◇　云南　白金石

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二次求導(dǎo)，解決函數(shù)問題的一把利刃

◇云南白金石

隨著新課標(biāo)改革的不斷推進(jìn),高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)逐漸向培養(yǎng)學(xué)生解決實際數(shù)學(xué)問題能力的方面轉(zhuǎn)變.由于導(dǎo)數(shù)在解決函數(shù)問題中有著廣泛的應(yīng)用,因此與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的內(nèi)容成為新高考必考熱點之一．二次求導(dǎo)是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中比較困難的內(nèi)容,但其在高考中出現(xiàn)的頻率較高，所以作為數(shù)學(xué)老師,一定要教會學(xué)生利用二次求導(dǎo)方法來解決函數(shù)問題,這是學(xué)生應(yīng)對高考的一把利刃．

下面筆者結(jié)合多年數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗,就如何利用二次求導(dǎo)法解決函數(shù)問題發(fā)表一些看法,供參考．

1　二次求導(dǎo),求取單調(diào)區(qū)間

我們知道導(dǎo)函數(shù)是用來判斷原函數(shù)單調(diào)性的有利工具,如果導(dǎo)函數(shù)大于零,則原函數(shù)為增；導(dǎo)函數(shù)小于零,則原函數(shù)為減．這是函數(shù)一次求導(dǎo)的應(yīng)用,但有時一次求導(dǎo)并不能確定導(dǎo)函數(shù)的值與零之間的關(guān)系,此時就需要對原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)再次進(jìn)行求導(dǎo),這就是二次求導(dǎo)．用二次求導(dǎo)來判斷導(dǎo)函數(shù)的增減性,進(jìn)而判斷原函數(shù)的單調(diào)變化．

最后得出正確答案a>b．

具體過程如下：令g(x)=xcosx-sinx，求導(dǎo)得

g′(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx.

當(dāng)x∈(0,π)時， g′(x)<0,所以g(x)在(0,π)內(nèi)單調(diào)遞減， 所以g(x)

又因為0≤x1f(x2),即a>b.

本題的難點在于如何轉(zhuǎn)變學(xué)生的解題思路,不能每次碰到求單調(diào)區(qū)間問題都使用畫函數(shù)圖象的方法．因為有的題目函數(shù)圖象不易畫出,一定要讓學(xué)生學(xué)會變通,放棄圖象法,而采用二次求導(dǎo)法,將會發(fā)現(xiàn)另一片新的天地．

2　巧用因子,求解取值范圍

在一些求解某些未知數(shù)的取值范圍的題目中,有些同學(xué)能夠聯(lián)想到一次求導(dǎo)和二次求導(dǎo)來解題,但是在面對解題過程中的一些復(fù)雜方程式，常感不知如何下手．

下面介紹一種方法——巧用因子．

xlnx≤x2+ax．

a≥lnx-x, a≥(lnx-x)max.

其實很簡單,只要細(xì)心觀察就能夠發(fā)現(xiàn)巧用因子這種方法,只要透過這層面紗,下面如何解題就變得相對簡單了．

作為老師不應(yīng)該僅僅教會學(xué)生使用二次求導(dǎo)的方法,更要強化他們的應(yīng)用意識以及在二次求導(dǎo)中需要的技巧．巧用因子只是其中的一種方法,老師可以在這種變通的方面多做總結(jié)與介紹,讓學(xué)生不僅能用二次求導(dǎo),更能夠用好二次求導(dǎo)．

3　構(gòu)造函數(shù),求證不等關(guān)系

二次求導(dǎo)在很多問題中都可以使用,數(shù)學(xué)高考中的壓軸題大多為函數(shù)問題,而且參照這幾年來的高考可以發(fā)現(xiàn),二次求導(dǎo)法在其中的應(yīng)用是必不可少的．函數(shù)問題基本類型:求單調(diào)區(qū)間、極值、最值以及證明不等式恒成立等．這些題型都可以采用求導(dǎo)法來解決．在高中范圍內(nèi)一次求導(dǎo)不能完成問題解答,就再次進(jìn)行求導(dǎo),基本就可以解決了．

下面再以一道高考真題為例,講解如何利用二次求導(dǎo)求證函數(shù)不等關(guān)系．

(1) 求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值;

(2) 求證:當(dāng)a>ln2-1且x>0時,ex≥x2-2ax+1．

先對函數(shù)g(x)求導(dǎo)得g′(x)=ex-2x+2a,再對g′(x)求導(dǎo)得g″(x)=ex-2,令g″(x)=0，即ex-2=0,得x=ln2.

接下來列表分析:

x(0,ln2)ln2(ln2,+∞)g″(x)-0+g'(x)減極小值增

觀察上表可以發(fā)現(xiàn)g′(x)≥g′(ln2),所以須求出g′(ln2),才能繼續(xù)向下分析．老師要引導(dǎo)學(xué)生逐步分析題意,只有知道下一步如何走,學(xué)生才不會對數(shù)學(xué)的壓軸題感到恐懼．

根據(jù)所求得的g′(ln2)可以發(fā)現(xiàn),g′(ln2)>0,所以g′(x)>0，g(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),可以判斷出g(x)>g(0)，而且g(0)=0．即可證出上述不等式．

這種求證不等式的問題,都會有一個零點,例如原函數(shù)在x=0時的函數(shù)值為0，這是解題的關(guān)鍵,本題也是如此．正是由于g(0)=0,這道題才有解下去的可能．抓住這一點,便找到了解題的突破口．

二次求導(dǎo)的應(yīng)用很多,它是解答函數(shù)問題的一把利刃．掌握好二次求導(dǎo)法的應(yīng)用,學(xué)生基本就可以從容地面對高考中的函數(shù)問題了．老師要多為學(xué)生考慮,考慮到學(xué)生對高考的恐懼與顧慮,在數(shù)學(xué)思想與解題方法中給予學(xué)生最大的幫助．掌握了數(shù)學(xué)的核心思想與核心手段,解題即可得心應(yīng)手．

云南省玉溪市新平縣第一中學(xué))