6)可簡(jiǎn)化為

(7)

(8)

由于模型(5)與模型(3)的等價(jià)性,本文主要考慮模型(5)在模糊性條件下的動(dòng)力學(xué)行為.

注1：易知，R={(S,x):S≥0,x≥0,0≤S+x≤1}為模型(3)或(5)的正向不變集.

2模型(5)的平衡態(tài)及其全局動(dòng)力學(xué)行為

E*=(S*(p),x*(p))=

(9)

可定義得失相當(dāng)常數(shù)為

(10)

其中：(ml)1-p(mu)p≥1.

注2：如果(ml)1-p(mu)p<1，則微生物的最大增長(zhǎng)率小于稀釋率，此時(shí),微生物將最終在恒化器中絕滅.

定理2如果λ(p)>1，微生物絕滅平衡態(tài)E0=(1,0)全局漸近穩(wěn)定；如果λ(p)<1，E0=(1,0)不穩(wěn)定, E*=(S*(p),x*(p))全局漸近穩(wěn)定.

證明：模型的Jacobi矩陣為

(11)

在平衡點(diǎn)E0=(1,0)處對(duì)應(yīng)的特征方程為

det(J-λI)|E0=(-λ-1)·

(12)

其特征值為

在平衡點(diǎn)E*=(S*(p),x*(p))處對(duì)應(yīng)的特征方程為

(13)

因λ(p)<1，即(ml)1-p(mu)p-(al)1-p(au)p-1>0，可知θ>0. 此時(shí)，λ1<0，λ2<0. 因此，E*=(S*(p),x*(p))是局部漸近穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn).

為了證明平衡態(tài)E*的全局穩(wěn)定性，構(gòu)造如下的Liapunov函數(shù)：

(14)

其中：α(a,m)是關(guān)于a和m的正的待定函數(shù). 易知V是正定的. 沿著模型(5)的解計(jì)算V的全導(dǎo)數(shù)為

(15)

顯然，V′(S*,x*)=0. 又因S*+x*=1，有：

(16)

由二次型理論可知, 要使得V′≤0，只需滿足

(17)

由式(17)可知

由注1解的正向不變集可知0

因此，使得V′≤0成立的條件為

(18)

即可選擇

(19)

使得V′≤0成立. 與此同時(shí)，當(dāng)(S,x)=(S*,x*)時(shí), V′=0.

綜述所述，如果λ(p)<1時(shí)V′<0，即為E*全局漸近穩(wěn)定，故定理2得證.

注3：由定理2的證明可知，模型(5)的動(dòng)力學(xué)行為完全由依賴于模糊性的得失相當(dāng)常數(shù)λ(p)決定，模糊性對(duì)模型(5)兩個(gè)平衡態(tài)的穩(wěn)定性具有顯著的影響.

3數(shù)值仿真及討論

為了驗(yàn)證本文的理論結(jié)果，通過(guò)例1說(shuō)明模糊性對(duì)微生物絕滅平衡態(tài)和微生物生存平衡態(tài)的影響.

例1在模型(5)中，可假定[ml,mu]=[1.2,1.6],[al,au]=[0.3,0.5]. 由于對(duì)任意p微生物絕滅平衡態(tài)總是存在的，而隨著p的變動(dòng)，微生物生存平衡態(tài)會(huì)發(fā)生較大的改變.對(duì)應(yīng)不同的p值，平衡點(diǎn)及其對(duì)應(yīng)變分矩陣的特征值的變化情況如表1所示.

表1　平衡態(tài)的值、其特征值及對(duì)應(yīng)的類型

由表1可知，隨著p值的增加，平衡態(tài)及其對(duì)應(yīng)的變分矩陣的特征值，以及平衡態(tài)的類型都發(fā)生了改變. 為了更直觀地揭示模糊性對(duì)恒化器中單種群微生物的演化趨勢(shì)的影響，借助Matlab中的ODE45算法，得到不同p值下營(yíng)養(yǎng)S(t)和微生物x(t)濃度的演化軌線圖(如圖2所示). 結(jié)合表1和圖2可知，p值對(duì)微生物的生存具有很大的影響：隨著p值的增大，原本絕滅的微生物將能夠生存下來(lái)；另一方面，微生物的演化趨勢(shì)必將介于p=0和p=1這兩條軌線之間，這就為估計(jì)恒化器中微生物的演化提供了一種趨勢(shì)范圍的預(yù)測(cè)手段. 模型的參數(shù)由于測(cè)量誤差、信息缺失等因素而導(dǎo)

致的不確定性是廣泛存在的，基于此，本文研究了一類具有模糊參數(shù)的單種群恒化器模型，得到了依賴于模糊性的得失相當(dāng)常數(shù)λ(p)的變化對(duì)模型動(dòng)力學(xué)行為的影響. 對(duì)λ(p)關(guān)于模糊參數(shù)m和a做敏感性分析，可以得到模型(5)依賴于模糊性的全局動(dòng)力學(xué)行為的參數(shù)空間(如圖3所示)：如果λ(p)>1，微生物絕滅平衡態(tài)是全局漸近穩(wěn)定的；如果λ(p)<1, 微生物存在平衡態(tài)是全局漸近穩(wěn)定的. 因此，模糊性對(duì)單種群恒化器模型動(dòng)力學(xué)行為具有明顯的影響. 同時(shí)，本文的方法能夠?yàn)楣烙?jì)在模糊參數(shù)影響下的恒化器中微生物的演化趨勢(shì)提供有效的區(qū)間估計(jì)方法.

(a) S(t) 　　　　(b) x(t)

(a) λ(p)對(duì)m和a的敏感性分析　　　　(b) E0和E*的穩(wěn)定區(qū)域

4結(jié)語(yǔ)

本文得到了單種群恒化器模型的動(dòng)力學(xué)行為完全由依賴于模糊性參數(shù)p的得失相當(dāng)常數(shù)λ(p)決定的結(jié)論，即：如果λ(p)>1，微生物絕滅平衡態(tài)全局漸近穩(wěn)定；如果λ(p)<1，微生物存在的正平衡態(tài)全局漸近穩(wěn)定.而考慮到實(shí)際中參數(shù)的不確定性，故對(duì)模糊性的動(dòng)力學(xué)行為的研究更為符合實(shí)際，并且其研究結(jié)果為預(yù)測(cè)在模糊參數(shù)影響下的恒化器中微生物的演化趨勢(shì)提供了有效的區(qū)間估計(jì)方法. 下一步的研究應(yīng)在更多的生物模型領(lǐng)域考慮模糊參數(shù)的影響.

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文章編號(hào)：1671-0444(2016)03-0437-06

收稿日期：2015-06-24

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11271260)；上海市教委科研創(chuàng)新重點(diǎn)資助項(xiàng)目(13ZZ116)；中國(guó)滬江基金資助項(xiàng)目(B14005)；上海市一流學(xué)科資助項(xiàng)目(XTKX2012)

作者簡(jiǎn)介：王會(huì)姣(1988—)，男，河北邢臺(tái)人，碩士研究生，研究方向?yàn)樯飻?shù)學(xué).E-mail:13167051881@163.com 原三領(lǐng)(聯(lián)系人), 男，教授，E-mail: sanling@usst.edu.cn

中圖分類號(hào)：O 159

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Study on the Dynamics of a Single-Species Chemostat Model with Fuzziness

WANGHui-jiao,ZHAOYu,YUANSan-ling

(College of Science, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai 200093, China)

Abstract:A single-species chemostat model with fuzziness is considered. The break-even concentration λ(p)，which depends on the fuzzy parameter p is first given, and the dynamics of the model is completely determined by λ(p): if λ(p)>1， then the extinction equilibrium is globally stable; if λ(p)<1， then the positive equilibrium of microorganism survival is globally stable. Based on the above analysis, the parameter space of dynamic behaviors which depend on the fuzziness is derived. Numerical simulations are carried out to support the theoretical results obtained. The research result provides an effective method on the prediction of the evolution ranges of the microorganism in chemostat under the influence of fuzzy parameters.

Key words:chemostat; uncertain factors; interval-valued parameters; asymptotic behavior