王宇譜，呂志平，王　寧，李林陽，宮曉春

1. 信息工程大學(xué)地理空間信息學(xué)院，河南 鄭州 450001； 2. 地理信息工程國家重點(diǎn)實(shí)驗室，陜西 西安 710054

?

顧及衛(wèi)星鐘隨機(jī)特性的抗差最小二乘配置鐘差預(yù)報算法

王宇譜1,2，呂志平1，王寧1，李林陽1，宮曉春1

1. 信息工程大學(xué)地理空間信息學(xué)院，河南 鄭州 450001； 2. 地理信息工程國家重點(diǎn)實(shí)驗室，陜西 西安 710054

Foundation support： The National Natural Science Foundation of China (Nos. 41274015;U1431115); The Natural High-tech Research and Development Program of China (863 Program) (No. 2013AA122501); The Open Research Fund of State Key Laboratory of Geo-information Engineering (No. SKLGIE2015-M-1-6)

摘要：為了更好地反映鐘差特性并提高其預(yù)報精度，采用抗差最小二乘配置方法建立一種能夠同時考慮星載原子鐘物理特性、鐘差周期性變化與隨機(jī)性變化特點(diǎn)的鐘差預(yù)報模型。首先使用附有周期項的二次多項式模型進(jìn)行擬合提取衛(wèi)星鐘差的趨勢項與周期項，然后針對剩余的隨機(jī)項及其可能存在的粗差，采用抗差最小二乘配置的原理進(jìn)行建模，其中最小二乘配置的協(xié)方差函數(shù)通過對比協(xié)方差擬合的方法并結(jié)合試驗進(jìn)行確定。使用IGS精密鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)報試驗，將本文方法與二次多項式模型、灰色模型進(jìn)行對比，預(yù)報精度分別提高了0.457 ns和0.948 ns，而預(yù)報穩(wěn)定性則分別提高了0.445 ns和1.233 ns，證明了本文方法能夠更好地預(yù)報衛(wèi)星鐘差，同時說明本文的協(xié)方差函數(shù)確定方法的有效性。

關(guān)鍵詞：衛(wèi)星鐘差預(yù)報；隨機(jī)變化特性；最小二乘配置；抗差估計；協(xié)方差函數(shù)

衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中星載原子鐘的鐘差預(yù)報在維持系統(tǒng)時間同步、優(yōu)化導(dǎo)航電文中的鐘差參數(shù)等方面具有重要的作用[1-2]。因此，針對衛(wèi)星鐘差(satellite clock bias, SCB)預(yù)報，國內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了大量的研究，建立起了多種鐘差預(yù)報模型[2-8]，總結(jié)起來主要有：二次多項式(QP)模型[2]、灰色系統(tǒng)(GM(1,1))模型[3]、譜分析(SA)模型[4-5]、時間序列(ARIMA)模型[6]、Kalman濾波(KF)模型[7]、小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(WNN)模型[1]和徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(RBF)模型[8]等。然而，由于星載原子鐘本身復(fù)雜變化的時頻特性和極易受外界條件的影響，衛(wèi)星鐘差通常表現(xiàn)出復(fù)雜的周期變化與隨機(jī)變化特性，使得已有的鐘差預(yù)報模型在應(yīng)用中仍存在一定的局限性：QP預(yù)報鐘差時其預(yù)報誤差會隨著預(yù)報時間的增加而顯著變大，GM(1,1)預(yù)報精度受模型指數(shù)系數(shù)影響較大[9]，SA的周期函數(shù)要根據(jù)較長的鐘差序列才能可靠確定，ARIMA存在模式識別和模型定階的困難，KF的優(yōu)劣取決于對原子鐘運(yùn)行特性和隨機(jī)先驗信息等的認(rèn)知程度[10]，WNN網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的確定比較困難[1]，RBF預(yù)報中對應(yīng)的樣本長度、樣本量以及樣本之間間隔的確定缺少理論根據(jù)只能依賴經(jīng)驗確定[8]。而在這些模型當(dāng)中，QP模型和GM(1,1)模型是最為常用且具有代表性的預(yù)報模型。

為了更好地反映鐘差特性并提高其預(yù)報精度，本文同時考慮星載原子鐘的物理特性、周期性變化特點(diǎn)與隨機(jī)變化部分，在鐘差二次多項式附加周期項模型的基礎(chǔ)上，采用抗差最小二乘配置方法對衛(wèi)星鐘的隨機(jī)項進(jìn)行建模，得到一種更加完善的衛(wèi)星鐘差預(yù)報模型。鐘差預(yù)報的結(jié)果表明，新方法能夠更加全面地描述鐘差的特性，并取得較兩種常用模型更好的預(yù)報效果，同時也說明了針對新模型所提的協(xié)方差函數(shù)的確定方法是有效的。

1算法原理

1.1最小二乘配置模型

最小二乘配置(LSC)的函數(shù)模型[11-13]為

L=AX+BY+Δ

(1)

(2)

1.2顧及衛(wèi)星鐘隨機(jī)特性的LSC鐘差預(yù)報算法

根據(jù)星載原子鐘的物理特性，在構(gòu)造精密的鐘差模型時，通常采用包含表征衛(wèi)星鐘時頻特性的相位、頻率、頻率漂移率的二次多項式模型，其具體表達(dá)式為[2]

Li=a0+a1(ti-t0)+a2(ti-t0)2+Δ

i=1,2,…,n

(3)

式中，Li是ti時刻的衛(wèi)星鐘差；t0為參考時刻；ti表示歷元時刻；待估參數(shù)a0、a1和a2分別表示參考時刻t0的相位(鐘差)、頻率(鐘速)及頻率漂移率(鐘漂)；Δ為觀測誤差。當(dāng)已知鐘差數(shù)據(jù)不少于3個時，便可擬合求得待估參數(shù)。以IGS提供的GPS系統(tǒng)PRN18衛(wèi)星2015年4月3日15min采樣間隔的精密衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)為例，使用QP模型對這一天的鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，圖1是其對應(yīng)的擬合情況。

圖1　PRN18衛(wèi)星QP模型下的鐘差擬合Fig.1　Fitting SCB of the satellite PRN18 by QP model

從圖1中可以看出擬合殘差表現(xiàn)出較為明顯的周期特性。因此，為了更好地反映鐘差的特性，在鐘差的預(yù)報建模中除了以二次多項式來反映鐘差的趨勢項部分，還應(yīng)考慮鐘差的周期變化特性。附加周期項的二次多項式(記作MQP)模型表達(dá)式為[4]

Li=a0+a1(ti-t0)+a2(ti-t0)2+

(4)

式中，p為主要周期函數(shù)的個數(shù)；Ak、fk、φk分別為對應(yīng)周期項的振幅、頻率和相位；其余符號的含義與式(3)相同。p與fk的值可利用頻譜分析的方法來確定?？紤]到本文中是以GPS衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)報試驗， 因此基于文獻(xiàn)[14]的研究結(jié)果，直接取12 h、6 h作為MQP模型的主周期項。對應(yīng)于圖1的QP鐘差擬合，圖2是基于MQP模型的鐘差擬合情況。

對比圖1和圖2可以看出，MQP模型較好地消除鐘差周期性變化特性的影響，說明在衛(wèi)星鐘差中除了相位、頻率、頻率漂移率這些確定的物理特性之外，還有周期性變化的特性，因此在對鐘差進(jìn)行擬合與預(yù)報時需要將該特性考慮在內(nèi)。同時，由圖2可以看出，扣除衛(wèi)星鐘差的趨勢項與周期項之后，剩余的殘差部分表現(xiàn)為相對平穩(wěn)的隨機(jī)序列。為了更全面地反映衛(wèi)星鐘差特性并提高鐘差預(yù)報精度，在考慮星載原子鐘物理特性和周期變化特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，還應(yīng)考慮其隨機(jī)項部分[15]。

圖2　PRN18衛(wèi)星MQP模型下的鐘差擬合Fig.2　Fitting SCB of the satellite PRN18 by MQP model

鐘差隨機(jī)性變化部分可以看作是一個隨時間而連續(xù)變化的隨機(jī)函數(shù)，符合最小二乘配置理論的建模條件，因此，本文基于最小二乘配置建立更加全面的鐘差預(yù)報模型。該模型的表達(dá)式可以描述為

(5)

(6)

式中

根據(jù)估值準(zhǔn)則

(7)

求解式(6)可得

(8)

從而得到待求時刻的鐘差表達(dá)式為

(9)

1.3協(xié)方差函數(shù)的抗差擬合及其確定

合理的協(xié)方差函數(shù)確定一直是最小二乘配置中的關(guān)鍵問題[11]。同樣的，最小二乘配置鐘差預(yù)報模型的關(guān)鍵也在于其對應(yīng)協(xié)方差函數(shù)的確定。對于鐘差預(yù)報協(xié)方差函數(shù)的選擇，與多數(shù)采用最小二乘配置解決實(shí)際問題類似，本文也是通過選取可實(shí)際應(yīng)用的經(jīng)驗協(xié)方差函數(shù)來實(shí)現(xiàn)對鐘差隨機(jī)特性(信號)的描述。在已有的經(jīng)驗協(xié)方差函數(shù)中，高斯函數(shù)的應(yīng)用最為廣泛且性能相對較好[11,13,16]，因此本文選擇高斯函數(shù)(其表達(dá)式為σ(d)=σ2(0)exp(-kd2)，式中d為兩數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的距離，σ2(0)、k是待求的協(xié)方差函數(shù)參數(shù))作為最小二乘配置鐘差預(yù)報模型對應(yīng)的協(xié)方差函數(shù)。對于協(xié)方差函數(shù)參數(shù)的確定，可以直接采用兩步極小法[17]，即根據(jù)附有周期項的二次多項式模型的擬合殘差確定協(xié)方差函數(shù)的參數(shù)；將該方法確定的最小二乘配置模型記作LSC模型。然而，考慮到在鐘差數(shù)據(jù)中可能存在異常值，因此本文在文獻(xiàn)[16—20]的基礎(chǔ)上，采用抗差M估計[21]來求取協(xié)方差函數(shù)參數(shù)值的抗差估計解。具體方法如下：

1.3.1計算抗差迭代的初值

對衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行歸化處理，消除趨勢項與周期項的影響，得到

Z=S+Δ=L-AX

(10)

式中，X的估值

(11)

歸化后得

(12)

式中，n為一定時間段內(nèi)已知鐘差數(shù)據(jù)的個數(shù)。

按照抗差估計原理求Z的中心化值。迭代初值為δZi=Zi-med{Zi}；方差因子為σi=med{|δZi|}/0.674 5。在最小二乘配置模型中，其協(xié)方差陣和權(quán)陣間需相互轉(zhuǎn)換；為避免迭代過程中出現(xiàn)過分降權(quán)的問題以及使得降權(quán)更加平穩(wěn)，本文選用IGG3權(quán)函數(shù)[22]，得到權(quán)因子函數(shù)的表達(dá)式為

(13)

(14)

1.3.2計算樣本協(xié)方差函數(shù)值

(15)

式中，ml表示任意兩個時間差等于dl的點(diǎn)的對數(shù)，該式即為各等間距信號的樣本協(xié)方差函數(shù)值。

1.3.3擬合協(xié)方差函數(shù)

利用高斯函數(shù)作為協(xié)方差函數(shù)的解析式，即

(16)

等式兩邊取對數(shù)，得到用于擬合計算的公式

(17)

然而，在鐘差預(yù)報的試驗中發(fā)現(xiàn)，不論是采用協(xié)方差函數(shù)直接擬合的方法還是協(xié)方差函數(shù)抗差估計擬合的方法，得到的協(xié)方差函數(shù)參數(shù)均不能較為理想地進(jìn)行鐘差預(yù)報(參見算例1)，這主要是因為要比較可靠地確定信號的協(xié)方差函數(shù)，必須有大量的數(shù)據(jù)。然而，這是一個非常困難的問題，實(shí)際中，要根據(jù)具體問題的性質(zhì)，通過理論上的研究和對大量已測數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析才能較好地解決[11]。因此，在最初的試驗中，通過改變RLSC模型協(xié)方差函數(shù)的參數(shù)值來觀察分析預(yù)報結(jié)果的變化情況，發(fā)現(xiàn)當(dāng)協(xié)方差函數(shù)的參數(shù)取適當(dāng)?shù)闹禃r，最小二乘配置鐘差預(yù)報模型能夠取得相對較好的預(yù)報結(jié)果。最后，基于2015年4月一個月、2013年6月23和24日、2013年7月15和16日、2007年5月25日和6月24日GPS系統(tǒng)15min采樣間隔的精密鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行鐘差預(yù)報試驗(考慮文章篇幅，此處及“試驗與分析”部分不詳細(xì)列出)，通過對星載銣鐘預(yù)報結(jié)果的分析總結(jié)，最終得到σ2(0)和k較理想的取值范圍為：σ2(0)∈{1,5,10,50,100,200,300,400,500},k∈{1.0×10-12～-6,5.0×10-12～-6,9.0×10-12～-6}。將此時確定的最小二乘配置模型記作MRLSC模型。圖3給出了本文所提方法的計算步驟及數(shù)據(jù)處理流程。需要說明的是，在具體使用這些參數(shù)值進(jìn)行鐘差預(yù)報時，將σ2(0)與k的取值使得預(yù)報結(jié)果的均方根誤差(RMS，其定義參見式(18))最小的組合數(shù)作為MRLSC模型協(xié)方差函數(shù)參數(shù)的最佳取值。例如下文“2.1 試驗1”中，在σ2(0)與k的可取數(shù)值中，當(dāng)σ2(0)=500、k=1.0×10-10時，PRN01衛(wèi)星的鐘差預(yù)報RMS最小，因此取該組合值作為協(xié)方差函數(shù)的參數(shù)值。而在實(shí)際應(yīng)用中，可以根據(jù)所需預(yù)報時間段的相鄰上一時間段預(yù)報確定的協(xié)方差函數(shù)參數(shù)取值作為當(dāng)前MRLSC模型協(xié)方差函數(shù)的參數(shù)取值，例如下文“2.2 試驗2”中4月4日預(yù)報4月5日確定的協(xié)方差函數(shù)參數(shù)值，可以作為接下來4月5日預(yù)報4月6日、4月6日預(yù)報4月7日的協(xié)方差函數(shù)值進(jìn)行鐘差預(yù)報。

圖3　新方法的計算步驟及數(shù)據(jù)處理流程Fig.3　Calculation steps and data processing proceduresof the proposed method

2試驗與分析

為了驗證所提方法的有效性，采用IGS提供的GPS系統(tǒng)15min采樣間隔的精密鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行試算分析。以2015年4月3日到2015年4月7日的數(shù)據(jù)為例，考慮當(dāng)前衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)在軌運(yùn)行星載原子鐘主要是銣原子鐘(Rb鐘)，因此本文采用該時間段內(nèi)GPS系統(tǒng)星載Rb鐘進(jìn)行鐘差預(yù)報試驗。該時間段內(nèi)GPS系統(tǒng)星載Rb鐘的信息如表1所示。表中字體加粗的18顆衛(wèi)星表示在試驗時間段內(nèi)其鐘差數(shù)據(jù)連續(xù)且對應(yīng)的頻率數(shù)據(jù)[10]相對平穩(wěn)無跳變。

表1　GPS系統(tǒng)星載Rb鐘的類型

另外，以預(yù)報時間段對應(yīng)的已知精密鐘差數(shù)據(jù)為基準(zhǔn)值，采用均方根誤差(RMS)和極差(最大、最小誤差之差的絕對值，記作range)作為預(yù)報結(jié)果的統(tǒng)計量進(jìn)行對比與分析，其中RMS表征預(yù)報結(jié)果的精度，range代表預(yù)報結(jié)果的穩(wěn)定性。RMS計算公式為

(18)

2.1試驗1

首先分析新方法的建模過程及協(xié)方差函數(shù)對預(yù)報結(jié)果的影響。使用4月3日的衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)分別對QP、MQP、LSC、RLSC和MRLSC進(jìn)行建模，預(yù)報接下來4月4日一整天的鐘差。此處選取每種類型鐘對應(yīng)的一顆衛(wèi)星，本文選取的是PRN01、PRN04、PRN18和PRN29共4顆衛(wèi)星進(jìn)行試驗分析。表2給出的是4顆衛(wèi)星進(jìn)行LSC、RLSC和MRLSC建模時對應(yīng)協(xié)方差函數(shù)參數(shù)的取值情況。因為是要驗證本文所確定的協(xié)方差函數(shù)的合理性，此處MRLSC對應(yīng)協(xié)方差函數(shù)參數(shù)的取值是通過使得MRLSC模型4月4日預(yù)報誤差RMS最小來確定的。圖4—圖7為4顆衛(wèi)星在5種模型下的預(yù)報結(jié)果。

對比圖中4顆衛(wèi)星的預(yù)報結(jié)果可以看出，在5種模型中QP模型的預(yù)報誤差發(fā)散較快且其誤差值相對較大，而其他4種模型的預(yù)報誤差相對較小，說明在鐘差預(yù)報中考慮衛(wèi)星鐘的周期項與隨機(jī)變化部分可以一定程度上改善預(yù)報效果。為了對預(yù)報結(jié)果進(jìn)行定量的分析，表3給出了4顆衛(wèi)星預(yù)報結(jié)果的統(tǒng)計值。

表2　協(xié)方差函數(shù)參數(shù)的取值

圖4　PRN01衛(wèi)星的預(yù)報結(jié)果Fig.4　Prediction results of satellite PRN01

圖5　PRN04衛(wèi)星的預(yù)報結(jié)果Fig.5　Prediction results of satellite PRN04

圖6　PRN18衛(wèi)星的預(yù)報結(jié)果Fig.6　Prediction results of satellite PRN18

圖7　PRN29衛(wèi)星的預(yù)報結(jié)果Fig.7　Prediction results of satellite PRN29

ns

對比表中4顆衛(wèi)星使用MQP和LSC模型的預(yù)報結(jié)果及其平均值可以看出，兩者的結(jié)果完全相同，說明直接利用擬合殘差得到的協(xié)方差函數(shù)在進(jìn)行鐘差預(yù)報時LSC模型的優(yōu)勢體現(xiàn)不出來。而在同樣的條件下，采用協(xié)方差函數(shù)抗差估計擬合方法的RLSC模型可以取得優(yōu)于MQP和LSC模型的預(yù)報結(jié)果，說明采用抗差估計的方法能夠一定程度上克服鐘差數(shù)據(jù)中隱含的粗差對LSC模型進(jìn)行鐘差預(yù)報時的影響，但是其改善效果仍不顯著。在此基礎(chǔ)上，當(dāng)協(xié)方差函數(shù)的參數(shù)使用本文所給范圍內(nèi)的取值時，MRLSC模型的RMS值與range值均明顯小于LSC模型和RLSC模型對應(yīng)的結(jié)果值，說明協(xié)方差函數(shù)的合理確定直接影響鐘差預(yù)報的結(jié)果。而本文所提的在協(xié)方差函數(shù)抗差估計的基礎(chǔ)上協(xié)方差函數(shù)的參數(shù)取本文所給參數(shù)是相對有效性的，可以作為最小二乘配置鐘差預(yù)報模型對應(yīng)協(xié)方差函數(shù)確定的方法。

另一方面，從該試驗預(yù)報結(jié)果統(tǒng)計表中可以看出，MQP模型比QP模型的RMS值和range值都小，說明在對衛(wèi)星鐘差進(jìn)行建模時，考慮鐘差的周期項能夠加全面地反映衛(wèi)星鐘的特性、提高鐘差的預(yù)報效果。而MRLSC模型比MQP模型的RMS值和range值都小，說明考慮鐘差的隨機(jī)項可以更進(jìn)一步反映星載原子鐘的特性，從而提高鐘差預(yù)報的效果。根據(jù)每顆衛(wèi)星的預(yù)報結(jié)果及其平均值數(shù)據(jù)可知，MRLSC模型的RMS值與range值最小，說明本文所建模型的預(yù)報精度與預(yù)報穩(wěn)定性最好。該模型能夠在鐘差物理特性及其周期特性的基礎(chǔ)上顧及鐘差隨機(jī)特性得到更加完善的鐘差模型，從而實(shí)現(xiàn)對衛(wèi)星鐘差更加精準(zhǔn)的預(yù)報。

2.2試驗2

將本文所提方法與常用的QP模型和GM(1,1)模型進(jìn)行對比，進(jìn)一步分析新方法較兩種常用模型的預(yù)報特性。對18顆星載銣鐘進(jìn)行連續(xù)3 d的鐘差預(yù)報，即分別使用4月4、5、6日一整天的數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，分別預(yù)報接下來4月5、6、7日一整天的鐘差。表4給出了本試驗中MRLSC模型中協(xié)方差函數(shù)對應(yīng)的參數(shù)取值。圖8—圖10是18顆衛(wèi)星在各模型下預(yù)報第1天鐘差的預(yù)報誤差。

表4　MRLSC模型對應(yīng)協(xié)方差函數(shù)參數(shù)的取值Tab.4　Parameter values of covariance function corresponding to MRLSC model

圖8　各顆衛(wèi)星在QP模型下的預(yù)報誤差Fig.8　Prediction errors of QP model for all satellites

圖9　各顆衛(wèi)星在GM(1,1)模型下的預(yù)報誤差Fig.9　Prediction errors of GM(1,1) model for all satellites

圖10　各顆衛(wèi)星在MRLSC模型下的預(yù)報誤差Fig.10　Prediction errors of MRLSC model for all satellites

對比3種模型的預(yù)報誤差圖可以看出，本文所提方法的預(yù)報誤差相對較小且發(fā)散較慢，同時誤差的波動范圍也較小，因此說明新方法的預(yù)報效果優(yōu)于兩種常用模型的預(yù)報效果，同時也說明了本文所提協(xié)方差函數(shù)確定方法的有效性。表5和表6分別根據(jù)衛(wèi)星的種類給出了各類衛(wèi)星以及18顆衛(wèi)星每天預(yù)報結(jié)果RMS和range平均值的統(tǒng)計情況。

表5　預(yù)報結(jié)果的RMS統(tǒng)計值

注：all統(tǒng)計值的含義是每天在各模型下18顆衛(wèi)星預(yù)報結(jié)果RMS之和的平均值。

表6　預(yù)報結(jié)果的Range統(tǒng)計值

注：all統(tǒng)計值的含義是每天在各模型下18顆衛(wèi)星預(yù)報結(jié)果range之和的平均值。

根據(jù)表5和表6的統(tǒng)計結(jié)果可知：每天預(yù)報結(jié)果的RMS平均值中本文所提方法最小，其精度優(yōu)于兩種常用模型；而每天預(yù)報的穩(wěn)定性(range)平均值，本文方法整體上好于兩種常用模型。計算各模型3 d預(yù)報結(jié)果RMS和Range的平均值，分別為

3 d的平均預(yù)報精度MRLSC模型較QP模型和GM(1,1)分別提高了0.457 ns和0.948 ns，而3 d的平均預(yù)報穩(wěn)定性MRLSC模型較QP模型和GM(1,1)分別提高了0.445 ns和1.233 ns；因此，進(jìn)一步說明本文所提方法的合理性、有效性，同時也證明了所給協(xié)方差函數(shù)確定方法的有效性。對于4類衛(wèi)星鐘的預(yù)報，BLOCK IIA Rb鐘的效果最差，這是因為該類型衛(wèi)星是GPS系統(tǒng)早期發(fā)射，長時間的運(yùn)行導(dǎo)致衛(wèi)星上相關(guān)設(shè)備老化，也致使其鐘差預(yù)報的效果變差。對比3種模型下不同類型衛(wèi)星鐘的預(yù)報結(jié)果，特別是前兩天的，可以看出MRLSC模型對于新型的BLOCK IIF Rb鐘的鐘差預(yù)報能夠取得相對更好的效果。此外，在連續(xù)3 d的預(yù)報中，MRLSC模型的協(xié)方差函數(shù)參數(shù)取相同的值，但隨著預(yù)報時間段的推移，MRLSC模型較兩種常用模型的優(yōu)勢明顯減弱，特別是預(yù)報結(jié)果的穩(wěn)定性，說明本文所提方法對應(yīng)協(xié)方差函數(shù)的參數(shù)值確定之后，在一定的預(yù)報時間段內(nèi)不改變模型參數(shù)值可以進(jìn)行衛(wèi)星鐘差的連續(xù)建模預(yù)報，但隨著預(yù)報長度的增加，預(yù)報效果有所下降。這是因為雖然星載原子鐘在空間環(huán)境中受外界多種不確定因素以及自身頻率漂移等的影響，但是在相對較短的時間范圍內(nèi)，這些影響作用于衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)的效果可以認(rèn)為是相同的，因此在使用最小二乘配對衛(wèi)星鐘差隨機(jī)性變化部分建模時，對應(yīng)的協(xié)方差函數(shù)參數(shù)可以取相同的數(shù)值。另一方面，雖然可以取相同的值，但是這些參數(shù)值不一定最佳。

3總結(jié)

為了更全面地反映衛(wèi)星鐘差特性并提高鐘差預(yù)報精度，本文基于抗差最小二乘配置方法，建立了一種能夠同時顧及衛(wèi)星鐘物理特性、鐘差周期性變化與隨機(jī)性變化特點(diǎn)的鐘差預(yù)報模型。通過試驗與分析得出以下結(jié)論：

(1) 對于星載原子鐘的鐘差預(yù)報，顧及鐘差的周期特性與隨機(jī)特性能夠進(jìn)一步提高鐘差預(yù)報的效果。

(2) 采用最小二乘配置對鐘差隨機(jī)變化部分進(jìn)行建模是合適的，并且本文所給的協(xié)方差函數(shù)確定方法及其對應(yīng)的參數(shù)取值范圍是有效的。

(3) 新方法能夠有效地進(jìn)行鐘差預(yù)報且能取得優(yōu)于兩種常用模型的預(yù)報效果。

最后需要說明的是，協(xié)方差函數(shù)的合理確定是最小二乘配模型的關(guān)鍵，本文所確定的協(xié)方差函數(shù)相對有效，接下來還需進(jìn)行更多的試驗與分析來實(shí)現(xiàn)進(jìn)一步的完善。

參考文獻(xiàn)：

[1]王宇譜, 呂志平, 陳正生, 等. 衛(wèi)星鐘差預(yù)報的小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法研究[J]. 測繪學(xué)報, 2013, 42(3): 323-330.

WANG Yupu, Lü Zhiping, CHEN Zhengsheng, et al. Research on the Algorithm of Wavelet Neural Network to Predict Satellite Clock Bias[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2013, 42(3): 323-330.

[2]黃觀文, 楊元喜, 張勤. 開窗分類因子抗差自適應(yīng)序貫平差用于衛(wèi)星鐘差參數(shù)估計與預(yù)報[J]. 測繪學(xué)報, 2011, 40(1): 15-21. HUANG Guanwen, YANG Yuanxi, ZHANG Qin. Estimate and Predict Satellite Clock Error Using Adaptively Robust Sequential Adjustment with Classified Adaptive Factors Based on Opening Windows[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2011, 40(1): 15-21.

[3]崔先強(qiáng), 焦文海. 灰色系統(tǒng)模型在衛(wèi)星鐘差預(yù)報中的應(yīng)用[J]. 武漢大學(xué)學(xué)報(信息科學(xué)版), 2005, 30(5): 447-450.

CUI Xianqiang, JIAO Wenhai. Grey System Model for the Satellite Clock Error Predicting[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2005, 30(5): 447-450.

[4]鄭作亞, 黨亞民, 盧秀山, 等. 附有周期項的預(yù)報模型及其在GPS衛(wèi)星鐘差預(yù)報中的應(yīng)用研究[J]. 天文學(xué)報, 2010, 51(1): 95-102. ZHENG Zuoya, DANG Yamin, LU Xiushan, et al. Prediction Model with Periodic Item and Its Application to the Prediction of GPS Satellite Clock Bias[J]. Acta Astronomica Sinica, 2010, 51(1): 95-102.

[5]HEO Y J, CHO J, HEO M B. Improving Prediction Accuracy of GPS Satellite Clocks with Periodic Variation Behaviour[J]. Measurement Science and Technology, 2010, 21(7): 073001.

[6]徐君毅, 曾安敏. ARIMA(0, 2, q)模型在衛(wèi)星鐘差預(yù)報中的應(yīng)用[J]. 大地測量與地球動力學(xué), 2009, 29(5): 116-120.

XU Junyi, ZENG Anmin. Application of ARIMA(0, 2, q) Model to Prediction of Satellite Clock Error[J]. Journal of Geodesy and Geodynamics, 2009, 29(5): 116-120.

[7]DAVIS J, BHATTARAI S, ZIEBART M. Development of a Kalman Filter Based GPS Satellite Clock Time-offset Prediction Algorithm[C]∥Proceedings of European Frequency and Time Forum (EFTF). Gothenburg: IEEE, 2012: 152-156.

[8]王國成, 柳林濤, 徐愛功, 等. 徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在GPS衛(wèi)星鐘差預(yù)報中的應(yīng)用[J]. 測繪學(xué)報, 2014, 43(8): 803-807. DOI: 10.13485/j.cnki.11-2089.2014.0078.

WANG Guocheng, LIU Lintao, XU Aigong, et al. The Application of Radial Basis Function Neural Network in the GPS Satellite Clock Bias Prediction[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2014, 43(8): 803-807. DOI: 10.13485/j.cnki.11-2089.2014.0078.

[9]鄭作亞, 陳永奇, 盧秀山. 灰色模型修正及其在實(shí)時GPS衛(wèi)星鐘差預(yù)報中的應(yīng)用研究[J]. 天文學(xué)報, 2008, 49(3): 306-320.

ZHENG Zuoya, CHEN Yongqi, LU Xiushan. An Improved Grey Model for the Prediction of Real-time GPS Satellite Clock Bias[J]. Acta Astronomica Sinica, 2008, 49(3): 306-320.

[10]郭海榮. 導(dǎo)航衛(wèi)星原子鐘時頻特性分析理論與方法研究[D]. 鄭州:信息工程大學(xué), 2006. GUO Hairong. Study on the Analysis Theories and Algorithms of the Time and Frequency Characterization for Atomic Clocks of Navigation Satellites[D]. Zhengzhou: Information Engineering University, 2006.

[11]黃維彬. 近代平差理論及其應(yīng)用[M]. 北京: 解放軍出版社, 1992: 92-118. HUANG Weibin. Theory of Adjustment and Its Applications in Geodesy[M]. Beijing: The PLA Press, 1992: 92-118.

[13]柴洪洲, 崔岳, 明鋒. 最小二乘配置方法確定中國大陸主要塊體運(yùn)動模型[J]. 測繪學(xué)報, 2009, 38(1): 61-65. CHAI Hongzhou, CUI Yue, MING Feng. The Determination of Chinese Mainland Crustal Movement Model Using Least-squares Collocation[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2009, 38(1): 61-65.

[14]SENIOR K L, RAY J R, BEARD R L. Characterization of Periodic Variations in the GPS Satellite Clocks[J]. GPS Solutions, 2008, 12(3): 211-225.

[15]LEI Yu, ZHAO Danning, HU Zhaopeng, et al. Prediction of Navigation Satellite Clock Bias by Gaussian Process Regression[C]∥Proceedings of the 6th China Satellite Navigation Conference. Berlin: Springer, 2015: 411-423.

[16]王海棟, 柴洪洲, 趙東明. 基于抗差最小二乘配置的海底地形生成研究[J]. 系統(tǒng)仿真學(xué)報, 2010, 22(9): 2091-2094, 2099.

WANG Haidong, CHAI Hongzhou, ZHAO Dongming. Research on Seabed Terrain Generation Based on Robust Least-squares Collocation[J]. Journal of System Simulation, 2010, 22(9): 2091-2094, 2099.

[17]楊元喜, 劉念. 擬合推估兩步極小解法[J]. 測繪學(xué)報, 2002, 31(3): 192-195. YANG Yuanxi, LIU Nian. A New Resolution of Collocation by Two Minimization Steps[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2012, 31(3): 192-195.

[18]陳西斌, 張波, 鮑國. 基于擬合推估兩步極小解法的衛(wèi)星鐘差短期預(yù)報[J]. 大地測量與地球動力學(xué), 2014, 34(5): 125-129. CHEN Xibin, ZHANG Bo, BAO Guo. Short-term Prediction of Satellite Clock Bias Based on Two-steps Minimization[J]. Journal of Geodesy and Geodynamics, 2014, 34(5): 125-129.

[19]王宇譜, 呂志平, 陳正生, 等. 一種新的導(dǎo)航衛(wèi)星鐘差預(yù)報與內(nèi)插方法[J]. 大地測量與地球動力學(xué), 2013, 33(4): 112-116.

WANG Yupu, Lü Zhiping, CHEN Zhengsheng, et al. A New Method of Navigation Satellite Clock Bias Prediction and Interpolation[J]. Journal of Geodesy and Geodynamics, 2013, 33(4): 112-116.

[20]劉念. 協(xié)方差函數(shù)的抗差擬合[J]. 測繪科學(xué), 2001, 26(3): 25-28. LIU Nian. Robust Fitting of Covariance Function[J]. Science of Surveying and Mapping, 2001, 26(3): 25-28.

[21]周江文, 黃幼才, 楊元喜, 等. 抗差最小二乘法[M]. 武漢: 華中理工大學(xué)出版社, 1997: 71-158.

ZHOU Jiangwen, HUANG Youcai, YANG Yuanxi, et al. Robustified Least Square Method[M]. Wuhan: Huazhong University of Science and Technology Press, 1997: 71-158.

[22]楊元喜. 抗差估計理論及其應(yīng)用[M]. 北京: 八一出版社, 1993: 252-255. YANG Yuanxi. Theory of Robust Estimation and Its Applications[M]. Beijing: Bayi Press, 1993: 252-255.

(責(zé)任編輯：叢樹平)

修回日期： 2016-01-12

First author： WANG Yupu(1988—), male, PhD candidate, majors in theory and method of surveying data processing.

E-mail： 987834660@qq.com

Prediction of Navigation Satellite Clock Bias Considering Clock’s Stochastic Variation Behavior with Robust Least Square Collocation

WANG Yupu1,2,Lü Zhiping1,WANG Ning1,LI Linyang1,GONG Xiaochun1

1. School of Surveying and Mapping, Information Engineering University, Zhengzhou 450001, China; 2. State Key Laboratory of Geo-information Engineering, Xi’an 710054, China

Abstract：In order to better express the characteristic of satellite clock bias (SCB) and further improve its prediction precision, a new SCB prediction model is proposed, which can take the physical feature, cyclic variation and stochastic variation behaviors of the space-borne atomic clock into consideration by using a robust least square collocation (LSC) method. The proposed model firstly uses a quadratic polynomial model with periodic terms to fit and abstract the trend term and cyclic terms of SCB. Then for the residual stochastic variation part and possible gross errors hidden in SCB data, the model employs a robust LSC method to process them. The covariance function of the LSC is determined by selecting an empirical function and combining SCB prediction tests. Using the final precise IGS SCB products to conduct prediction tests, the results show that the proposed model can get better prediction performance. Specifically, the results’ prediction accuracy can enhance 0.457 ns and 0.948 ns respectively, and the corresponding prediction stability can improve 0.445 ns and 1.233 ns, compared with the results of quadratic polynomial model and grey model. In addition, the results also show that the proposed covariance function corresponding to the new model is reasonable.

Key words：satellite clock bias prediction; stochastic variation behavior; least square collocation; robust estimation; covariance function

中圖分類號：P228

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1001-1595(2016)06-0646-10

基金項目：國家自然科學(xué)基金(41274015;U1431115)；國家863計劃(2013AA122501)；地理信息工程國家重點(diǎn)實(shí)驗室開放研究基金(SKLGIE2015-M-1-6)

收稿日期：2015-11-06

第一作者簡介：王宇譜(1988—)，男，博士生，研究方向為測量數(shù)據(jù)處理理論與方法。

引文格式：王宇譜，呂志平，王寧，等.顧及衛(wèi)星鐘隨機(jī)特性的抗差最小二乘配置鐘差預(yù)報算法[J].測繪學(xué)報，2016,45(6)：646-655. DOI:10.11947/j.AGCS.2016.20150569.

WANG Yupu,Lü Zhiping,WANG Ning,et al.Prediction of Navigation Satellite Clock Bias Considering Clock’s Stochastic Variation Behavior with Robust Least Square Collocation[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2016,45(6):646-655. DOI:10.11947/j.AGCS.2016.20150569.