岳喜錚，丁問司，丁　康， 曾智杰

(華南理工大學 機械與汽車工程學院, 廣州　510641)

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行星輪系漸開線變位齒輪時變嚙合剛度數值計算

岳喜錚，丁問司，丁康， 曾智杰

(華南理工大學 機械與汽車工程學院, 廣州510641)

摘要：齒輪嚙合剛度的時變性是齒輪產生振動的主要原因，對齒輪時變剛度進行求解計算具有重要的意義?；谡兾恍行禽喯低恺X輪齒形幾何參數的計算方法，根據內外齒輪齒形的不同，推導出內齒輪齒形幾何參數計算過程。利用石川公式中輪齒變形計算公式和剛度求解公式，通過Matlab編程求得正變位行星輪系內外嚙合時變嚙合剛度曲線，并與Weber能量法計算結果進行對比，結果表明：靜態(tài)剛度最大誤差為3.7%，不考慮幅值為很小值時的動態(tài)剛度，前4階諧波幅值最大誤差約為9.1%，精度滿足要求，可以為行星輪系運動微分方程提供較為準確的嚙合剛度。

關鍵詞：變位齒輪；石川公式；外嚙合剛度；內嚙合剛度

齒輪傳動因結構緊湊、效率高、能傳遞大的作用力等優(yōu)點而成為機械傳動中應用最廣泛的一種傳動形式。齒輪傳動系統(tǒng)是一種彈性的機械系統(tǒng)，在動態(tài)激勵作用下會產生動態(tài)響應。動態(tài)激勵分為外部激勵和內部激勵兩類，即使外部激勵為0，齒輪系統(tǒng)也會因同時嚙合齒對數和嚙合接觸點位置的改變，以及輪齒的誤差等引起內部激勵而產生振動[1]。通常嚙合齒輪對的重合度不是整數，嚙合過程中單雙齒嚙合交替出現，隨時間做周期性變化，輪齒的綜合嚙合剛度也隨之變化。嚙合剛度隨時間變化產生剛度激勵，是產生齒輪嚙合內部激勵的主要原因。因此，為了研究齒輪內部激勵對齒輪系統(tǒng)動態(tài)響應的影響，對整個齒輪嚙合過程進行分析，計算得到嚙合過程中嚙合剛度的變化規(guī)律是很有必要的，這是齒輪故障診斷、系統(tǒng)動態(tài)特性分析以及壽命預測等研究的基礎。

隨著計算機的快速發(fā)展，采用有限元方法計算齒輪時變嚙合剛度比較普遍。通過建立齒輪對三維接觸有限元分析模型可得到嚙合輪齒間的時變剛度曲線[2-3]。但建立有限元模型需要考慮的因素較多，模型比較復雜，而且計算不同齒輪的嚙合剛度需要建立不同的有限元模型，效率比較低。而用數值計算方法求輪齒的嚙合剛度則省去了建模的過程，在已有的數學模型的基礎上，通過改變參數數值即可求解，計算速度快，效率高，精度也滿足要求。數值求解方法主要有日本的石川公式法[4]和Weber能量法。Weber能量法在國外應用較多[5-6]，國內也有學者應用Weber能量法對齒輪變形量進行推導[7-8]，但石川公式因固定系數較少、計算過程簡單、運算量小、適用范圍更廣而更多地被應用[9]。

目前，隨著汽車工業(yè)快速發(fā)展，尤其是新能源汽車的發(fā)展，行星輪系因體積小、質量輕、傳動比大等優(yōu)點，越來越多地被應用在汽車自動變速器中。行星輪系在AT變速器中可與離合器、制動器搭配作為主變速構件，在CVT自動變速器中可作為副變速構件增大傳動比范圍，在新能源汽車上可使用ECVT自動變速器與電動機共同實現變速。行星輪系齒輪嚙合與定軸輪系齒輪嚙合不同，行星輪系中行星架帶動行星輪公轉使得行星輪與太陽輪、行星輪與內齒圈嚙合線不斷變化，外嚙合與內嚙合同時存在。在現有的文獻中，利用有限元方法求解行星輪系時變嚙合剛度的研究較多，而在利用數值計算方法求解行星輪系時變嚙合剛度的文獻中以標準行星輪與太陽輪外嚙合剛度求法為主，基本上沒考慮變位齒輪外嚙合的情況，更沒有考慮變位行星輪與內齒圈內嚙合的嚙合剛度。鑒于上述情況，本文對正變位行星輪與太陽輪外嚙合進行分析，并在此基礎上推導了正變位行星輪與內齒圈的內嚙合剛度。

1石川公式

在齒輪嚙合傳動過程中，嚙合齒對數與嚙合接觸點位置的變化會導致齒輪綜合嚙合剛度隨時間周期性變化。輪齒間嚙合作用可以簡化為嚙合線方向上的時變彈簧，某一接觸點的嚙合剛度即為此時的彈簧剛度。GB/T 3480—1997中提出了齒輪嚙合剛度的計算方法，將齒輪嚙合剛度定義為使一對或幾對同時嚙合輪齒在1 mm齒寬上產生1 μm變形量所需要的嚙合線上的載荷力。齒輪嚙合剛度的數學表達式為[11]

(1)

式中：Fn為嚙合線法向載荷；b為輪齒的齒寬；δ為輪齒在嚙合線方向上單位齒寬綜合彈性變形量。

嚙合剛度為輪齒的固有特性，與所受力的大小無關，通過齒輪嚙合每一時刻單位力作用下輪齒的綜合變形量即可求得此時刻的齒輪嚙合剛度。本文采用石川公式法計算齒輪嚙合線方向上輪齒嚙合的綜合彈性變形量，并在此基礎上求輪齒嚙合剛度。

1.1標準齒輪石川公式

石川公式作為一種常見的齒輪輪齒綜合彈性變形的計算方法，將復雜的齒輪漸開線齒廓簡化為由矩形與梯形組合而成的當量齒形結構，矩形底部所在的圓為齒輪的齒根圓，矩形與漸開線齒廓的交點為嚙合齒輪對中主動輪嚙合開始點、被動輪嚙合結束點，該點在漸開線齒廓上所對應的圓稱為有效齒根圓，簡化后的外齒輪齒廓石川公式當量齒形如圖1所示。

圖1　外齒輪齒廓石川公式當量齒形

由圖1中幾何關系可得外齒輪齒廓石川公式當量齒形幾何參數[12]。

1) 齒頂圓齒厚

(2)

式中：da為齒頂圓直徑；r為分度圓半徑；s為分度圓齒厚；α為漸開線齒廓分度圓壓力角；αa為漸開線齒廓齒頂圓壓力角。

2) 有效齒根圓齒厚

(3)

式中：dF為有效齒根圓直徑；αF為漸開線齒廓有效齒根圓壓力角。

3) 齒根圓齒厚

(4)

式中：df為齒根圓直徑；αf為漸開線齒廓齒根圓壓力角。

4) 矩形高

(5)

5) 齒形高

(6)

6) 嚙合點所在齒輪圓半個齒厚角

(7)

式中αx為嚙合點所在齒輪圓壓力角。

7) 載荷作用角

(8)

8) 嚙合點高

(9)

式中dx為嚙合點所在齒輪圓直徑。

9) 輔助尺寸

(10)

將輪齒簡化之后，在求解齒輪嚙合變形量之前進行一定的假設：

1) 在外嚙合直齒圓柱齒輪傳動中將齒輪輪體視為剛體，輪體部分變形為0；

2) 在內嚙合直齒圓柱齒輪傳動中內齒圈輪體為很薄的一部分，可近似忽略輪體變形的影響；

3) 忽略齒輪系統(tǒng)傳動過程中的熱變形。

此時，輪齒嚙合綜合彈性變形依賴于3部分的變形量：① 輪齒漸開線齒廓的彎曲變形δB(矩形部分的彎曲變形量δBr+梯形部分的彎曲變形量δBt)、嚙合剪切變形量δs；② 輪齒齒根與輪體相連過渡曲線圓角部分的變形量δt；③ 由齒輪對嚙合接觸應力引起的局部變形量δc。

嚙合齒輪對中單個輪齒變形量用數學公式表示為：

(11)

嚙合齒輪對中1對輪齒的綜合彈性變形量用數學公式表示為

(12)

式中：δp為主動輪輪齒嚙合變形量；δg為從動輪輪齒嚙合變形量；δc為輪齒接觸應力引起的局部變形量。

根據簡化圖形的幾何參數求解各個變形量的具體公式見文獻[4]。

1.2變位齒輪石川公式

在齒輪傳動系統(tǒng)中，為了改善標準齒輪的不足，突破標準齒輪的限制，通常對齒輪進行修正?，F在最廣泛應用的是通過改變刀具與齒輪輪坯的相對位置來切制齒輪，此時刀具的分度線與輪坯的分度圓不再相切，切制成的齒輪分度圓上齒厚s與齒槽寬e不再相等，這已不是標準齒輪，稱其為變位齒輪。變位齒輪與標準齒輪相比，模數、分度圓壓力角、分度圓直徑、齒距并沒有發(fā)生變化，發(fā)生變化的為分度圓齒厚、齒頂圓直徑、齒根圓直徑。

正變位外齒輪分度圓齒厚為

(13)

正變位內齒輪分度圓齒厚為

(14)

式中：m為模數；x為徑向變位系數。

2行星輪系嚙合剛度

2.1行星輪與太陽輪外嚙合剛度

在角度變位齒輪傳動中，正傳動可以減小齒輪機構的尺寸，較大地提高齒輪機構的承載能力，在體積相對較小和承載能力高的行星輪系中應用較多。當行星輪與太陽輪均為正變位齒輪時，外嚙合過程中分度圓與節(jié)圓不再重合，此時要保證齒輪傳動時無側隙正常嚙合，其中一齒輪在節(jié)圓上的齒槽寬要等于另一齒輪在節(jié)圓上的齒厚，由此可得：

(15)

式中：α′為變位后的漸開線齒廓節(jié)圓壓力角；xs為太陽輪變位系數；xp為行星輪變位系數。

正變位行星輪與正變位太陽輪外嚙合齒輪傳動的齒輪幾何尺寸計算公式如表1所示。根據表1齒輪幾何尺寸計算公式，可以得到按石川公式簡化后的當量齒形參數中除嚙合點高hx之外的其他參數。在外嚙合過程中，齒輪副嚙合點不斷發(fā)生變化。當嚙合點高hx隨之發(fā)生變化，并且嚙合點確定后可得到嚙合點高hx，即可利用石川公式的當量齒形各部分變形量計算公式求解出嚙合過程中綜合彈性變形量，然后通過嚙合剛度表達式得到在一個嚙合周期內齒輪副嚙合剛度隨時間變化的曲線。嚙合周期為

(16)

式中：nh為行星架轉速；np為行星輪轉速；zp為行星輪齒數。

表1　行星輪與太陽輪幾何尺寸計算公式

2.2行星輪與內齒輪內嚙合剛度

內嚙合是內齒輪與外齒輪進行嚙合的傳動，外齒輪是圓盤形的，外圈有齒,而內齒輪則是環(huán)形的，外圈光滑，輪齒分布在輪圈的內圓上，內齒輪齒廓如圖2所示。

由圖2內齒輪齒廓可知：內齒輪齒形與外齒輪齒形不同，內齒輪的輪齒與外齒輪齒槽部分相當，內齒輪的齒頂圓和齒根圓相當于外齒輪的齒根圓與齒頂圓。內齒輪輪齒簡化為梯形與矩形組合成的石川公式當量齒形如圖3所示。

圖2　內齒輪齒廓

圖3　內齒輪輪齒石川公式的當量齒形

此時，內齒輪輪齒石川公式當量齒形中幾何參數為:

齒頂圓齒厚

(17)

齒根圓齒厚

(18)

有效齒根圓齒厚

(19)

嚙合點所在齒輪圓半個齒厚角

(20)

嚙合點處法向載荷與輪齒中心線垂線的夾角

(21)

由于內齒輪的齒頂圓和齒根圓的位置剛好與外齒輪相反，因此簡化后的內齒輪齒廓當量齒形中矩形高hr、齒形高h與嚙合點高hx的計算公式與式(5)、(6)、(9)相差一個負號，而輔助尺寸hi的計算公式與式(10)相同。

對于正變位的行星輪與內齒圈內嚙合，無側隙正常嚙合傳動時嚙合角計算公式為

(22)

實際中心距a′及中心距變動系數y計算公式與外嚙合時相同，而齒頂高降低系數不同，其計算公式為

(23)

由于正變位行星輪與內齒圈內嚙合傳動時行星輪幾何尺寸計算方法與外嚙合時相同，因此僅列出內齒輪的幾何尺寸計算公式如表2所示。

表2　內齒圈的幾何尺寸計算公式

注：xr為內齒圈變位系數。

對行星輪與內齒圈內嚙合過程進行分析，畫出齒輪嚙合過程簡圖，如圖4所示。圖4中：齒輪1為行星輪；齒輪2為內齒輪；N1N2為嚙合過程的理論嚙合線，在內嚙合時其為兩嚙合齒輪基圓的外公切線。與外嚙合時理論嚙合線為兩齒輪的內公切線所不同，在內嚙合過程中，行星輪為主動輪，以行星輪有效齒根圓與內齒圈齒頂圓接觸嚙合點B2開始嚙合，行星輪的凸齒面與內齒圈的凹齒面逐漸接觸，以行星輪齒頂圓與內齒圈有效齒根圓接觸嚙合點B1結束嚙合，B1B2為實際嚙合線。與齒輪外嚙合時實際嚙合線在理論嚙合線內不同，內嚙合的實際嚙合線在理論嚙合線的延長線上。在實際嚙合線B1B2中，B2C、B1D為雙齒嚙合區(qū)，CD為單齒嚙合區(qū)。在單雙齒嚙合區(qū)內利用石川公式的當量齒形各部分變形量計算公式求得綜合變形量，從而得到行星輪與內齒輪內嚙合時一個嚙合周期內的嚙合剛度曲線，其嚙合周期計算公式與式(16)相同。

圖4　行星輪與內齒輪內嚙合過程簡圖

3算例與結果分析

3.1行星輪系嚙合剛度

一個試制的等比例縮小風電行星齒輪箱正變位行星輪系各齒輪參數如表3所示。

表3　行星輪系齒輪參數

用Matlab編程計算，設內齒圈固定，當輸入軸行星架轉速為600r/min時，計算得到行星輪相對行星架的轉速為1 577.78r/min。行星輪與太陽輪外嚙合剛度時頻圖如圖5所示。外嚙合的重合度為1.187 8，雙齒嚙合區(qū)占嚙合周期比例為0.187 8。行星輪與內齒圈內嚙合剛度時頻圖如圖6所示。內嚙合的重合度為1.527，雙齒嚙合區(qū)占嚙合周期比例為0.527。

圖5　外嚙合剛度時頻

圖6　內嚙合剛度時頻

3.2與Weber能量法計算結果對比

根據Weber能量法，通過Matlab編程得到齒輪嚙合過程中時變嚙合剛度。因Weber能量法未對輪齒進行簡化，計算結果精度相對較高，ISO齒輪剛度計算標準也是以Weber能量法公式為基礎的，故以Weber能量法計算結果為標準，對石川公式計算得到的靜剛度和前4階動剛度幅值進行比較，比較數據如表4和表5所示。

表4　行星輪與太陽輪外嚙合剛度

注：數據四舍五入，取小數點后4位

表5　行星輪與內齒圈內嚙合剛度

注：數據四舍五入，取小數點后4位

數據分析結果表明：內嚙合剛度相對誤差整體要比外嚙合要小，這是由于內嚙合時內齒輪和外齒輪的當量齒形簡化形成的誤差相互補償與抵消，石川公式計算結果更接近實際值。而無論內嚙合與外嚙合，其2、4階嚙合剛度幅值均比1、3階嚙合剛度幅值小一個數量級，相對誤差要大些，但總體誤差均在可以接受的范圍內，可以驗證上述分析中利用石川公式計算變位行星輪系嚙合剛度的正確性與可行性。

4結束語

基于常見的外嚙合輪齒石川公式當量齒形，詳細推導了行星齒輪嚙合的正變位外齒輪齒形幾何參數的計算方法。根據內齒輪齒形與外齒輪齒形不同，做出內齒輪石川公式當量齒形，推導出正變位內齒輪齒形幾何參數計算公式。利用石川公式計算方法，通過Matlab編程求解行星輪系內嚙合與外嚙合綜合彈性變形量，得到行星輪系時變嚙合剛度曲線，并將計算結果與Weber能量法計算結果進行對比分析。結果表明：靜態(tài)剛度最大誤差為3.7%，不考慮小幅值動態(tài)剛度時前4階諧波幅值最大誤差約為9.1%，能滿足精度要求，驗證了本文所提計算方法的正確性，可為行星輪系動力學特性分析提供較準確的嚙合剛度，較有限元法更為有效和方便，計算效率更高。

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[12]黃祝慶.基于多體動力學的齒輪副建模與實驗研究[D].南京：南京航空航天大學,2013.

(責任編輯楊文青)

Numerical Calculation of Planetary Gear Train Involute ModifiedGear Time-Varying Meshing Stiffness

YUE Xi-zheng, DING Wen-si, DING Kang, ZENG Zhi-jie

(School of Mechanical and Automotive Engineering,South China University of Technology, Guangzhou 510641, China)

Abstract:The time-varying gear meshing stiffness is the main cause of gear vibration. To caculate the time-varying meshing stiffness has vital significance. Based on geometric parameters calculation method of external gear tooth profile in positive modified planetary gear train, according to the differences between external and internal gear tooth profiles, the geometric parameters calculation method of internal gear tooth profile was deduced in detail. Using Ishikawa tooth deformation calculation formula and stiffness calculation formula, positive modified planetary gear train internal and external time-varying meshing stiffness curves can be got by Matlab programming. Compared with the calculation result of Weber energy method, maximum static stiffness error is 3.7% and the first four order harmonic amplitude maximum error is 9.1% without considering the small amplitude value of the dynamic stiffness. Calculation accuracy meets the requirements. It can provide relatively accurate meshing stiffness for motion differential equation of the planetary gear train.

Key words:modified gear; Ishikawa formula; external meshing stiffness; internal meshing stiffness

收稿日期：2016-03-09

基金項目：國家自然科學基金資助項目(51475169)

作者簡介：岳喜錚(1989—)，男，碩士研究生，主要從事行星輪系動力學特性分析研究； 通訊作者 丁問司(1968—)，男，教授，主要從事機械系統(tǒng)動力學研究。

doi:10.3969/j.issn.1674-8425(z).2016.06.007

中圖分類號：TH132.425

文獻標識碼：A

文章編號：1674-8425(2016)06-0038-07

引用格式：岳喜錚，丁問司，丁康， 等.行星輪系漸開線變位齒輪時變嚙合剛度數值計算[J].重慶理工大學學報(自然科學)，2016(6):38-44.

Citation format：YUE Xi-zheng, DING Wen-si, DING Kang, et al.Numerical Calculation of Planetary Gear Train Involute Modified Gear Time-Varying Meshing Stiffness[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2016(6):38-44.