張利霞,趙西卿

(延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000)

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關(guān)于Smarandache LCM函數(shù)的β次混合均值

張利霞,趙西卿

(延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000)

摘要：利用初等及解析的方法，研究Smarandache LCM函數(shù)SL(n)與最大素因子函數(shù)P(n)之差的β次方的值分布問(wèn)題,并給出一個(gè)有趣的漸進(jìn)公式.

關(guān)鍵詞：Smarandache LCM函數(shù);最大素因子函數(shù);初等方法; 均值性質(zhì)

0引言及結(jié)論

其中Ci(i=2,3,…,k)為可計(jì)算的常數(shù).

在文獻(xiàn)[2]中研究了復(fù)合函數(shù)SL(Z(n))的均值,并得到一個(gè)較強(qiáng)的漸進(jìn)公式

其中bi(i=2,3,…,k)為可計(jì)算的常數(shù),Z(n)為著名的偽Smarandache函數(shù).

在文獻(xiàn)[3]中研究了函數(shù)SL(n)在2p+1和2p-1上的下界估計(jì),給出了當(dāng)p≥17時(shí),有較強(qiáng)的估計(jì)

SL(2p+1)≥10p+1;SL(2p-1)≥10p+1.

在文獻(xiàn)[4]中研究了S(n)和P(n)的均方差的均值分布,對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x≥3,β>1有漸進(jìn)公式

在文獻(xiàn)[5]中研究了S(n)與P(n)之差的β次方的值分布問(wèn)題,給出了當(dāng)x≥3,β>1時(shí)的漸進(jìn)公式

在文獻(xiàn)[6]中研究了SL(n)和P(n)的均方差的均值分布問(wèn)題,給出了漸進(jìn)公式

受文獻(xiàn)[5]的啟發(fā),應(yīng)用與上述文獻(xiàn)相同的方法,對(duì)文獻(xiàn)[6]中結(jié)論進(jìn)行了推廣和延伸,主要研究SmarandacheLCM函數(shù)SL(n)與最大素因子函數(shù)P(n)之差的β次方的值分布問(wèn)題,給出了較強(qiáng)的漸進(jìn)公式,具體結(jié)果如下.

定理1設(shè)k>1是給定的正整數(shù),則對(duì)任意的實(shí)數(shù)x≥1,當(dāng)β≥1時(shí),有漸進(jìn)公式

其中ζ(n)為RiemannZeta-函數(shù),ci(i=2,3,…,k)為可計(jì)算的常數(shù).

1定理的證明

首先,由集合A和B的定義易得SL(n)=P(n),故

(1)

然后,由集合C的定義得

而對(duì)任意的k(1≤k≤2β-1)有

故可得

(2)

(3)

結(jié)合(1)～(3)式可得

其中ci(i=2,3,…,k)為可計(jì)算的常數(shù).

2參考文獻(xiàn)

[1] 趙院娥.關(guān)于Smarandache LCM函數(shù)的一類(lèi)均方差問(wèn)題[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2008,24(1):71-74.

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[3] 張利霞,趙西卿,韓建勤.關(guān)于Smarandache函數(shù)的一個(gè)下界估計(jì)[J].河南科學(xué):2015,33(8):1291-1293.

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[7] 潘承洞,潘承彪.素?cái)?shù)定理初等的證明[M].上海:上海科學(xué)技術(shù)出版社,1988.

[8] Apostol T M.Introduction to analytic number theory[M].New York：Spring-verlag,1976.

(責(zé)任編輯趙燕)

On the β-th hybrid mean value of the Smarandache LCM function

ZHANG Lixia，ZHAO Xiqing

(School of Mathematics and Computer Science,Yan’an University,Yan’an 716000，China)

Abstract：Theβ-th value distribution problem of F.Smarandache LCM functionSL(n) and the biggest prime divisor functionP(n) is studied by using the elementary and analytic method，and give an interesting asymptotic formula.

Key words：Smarandache LCM function; the biggest prime divisor function; elementary methods; asymptotic formula

文章編號(hào):1000-2375(2016)03-0315-03

收稿日期:2016-02-28

基金項(xiàng)目：陜西省教育廳科研計(jì)劃項(xiàng)目(2013JK0557)和延安大學(xué)研究生教育創(chuàng)新計(jì)劃項(xiàng)目資助

作者簡(jiǎn)介：張利霞(1989-),女,碩士生；趙西卿，通信作者，副教授,E-mail:ydzhaoxiqing@126.com

中圖分類(lèi)號(hào):O156.4

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

DOI:10.3969/j.issn.1000-2375.2016.04.010