付瑞琴，楊 海，裴元太

(1．西安石油大學理學院，陜西西安710065; 2．西安工程大學理學院，陜西西安710048)

關于指數Diophantine方程ax+by=z2的一個注記

付瑞琴1，楊 海2*，裴元太2

(1．西安石油大學理學院，陜西西安710065; 2．西安工程大學理學院，陜西西安710048)

設a和b是大于1的互素的正奇數．當(a，b)=(3，5)，(3，85)，(5，43)或(5，63)時，方程ax+by=z2無正整數解(x，y，z)．運用初等數論方法證明了以下一般性的結果:如果a是適合a≡±3(mod 8)的奇素數，b有約數d可使(a/d)=－1，其中(a/d)是Jacobi符號，則該方程僅有正整數解(a，b，x，y，z)=(11，3，4，5，122)．

指數Diophantine方程;二次剩余;Jacobi符號

1 主要結論

丟番圖方程形式的多樣性和求解原則的復雜性決定了丟番圖方程的研究沒有統一的方法．楊仕椿［1］借助Beukers的一些丟番圖逼近的深刻結果和初等數論方法，討論了一類廣義Ramanujan－Nagell丟番圖方程在特殊條件下的一些非例外情形，給出了一些有意義的結論．

設Z、N分別表示全體整數和正整數的集合．設a和b是大于1的互素的正奇數，文獻［2－5］證明了:當(a，b)=(3，5)，(3，85)，(5，43)或(5，63)時，方程

無正整數解(x，y，z)．該方程屬于指數丟番圖方程，近年來有關指數丟番圖方程的研究已得到了很多有意義的結果(參見文獻［6－13］)．對于方程(1)本文應用初等數論方法證明了以下一般性的結果:

定理1 如果a是適合a≡±3(mod 8)的奇素數，b有約數d可使

這里(*/*)是Jacobi符號，則方程(1)僅有正整數解

顯然，數組(a，b)=(3，5)，(3，85)，(5，43)和(5，63)都滿足本文定理1的條件，所以文獻［2－5］的結果都是本文定理1的推論．

2 若干引理

引理1 如果正奇數a和d滿足(2)式，則d＞1且d必有奇素因數q可使

證明 因為(a/1)=1，所以a和d滿足(2)式時必有d＞1．將d表示成奇素數q1，q2，…，qk的乘積，即

根據文獻［14］的第3．6節(jié)，由(2)式可得

由于(a/qi)=±1(i=1，2，…，k)，故由(5)式可知必有qj(1≤j≤k)可使(a/qj)=－1，因為qj是d的奇素因數，所以取q=qj即得(4)式．引理1得證．

引理2 設p是奇素數，X和Y是適合X＞Y以及gcd(X，Y)=1的正整數;又設

如果X≡Y(mod p)，則d=p且p‖Xp－1+Xp－2Y+…+Yp－1;否則d=1．

證明 參閱文獻［15］．

引理3 設n是大于3的正整數．方程

僅有解(n，X，Y，Z)=(5，3，－1，11)．

證明 參閱文獻［16］的定理1．1．

3 定理1的證明

設(x，y，z)是方程(1)的一組解．因為a和b都是奇數，所以由(1)式可知

如果x是奇數，則因gcd(a，b)=1，并且由(1)式可知z2≡ax(mod b)，所以同余式

有解．又由(7)式可知，對于b的任何約數d，同余式

都有解．因此，根據Jacobi符號的定義(參見文獻［14］的3．6)，由(8)式可知:對于b的任何約數d都有(a/ d)=1，與題設條件(2)矛盾．由此可知在本定理的題設條件下，方程(1)的解(x，y，z)必定滿足

因為gcd(a，b)=1且2ab，所以由(1)、(6)和(9)式可知

由(10)式可得

又由(11)式可得

和

如果2|y，則由(1)、(6)和(9)式可得

這一矛盾，故必有

又因y＞1，所以由(15)式可知y必有奇素因數p，故有

將(16)式代入(13)式可得

由于a是奇素數，fr－gr是偶數，所以根據引理2，由(17)式可得

或者

當(18)式成立時，因為f＞g≥1，故有

這一矛盾．

當(19)式成立時，因為

且f－g≥2，所以由(19)式中第二等式可知

由(16)、(18)和(21)式可得

設d是b滿足(2)式的約數．根據引理1可知此時d必有奇素因數q滿足(4)式．由于q也是b的奇素因數，又由(11)式可知b=fg，故必有q|f或q|g．因為f和g在(22)式中是對稱的，所以不妨假定

由(22)和(23)式可得

由于由(15)式可知y－1是偶數，所以當x/2是奇數時，由(24)式可知

與(4)式矛盾．由此可知x/2必為偶數，即

由(21)、(22)和(26)式可得

當y=3時，由(21)和(27)式可知

又由(28)式可知方程

有解

對于正整數k，設

因為(u，v)=(2，1)是方程(29)的最小解，所以根據文獻［14］的定理10．9．1和10．9．2，由(31)式可知(u，v) =(uk，vk)(k=1，2，…)是方程(29)的全部解．

由于2a，故由(30)和(31)式可得

此時，由(31)和(32)式可知

因為由(34)式可知(2/a)=1，故由文獻［14］的定理3．6．3可知a≡±1(mod 8)，與題設a≡±3(mod 8)矛盾．由此可知y≠3，故有

因為由(15)和(27)式可知所以根據引理3，由(35)和(36)式可得

因此，由(11)、(12)和(37)式可知:在題設條件下，方程(1)僅有解(3)．定理得證．

致謝 西安石油大學博士科研項目(2015BS06)對本文給予了資助，謹致謝意．

［1］楊仕椿．關于丟番圖方程x2－D=2n的一些非例外情況的解［J］．四川師范大學學報(自然科學版)，2004，27(4):373－377．

［2］SROYSANG B．On the Diophantine equation 3x+5y=z2［J］．Int J Pure Appl Math，2012，81(4):605－608．

［3］SROYSANG B．More on the Diophantine equation 3x+85y=z2［J］．Int J Pure Appl Math，2014，91(1):131－134．

［4］SROYSANG B．On the Diophantine equation 5x+43y=z2［J］．Int J Pure Appl Math，2014，91(4):537－540．

［5］SROYSANG B．On the Diophantine equation 5x+63y=z2［J］．Int J Pure Appl Math，2014，91(4):541－544．

［6］LE M H．Some exponential diophantine equation I:the equation D1x2－D2y2=λkz［J］．J Number Theory，1995，55(2):209－221．

［7］LE M H．Exponential solutions of the exponential diophantine equation(x3－1)/(x－1)=(yn－1)/(y－1)［J］．J Reine Angew Math，2002，543:187－192．

［8］胡永忠，袁平之．指數丟番圖方程ax+by=cz［J］．數學學報，2005，48(6):1175－1178．

［9］BUGEAUD Y，MIGNOTTE M，SIKSEK S．Classical and modular approaches to exponential Diophantine equations I．Fibonacci and Lucas perfect powers［J］．Ann Math，2006，163(3):969－1018．

［10］LUCA F，OYONO R．An exponential Diophantine equation related to powers of two consecutive Fibonacci numbers［J］．Proc Jpn Acad，2011，A87(4):45－50．

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［12］YANG H，FU R Q．An upper bound for least solutions of the exponential Diophantine equation D1x2+D2y2=λkz［J］．Int J Number Theory，2015，11(4):1107－1114．

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［14］華羅庚．數論導引［M］．北京:科學出版社，1979．

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A Note on the Exponential Diophantine Equation ax+by=z2

FU Ruiqin1，YANG Hai2，PEI Yuantai2

(1．School of Science，Xi’an Shiyou University，Xi’an 710065，Shaanxi; 2．School of Science，Xi’an Polytechnic University，Xi’an 710048，Shaanxi)

Let a and b be odd positive integers such that min{a，b}＞1 and gcd(a，b)=1．Recently，B．Sroysang proved that if(a，b)=(3，5)，(3，85)，(5，43)or(5，63)，then the equation ax+by=z2has no positive integer solutions(x，y，z)．In this paper，using elementary number theory methods，we prove that if a is an odd prime with a≡ ±3(mod 8)，b has a divisor d with(a/d)=－1，where(a/d)is the Jacobi symbol，then the equation has only the solution(a，b，x，y，z)=(11，3，4，5，122)．

exponential diophantine equation;quadratic residue;Jacobi symbol

O156．7

A

1001－8395(2016)04－0528－03

10．3969/j．issn．1001－8395．2016．04．012

(編輯 陶志寧)

2016－01－19

國家自然科學基金(11226038和11371012)和陜西省教育廳科研計劃項目(14JK1311)

*通信作者簡介:楊 海(1979—)，男，副教授，主要從事數論及其應用的研究，E－mail:xpuyhai@163．com．

2010 MSC:11D61