孫文長(zhǎng)

無窮大直觀體驗(yàn)

美國(guó)曾經(jīng)有個(gè)小男孩，在與家人團(tuán)聚時(shí)，聽爸媽說“我們永遠(yuǎn)都在一起”。能跟爸媽在一起，他很開心，但他不明白“永遠(yuǎn)”是多遠(yuǎn)，意味著多長(zhǎng)時(shí)間。親愛的讀者，你明白嗎？

有一天，爸媽叫他和妹妹一起敬拜上帝。他與妹妹并肩跪在地上，身后正好有一面穿衣鏡；爸媽在他們對(duì)面，也并肩跪下，身后也有一面穿衣鏡。鏡子照射出爸爸、媽媽、妹妹和他的身影，通過兩面鏡子來回反射，他們一家人的身影被照射出很多很多個(gè)。順著鏡子往里看，他驚訝得發(fā)現(xiàn)這些身影只是變得越來越小，卻沒有盡頭！于是他思緒飄飛，對(duì)著鏡子開始數(shù)爸媽和妹妹的身影，一個(gè)、兩個(gè)、三個(gè)、四個(gè)、五個(gè)……突然一個(gè)詞“永遠(yuǎn)”映入了腦海。永遠(yuǎn)就是數(shù)也數(shù)不完，今天明天后天……以后的每一天，我們都在一起。

這個(gè)小孩經(jīng)歷的就是對(duì)無窮大的理解。無窮大屬于一個(gè)數(shù)學(xué)概念，學(xué)習(xí)無窮大不僅為了應(yīng)付考試，還有許多意想不到的額外好處。

有助于學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)

無窮大在數(shù)學(xué)上不是特指一個(gè)概念，它與許多主題有關(guān)，比如極限、集合、阿列夫數(shù)等。無窮大是高等數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)之一，中小學(xué)時(shí)理解無窮大，未來將受益匪淺。

從小學(xué)開始，數(shù)學(xué)教師就教導(dǎo)0不能做除數(shù)，它沒有意義。但高等數(shù)學(xué)里，在擴(kuò)充復(fù)平面的規(guī)則下，0可以做除數(shù)，存在這樣一個(gè)等式：1/0=∞。當(dāng)然了，這個(gè)等式也不是平常意義上的運(yùn)算。如果現(xiàn)在你能理解無窮大，將來就能更好地學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)。

有助于理解抽象知識(shí)

學(xué)習(xí)無窮大，有助于化抽象為具體，更好理解抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)。

在閱歷經(jīng)驗(yàn)有限的條件下，理解抽象知識(shí)最好的方法就是把它具體化，化虛為實(shí)。比如利用兩面穿衣鏡折射出無數(shù)個(gè)影子，就是對(duì)“永遠(yuǎn)”這個(gè)抽象概念的具體化。具體化之后，即使小學(xué)生也能理解抽象概念。

荷蘭錯(cuò)覺圖形大師埃舍爾，精通于以藝術(shù)繪畫表現(xiàn)數(shù)學(xué)特性，他作品豐富，很多都表現(xiàn)了無窮大、幾何原理等不同的數(shù)學(xué)知識(shí)。比如他的版畫《魚與鳥》，演繹了魚與鳥的圖底轉(zhuǎn)換。作品中鳥在不斷的變化中不知什么時(shí)候突然變成了魚，而魚又不知什么時(shí)候突然變成了鳥，這體現(xiàn)了漸變的特性。漸變也是無窮大的一個(gè)特性，從版畫的直觀圖形中，我們可以更好地理解無窮大。

數(shù)學(xué)本身就是抽象的，無窮大更抽象，因此為了理解無窮大，必須把它具體化。假以時(shí)日，這種具體化的能力，就會(huì)慢慢變成習(xí)慣。一旦養(yǎng)成習(xí)慣，就有助于理解更多的數(shù)學(xué)知識(shí)，甚至其他學(xué)科的抽象知識(shí)。

有助于提高主動(dòng)學(xué)習(xí)能力

學(xué)習(xí)無窮大，還能促進(jìn)學(xué)習(xí)者主動(dòng)學(xué)習(xí)，提高想象力和元認(rèn)知能力。

對(duì)于1→0中間的數(shù)，比如1/2、1/4、1/8、1/16……乃至無窮，怎樣理解呢？可以用這種直觀又必須具備想象力的方法。取一張A4紙，用剪刀在中間剪掉一半，把剩下一半再攔腰剪掉一半，然后在剩下一半的一半的紙上再攔腰剪掉一半，依次類推，一直剪到最后，紙?jiān)絹碓叫?，小得不能再剪了。你所剪下的每一半紙，分別就是1/2、1/4、1/8、1/16等等，或許剪到1/2056時(shí)，實(shí)在剪不下了。但是，這時(shí)你應(yīng)該明白，假如有一個(gè)小一號(hào)的人，拿一把小一號(hào)的剪刀，他可以繼續(xù)一半一半剪下去，而且永遠(yuǎn)剪下去。

根據(jù)建構(gòu)主義教育理論，知識(shí)學(xué)習(xí)不能被動(dòng)接受，必須主動(dòng)建構(gòu)，像一磚一瓦建房子一樣，在大腦中構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。如果把1→0中間所有（1/2）N（N=自然數(shù)）的數(shù)，比作一張知識(shí)網(wǎng)絡(luò)上的知識(shí)點(diǎn)，那么構(gòu)建這個(gè)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，就要認(rèn)清所有這些（1/2）N數(shù)。認(rèn)清這些數(shù)，首先不可能被動(dòng)地“聽”，單純地課堂傳授或許能讓你記住它們，但很難認(rèn)識(shí)；其次，不可能一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)，它們有無數(shù)個(gè)，根本數(shù)不過來。

所以，學(xué)習(xí)者必須主動(dòng)探究，理解1/2、1/4…1/16…1/128……等每個(gè)數(shù)究竟有多大（如紙張大?。?，以及它們之間相互關(guān)系（如紙張大小比較）；還要發(fā)揮想象力，在諸如1/2056這樣大小實(shí)在剪不下去的紙上，仍然能繼續(xù)剪下去（如存在小一號(hào)的人和剪刀）。

這種直觀地學(xué)習(xí)無窮大的方法，可以給學(xué)習(xí)者留下一種數(shù)字直覺，它能促進(jìn)主動(dòng)學(xué)習(xí)和元認(rèn)知。這些就是新課程改革中，探究或問題導(dǎo)向的課程形式所注重的培養(yǎng)目標(biāo)。

總的來講，學(xué)習(xí)無窮大最直接的益處，或許就是讓學(xué)習(xí)者免于害怕數(shù)學(xué)。畢竟，抽象的無窮大的“數(shù)”，你可以理解，其他類似幾十億、上萬億的數(shù)自然再不會(huì)頭疼。