蔣 林，廖群英

(四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院，四川成都610066)

廣義零差分平衡函數(shù)的一個注記

蔣 林，廖群英*

(四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院，四川成都610066)

將零差分平衡函數(shù)的定義推廣到廣義零差分平衡函數(shù)(G－ZDB)，并利用p分圓陪集構(gòu)造一類新的廣義零差分平衡函數(shù)，其中p為質(zhì)數(shù)．

零差分平衡函數(shù);廣義零差分平衡函數(shù);p分圓陪集

1 預(yù)備知識及主要結(jié)果

設(shè)(A，+)和(B，+)均為交換群，且|A|=n，|B|=l．映射f:A→B稱為廣義零差分平衡函數(shù)(G－ZDB)，是指存在非空集合，使得對任意0≠ a∈A，均有

特別地，當(dāng)S是單元集時，f是零差分平衡(ZDB)函數(shù)，簡記為(n，λ)－ZDB函數(shù)［1］．

包含了A中所有非零元素的λ倍，則稱P為(n，{t0，t1，…，t珋l－1}，λ)－差分集(PDF)．基于零差分平衡函數(shù)與PDF的聯(lián)系，零差分平衡函數(shù)可記為(n，{t0，t1，…，t珋l－1}，λ)－ZDB函數(shù)．有時不用考慮參數(shù){t0，t1，…，t珋l－1}，簡記為－ZDB函數(shù)，此時廣義零差分平衡函數(shù)簡記為函數(shù)．

零差分平衡函數(shù)常常應(yīng)用于組合學(xué)、代數(shù)學(xué)、有限幾何以及編碼和密碼學(xué)等領(lǐng)域，它是 C．S．Ding［1－2］在構(gòu)造最佳常組合碼與優(yōu)化及完善差分系統(tǒng)中引入的．熟知，完美非線性函數(shù)和差分函數(shù)均是特殊的零差分平衡函數(shù)［3－7］．基于其良好的特性，人們可構(gòu)造出最佳組成權(quán)重碼和最優(yōu)跳頻序列［7－9］．事實上，人們已經(jīng)構(gòu)造出大量的ZDB函數(shù)［1－2，7，10－11］．特別地，C．S．Ding等［11］用2分圓陪集構(gòu)造了參數(shù)為

的零差分平衡函數(shù)，其中m為素數(shù)．本文將零差分平衡函數(shù)推廣到廣義的零差分平衡函數(shù)，并利用p分圓陪集在模n=p2q－1(p，q為不同奇素數(shù))上的性質(zhì)，構(gòu)造了一類廣義零差分平衡函數(shù)．

定義1．1［11］令n=pm－1，其中m∈N+，則對任意的i∈{0，1，…，n－1}，模n的含i的p分圓陪集定義為

其中 li是使得 i≡i×pli(mod n)成立的最小正整數(shù)．

同時，定義Ai中最小的正整數(shù)為Ai的首位．當(dāng)i≠0時，Ai稱為非零p分圓陪集．

定理1．2［11］設(shè)p、q為奇素數(shù)，n=p2q－1，Ai為模n的含i的p分圓陪集，M為模n的全部非零p分圓陪集的個數(shù)，則對任意的i∈{1，2，…，n－1}，|Ai|∈{1，2，q，2q}且

定理1．3 設(shè)p，q為不同的奇素數(shù)，n=p2q－1，則存在參數(shù)為

的G－ZDB函數(shù)，其中

2 主要結(jié)果的證明

引理2．1［12］設(shè)a，n1，n2∈Z+，n1≠n2，則

3)除此之外，

有解的充分必要條件是gcd(m1，m2)| b1－b2．進(jìn)而在有解時，其關(guān)于模lcm［m1，m2］恰有唯一解．

定理 1．2的證明 由 n=p2q－1知 p2q≡1(mod n)，即|Ai|≤2q．又由i≡i×pli(mod p2q－1)知(p2q－1)| i×(pli－1)．由引理2．1知gcd(p2q－1，pli－1)=pgcd(2q，li)－1．注意到q為奇素數(shù)，故

引理2．2［12］設(shè)m1、m2是2個正整數(shù)，b1、b2為整數(shù)，則同余式組

所以對模n的任意非零p分圓陪集Ai，有|Ai|=li∈{1，2，q，2q}，且模n的全部非零p分圓陪集的個數(shù)為

定理1．3的證明 令T表示模n=p2q－1的所有p分圓陪集首位的集合，則由定理1．2可知

現(xiàn)定義f:Zn→Zn為

其中ix為x所在的p分圓陪集的首位，則

另一方面，對任意的a∈{1，2，…，p2q－2}，若存在x∈Zn，使得f(x+a)=f(x)，則存在1≤k≤2q－1(k∈N)，使得

即

同余(1)式有解當(dāng)且僅當(dāng) g cd(p2q－1，pk－1)= (pgcd(2q，k)－1)| a，且有解時，恰有 pgcd(2q，k)－1個解，因此有以下4種情形．

情形1 (p2－1)| a且(pq－1)| a．

(A) gcd(2q，k)=1時，同余(1)式恰有p－1個解，且

故解集為

又滿足gcd(2q，k)=1的k恰有φ(2q)=q－1個，故此時

(B) gcd(2q，k)=2時，同余(1)式恰有p2－1個解，且

故解集為

又滿足gcd(2q，k)=2的k恰有q－1個，故此時

(C) gcd(2q，k)=q時，同余(1)式恰有pq－1個解，且

故解集為

又滿足gcd(2q，k)=q的k只有1個，即k=q，故此時

因此當(dāng)A11、A12、A13兩兩無交時，由(3)、(5)及(7)式知:對任意滿足(p2－1)| a且(pq－1)| a的a，均有

下面討論A11、A12、A13兩兩相交的情形．

注意到gcd(2q，k2)=2，故(p2－1)|(pk2－1)，從而有

即

令d1=gcd(2q，|k1－k2|)，由 q為奇素數(shù)以及gcd(2q，k1)=1，gcd(2q，k2)=2知d1∈{1，q}．

1)若d1=1，則由(9)式可知

而

因此

注意到q為奇素數(shù)，于是

(a)n1=p+1時，則由(p2－1)| a及(10)和 (11)式知，此與a∈{1，2，…，p2q－2}矛盾，故

(b)n1=(p+1)q時，由(p2－1)| a及(10)和(11)式知．又gcd(pq+1，pq－1)=2且，故

又(pq－1)| a，故a，此與a∈{1，2，…，p2q－2}矛盾，故

2)若d1=q，則由(9)式可知．又由假設(shè)條件以及gcd(pq－1，pq+1)= 2可知a．注意到

從而有

即

令d2=gcd(2q，|k1－q|)，由 q為奇素數(shù)以及gcd(2q，k1)=1知d2=2．于是由(12)式知

又

則

注意到q為奇素數(shù)且gcd(p+1，p－1)=2，故有以下3種情形．

(a)gcd(q，p2－1)=1時，即n2=1，由(p2－1) | a知，此與a知．由費馬小定理知pq≡p(mod q)，故pq－1≡p－1≡0(mod q)，pq+ 1≡p+1(mod q)，所以∈{1，2，…，p2q－2}矛盾，故A11∩A13=?．

(b)q|(p－1)時，即n2=q，由(p2－1)| a

注意到(pq－1)| a，故1)| a，此與a∈{1，2，…，p2q－2}矛盾，故A∩A

1113

(c)q|(p+1)時，即n2=q，由(p2－1)| a知．由費馬小定理知pq≡p(mod q)，故pq+1≡0(mod q)，所以

注意到(pq－1)| a，故| a，即q|(p+1)且，此時同余(2)和 (6)式關(guān)于模有唯一解，設(shè)為，故

又|A11|=p－1，故A11?A13，此時

從而

于是

令d3=gcd(2q，|k2－q|)，由 q為奇素數(shù)以及gcd(2q，k2)=2知d3=1．類似于情形(Ⅰ)的d1=1的證明可推出矛盾，于是

情形2 (p2－1)| a且時．

(A)gcd(2q，k)=1時，同余(1)式恰有p－1個解，且

故解集為

又滿足gcd(2q，k)=1的k恰有φ(2q)=q－1個，故此時

(B)gcd(2q，k)=2時，同余(1)式恰有p2－1個解，且

故解集為

又滿足gcd(2q，k)=2的k恰有q－1個，故此時

(C)gcd(2q，k)=q時，同余(1)式無解，此時

注意到gcd(2q，k2)=2，故(p2－1)|(pk2－1)，從而有

于是

令d4=gcd(2q，|k1－k2|)，由 q為奇素數(shù)以及gcd(2q，k1)=1，gcd(2q，k2)=2知d4∈{1，q}．

1)若d4=1，則由(20)式可知

(a)n1=p+1時，則由(p2－1)| a知，此與a∈{1，2，…，p2q－2}矛盾，故

(b)n1=(p+1)q時，則由(p2－1)| a知

又|A21|=p－1，故A21?A22．

綜上，由(19)和(21)式知:對于任意滿足(p2－1) | a且的a，均有

(A)gcd(2q，k)=1時，同余(1)式恰有p－1個解，且

故解集為

又滿足gcd(2q，k)=1的k恰有φ(2q)=q－1個，故此時

(B)gcd(2q，k)=2時，同余(1)式無解，此時

(C)gcd(2q，k)=q時，同余(1)式恰有pq－1個解，且

故解集為

又滿足gcd(2q，k)=q的k只有1個，即k=q，故此時

從而

于是

令d5=gcd(2q，|k1－q|)，由 q為奇素數(shù)以及gcd(2q，k1)=1知d5=2，則由(29)式可知

又(pq－1)| a，故

又|A31|=p－1，故，此時

綜上，由(28)和(30)式知:對于任意滿足(p2－1)/│a且(pq－1)| a的a，均有

情形4 (p2－1)/│a且(pq－1)/│a時．

(A)gcd(2q，k)=1時，若(p－1)| a，則同余(1)式恰有p－1個解，且

故解集為

又滿足gcd(2q，k)=1的k恰有φ(2q)=q－1個，故此時

若(p－1)/│a，則同余(1)式無解，此時

(B)gcd(2q，k)=2時，同余(1)式無解，此時

(C)gcd(2q，k)=q時，同余(1)式無解，此時

綜上，由(33)～(36)式知:對于任意滿足(p2－1)/│ a且的a，均有

故由(8)、(22)、(31)和(37)式知:對任意的a∈{1，2，…，p2q－2}，均有

其中

近年來，零差分平衡函數(shù)被廣泛應(yīng)用于常組合碼和差分系統(tǒng)中，同樣，本文將零差分平衡函數(shù)做進(jìn)一步研究之后，廣義零差分平衡函數(shù)也可應(yīng)用于常組合碼和差分系統(tǒng)中，只是均很難達(dá)到最優(yōu)．

［1］DING C S．Optimal constant composition codes from zero－differerce banlanced functions［J］．IEEE Transactions on Information Theory，2008，54(12):5766－5770．

［2］DING C S．Optimal and perfecct difference systems of sets［J］．J Combinatorial Theory，2009，116(1):109－119．

［3］POTT A，WANG Q．Difference balanced functions and their generalized difference sets［J］．IEEE Transactions on Information Theory，2008，54(12):5766－5770．

［4］NYBEG K．Perfect Nonlinear S－boxes［M］．Berlin:Springer－Verlag，1991．

［5］FENG T．A new construction of perfect nonlinear functions using Galois rings［J］．J Combinatorial Designs，2009，17(17): 229－239．

［6］ZHA Z，KYUREGHYAN G M，WANG X．Perfect nonlinear binomials and their semifields［J］．Finite Fields and Their Applications，2009，15(2):125－133．

［7］ZHOU Z，TANG X，WU D，et al．Some new classes of zero－difference balanced funtions［J］．IEEE Transactions on Information Theory，2012，58(1):139－145．

［8］GE G，MIAO Y，YAO Z．Optimal frequency hopping sequences:auto－and cross－correlation properties［J］．IEEE Transactions on Information Theory，2009，55(2):867－879．

［9］WANG Q，ZHOU Y．Sets of zero－difference balanced functionst and their applications［J］．Adv Math Commun，2014，8(8):83－101．

［10］DING C S，TAN Y．Zero－difference balanced functions with applications［J］．J Statistical Theory and Practice，2012，6(1): 3－19．

［11］DING C S，WANG Q，XIONG M S．Three new families of zero－difference balanced funtions with applications［J］．IEEE Transactions on Information Theory，2013，60(4):2407－2413．

［12］YAN S Y．Elementary Number Theory［M］．Berlin:Springer－Verlag，2002．

A Note on Generalized Zero-difference Balance Functions

JIANG Lin，LIAO Qunying

(College of Mathematics and Software Science，Sichuan Normal University，Chengdu 610066，Sichuan)

In this paper，by generalizing the definition of the zero-difference balanced functions to the generalized zero-difference balanced functions，a class of generalized zero-difference balance functions is constructed based on p-cyclotomic cosets，where p is a prime．

zero-difference balanced functions;generalized zero-difference balance functions;p-cyclotomic cosets

O156．1

A

1001－8395(2016)04－0484－07

10．3969/j．issn．1001－8395．2016．04．004

(編輯 鄭月蓉)

2015－05－06

國家自然科學(xué)基金(11401408)、四川省應(yīng)用基礎(chǔ)研究計劃項目(2016JY0134)和四川省教育廳自然科學(xué)重點項目(14ZA0034)

*通信作者簡介:廖群英(1974—)，女，教授，主要從事編碼和密碼學(xué)理論的研究，E－mail:qunyingliao@sicnu．edu．cn

2010 MSC:94A15;94A60;05B10