尹剛， 張英堂， 李志寧， 張光， 范紅波

軍械工程學(xué)院七系， 石家莊　050003

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磁偶極子梯度張量的幾何不變量及其應(yīng)用

尹剛， 張英堂*， 李志寧， 張光， 范紅波

軍械工程學(xué)院七系， 石家莊050003

摘要磁梯度張量系統(tǒng)姿態(tài)的變化將影響梯度場(chǎng)測(cè)量和數(shù)據(jù)解釋的精度，使得具有坐標(biāo)變換不變性特點(diǎn)的張量不變量成為磁梯度張量數(shù)據(jù)解釋的研究熱點(diǎn).本文在對(duì)磁偶極子產(chǎn)生的磁梯度張量進(jìn)行特征值分析的基礎(chǔ)上得到了：測(cè)量點(diǎn)與磁偶極子位置形成的位置矢量、磁偶極子磁矩矢量與絕對(duì)值最小的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量垂直；位置矢量和磁矩矢量與最大及最小特征值對(duì)應(yīng)的特征向量共面，且兩矢量間的夾角可由磁梯度張量矩陣的特征值表示.最后，將本文所得磁偶極子梯度張量的幾何不變量用于磁性目標(biāo)的跟蹤中，取得了較好的實(shí)時(shí)跟蹤效果.

關(guān)鍵詞磁偶極子； 磁梯度張量； 幾何不變量； 特征值； 張量不變量

1引言

磁梯度張量測(cè)量及解釋應(yīng)用被視為磁法勘探工作的一次突破(張昌達(dá)，2006； 2007)，其在資源勘探、軍事、環(huán)境等領(lǐng)域都有著重要的應(yīng)用價(jià)值(Schmidt and Clark，2000； 2006).磁梯度張量系統(tǒng)測(cè)量的對(duì)象是磁場(chǎng)矢量的梯度場(chǎng)，測(cè)量的結(jié)果受磁化方向影響小，能夠反映目標(biāo)體的矢量磁矩信息，且能更好地反演場(chǎng)源參數(shù)(方位、磁矩等)并對(duì)場(chǎng)源進(jìn)行定位和追蹤(張鳳旭等，2007)，提高了磁源體的分辨率(馬國(guó)慶等，2012).

磁梯度張量具有良好的數(shù)學(xué)性質(zhì)，但其搭載在運(yùn)動(dòng)載體上使用時(shí)，載體姿態(tài)的變化將影響其測(cè)量和數(shù)據(jù)解釋的精度(張光等，2013a)，由張量元素計(jì)算得到的張量不變量因其不受姿態(tài)變化的影響而得到了較多的關(guān)注，被廣泛應(yīng)用于磁性目標(biāo)的定位及磁異常源的邊界識(shí)別等多種場(chǎng)合(張光等，2013b).當(dāng)探測(cè)距離大于2.5倍磁性物體長(zhǎng)度時(shí)，可將磁性目標(biāo)簡(jiǎn)化為磁偶極子模型(張朝陽(yáng)等，2010)，因此，本文在張量不變量的基礎(chǔ)上，以磁偶極子產(chǎn)生的磁梯度張量為對(duì)象，研究磁梯度張量矩陣、磁偶極子位置及磁矩間的本質(zhì)關(guān)系，推導(dǎo)出了蘊(yùn)含在其中的、不受姿態(tài)變化影響的固定幾何關(guān)系，本文稱之為磁梯度張量的幾何不變量.

2磁梯度張量測(cè)量理論及張量不變量

磁梯度張量是磁場(chǎng)矢量的3個(gè)分量在相互正交的3個(gè)方向的空間變化率.若B為磁場(chǎng)矢量場(chǎng)，則磁梯度張量可以表示為兩個(gè)三元素矢量的矩陣乘法運(yùn)算：

(1)

其中,U為磁標(biāo)勢(shì)，Bx，By和Bz是磁場(chǎng)矢量B在空間相互正交的三個(gè)方向上的分量.

磁法勘探中地磁場(chǎng)及鐵磁物質(zhì)產(chǎn)生的異常場(chǎng)可看作無(wú)源的靜磁場(chǎng)，因此，磁感應(yīng)強(qiáng)度的散度和旋度為0，即：

(2)

由式(1)和(2)可知，磁梯度張量矩陣G為對(duì)稱矩陣，其中9個(gè)元素中，只有5個(gè)是獨(dú)立的，即只需得到其中的5個(gè)元素就可測(cè)得磁梯度張量.在磁法探測(cè)中，磁性目標(biāo)簡(jiǎn)化為磁偶極子模型時(shí)可由6個(gè)未知量描述，即磁性目標(biāo)的三維位置和三維磁矩.因此，磁矩矢量為m=(mx,my,mz)的磁偶極子，在距離其r=(x,y,z)處產(chǎn)生的磁矢量場(chǎng)(卞光浪等，2011)及磁梯度張量矩陣中的5個(gè)獨(dú)立分量(Rimetal.，2012)可分別由下式計(jì)算得到

(3)

(4)

易知，磁梯度張量矩陣的特征值與坐標(biāo)的選擇無(wú)關(guān)，為張量的基本不變量(余天慶和毛為民，2006)，且張量矩陣的其余不變量可由特征值表示.設(shè)矩陣G的3個(gè)特征值為λ1，λ2和λ3，則由G的特征方程可得磁梯度張量的另外4個(gè)不變量，分別表示為

(5)

3幾何不變量的證明

3.1磁梯度張量矩陣的特征值分析

(6)

將式(4)及式(5)代入式(6)可得磁偶極子產(chǎn)生的磁梯度張量矩陣的特征值：

(7)

令：δ=ec2+bcd+abc+d2e+ade+e3，ε=a2c+adc+abe+c3+ce2+bde，φ=bc2+cde-be2-ace，則磁偶極子產(chǎn)生的梯度張量的三個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量V1，V2，V3分別為

(8)

(9)

(10)

3.2幾何不變量1

由式(7)中磁偶極子張量矩陣的特征值公式可知，假設(shè)3個(gè)特征值已由磁梯度張量系統(tǒng)測(cè)得的實(shí)際信號(hào)求解得到，則磁偶極子位置矢量與磁矩矢量間的夾角可由下式求解得到

(11)

由式(11)可知，磁梯度張量的特征值為張量不變量，因此，在磁梯度張量系統(tǒng)發(fā)生姿態(tài)變化時(shí)，由該公式計(jì)算得到的磁偶極子位置矢量與磁矩矢量間的夾角保持不變.本文將其定義為磁梯度張量的幾何不變量1，其幾何示意如圖1所示.

圖1　磁偶極子梯度張量場(chǎng)的幾何不變量示意圖Fig.1　Sketch map of magnetic gradient tensor′s geometric invariants

由磁偶極子產(chǎn)生的磁矢量、磁梯度張量場(chǎng)公式及幾何不變量1可得：

(12)

因此，基于本文推導(dǎo)的幾何不變量1，若已知磁偶極子產(chǎn)生的總磁場(chǎng)強(qiáng)度及磁梯度張量信息，可通過(guò)特征值分析及公式(12)求得磁偶極子相對(duì)于測(cè)量點(diǎn)的距離R和磁矩模M.

3.3幾何不變量2

將式(4)代入式(10)化簡(jiǎn)可得如下等式：

(13)

由式(13)可知，磁梯度張量矩陣G的絕對(duì)值最小的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量垂直于磁矩矢量和位置矢量，且不隨著張量系統(tǒng)姿態(tài)的變化而變化.本文將此固定的垂直關(guān)系定義為磁梯度張量的幾何不變量2.3.4幾何不變量3

由對(duì)稱矩陣的特征向量之間的幾何關(guān)系可知，特征向量V3垂直于V1和V2；由幾何不變量2可知，特征向量V3垂直于磁矩矢量m和位置矢量r，因此，假設(shè)向量V1，V2，m和r共面，則4個(gè)向量之間可互相表示，令

(14)

(15)

又磁偶極子產(chǎn)生的梯度張量場(chǎng)與矢量場(chǎng)滿足歐拉反褶積公式(Reidetal.，1990；Naraetal.，2006；NaraandIto，2014)，且構(gòu)造指數(shù)為3，即

(16)

(17)

則由式(14)及式(17)可得：

(18)

故磁偶極子位置矢量的單位向量可表示為

(19)

將式(15)及式(19)代入式(11)表示的幾何不變量1，可求得式(15)中的等式系數(shù)：

(20)

由式(18)及式(20)可知，位置矢量及磁矩矢量與最大及最小特征值對(duì)應(yīng)的特征向量共面，且不隨著系統(tǒng)的姿態(tài)變化而變化，本文將其定義為幾何不變量3.因此，幾何不變量3可用于磁性目標(biāo)的定位和磁矩反演.

在已知磁偶極子產(chǎn)生的磁梯度張量矩陣的情況下，可通過(guò)特征值分析，利用式(12)求解磁偶極子相對(duì)于測(cè)量點(diǎn)的距離和磁矩模，然后利用式(18)及式(20)求解磁偶極子的位置及磁矩矢量的單位向量，最終實(shí)現(xiàn)磁偶極子位置及磁矩矢量的正確反演，其幾何示意如圖2所示.

圖2　幾何不變量3表示的磁矩及位置矢量示意圖Fig.2　Inverse solution of source-dipole vector and magnetic moment based on geometric invariant 3

由圖2可知，該方法得到真實(shí)位置及磁矩矢量的同時(shí)，也得到了3個(gè)虛假解，因此，在實(shí)際應(yīng)用中，可根據(jù)所測(cè)目標(biāo)在磁梯度張量系統(tǒng)的上方或下方，直接去除兩個(gè)虛假解，然后根據(jù)磁梯度張量系統(tǒng)測(cè)得的多點(diǎn)總磁場(chǎng)強(qiáng)度及磁矢量場(chǎng)進(jìn)行另一個(gè)虛假解的去除，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)真實(shí)磁偶極子位置及磁矩矢量的正確反演.

4仿真實(shí)驗(yàn)分析

利用本文提出的幾何不變量進(jìn)行磁偶極子位置及磁矩矢量反演的三組仿真實(shí)驗(yàn)，以驗(yàn)證所提幾何不變量的準(zhǔn)確性.其中磁梯度張量系統(tǒng)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，磁偶極子運(yùn)動(dòng)軌跡的具體參數(shù)設(shè)置如表1所示.仿真實(shí)驗(yàn)流程如下：

(1)根據(jù)磁偶極子數(shù)學(xué)模型，計(jì)算磁偶極子位于不同位置時(shí)在坐標(biāo)原點(diǎn)產(chǎn)生的磁梯度張量值.

(2)對(duì)計(jì)算得到的磁梯度張量數(shù)據(jù)進(jìn)行特征值分析，求解其對(duì)應(yīng)的特征值和特征向量.

表1　仿真參數(shù)設(shè)置

(3)利用公式(12)求解磁偶極子相對(duì)于測(cè)量點(diǎn)的距離及磁矩模.

(4)將計(jì)算得到的特征值及特征向量代入式(19)及式(20)，求解磁偶極子位置及磁矩矢量.

利用本文所提幾何不變量反演得到的磁偶極子在x-y平面上的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖3—5所示.由圖可知，幾何不變量估計(jì)得到磁偶極子真實(shí)運(yùn)動(dòng)軌跡的同時(shí)也求解得到3個(gè)虛假解，必須采用有效方法準(zhǔn)確去除虛假解.虛假解的去除流程如圖6所示，去除虛假解后的真實(shí)軌跡在圖3—5中以深色表示.

圖3　估計(jì)得到的磁偶極子運(yùn)動(dòng)軌跡(仿真實(shí)驗(yàn)1)Fig.3　Estimated track of magnetic dipole coming from the first simulation

由于在實(shí)際應(yīng)用中所探測(cè)目標(biāo)在測(cè)量平面的上方或下方為已知信息，且單點(diǎn)測(cè)量的數(shù)據(jù)反演得到的四組磁偶極子的三維坐標(biāo)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此，根據(jù)已知信息中的Z坐標(biāo)信息可直接刪除四組解中的兩個(gè)虛假解.將剩下的兩組解代入式(3)和式(4)中可計(jì)算得到兩組不同的解在測(cè)量點(diǎn)產(chǎn)生的磁梯度張量值.若為真實(shí)解，則該計(jì)算值與實(shí)際測(cè)量值相吻合；若為虛假解，則計(jì)算得到的張量數(shù)據(jù)與測(cè)量數(shù)據(jù)存在較大的偏差，因此，根據(jù)計(jì)算值與測(cè)量值之間的差異可進(jìn)一步去除第3個(gè)虛假解，進(jìn)而得到真實(shí)的磁偶極子位置及磁矩矢量.值得注意的是，虛假解的去除是實(shí)時(shí)的，即每個(gè)測(cè)量點(diǎn)反演得到的四組解都需要進(jìn)行虛假解的去除.

圖4　估計(jì)得到的磁偶極子運(yùn)動(dòng)軌跡(仿真實(shí)驗(yàn)2)Fig.4　Estimated track of magnetic dipole coming from the second simulation

圖5　估計(jì)得到的磁偶極子運(yùn)動(dòng)軌跡(仿真實(shí)驗(yàn)3)Fig.5　Estimated track of magnetic dipole coming from the third simulation

圖6　虛假解去除流程Fig.6　Flow chart of elimination of ghost solutions

圖7　存在測(cè)量噪聲時(shí)估計(jì)得到的磁偶極子運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.7　Estimated track of magnetic dipole existing measurement noises

由于在實(shí)際應(yīng)用中，磁梯度張量系統(tǒng)存在測(cè)量誤差將在一定程度上影響磁偶極子探測(cè)和位置反演的距離，因此，將上述理論模型仿真中加入隨機(jī)噪聲進(jìn)行研究.考慮真實(shí)磁梯度張量系統(tǒng)多用來(lái)測(cè)量5個(gè)獨(dú)立的磁梯度張量分量及張量矩陣對(duì)稱的原則，在5個(gè)獨(dú)立的磁梯度張量分量信號(hào)中加入均值為0 nT·m-1，方差為0.5 nT·m-1的高斯白噪聲.圖7為表1中第一組仿真實(shí)驗(yàn)加入噪聲后的運(yùn)動(dòng)軌跡反演結(jié)果.由圖可知，加入隨機(jī)噪聲后，磁偶極子的可跟蹤范圍為y軸方向上的[-20 m,20 m].在可跟蹤范圍內(nèi)，本文所提算法可較為準(zhǔn)確地跟蹤磁偶極子，而超出此跟蹤范圍后，反演得到的磁偶極子的位置坐標(biāo)存在較大的偏差和不確定性，反演結(jié)果無(wú)法為磁偶極子的運(yùn)動(dòng)軌跡提供參考.同樣地對(duì)表1中的第二及第三組仿真實(shí)驗(yàn)加入隨機(jī)噪聲，則第二組仿真實(shí)驗(yàn)的可跟蹤的坐標(biāo)范圍為[-20,-5]至[8,23]，第三組仿真實(shí)驗(yàn)的可跟蹤的坐標(biāo)范圍為[0,-25]至[-22,-14].由式(3)及式(4)可知，磁矢量信號(hào)及磁梯度張量信號(hào)隨著距離的增加衰減極為迅速，因此，距離磁偶極子目標(biāo)較遠(yuǎn)處的磁場(chǎng)信號(hào)較弱，有效信號(hào)可能被測(cè)量噪聲所淹沒(méi)，進(jìn)而反演的得到的磁偶極子位置及磁矩矢量存在較大的偏差.即在實(shí)際應(yīng)用中，磁偶極子的跟蹤距離不僅僅受到其自身磁矩大小的影響，還受到測(cè)量系統(tǒng)中測(cè)量噪聲的影響.

5實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文所提幾何不變量在磁性目標(biāo)定位及跟蹤中的可行性，采用4個(gè)磁通門傳感器構(gòu)建了平面十字形磁梯度張量系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究.實(shí)驗(yàn)時(shí)某鐵磁性運(yùn)動(dòng)載體(在測(cè)量范圍內(nèi)可近似等效為磁偶極子)以60 km·h-1的速度在道路上直線運(yùn)動(dòng)，磁梯度張量系統(tǒng)放置于道路一側(cè)的地面上，同步采集各傳感器的輸出數(shù)據(jù)，采樣頻率為2048 Hz.選取兩條行駛路線進(jìn)行目標(biāo)軌跡的估計(jì)，假設(shè)運(yùn)動(dòng)載體沿著y軸正方向前進(jìn)，在x方向上距離磁梯度張量系統(tǒng)的距離(Closest Proximity Approach, CPA)分別為1.4 m和2 m，z軸方向豎直向下構(gòu)建右手坐標(biāo)系進(jìn)行數(shù)據(jù)計(jì)算和分析.

由于磁梯度張量系統(tǒng)靜止不動(dòng)，因此可在無(wú)磁性目標(biāo)的情況下采集背景地磁場(chǎng)，實(shí)時(shí)采集得到的磁傳感器數(shù)據(jù)減去背景地磁場(chǎng)即為磁性目標(biāo)產(chǎn)生的磁場(chǎng)數(shù)據(jù).在此，利用總磁場(chǎng)強(qiáng)度的變化判斷是否有磁性目標(biāo)的出現(xiàn)，然后截取采集得到的實(shí)時(shí)信號(hào)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)軌跡的估計(jì).由于運(yùn)動(dòng)載體等效的磁偶極子位于測(cè)量系統(tǒng)的上方，可直接去除兩個(gè)虛假解，則反演得到的載體在x-y平面的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖8、圖9所示.利用圖6所示的方法去除剩余的虛假解，則圖8、圖9所示右側(cè)深色曲線為估計(jì)得到的運(yùn)動(dòng)軌跡的真實(shí)解.

由圖8和圖9可知，虛假解表示的鐵磁體運(yùn)動(dòng)軌跡與真實(shí)運(yùn)動(dòng)軌跡相差較大，利用圖6所示的虛假解去除流程有效地識(shí)別出了由磁梯度張量數(shù)據(jù)計(jì)算得到的真實(shí)解.在可探測(cè)范圍內(nèi)，利用幾何不變量估計(jì)得到的鐵磁性載體運(yùn)動(dòng)軌跡的真實(shí)解可較好地跟蹤運(yùn)動(dòng)載體的實(shí)際軌跡，可實(shí)現(xiàn)基于磁梯度張量數(shù)據(jù)的運(yùn)動(dòng)載體實(shí)時(shí)跟蹤.由于磁傳感器自身的噪聲以及實(shí)驗(yàn)場(chǎng)地中地磁梯度的存在，導(dǎo)致估計(jì)得到的目標(biāo)位置與真實(shí)值存在一定的偏差，可通過(guò)進(jìn)一步提高磁傳感器的精度實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的遠(yuǎn)距離跟蹤.

圖8　估計(jì)得到的載體運(yùn)動(dòng)軌跡(CPA=1.4 m)Fig.8　Estimated track of mobile vehicle when CPA equal to 1.4 m

圖9　估計(jì)得到的載體運(yùn)動(dòng)軌跡(CPA=2 m)Fig.9　Estimated track of mobile vehicle when CPA equal to 2 m

6結(jié)論

(1) 基于數(shù)學(xué)解析方法對(duì)磁偶極子產(chǎn)生的磁梯度張量矩陣的特征值及特征向量進(jìn)行了理論推導(dǎo)，得出了磁偶極子位置矢量與磁矩矢量間的夾角關(guān)于特征值的數(shù)學(xué)表達(dá)式，并在此基礎(chǔ)上給出了磁矩模及磁偶極子與測(cè)量點(diǎn)間的距離的求解公式.

(2) 基于磁偶極子產(chǎn)生的矢量場(chǎng)、磁梯度張量場(chǎng)及其歐拉反褶積公式，驗(yàn)證了磁偶極子位置矢量、磁矩矢量、最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量及最小特征值對(duì)應(yīng)的特征向量共面的假設(shè)，并給出了位置矢量及磁矩矢量關(guān)于特征值及特征向量的數(shù)學(xué)表達(dá)式.

(3) 對(duì)本文提出的幾何不變量在磁性目標(biāo)跟蹤上的應(yīng)用進(jìn)行了仿真和實(shí)測(cè)分析，實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了公式推導(dǎo)的正確性及其在目標(biāo)跟蹤中的實(shí)用性.

致謝筆者向匿名評(píng)審專家及編輯部老師致以謝意！

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(本文編輯汪海英)

基金項(xiàng)目軍內(nèi)科研資助.

作者簡(jiǎn)介尹剛，男，1988年生，博士生，主要研究方向?yàn)榇女惓Ｌ綔y(cè)、磁梯度張量測(cè)量及地磁導(dǎo)航.E-mail: gang.gang88@163.com *通訊作者張英堂，男，1960年生，教授，博士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)闇y(cè)試技術(shù)與信號(hào)處理.E-mail: zyt01@malis.tsinghua.edu.cn

doi:10.6038/cjg20160232 中圖分類號(hào)P631

收稿日期2014-06-16，2015-12-23收修定稿

Research on geometric invariant of magnetic gradient tensors for a magnetic dipole source and its application

YIN Gang, ZHANG Ying-Tang*, LI Zhing-Ning, ZHANG Guang, FAN Hong-Bo

Department7th，MechanicalEngineeringCollege，Shijiazhuang050003，China

AbstractAs attitude change of the magnetic gradient tensor system may affect precision of gradient measurements and data interpretation, the rotational invariants which are invariant under rotation of the reference frame have been extensively studied for magnetic gradient tensor data. Based on the eigenvalue analysis of magnetic gradient tensors produced by the magnetic dipole, some invariant geometrical relationships, which are defined as geometric invariants, are deduced in this paper. Firstly, the eigenvector corresponding to the eigenvalue which has the smallest absolute value is perpendicular to both the dipole moment and source-dipole displacement vector. Secondly, source-dipole displacement, dipole moment and eigenvectors corresponding to the maximal and minimal eigenvalues are coplanar. Thirdly, the angle between dipole moment and source-dipole displacement vector can be calculated by eigenvalues of magnetic gradient tensors. At last, the proposed geometric invariants are used to track a magnetic target, and simulation and experimental results confirm the correctness and practicability of the proposed geometric invariants.

KeywordsMagnetic dipole; Magnetic gradient tensor; Geometric invariant; Eigenvalue; Tensor invariant

尹剛， 張英堂， 李志寧等. 2016. 磁偶極子梯度張量的幾何不變量及其應(yīng)用.地球物理學(xué)報(bào)，59(2):749-756,doi:10.6038/cjg20160232.

Yin G, Zhang Y T, Li Z N, et al. 2016. Research on geometric invariant of magnetic gradient tensors for a magnetic dipole source and its application.ChineseJ.Geophys. (in Chinese),59(2):749-756,doi:10.6038/cjg20160232.