吳　芬　黃美發(fā)　陳磊磊　吳常林

桂林電子科技大學(xué)，桂林，541004

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基于多分辨率奇異值分解的表面濾波方法

吳芬黃美發(fā)陳磊磊吳常林

桂林電子科技大學(xué)，桂林，541004

摘要：針對(duì)目前表面濾波方法中存在邊界效應(yīng)、缺乏多尺度性和最優(yōu)小波函數(shù)選擇等問(wèn)題，在一維多分辨率奇異值分解(MSVD)的基礎(chǔ)上，構(gòu)造出二維MSVD，并提出基于MSVD的表面濾波方法。該方法具有多尺度性，不存在邊界效應(yīng)，并且不需要選擇小波函數(shù)。仿真實(shí)驗(yàn)和實(shí)測(cè)表面數(shù)據(jù)表明，該方法與目前表面濾波方法的濾波效果相一致，適用于表面工程的評(píng)定。

關(guān)鍵詞：表面形貌；多分辨率; 奇異值分解；表面濾波

0引言

表面形貌是指零件在加工過(guò)程中殘留下來(lái)的微觀幾何形態(tài)，可用粗糙度、波紋度、形狀誤差等來(lái)表征。表面形貌客觀地反映了表面生成機(jī)制，影響工程表面的功能特性[1]。為了有效地分離粗糙度、波紋度、形狀誤差等表面形貌特征，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)表面濾波技術(shù)進(jìn)行了深入研究[2-3]。目前，表面濾波的方法主要有多項(xiàng)式擬合法、2RC濾波法、高斯濾波法、穩(wěn)健高斯回歸濾波法、樣條濾波法和小波濾波法等。多項(xiàng)式擬合法能保證數(shù)學(xué)處理速度，但受函數(shù)形式和多項(xiàng)式次數(shù)的制約，其擬合精度有限；2RC濾波器能有效分離出高頻和低頻部分，但存在非線性相移的缺陷；高斯濾波法能有效分離表面成分且無(wú)相移，但存在邊界效應(yīng)和穩(wěn)健性差的問(wèn)題；穩(wěn)健高斯回歸濾波法解決了高斯濾波法存在的邊界效應(yīng)和穩(wěn)健性差的問(wèn)題[4]；樣條濾波法能有效提取大曲率曲線且沒(méi)有邊界效應(yīng)，但其頻率傳輸特性較差[5-7]。上述濾波法都缺乏多尺度性能，小波濾波法則具有多尺度性能但存在最優(yōu)小波函數(shù)選擇的問(wèn)題[8]。針對(duì)目前表面濾波法所存在的問(wèn)題，本文提出了一種基于多分辨率奇異值分解(MSVD)的表面濾波方法。該方法不存在邊界效應(yīng)和最優(yōu)小波函數(shù)選擇的問(wèn)題，并且具有多尺度性。

1一維多分辨率奇異值分解原理

對(duì)于任何一維信號(hào)X=(x1,x2,…,xN)，構(gòu)造矩陣

(1)

對(duì)矩陣H進(jìn)行奇異值分解[9](singular value decomposition，SVD)得到：

(2)

Aj=(aj,(1,1),(La1+La2)/2,aj,(2,N-1))

(3)

Dj=(dj,(1,1),(Ld1+Ld2)/2,dj,(2,N-1))

(4)

La1=(aj,(1,2),aj,(1,3),…,aj,(1,N-1))

La2=(aj,(2,1),aj,(2,2),…,aj,(2,N-2))

Ld1=(dj,(1,2),dj,(1,3),…,dj,(1,N-1))

Ld2=(dj,(2,1),dj,(2,2),…,dj,(2,N-2))

一維MSVD遞推分解方式如圖1所示[10]。

圖1　一維MSVD遞推分解方式

其中，Aj→Aj+1、Dj+1算法如圖2所示。

由式(2)～式(4)可知：Aj=Aj+1+Dj+1，Aj和Aj+1都為N維向量，所以一維MSVD不會(huì)存在邊界效應(yīng)。對(duì)一維離散信號(hào)進(jìn)行MSVD可知，MSVD與小波分析具有一定的差別，小波分析的分解層數(shù)是有限的，而MSVD不受分解層數(shù)的限制。文獻(xiàn)[11]證明了{(lán)Dj}構(gòu)成近似公比為0.5的等比數(shù)列，所以{Aj}是收斂的，則信號(hào)通過(guò)SVD迭代分解最終得到的結(jié)果是穩(wěn)定的。

圖2　Aj→Aj+1、Dj+1分解算法

2二維多分辨率奇異值分解的構(gòu)造

根據(jù)一維MSVD分析理論，本文結(jié)合二維小波分析中Mallat算法來(lái)構(gòu)造二維MSVD，其算法如圖3所示。其中，Ajx為對(duì)矩陣Aj進(jìn)行行SVD分解得到的主體成分，Djx為對(duì)矩陣Aj進(jìn)行行SVD分解得到的細(xì)節(jié)成分，AjxAjy為對(duì)矩陣Ajx進(jìn)行列SVD分解得到的主體成分，AjxDjy為對(duì)矩陣Ajx進(jìn)行列SVD分解得到的細(xì)節(jié)成分，DjxAjy為對(duì)矩陣Djx進(jìn)行列SVD分解得到的主體成分，DjxDjy為對(duì)矩陣Djx進(jìn)行列SVD分解得到的細(xì)節(jié)成分。

圖3　二維MSVD遞推分解方式

圖分解算法

令

式中，M為二維離散信號(hào)的行數(shù)；N為二維離散信號(hào)的列數(shù)。

其中，int()為向下取整函數(shù)。且i=1,2,…,2M；k=1,2,…,N-1。

令

令

其中，i=1,2,…,2M；k=1,2,…,N-1。

i=1,2,…,M-1；k=1,2,…,2N

分別令

其中，i=1,2,…,M-1；k=1,2,…,2N。

i=1,2,…,M-1；k=1,2,…,2N

分別令

其中，i=1,2,…,M-1；k=1,2,…,2N。

由式(2)～式(4)和圖3、圖4可知：

(5)

由對(duì)一維離散信號(hào)的MSVD分解結(jié)果可知，一維離散信號(hào)通過(guò)SVD迭代分解最終得到的結(jié)果是穩(wěn)定的，且不存在邊界效應(yīng)。二維離散信號(hào)的SVD迭代分解實(shí)質(zhì)上是通過(guò)行分解和列分解迭代的形式進(jìn)行的，因此二維離散信號(hào)MSVD最終得到的結(jié)果是穩(wěn)定的，且不存在邊界效應(yīng)。

3基于MSVD的表面濾波法

3.1表面形貌濾波的MSVD模型

令z(x)為二維表面輪廓信號(hào)，z1(x)為二維表面形狀誤差，z2(x)為二維表面波紋度，z3(x)為二維表面粗糙度; z(x,y)為三維表面輪廓信號(hào)，z1(x,y)為三維表面形狀誤差，z2(x,y)為三維表面波紋度，z3(x,y)為三維表面粗糙度。二維表面形貌濾波的MSVD模型可表示為

z1(x)+z2(x)=Aj(x)

其中，j為分解層數(shù)，z1(x)+z2(x)為表面評(píng)定基準(zhǔn)線，Aj、Dk的求解見(jiàn)圖2。三維表面形貌濾波的MSVD模型可表示為

z(x,y)=z1(x,y)+z2(x,y)+z3(x,y)=

z1(x,y)+z2(x,y)=Aj(x,y)

3.2MSVD模型分解層數(shù)的確定

MSVD具有多尺度性，因此可在不同尺度下對(duì)表面特征進(jìn)行分離和提取。對(duì)于具有多尺度性的小波分析應(yīng)用于提取表面形貌評(píng)定基準(zhǔn)時(shí)，存在小波分解次數(shù)的確定問(wèn)題，同理，MSVD用于提取表面形貌評(píng)定基準(zhǔn)也存在分解層數(shù)確定的問(wèn)題。為此，本文提出了一種基于最大臨近層差值條件的方法來(lái)確定分解層數(shù)。定義二維表面和三維表面最大一維相鄰層差值:

Δ(j)=max(|Aj(x)-Aj+1(x)|)

(6)

x∈(1,N)

Δ(j)=max(|Aj(x,y)-Aj+1(x,y)|)

(7)

x∈(1,N),y∈(1,N)

其中，Δ(j)為二分遞推的第j層Aj與第j+1層Aj+1的最大差值。設(shè)定最大鄰層差值為Δ，當(dāng)j≥k時(shí)，滿(mǎn)足Δ(j)≤Δ，則確定遞推分解終止層數(shù)為k。因?yàn)閧Aj}是收斂的，所以必然存在k，使得j≥k時(shí)，Δ(j)≤Δ。

3.3基于MSVD濾波法的計(jì)算復(fù)雜度

設(shè)一維測(cè)量信號(hào)為X1×N，T11、T12、T13分別為Aj→Hj、Hj→Hj,1和Hj,1→Aj+1的計(jì)算復(fù)雜度，k為分解層數(shù)，則一維MSVD濾波法的計(jì)算復(fù)雜度T1為

T1=k(T11+T12+T13)=k(O(N)+

O(max{22N,2N2})+O(N))=k·O(N2)

T2=k(T21+T22+T23+T24+T25+T26)=

k(4·O(MN)+O(MN2)+O(M2N))=

k·O(max{MN2,M2N})

4仿真計(jì)算和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

4.1一維MSVD的實(shí)測(cè)實(shí)驗(yàn)

通過(guò)光切顯微鏡測(cè)量長(zhǎng)方形銅塊表面輪廓，該實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)評(píng)定長(zhǎng)度為ln=7.5 mm，采樣間隔為Δx=0.05 mm，采樣點(diǎn)數(shù)為150，如圖5所示。對(duì)該實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行一維MSVD，設(shè)定迭代終止條件Δ=0.05，由圖6可知分解層數(shù)可選17。

圖5　高斯濾波法

圖6　最大鄰層差值隨分解層數(shù)的變化

為了驗(yàn)證該方法的可行性與正確性，本文分別采用了高斯濾波法和高斯回歸濾波法來(lái)提取實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的表面基線(圖5、圖7)。圖8為基于一維MSVD濾波法得到的表面基線。從圖5、圖7、圖8可知三種濾波方式得到的表面基線有較好的一致性，并且本文算法不會(huì)存在高斯濾波法所存在的邊界數(shù)據(jù)丟失的問(wèn)題。

圖7　高斯回歸濾波法

圖8　一維MSVD濾波法

4.2二維MSVD仿真實(shí)驗(yàn)

為了說(shuō)明二維MSVD對(duì)三維表面濾波法的有效性，本文以多峰函數(shù)peaks(200)作為一個(gè)采樣點(diǎn)數(shù)為200×200的三維基準(zhǔn)面，同時(shí)在該基準(zhǔn)面上加白噪聲作為模擬表面，如圖9所示。運(yùn)用基于二維MSVD濾波法對(duì)模擬表面進(jìn)行濾波處理，設(shè)置迭代終止條件Δ=0.05，得到的基準(zhǔn)面如圖10所示。同時(shí)本文還分別采取了高斯回歸濾波法和雙樹(shù)復(fù)小波濾波法來(lái)提取基準(zhǔn)面，如圖11、圖12所示。

圖9　模擬表面

通過(guò)對(duì)仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比發(fā)現(xiàn)：從基準(zhǔn)面的形貌來(lái)說(shuō)，三種濾波結(jié)果具有較好的一致性。不過(guò)濾波性能還是有一定的差異：采用高斯回歸濾波時(shí)，得到的基準(zhǔn)面不夠自然平滑，與理想基準(zhǔn)面有一定的差異。采用雙樹(shù)復(fù)小波濾波法和基于二維MSVD濾波法得到的基準(zhǔn)面自然光滑且不存在邊界效應(yīng)。

圖10　二維MSVD濾波法(仿真)

圖11　高斯回歸濾波法(仿真)

圖12　雙樹(shù)復(fù)小波濾波法(仿真)

為了進(jìn)一步評(píng)價(jià)不同濾波法對(duì)仿真信號(hào)的濾波效果，本文采用信噪比和最大誤差兩個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)來(lái)評(píng)定。其中二維信噪比RSNR為理想基準(zhǔn)面功率和濾波后基準(zhǔn)面的噪聲功率之比：

(8)

最大誤差Δmax為理想基準(zhǔn)面與濾波后基準(zhǔn)面的最大誤差:

Δmax=max(|z(i,j)-z1(i,j)|)

(9)

其中，z為標(biāo)準(zhǔn)基準(zhǔn)面的高度矩陣，z1為濾波后基準(zhǔn)面的高度矩陣。通過(guò)不同濾波法提取基準(zhǔn)面的評(píng)價(jià)指標(biāo)如表1所示。

表1　濾波評(píng)價(jià)結(jié)果的對(duì)比

從表1可以看出，高斯回歸濾波法信噪比最小和最大誤差最大，從而評(píng)價(jià)結(jié)果最差；基于二維MSVD濾波模型得到基準(zhǔn)面的信噪比最大并且最大誤差最小，從而評(píng)價(jià)結(jié)果最優(yōu)。

4.3二維MSVD實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)分析

采用英國(guó)Taylor-Hobson公司的CCI型白光干涉式表面測(cè)量?jī)x進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，其最小采樣間距為0.078 μm，垂直分辨率為0.01 nm，實(shí)驗(yàn)樣品為某磨削工件，采樣點(diǎn)數(shù)為256×256，采樣間距Δx=1 μm，截止波長(zhǎng)選擇為λc=80 μm，實(shí)測(cè)表面如圖13所示。為了驗(yàn)證方法的可行性與正確性,本文分別采取高斯回歸濾波法、雙樹(shù)復(fù)小波濾波法和二維MSVD濾波法對(duì)磨削樣品進(jìn)行濾波處理，結(jié)果如圖14～圖16所示。

圖13　實(shí)測(cè)表面

圖14　高斯回歸濾波法(實(shí)測(cè))

圖15　雙樹(shù)復(fù)小波濾波法(實(shí)測(cè))

圖16　二維 MSVD濾波法(實(shí)測(cè))

由圖14～圖16可知，三種濾波法能有效地提取表面基準(zhǔn)面，并且基準(zhǔn)面的形貌具有較好的一致性。但高斯回歸濾波結(jié)果受異常信號(hào)的影響有明顯的凸峰和凹谷，而雙樹(shù)復(fù)小波濾波法和基于二維MSVD濾波法具有多尺度性，可通過(guò)選取較大尺度來(lái)抑制凸峰和凹谷，但雙樹(shù)復(fù)小波濾波法相鄰尺度濾波結(jié)果差異性較大，并且分解尺度有限。為保證濾波結(jié)果的準(zhǔn)確性，雙樹(shù)復(fù)小波分解尺度可根據(jù)截止波長(zhǎng)或能量守恒法來(lái)確定[11-13]，由采樣間距和截止波長(zhǎng)計(jì)算雙樹(shù)復(fù)小波分解層數(shù)為5，其濾波結(jié)果見(jiàn)圖15?；诙SMSVD濾波法因細(xì)節(jié)成分是公比小于1的等比數(shù)列，所以相鄰尺度濾波結(jié)果差異隨分解尺度的增大而減小?？赏ㄟ^(guò)改變最大差值終止條件來(lái)微調(diào)表面基準(zhǔn)面，這是雙樹(shù)復(fù)小波濾波法所不具有的。本文設(shè)置最大差值終止條件為0.05，其濾波結(jié)果如圖16所示，從圖16可知基于二維MSVD濾波得到基準(zhǔn)面存在不明顯凸峰和凹谷，在一定程度上能抑制異常信號(hào)的影響。

5結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)表面濾波方法目前所存在的問(wèn)題，提出了一種基于多分辨率奇異值分解的新的表面濾波方法，該濾波方法不存在邊界效應(yīng)和最優(yōu)小波函數(shù)選擇的問(wèn)題，并且具有多尺度性。仿真實(shí)驗(yàn)和實(shí)測(cè)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果表明，本文提出的濾波法與高斯回歸濾波法、雙樹(shù)復(fù)小波濾波法具有較好的一致性；在上述濾波法評(píng)價(jià)結(jié)果對(duì)比中，MSVD濾波法具有良好的濾波性能，但在確定分解層數(shù)時(shí)，最大差值終止條件的設(shè)置還有待進(jìn)一步研究。

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(編輯王艷麗)

收稿日期：2015-07-20

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51365009)；桂林電子科技大學(xué)研究生教育創(chuàng)新計(jì)劃資助項(xiàng)目(YJCXS201501)

中圖分類(lèi)號(hào)：TH161.14

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2016.13.013

作者簡(jiǎn)介：吳芬，男，1990年生。桂林電子科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院碩士研究生。主要研究方向?yàn)樾乱淮鶪PS表面濾波技術(shù)。黃美發(fā)，男，1962年生。桂林電子科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。陳磊磊，男，1985年生。桂林電子科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院助教。吳常林，男，1989年生。桂林電子科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院碩士研究生。

A New Surface Filtering Technology Based on Multi-resolution Singular Value Decomposition

Wu FenHuang MeifaChen LeileiWu Changlin

Guilin University of Electronic Technology,Guilin,Guangxi,541004

Abstract:Recently, the way used to extract the surface evaluation reference existed some issues such as boundary effect，no multi-scale and the selection of wavelet basis function．Aimming at above problems，a theory called 1D multi-resolution singular value decomposition (MSVD) was introduced and a 2D MSVD was deduced．And a surface filtering method based on MSVD was provided according to the above theory．The filtering effectiveness has a good consistency with the existing surface filtering technology and this surface filtering is suitable to surface engineering evaluation．

Key words:surface morphology; multi-resolution; singular value decomposition(SVD); surface filtering