田曉紅,徐 瑞,王志麗

(軍械工程學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所,河北石家莊050003)

一類具有Leakage時(shí)滯的慣性Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局指數(shù)穩(wěn)定性和Hopf分支

田曉紅?,徐 瑞,王志麗

(軍械工程學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所,河北石家莊050003)

研究一類具有Leakage時(shí)滯的慣性Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型.通過(guò)構(gòu)造適當(dāng)?shù)腖yapunov泛函得到了平衡點(diǎn)全局指數(shù)穩(wěn)定的充分條件.通過(guò)分析特征方程,討論了系統(tǒng)平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性,得出了系統(tǒng)Hopf分支存在的充分條件.最后對(duì)所得理論結(jié)果進(jìn)行了數(shù)值模擬.

慣性Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型;Leakage時(shí)滯;Hopf分支;全局指數(shù)穩(wěn)定性

§1 引 言

生物學(xué)中,一些哺乳動(dòng)物的半規(guī)管以及毛發(fā)細(xì)胞膜都可由包含電感的一個(gè)等效電路來(lái)描述[1].因此,在一定條件下,神經(jīng)元的電子線路也可通過(guò)加入一個(gè)電感來(lái)實(shí)現(xiàn),完成類似于帶通濾波器或電調(diào)諧的作用.基于此構(gòu)建的電路網(wǎng)絡(luò)將包括所謂的慣性,即電感,它是電壓關(guān)于時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù).與傳統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)模型相比,這種具有慣性項(xiàng)的網(wǎng)絡(luò)更能準(zhǔn)確地描述生物神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),便于記憶的無(wú)序搜索.1987年,Babcock和Westervelt[2]在標(biāo)準(zhǔn)RC聯(lián)軸器中引入了慣性項(xiàng),提出了具有單個(gè)和兩個(gè)神經(jīng)元的電子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型,研究發(fā)現(xiàn)與具有標(biāo)準(zhǔn)電容電阻的電子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相比,慣性項(xiàng)的出現(xiàn)使神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有更加復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)性態(tài),它是導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)分叉和混沌的一個(gè)主要因素.在文[2]工作的基礎(chǔ)上,Li[3]等考慮了時(shí)滯對(duì)網(wǎng)絡(luò)動(dòng)態(tài)特性的影響,通過(guò)分析特征方程研究了具有傳輸時(shí)滯的單一慣性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的分支和混沌現(xiàn)象.

慣性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)具有周期運(yùn)動(dòng),擬周期運(yùn)動(dòng)和混沌等豐富的動(dòng)力學(xué)特性,對(duì)它的研究不僅便于理解神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的生物學(xué)背景,而且為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的開(kāi)發(fā),設(shè)計(jì)和應(yīng)用提供了有效途徑.近年來(lái),慣性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型動(dòng)力學(xué)性態(tài)的研究已逐漸成為當(dāng)前的熱點(diǎn)問(wèn)題[4-7].在文獻(xiàn)[5]中,Ke和Miao研究了如下慣性Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型：

等式左邊的二階導(dǎo)數(shù)被稱作系統(tǒng)(1)的慣性項(xiàng),βi＞0是常數(shù).xi(t)表示第i個(gè)神經(jīng)元在t時(shí)刻的狀態(tài)變量.在系統(tǒng)(1)中總假定：

(A1)αi(·)表示一個(gè)正的連續(xù)有界的放大函數(shù),即滿足0

(A2)hi(·)表示適當(dāng)?shù)男袨楹瘮?shù).δij表示第j個(gè)神經(jīng)元在t時(shí)刻的傳輸時(shí)滯且滿足0≤ δij≤ δ.

A=(aij)和B=(bij)(i,j=1,2,···,n)分別表示與時(shí)滯狀態(tài)無(wú)關(guān)和相關(guān)的連接權(quán)矩陣.

Ii表示第i個(gè)神經(jīng)元在t時(shí)刻的外部輸入.

(A3)fj表示第j個(gè)神經(jīng)元在t時(shí)刻的激活函數(shù),且滿足Lipschitz條件,即存在常數(shù)lj＞ 0使得對(duì)j=1,2,···,n,有|fj(x)-fj(y)|≤ lj|x-y|, x,y ∈ R.

在系統(tǒng)(1)中,通過(guò)利用同胚定理,得到了系統(tǒng)存在唯一的平衡點(diǎn)的充分條件.通過(guò)構(gòu)造適當(dāng)?shù)腖yapunov泛函并利用不等式技巧,進(jìn)一步得到了系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)全局指數(shù)穩(wěn)定的充分條件.

作者注意到,在系統(tǒng)(1)中,Ke和Miao只考慮了軸突信號(hào)的傳輸時(shí)滯.事實(shí)上,在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的硬件實(shí)現(xiàn)過(guò)程中,由于神經(jīng)元的有限傳輸速度和電路放大器的有限開(kāi)關(guān)速度,神經(jīng)元的自衰減過(guò)程并不是瞬時(shí)的.當(dāng)神經(jīng)元斷開(kāi)網(wǎng)絡(luò)連接和外部輸入時(shí),重置電位到隔離到靜止?fàn)顟B(tài)需要一個(gè)時(shí)間過(guò)程.為了刻畫(huà)這種現(xiàn)象,Gopalsamy[8]研究了在穩(wěn)定的負(fù)反饋?lái)?xiàng),即Leakage項(xiàng)(漏項(xiàng))中含有時(shí)滯的BAM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型,并發(fā)現(xiàn)Leakage時(shí)滯對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力學(xué)性態(tài)有很大的影響,可能破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性.目前,具有Leakage時(shí)滯的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型動(dòng)力學(xué)性態(tài)的研究引起了人們的關(guān)注[9-11],但對(duì)于含有Leakage時(shí)滯的Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的研究工作則很少見(jiàn)到.

本文將基于文獻(xiàn)[5]和[8]的工作,研究如下具有Leakage時(shí)滯和傳輸時(shí)滯的慣性Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型：

其中τi為L(zhǎng)eakage時(shí)滯且滿足0 ≤ τi≤ τ. 在系統(tǒng)(2)中,αi(·),hi(·),Ii,fj和A=(aij),B=(bij)的定義見(jiàn)(A1)-(A3).在本文中,總假定：

(A4)fj(0)=0,hi(0)=0且存在常數(shù)和i,i使得

系統(tǒng)(2)滿足的初始條件為

這里φi(s)和ψi(s)是有界的連續(xù)函數(shù).

§2 全局指數(shù)穩(wěn)定性

則系統(tǒng)(2)的唯一平衡點(diǎn)x?是全局指數(shù)穩(wěn)定的.

證 由引理2.1可知, 若(H1)成立,則系統(tǒng)(2)存在唯一的平衡點(diǎn)x?=(x,x,···,x). 于是(2)的等價(jià)系統(tǒng)(4)存在唯一的平衡點(diǎn)(x?T,y?T)T.為證明x?是全局指數(shù)穩(wěn)定的,先討論系統(tǒng)(4)的平衡點(diǎn)(x?T,y?T)T的穩(wěn)定性問(wèn)題.

計(jì)算V1(t)沿系統(tǒng)(6)的解的導(dǎo)數(shù)可得

其中

由(10)式有

§3 局部穩(wěn)定性和Hopf分支的存在性

在本節(jié)中,將進(jìn)一步討論模型(2)中當(dāng)神經(jīng)元的個(gè)數(shù)n=2時(shí)對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的局部穩(wěn)定性.

為此,取坐標(biāo)變換ˉxi(t)=xi(t)-,i=1,2,···,n,并仍以x記ˉx,則系統(tǒng)(2)等價(jià)于下列系統(tǒng)：

這里

顯然,系統(tǒng)(2)的平衡點(diǎn)x?變?yōu)榱讼到y(tǒng)(14)的平凡平衡點(diǎn).

在上式中令n=2,δij=0,τi= τ,則系統(tǒng)(14)變?yōu)椋?/p>

下面,將通過(guò)分析特征方程討論系統(tǒng)(14)的特殊情形：系統(tǒng)(15)的零解的穩(wěn)定性和Hopf分支的存在性.由前面的討論可知,系統(tǒng)(15)的等價(jià)系統(tǒng)為：

易知,若(A1)-(A4)成立,則系統(tǒng)(16)存在一個(gè)平凡平衡點(diǎn)E?(0,0,0,0).

令x1(t)=c1eλt,y1(t)=c2eλt,x2(t)=c3eλt,y2(t)=c4eλt,并將其代入到系統(tǒng)(16)在E?處的線性系統(tǒng),要求ci(i=1,2,3,4)有非零解,則可得系統(tǒng)(16)在E?處的特征方程為：

易知,方程(17)可改寫(xiě)為：

根據(jù)Hurwitz判據(jù)可知,當(dāng)τ=0時(shí),如果Δ2＞0和Δ3＞0成立,則方程(19)的所有根均具有負(fù)實(shí)部,故E?是局部漸近穩(wěn)定的.易知,方程(18)等價(jià)于下列方程：

假定方程(20)有一對(duì)共軛純虛根±iω(ω＞0).將λ=iω(ω＞0)代入到方程(20)中,并分離實(shí)部與虛部可得

于是,判斷方程(20)純虛根的存在性等價(jià)于判斷方程(21)的解的存在性.

將(22)代入到(25)中,計(jì)算可得

經(jīng)計(jì)算,有

根據(jù)以上分析,可得如下結(jié)論：

定理3.1 假定Δ2＞0和Δ3＞0.對(duì)系統(tǒng)(16),有下列結(jié)論成立：

(i)如果方程h(z)=0沒(méi)有正實(shí)根,則對(duì)所有的τ≥0,系統(tǒng)(16)的平凡平衡點(diǎn)E?是局部漸近穩(wěn)定的.

(ii)如果sign{h′(z)/G(ω)}＞0,則當(dāng)τ∈[0,τ)時(shí),E?是局部漸近穩(wěn)定的;當(dāng)τ＞ τ時(shí),E?不穩(wěn)定;當(dāng)τ=τ時(shí),系統(tǒng)(16)在平衡點(diǎn)E?附近出現(xiàn)Hopf分支.

§4 數(shù)值模擬

在系統(tǒng)(16)中,令β1=1.2,β2=0.8,a11=0.2,a12=-0.5,a21=-0.5,a22=0.5,a1(x)=1.5cosx,a2(x)=1.5-sinx,b1(x)=0.5x,b2(x)=0.5x,g1(x)=arctanx,g2(x)=tanhx.此時(shí)系統(tǒng)(16)存在一個(gè)平凡平衡點(diǎn)E?(0,0,0,0).計(jì)算可得Δ2=2.4600,Δ3=3.1356且有ω=0.6792,τ=0.9612,sign{h′(z)/G(ω)}=5.0676＞0.則由定理3.1可知,當(dāng)τ=0.8＜ τ0時(shí),系統(tǒng)(16)的解軌線趨向于E?;當(dāng)τ=1.0＞τ0時(shí),系統(tǒng)(16)在E?附近出現(xiàn)Hopf分支.數(shù)值模擬結(jié)果驗(yàn)證了上述結(jié)論(見(jiàn)圖1).

此外,基于上述參數(shù),選擇時(shí)滯τ在區(qū)間(0.5＜τ＜1.5)內(nèi)變化.圖2表明系統(tǒng)(16)將會(huì)出現(xiàn)更加復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為包括混沌現(xiàn)象(見(jiàn)圖2)(由于x1(t)和y1(t)的數(shù)值模擬結(jié)果與x2(t)和y2(t)的類似,故此省略).

圖1 取τ=0.8＜τ0,E?是局部漸近穩(wěn)定的 τ=1.0＞τ0時(shí),E?不穩(wěn)定

圖2 系統(tǒng)(16)在平面(τ,x2)和(τ,y2)上的分岔圖

§5 討論

本文研究了一類具有l(wèi)eakage時(shí)滯和傳輸時(shí)滯的慣性Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型,通過(guò)構(gòu)造全新的Lyapunov泛函,得到了依賴于leakage時(shí)滯和傳輸時(shí)滯的全局指數(shù)穩(wěn)定的判定條件.在系統(tǒng)(2)中,令τi=0,則系統(tǒng)(2)可簡(jiǎn)化為(1),即文[5]中所研究的模型(1).易知,文[5]中判定平衡點(diǎn)全局指數(shù)穩(wěn)定的定理2是本章定理2.1的特殊情況.因此,本文的工作推廣和改進(jìn)了文獻(xiàn)[5]中的相關(guān)結(jié)果.此外,由定理3.1可知,當(dāng)leakage時(shí)滯τ改變時(shí),系統(tǒng)(16)的平衡點(diǎn)逐漸由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定,并在平衡點(diǎn)附近出現(xiàn)Hopf分支,甚至出現(xiàn)了混沌現(xiàn)象.值得注意的是,本文只針對(duì)系統(tǒng)(2)中當(dāng)n=2,δij=0時(shí)的情形,討論了leakage時(shí)滯的變化對(duì)模型動(dòng)力學(xué)性態(tài)的影響,關(guān)于系統(tǒng)(2)的分支問(wèn)題將在今后的工作中進(jìn)一步研究.

[1] Angelaki D E,Correia M J.Models of membrane resonance in pigeon semicircular canal type II hair cells[J].Biol Cybernet,1991,65：1-10.

[2] Babcock K L,Westervelt R M.Dynamics of simple electronic neural networks[J].Physica D,1987,28：305-316.

[3] Li Chunguang,Chen Guangrong,Liao Xiaofeng,et al.Hopf bifurcation and chaos in a single inertial neuron model with time delay[J].Eur Phys J B,2004,41：337-343.

[4] Liu Qun,Liao Xiaofeng,Guo Songtao,et al.Stability of bifurcating periodic solutions for a single delayed inertial neuron model under periodic excitation[J].Nonlinear Anal,RWA,2009,10：2384-2395.

[5] Ke Yunquan,Miao Chunfang.Stability analysis of inertial Cohen-Grossberg-type neural networks with time delays[J].Neurocomputing,2013,117：196-205.

[6] Ge Juhong,Xu Jian.Stability switches and fold-Hopf bifurcations in an inertial four-neuron network model with coupling delay[J].Neurocomputing,2013,110：70-79.

[7] Zhang Zhengqiu,Quan Zhiyong.Global exponential stability via in equality technique for inertial BAM neural networks with time delays[J].Neurocomputing,2015,151：1316-1326.

[8] Gopalsamy K.Leakage delays in BAM[J].J Math Anal Appl,2007,325：1117-1132.

[9] Liu Bingwen.Global exponential stability for BAM neural networks with time-varying delays in the leakage terms[J].Nonlinear Anal RWA,2013,14：559-566.

[10]Zhang Hong,Shao Jianying.Almost periodic solutions for cellular neural networks with time-varying delays in leakage terms[J].Appl Math Comput,2013,219：11471-11482.

[11]Balasubramaniam P,Vembarasan V,Rakkiyappan R.Global robust asymptotic stability analysis of uncertain switched Hop fi eld neural networks with time delay in the leakage term[J].Neural Comput&Applic,2012,21：1593-1616.

Global exponential stability and Hopf bifurcation of inertial Cohen-Grossberg neural networks with time delays in leakage terms

TIAN Xiao-hong,XU Rui,WANG Zhi-li
(Institute of Applied Mathematics,Shijiazhuang Mechanical Engineering College,Shijiazhuang 050003,China)

In this paper,a class of inertial Cohen-Grossberg neural networks with time delays in leakage terms is investigated.By constructing the appropriate Lyapunov functional,sufficient conditions are obtained for the global exponential stability of the equilibrium.By analyzing the corresponding characteristic equation,the local stability of the equilibrium and the existence of Hopf bifurcation are established.Numerical simulations are carried out to illustrate the main results.

inertial Cohen-Grossberg neural networks;leakage delays;Hopf bifurcation;global exponential stability

34K20;92B20

O175.1

A

：1000-4424(2016)04-0428-13

2016-01-26

2016-11-06

國(guó)家自然科學(xué)基金(11371368;11071254;61305076);河北省自然科學(xué)基金(A2013506012;A2014506015)

*通信作者,E-mail：tianxh-2008@163.com