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        廣義零差分平衡函數(shù)的一個(gè)注記

        2016-07-24 17:24:31廖群英
        關(guān)鍵詞:群英素?cái)?shù)廣義

        蔣 林,廖群英

        (四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院,四川成都610066)

        廣義零差分平衡函數(shù)的一個(gè)注記

        蔣 林,廖群英*

        (四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院,四川成都610066)

        將零差分平衡函數(shù)的定義推廣到廣義零差分平衡函數(shù)(G-ZDB),并利用p分圓陪集構(gòu)造一類新的廣義零差分平衡函數(shù),其中p為質(zhì)數(shù).

        零差分平衡函數(shù);廣義零差分平衡函數(shù);p分圓陪集

        1 預(yù)備知識(shí)及主要結(jié)果

        設(shè)(A,+)和(B,+)均為交換群,且|A|=n,|B|=l.映射f:A→B稱為廣義零差分平衡函數(shù)(G-ZDB),是指存在非空集合,使得對(duì)任意0≠ a∈A,均有

        特別地,當(dāng)S是單元集時(shí),f是零差分平衡(ZDB)函數(shù),簡(jiǎn)記為(n,λ)-ZDB函數(shù)[1].

        包含了A中所有非零元素的λ倍,則稱P為(n,{t0,t1,…,t珋l-1},λ)-差分集(PDF).基于零差分平衡函數(shù)與PDF的聯(lián)系,零差分平衡函數(shù)可記為(n,{t0,t1,…,t珋l-1},λ)-ZDB函數(shù).有時(shí)不用考慮參數(shù){t0,t1,…,t珋l-1},簡(jiǎn)記為-ZDB函數(shù),此時(shí)廣義零差分平衡函數(shù)簡(jiǎn)記為函數(shù).

        零差分平衡函數(shù)常常應(yīng)用于組合學(xué)、代數(shù)學(xué)、有限幾何以及編碼和密碼學(xué)等領(lǐng)域,它是 C.S.Ding[1-2]在構(gòu)造最佳常組合碼與優(yōu)化及完善差分系統(tǒng)中引入的.熟知,完美非線性函數(shù)和差分函數(shù)均是特殊的零差分平衡函數(shù)[3-7].基于其良好的特性,人們可構(gòu)造出最佳組成權(quán)重碼和最優(yōu)跳頻序列[7-9].事實(shí)上,人們已經(jīng)構(gòu)造出大量的ZDB函數(shù)[1-2,7,10-11].特別地,C.S.Ding等[11]用2分圓陪集構(gòu)造了參數(shù)為

        的零差分平衡函數(shù),其中m為素?cái)?shù).本文將零差分平衡函數(shù)推廣到廣義的零差分平衡函數(shù),并利用p分圓陪集在模n=p2q-1(p,q為不同奇素?cái)?shù))上的性質(zhì),構(gòu)造了一類廣義零差分平衡函數(shù).

        定義1.1[11]令n=pm-1,其中m∈N+,則對(duì)任意的i∈{0,1,…,n-1},模n的含i的p分圓陪集定義為

        其中 li是使得 i≡i×pli(mod n)成立的最小正整數(shù).

        同時(shí),定義Ai中最小的正整數(shù)為Ai的首位.當(dāng)i≠0時(shí),Ai稱為非零p分圓陪集.

        定理1.2[11]設(shè)p、q為奇素?cái)?shù),n=p2q-1,Ai為模n的含i的p分圓陪集,M為模n的全部非零p分圓陪集的個(gè)數(shù),則對(duì)任意的i∈{1,2,…,n-1},|Ai|∈{1,2,q,2q}且

        定理1.3 設(shè)p,q為不同的奇素?cái)?shù),n=p2q-1,則存在參數(shù)為

        的G-ZDB函數(shù),其中

        2 主要結(jié)果的證明

        引理2.1[12]設(shè)a,n1,n2∈Z+,n1≠n2,則

        3)除此之外,

        有解的充分必要條件是gcd(m1,m2)| b1-b2.進(jìn)而在有解時(shí),其關(guān)于模lcm[m1,m2]恰有唯一解.

        定理 1.2的證明 由 n=p2q-1知 p2q≡1(mod n),即|Ai|≤2q.又由i≡i×pli(mod p2q-1)知(p2q-1)| i×(pli-1).由引理2.1知gcd(p2q-1,pli-1)=pgcd(2q,li)-1.注意到q為奇素?cái)?shù),故

        引理2.2[12]設(shè)m1、m2是2個(gè)正整數(shù),b1、b2為整數(shù),則同余式組

        所以對(duì)模n的任意非零p分圓陪集Ai,有|Ai|=li∈{1,2,q,2q},且模n的全部非零p分圓陪集的個(gè)數(shù)為

        定理1.3的證明 令T表示模n=p2q-1的所有p分圓陪集首位的集合,則由定理1.2可知

        現(xiàn)定義f:Zn→Zn為

        其中ix為x所在的p分圓陪集的首位,則

        另一方面,對(duì)任意的a∈{1,2,…,p2q-2},若存在x∈Zn,使得f(x+a)=f(x),則存在1≤k≤2q-1(k∈N),使得

        同余(1)式有解當(dāng)且僅當(dāng) g cd(p2q-1,pk-1)= (pgcd(2q,k)-1)| a,且有解時(shí),恰有 pgcd(2q,k)-1個(gè)解,因此有以下4種情形.

        情形1 (p2-1)| a且(pq-1)| a.

        (A) gcd(2q,k)=1時(shí),同余(1)式恰有p-1個(gè)解,且

        故解集為

        又滿足gcd(2q,k)=1的k恰有φ(2q)=q-1個(gè),故此時(shí)

        (B) gcd(2q,k)=2時(shí),同余(1)式恰有p2-1個(gè)解,且

        故解集為

        又滿足gcd(2q,k)=2的k恰有q-1個(gè),故此時(shí)

        (C) gcd(2q,k)=q時(shí),同余(1)式恰有pq-1個(gè)解,且

        故解集為

        又滿足gcd(2q,k)=q的k只有1個(gè),即k=q,故此時(shí)

        因此當(dāng)A11、A12、A13兩兩無交時(shí),由(3)、(5)及(7)式知:對(duì)任意滿足(p2-1)| a且(pq-1)| a的a,均有

        下面討論A11、A12、A13兩兩相交的情形.

        注意到gcd(2q,k2)=2,故(p2-1)|(pk2-1),從而有

        令d1=gcd(2q,|k1-k2|),由 q為奇素?cái)?shù)以及gcd(2q,k1)=1,gcd(2q,k2)=2知d1∈{1,q}.

        1)若d1=1,則由(9)式可知

        因此

        注意到q為奇素?cái)?shù),于是

        (a)n1=p+1時(shí),則由(p2-1)| a及(10)和 (11)式知,此與a∈{1,2,…,p2q-2}矛盾,故

        (b)n1=(p+1)q時(shí),由(p2-1)| a及(10)和(11)式知.又gcd(pq+1,pq-1)=2且,故

        又(pq-1)| a,故a,此與a∈{1,2,…,p2q-2}矛盾,故

        2)若d1=q,則由(9)式可知.又由假設(shè)條件以及gcd(pq-1,pq+1)= 2可知a.注意到

        從而有

        令d2=gcd(2q,|k1-q|),由 q為奇素?cái)?shù)以及gcd(2q,k1)=1知d2=2.于是由(12)式知

        注意到q為奇素?cái)?shù)且gcd(p+1,p-1)=2,故有以下3種情形.

        (a)gcd(q,p2-1)=1時(shí),即n2=1,由(p2-1) | a知,此與a知.由費(fèi)馬小定理知pq≡p(mod q),故pq-1≡p-1≡0(mod q),pq+ 1≡p+1(mod q),所以∈{1,2,…,p2q-2}矛盾,故A11∩A13=?.

        (b)q|(p-1)時(shí),即n2=q,由(p2-1)| a

        注意到(pq-1)| a,故1)| a,此與a∈{1,2,…,p2q-2}矛盾,故A∩A

        1113

        (c)q|(p+1)時(shí),即n2=q,由(p2-1)| a知.由費(fèi)馬小定理知pq≡p(mod q),故pq+1≡0(mod q),所以

        注意到(pq-1)| a,故| a,即q|(p+1)且,此時(shí)同余(2)和 (6)式關(guān)于模有唯一解,設(shè)為,故

        又|A11|=p-1,故A11?A13,此時(shí)

        從而

        于是

        令d3=gcd(2q,|k2-q|),由 q為奇素?cái)?shù)以及gcd(2q,k2)=2知d3=1.類似于情形(Ⅰ)的d1=1的證明可推出矛盾,于是

        情形2 (p2-1)| a且時(shí).

        (A)gcd(2q,k)=1時(shí),同余(1)式恰有p-1個(gè)解,且

        故解集為

        又滿足gcd(2q,k)=1的k恰有φ(2q)=q-1個(gè),故此時(shí)

        (B)gcd(2q,k)=2時(shí),同余(1)式恰有p2-1個(gè)解,且

        故解集為

        又滿足gcd(2q,k)=2的k恰有q-1個(gè),故此時(shí)

        (C)gcd(2q,k)=q時(shí),同余(1)式無解,此時(shí)

        注意到gcd(2q,k2)=2,故(p2-1)|(pk2-1),從而有

        于是

        令d4=gcd(2q,|k1-k2|),由 q為奇素?cái)?shù)以及gcd(2q,k1)=1,gcd(2q,k2)=2知d4∈{1,q}.

        1)若d4=1,則由(20)式可知

        (a)n1=p+1時(shí),則由(p2-1)| a知,此與a∈{1,2,…,p2q-2}矛盾,故

        (b)n1=(p+1)q時(shí),則由(p2-1)| a知

        又|A21|=p-1,故A21?A22.

        綜上,由(19)和(21)式知:對(duì)于任意滿足(p2-1) | a且的a,均有

        (A)gcd(2q,k)=1時(shí),同余(1)式恰有p-1個(gè)解,且

        故解集為

        又滿足gcd(2q,k)=1的k恰有φ(2q)=q-1個(gè),故此時(shí)

        (B)gcd(2q,k)=2時(shí),同余(1)式無解,此時(shí)

        (C)gcd(2q,k)=q時(shí),同余(1)式恰有pq-1個(gè)解,且

        故解集為

        又滿足gcd(2q,k)=q的k只有1個(gè),即k=q,故此時(shí)

        從而

        于是

        令d5=gcd(2q,|k1-q|),由 q為奇素?cái)?shù)以及gcd(2q,k1)=1知d5=2,則由(29)式可知

        又(pq-1)| a,故

        又|A31|=p-1,故,此時(shí)

        綜上,由(28)和(30)式知:對(duì)于任意滿足(p2-1)/│a且(pq-1)| a的a,均有

        情形4 (p2-1)/│a且(pq-1)/│a時(shí).

        (A)gcd(2q,k)=1時(shí),若(p-1)| a,則同余(1)式恰有p-1個(gè)解,且

        故解集為

        又滿足gcd(2q,k)=1的k恰有φ(2q)=q-1個(gè),故此時(shí)

        若(p-1)/│a,則同余(1)式無解,此時(shí)

        (B)gcd(2q,k)=2時(shí),同余(1)式無解,此時(shí)

        (C)gcd(2q,k)=q時(shí),同余(1)式無解,此時(shí)

        綜上,由(33)~(36)式知:對(duì)于任意滿足(p2-1)/│ a且的a,均有

        故由(8)、(22)、(31)和(37)式知:對(duì)任意的a∈{1,2,…,p2q-2},均有

        其中

        近年來,零差分平衡函數(shù)被廣泛應(yīng)用于常組合碼和差分系統(tǒng)中,同樣,本文將零差分平衡函數(shù)做進(jìn)一步研究之后,廣義零差分平衡函數(shù)也可應(yīng)用于常組合碼和差分系統(tǒng)中,只是均很難達(dá)到最優(yōu).

        [1]DING C S.Optimal constant composition codes from zero-differerce banlanced functions[J].IEEE Transactions on Information Theory,2008,54(12):5766-5770.

        [2]DING C S.Optimal and perfecct difference systems of sets[J].J Combinatorial Theory,2009,116(1):109-119.

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        [6]ZHA Z,KYUREGHYAN G M,WANG X.Perfect nonlinear binomials and their semifields[J].Finite Fields and Their Applications,2009,15(2):125-133.

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        [12]YAN S Y.Elementary Number Theory[M].Berlin:Springer-Verlag,2002.

        A Note on Generalized Zero-difference Balance Functions

        JIANG Lin,LIAO Qunying

        (College of Mathematics and Software Science,Sichuan Normal University,Chengdu 610066,Sichuan)

        In this paper,by generalizing the definition of the zero-difference balanced functions to the generalized zero-difference balanced functions,a class of generalized zero-difference balance functions is constructed based on p-cyclotomic cosets,where p is a prime.

        zero-difference balanced functions;generalized zero-difference balance functions;p-cyclotomic cosets

        O156.1

        A

        1001-8395(2016)04-0484-07

        10.3969/j.issn.1001-8395.2016.04.004

        (編輯 鄭月蓉)

        2015-05-06

        國家自然科學(xué)基金(11401408)、四川省應(yīng)用基礎(chǔ)研究計(jì)劃項(xiàng)目(2016JY0134)和四川省教育廳自然科學(xué)重點(diǎn)項(xiàng)目(14ZA0034)

        *通信作者簡(jiǎn)介:廖群英(1974—),女,教授,主要從事編碼和密碼學(xué)理論的研究,E-mail:qunyingliao@sicnu.edu.cn

        2010 MSC:94A15;94A60;05B10

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