馬少花，李欣欣，2，鄭偉學(xué)，毛漢領(lǐng)，2

（1.廣西大學(xué)廣西制造系統(tǒng)與先進(jìn)制造技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣西 南寧530004；2.廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，廣西 南寧530004）

?

試驗(yàn)與研究

多自由度模型NOFRFs估計(jì)及損傷檢測(cè)的數(shù)值模擬

馬少花1，李欣欣1，2，鄭偉學(xué)1，毛漢領(lǐng)1，2

（1.廣西大學(xué)廣西制造系統(tǒng)與先進(jìn)制造技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣西 南寧530004；2.廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，廣西 南寧530004）

摘要：基于Volterra級(jí)數(shù)理論定義的NOFRFs相當(dāng)于非線性系統(tǒng)中的“傳遞函數(shù)”，可很好的表征非線性系統(tǒng)的本質(zhì)特性，是非線性檢測(cè)的重要工具。結(jié)合NOFRFs的一般估算理論，考察了脈沖錘擊信號(hào)的特點(diǎn)，進(jìn)而推導(dǎo)了脈沖錘擊激勵(lì)下NOFRFs的估算方法。對(duì)一維八自由度模型的數(shù)值模擬分析，驗(yàn)證了該估算方法的有效性，此外，還利用前人構(gòu)建的NOFRFs指標(biāo)實(shí)現(xiàn)了對(duì)該模型系統(tǒng)非線性特性的檢測(cè)。

關(guān)鍵詞：脈沖錘擊激勵(lì)；NOFRFs；非線性檢測(cè)；模擬仿真

隨著非線性理論的發(fā)展，非線性檢測(cè)問題已得到了各領(lǐng)域?qū)W者的廣泛關(guān)注，結(jié)構(gòu)損傷、時(shí)間序列的混沌特性等均屬于非線性問題。程長(zhǎng)明等［1，2］基于NARMAX模型和系統(tǒng)NOFRF提取結(jié)構(gòu)的非線性特性，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)了對(duì)橋梁模型等結(jié)構(gòu)的損傷檢測(cè)。姜可宇等［3］針對(duì)時(shí)間序列的非線性問題，基于非線性AR模型，提出以該模型的非線性檢測(cè)量來檢測(cè)時(shí)間序列混沌特性的非線性檢測(cè)方法。鑒于非線性現(xiàn)象在實(shí)際工程中普遍存在，因此有必要建立一種方便、快速的檢測(cè)系統(tǒng)非線性的方法。

眾所周知，系統(tǒng)傳遞函數(shù)是一種很好的直接表征系統(tǒng)本質(zhì)特性的方式。基于Volterra級(jí)數(shù)理論定義的NOFRFs，相當(dāng)于非線性系統(tǒng)的“傳遞函數(shù)”，可很好的刻畫系統(tǒng)的內(nèi)在本質(zhì)特性。Peng和Lang等［4］提出了NOFRFs的一般估算方法，使得NOFRFs在檢測(cè)系統(tǒng)非線性方面得到了廣泛應(yīng)用。Peng等［5-7］利用各階NOFRFs之間的關(guān)系實(shí)現(xiàn)了對(duì)一維循環(huán)結(jié)構(gòu)非線性的檢測(cè)；此外，他們還基于系統(tǒng)各階NOFRFs值實(shí)現(xiàn)了對(duì)損傷梁非線性特性的檢測(cè)［8］。韓清凱等［9］基于NOFRFs值實(shí)現(xiàn)了對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)內(nèi)部非線性特性的識(shí)別。員險(xiǎn)峰、李志農(nóng)等［10，11］利用各階NOFRFs值實(shí)現(xiàn)了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性程度分有效辨識(shí)。

利用NOFRFs實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)非線性特性有效檢測(cè)的前提是準(zhǔn)確、快速的估算系統(tǒng)的NOFRFs?？紤]到非線性檢測(cè)的實(shí)用性，本文針對(duì)實(shí)際工程中易獲取的脈沖錘擊信號(hào)，結(jié)合NOFRFs的一般估算理論，提出并推導(dǎo)了脈沖錘擊激勵(lì)下NOFRFs的算法?；谠撍惴?，結(jié)合Lang等［12］提出的NOFRFs指標(biāo)，實(shí)現(xiàn)了對(duì)一維八自由度彈簧質(zhì)量塊模型系統(tǒng)的非線性檢測(cè)和分析。

1　NOFRFs理論

若系統(tǒng)輸入信號(hào)能量有限，則可用Volterra級(jí)數(shù)表示連續(xù)時(shí)不變非線性系統(tǒng)，其輸出頻譜可以如下表示［13］：

其中：Y（jω）和U（jω）分別是系統(tǒng)輸入和輸出頻譜，Hn（ω1，…，ωn）是n階Volterra頻域核，即廣義頻率響應(yīng)函數(shù) （General frequency response function，GFRF）.對(duì)任意結(jié)構(gòu)，其動(dòng)態(tài)特性都可由GFRF來描述，然而由于GFRF Hn（n=1，…，N）是多維的，在實(shí)際中很難測(cè)量、表示和解釋。

在非線性系統(tǒng)的Volterra級(jí)數(shù)理論基礎(chǔ)上，Lang等人［14］提出了非線性輸出頻率響應(yīng)函數(shù)（Non-linear Output Frequency Response Function，NOFRF）。若

從上式（2）看出，Gn（jω）是Hn（jω1，…，jωn）在頻域ω1+ωn=ω上的加權(quán)和，其權(quán)數(shù)由輸入信號(hào)決定，故而Gn（jω）也可像Hn（jω1，…，jωn）一樣，表征系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。

結(jié)合公式（1）和（2），系統(tǒng)的輸出譜表示為：

圖1　線性系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)的輸入/輸出譜之間的關(guān)系

2　脈沖錘擊激勵(lì)下NOFRFs的估算

2.1脈沖激勵(lì)下NOFRFs的估算方法

錘擊法具有設(shè)備簡(jiǎn)單、操作方便、獲取數(shù)據(jù)快速高效等特點(diǎn)，在實(shí)際工程中應(yīng)用廣泛。眾所周知，基于錘擊法得到的脈沖錘擊信號(hào)并沒有確定的數(shù)學(xué)表達(dá)式，這就給估算系統(tǒng)NOFRFs造成了困難。幸運(yùn)的是，許多研究表明［15-17］，當(dāng)選定力錘參數(shù)（包括力錘質(zhì)量、錘頭材質(zhì)等）及錘擊對(duì)象后，僅通過控制錘擊速度的大小便可獲得波形相似、脈沖寬度相同、僅力幅不同的脈沖錘擊信號(hào)。基于實(shí)測(cè)脈沖信號(hào)的這些特性，實(shí)際應(yīng)用中可通過合理的選取力錘參數(shù)及控制錘擊速度獲取滿足NOFRFs估算條件的脈沖錘擊信號(hào)，進(jìn)而可實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)各階NOFRFs的估算。

假設(shè)力錘質(zhì)量、錘頭材質(zhì)、錘擊對(duì)象均已確定，下面介紹實(shí)際工程應(yīng)用中脈沖錘擊激勵(lì)下NOFRFs的估算過程：

首先，用力錘以不同錘擊速度敲擊被測(cè)結(jié)構(gòu)次，分別以力傳感器和加速度傳感器收集相應(yīng)的激勵(lì)信號(hào)、響應(yīng)信號(hào)；

其次，按圖1（b）所示方法對(duì)個(gè)脈沖錘擊信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)，并對(duì)重構(gòu)信號(hào)和響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行傅里葉變換，分別得到

最后，利用最小二乘法解上述方程組，即可得到錘擊激勵(lì)下系統(tǒng)的前N階NOFRFs.

2.2基于NOFRFs構(gòu)造檢測(cè)指標(biāo)

NOFRFs是一維函數(shù)，方便表達(dá)和解釋，易從輸入/輸出中辨識(shí)得到，它可很好的表征系統(tǒng)本質(zhì)特性的變化，然而直接對(duì)比各階NOFRFs值來實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)非線性特性的檢測(cè)并不夠簡(jiǎn)便明了。為方便分析，Peng和Lang等人基于NOFRFs提出了一種簡(jiǎn)潔的指標(biāo)：

3　數(shù)值仿真分析

以圖2所示的是一維八自由度彈簧質(zhì)量塊為仿真模型［13］，以半正弦信號(hào)模擬實(shí)測(cè)的脈沖錘擊信號(hào)，對(duì)該激勵(lì)下該模型系統(tǒng)的NOFRFs進(jìn)行估算，并利用上節(jié)介紹的NOFRFs指標(biāo)Fe的對(duì)該模型的非線性特性進(jìn)行檢測(cè)。

圖2　一維八自由度彈簧質(zhì)量塊模型

該模型的非線性系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程為：

其中：x（t）＝［x1（t），…，x8（t）］'是位移向量，M、C、K分別是該模型的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，相應(yīng)模型參數(shù)為m1=… =m8=1 kg，k1=… =k8=3.5531×104 N/m，C=μK，非線性力NF（t）設(shè)置在第3個(gè)和第4個(gè)質(zhì)量塊之間，即

輸入激勵(lì)為半正弦脈沖激勵(lì)，作用在第6個(gè)質(zhì)量塊上，即

其中，An為脈沖幅值，Tc為脈沖持續(xù)時(shí)間?？紤]計(jì)算該一維八自由度質(zhì)量塊模型的前四階NOFRFs，故只需用四組幅值不同、脈沖寬度相同的半正弦脈沖信號(hào)激勵(lì)該系統(tǒng)即可。

3.1NOFRFs的估算

由于該估算過程是基于仿真模型進(jìn)行的，不存在環(huán)境因素、人為因素等方面的干擾問題，故估算該模型的前4階NOFRFs，無需其他信號(hào)處理方式，只需以不同幅值的半正弦信號(hào)激勵(lì)系統(tǒng)4次即可。下面詳細(xì)介紹正常狀態(tài)（NF（t）＝［0］）和損傷狀態(tài)（NF（t）≠［0］）下一維八自由度彈簧質(zhì)量塊仿真模型的前4 階NOFRFs的估算過程。

（1）以幅值不同的四組半正弦脈沖信號(hào)ui（t），i＝1，2，3，4分別激勵(lì)正常情況下的一維八自由度彈簧質(zhì)量快系統(tǒng)，分別獲取四組半正弦脈沖及其響應(yīng)信號(hào)，如圖3所示。

圖3　四組激勵(lì)及其響應(yīng)信號(hào)時(shí)域圖

（2）對(duì)四組半正弦脈沖信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)，并通過福利也變換獲取各重構(gòu)信號(hào)的傅里葉譜，獲取四組響應(yīng)信號(hào)的傅里葉譜；

（3）根據(jù)（2）中計(jì)算的輸入、輸出信號(hào)的傅里葉譜，構(gòu)建4元方程組如下：

（4）用最小二乘法解上述4元方程組，即可得到正常情況下的前4階NOFRFs，其頻譜圖如圖4所示。

圖4　正常情況下系統(tǒng)的前4階NOFRFs

（5）以（1）中的四組半正弦脈沖信號(hào)激勵(lì)損傷情況下的一維八自由度彈簧質(zhì)量塊系統(tǒng)，并按（2）～（4）步，計(jì)算出損傷情況下的前4階NOFRFs，響應(yīng)頻譜如圖5所示

圖5　損傷情況下系統(tǒng)的前4階NOFRFs

3.2基于NOFRFs指標(biāo)的非線性檢測(cè)

根據(jù)公式（5）分別計(jì)算正常和損傷情況下，該仿真系統(tǒng)的NOFRFs指標(biāo)，如表1所示。

表1　不同狀態(tài)下的NOFRFs指標(biāo)Fe（n）的值

由表1可知，正常情況下系統(tǒng)的Fe（1）＝1，其他各階NOFRFs指標(biāo)均很小；而損傷情況下，系統(tǒng)的Fe （1）＜1，且其他高階NOFRFs指標(biāo)相對(duì)正常情況下的同階NOFRFs指標(biāo)而言，均有大幅增加。為方便比較正常和損傷情況下各階NOFRFs指標(biāo)的變化量，作相應(yīng)指標(biāo)值的直方圖如圖6所示。

圖6　不同狀態(tài)下NOFRFs指標(biāo)Fe的對(duì)比直方圖

從上述NOFRFs指標(biāo)Fe（n）值及其直方圖的分析可知，正常和損傷情況下系統(tǒng)各階NOFRFs在整個(gè)NOFRFs中所占的比例不同，換句話說，即系統(tǒng)損傷前后相應(yīng)的NOFRFs指標(biāo)Fe（n）值會(huì)有所變化。故可通過比較和分析NOFRFs指標(biāo)Fe（n）值的變化，判別被測(cè)系統(tǒng)是否損傷，即是否呈現(xiàn)出非線性狀態(tài)。

4　結(jié)束語

（1）錘擊法在工程實(shí)際中應(yīng)用廣泛，且具有簡(jiǎn)便、經(jīng)濟(jì)、高效等優(yōu)點(diǎn)，通過錘擊法獲取脈沖錘擊信號(hào)及其響應(yīng)信號(hào)，進(jìn)而估算相應(yīng)的NOFRFs，具有很好的實(shí)際應(yīng)用性。

（2）相比以往利用振動(dòng)信號(hào)間接獲取系統(tǒng)非線性特性的方法而言，利用非線性系統(tǒng)“傳遞函數(shù)”——NOFRFs可直接提取系統(tǒng)的本質(zhì)特性，因而基于NOFRFs的方法在系統(tǒng)非線性檢測(cè)方面更有效。

（3）NOFRFs可很好的表征系統(tǒng)內(nèi)部特性的變化，更好的提取脈沖錘擊激勵(lì)下NOFRFs的敏感非線性特征量，實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)微弱非線性的檢測(cè)，有待于進(jìn)一步研究。

參考文獻(xiàn)：

［1］程長(zhǎng)明，彭志科，孟光.基于NARMAX模型和NOFRF結(jié)構(gòu)損傷檢測(cè)的實(shí)驗(yàn)研究［J］.動(dòng)力學(xué)與控制學(xué)報(bào)，2013，11 （1）:89-96.

［2］程長(zhǎng)明，彭志科，孟光.基于NARMAX模型和NOFRFs的結(jié)構(gòu)損傷檢測(cè)技術(shù)［C］.第九屆全國(guó)動(dòng)力學(xué)與控制學(xué)術(shù)會(huì)議會(huì)議手冊(cè).2012.

［3］姜可宇，蔡志明，陸振波.一種時(shí)間序列的弱非線性檢驗(yàn)方法［J］.物理學(xué)報(bào)，2008，57（3）:1471-1476.

［4］Peng Z K，Lang Z Q，Billings S A.Crack detection using nonlinear output frequency response functions［J］.Journal of Sound&Vibration，2007，301（3-5）:777-788.

［5］Peng Z K，Lang Z Q.Detecting the position of non-linear component in periodic structures from the system responses to dual sinusoidal excitations［J］.International Journal of Non-Linear Mechanics，2007，42（9）:1074-1083.

［6］P eng Z.K.，LangZ.Q.，Billings S.A.A Novel Method for Detecting the Nonlinear Components in PeriodicStructures［J］. Institution of Mechanical Engineers，Part C:Journal of Mechanical Engineering Science，2008，222:903-910.

［7］Peng Z.K.，Meng G.，Lang Z.Q.，et al.On the distribution of nonlinear effects in locally nonlinear one-dimensional chain type structures［J］.International Journal of Mechanical Sciences，2011，53（3）:226-235.

［8］Peng Z.K.，Lang Z.Q.Numerical analysis of cracked beams using nonlinear output frequency response functions［J］. Computers and structures，2008，（86）：1809-1818.

［9］韓清凱，楊英，郎志強(qiáng)，等.基于非線性輸出頻率響應(yīng)函數(shù)的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)碰摩故障的定位方法研究［J］.科技導(dǎo)報(bào)，2009，27（2）:29-32.

［10］員險(xiǎn)鋒.基于非線性輸出頻率響應(yīng)函數(shù)的轉(zhuǎn)子裂紋故障診斷方法研究［D］.鄭州：鄭州大學(xué)，2011.

［11］員險(xiǎn)鋒，李志農(nóng)，林言麗.基于非線性輸出頻率響應(yīng)函數(shù)的裂紋故障診斷方法研究［J］.機(jī)械強(qiáng)度，2013，35（02）: 133-137.

［12］PengZ.K，Lang Z.Q，Wolters C.et al..Feasibility study of structural damage detection using NARMAX modelling and Nonlinear Output Frequency Response Function based analysis ［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2011，（25）：1045-1061.

［13］Lang Z.Q.，Billings S.A.Output frequency characteristics ofnonlinear systems［J］.Int.J.Control，1996，64:1049-1067.

［14］Lang Z Q，Billings S A.Energy transfer properties of non-linear systems in the frequency domain［J］.Int J Control，2005，（78）:345-362.

［15］王業(yè)生，盛海燕.機(jī)械動(dòng)態(tài)試驗(yàn)中錘擊力的分析［J］.哈爾濱理工大學(xué)學(xué)報(bào)，1987，（2）:43-47.

［16］吳樹昌，李潤(rùn)才，楊慶佛.錘擊試驗(yàn)中用響應(yīng)時(shí)域波形確定力脈沖的合適寬度［J］.太原理工大學(xué)學(xué)報(bào)，1986，（3）: 83-87.

［17］錢濟(jì)國(guó).結(jié)構(gòu)頻率特性的脈沖激勵(lì)試驗(yàn)［J］.煤礦機(jī)械，1995，（4）:21-23.

Damage Detection Simulation and Estimation of NOFRFs on Multi-Degree Freedom Model

MA Shao-hua1，LI Xin-xin1，2，ZHENG Wei-xue1，MAO Han-ling1，2
（1.Guangxi Key Laboratory of Manufacturing System&Advanced Manufacturing Technology，Guangxi University，Nanning 530004，China；2.College of Mechanical Engineering，Guangxi University，Nanning 530004，China）

Abstract：The NOFRFs defined by the Volterra series behave as the transfer function of nonlinear systems and can represent the nature of nonlinear systems.The NOFRFs theory provides an important tool for nonlinear detection. Based on the general estimation theory of NOFRFs and the characteristics of impulse hammer excitation，a new estimation method of NOFRFs under impulse hammer excitation came up.The numerical simulation analysis on the eight-degree freedom model demonstrates the effectiveness of the new estimation method.Besides，the nonlinear detection for the foregoing model is realized using the NOFRFs index put forward by the predecessors'.

Key words：impulse hammer excitation；NOFRFs；nonlinear detection；simulation

中圖分類號(hào)：TH17

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1672-545X（2016）03-0001-04

收稿日期：2015-12-04

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金（51365006，51445013）及廣西制造系統(tǒng)與先進(jìn)制造技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室課題（14-045-15S05）項(xiàng)目。

作者簡(jiǎn)介：馬少花（1990-），女，山東新泰人，碩士研究生，研究方向?yàn)闋顟B(tài)監(jiān)測(cè)與故障診斷。