潘俊斌，韋建平，肖光育，何煜

(1.上汽通用五菱汽車股份有限公司，廣西柳州 545006；2.柳州孔輝汽車科技有限公司，廣西柳州 545006)

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基于內(nèi)點罰函數(shù)法的非對稱鋼板彈簧優(yōu)化設(shè)計

潘俊斌1，韋建平2，肖光育1，何煜1

(1.上汽通用五菱汽車股份有限公司，廣西柳州 545006；2.柳州孔輝汽車科技有限公司，廣西柳州 545006)

摘要：以某微客開發(fā)過程中的非對稱少片變截面鋼板彈簧為主要研究對象，進行鋼板彈簧的優(yōu)化設(shè)計及計算，建立該鋼板彈簧的優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型，并以內(nèi)點罰函數(shù)法的優(yōu)化設(shè)計理論為基礎(chǔ)對鋼板彈簧進行優(yōu)化設(shè)計，在滿足強度條件和剛度條件等約束的要求下，使鋼板彈簧的質(zhì)量減少，達到輕量化優(yōu)化設(shè)計的目的。并將優(yōu)化結(jié)果和ABAQUS計算結(jié)果進行比較，結(jié)果顯示：優(yōu)化結(jié)果不僅保持了鋼板彈簧的計算精度，還可以提高鋼板彈簧的計算效率。

關(guān)鍵詞：非對稱少片變截面鋼板彈簧；內(nèi)點罰函數(shù)法；優(yōu)化設(shè)計

0引言

傳統(tǒng)多片鋼板彈簧由于體積和質(zhì)量較大，不利于人們對汽車駕乘性能的不斷提高以及對能源、材料利用的認知，各大汽車廠家在進行鋼板彈簧設(shè)計開發(fā)時不僅要求輕量化，還要求彈簧在各常用載荷狀態(tài)下的偏頻基本相同，這就使得鋼板彈簧逐漸向少片變截面變剛度的方向發(fā)展。與此同時，為了減小片間的摩擦，在滿足汽車設(shè)計要求以及性能匹配要求的前提下，盡量使得懸架彈簧的片數(shù)越少越好，片數(shù)越少、質(zhì)量越輕，這樣才更有利于實現(xiàn)車輛的輕量化、提高車輛行駛的平順性和乘坐舒適性等。

為了能夠提高使用鋼板彈簧懸架的汽車轉(zhuǎn)向穩(wěn)定性，可通過改變汽車前后軸質(zhì)量分布，調(diào)整汽車軸距，并減少鋼板彈簧縱向彎曲變形。針對這一要求，有專家提出了采用非對稱設(shè)計的鋼板彈簧作為懸架支撐元件。

非對稱鋼板彈簧計算的主要任務(wù)是剛度的匹配設(shè)計及結(jié)構(gòu)應(yīng)力的校核。其設(shè)計模式與對稱板簧是一致的，都是基于工程圖紙的物理樣件制造及試驗，并使這一過程反復(fù)進行，過程比較緩慢，周期比較漫長。

為了提高在競爭日益激烈的市場上的競爭力，企業(yè)必須設(shè)法縮短每一產(chǎn)品的開發(fā)周期，進行創(chuàng)新性設(shè)計，在提高產(chǎn)品質(zhì)量的同時降低產(chǎn)品成本。因此，文中主要研究適合現(xiàn)代企業(yè)發(fā)展的產(chǎn)品設(shè)計開發(fā)模式——優(yōu)化設(shè)計。目前，在結(jié)構(gòu)設(shè)計上，主要是采取結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計，通過這方面的措施，能夠使汽車自身骨架、車身鋼板等的質(zhì)量大幅度下降，在最大限度地保證汽車自身性能要求的情況下，使得自重大幅度下降，最終達到輕量化的優(yōu)化設(shè)計目的。

1非對稱鋼板彈簧模型分析

1.1不對稱理論概述

不對稱鋼板彈簧的主要作用是提高汽車轉(zhuǎn)向穩(wěn)定性、改變汽車前后軸質(zhì)量分布、調(diào)整汽車軸距等。不對稱板簧的受力分析示意圖如圖1所示，不對稱鋼板彈簧的設(shè)計計算采用如下分析方法[3]：

根據(jù)三角幾何關(guān)系及力和力矩的平衡關(guān)系，求解不對稱鋼板彈簧的根部剛度方程式為：

(1)

依據(jù)以上方程組，結(jié)合各段剛度和變形的關(guān)系，從而得：

(2)

式中：K1為圖1中板簧短端剛度；

c為板簧長端剛度與短端剛度之比，c=K2/K1；

λ為板簧長端半長與短端半長之比，λ=L2/L1。

1.2變截面板簧模型分析

變截面鋼板彈簧計算的主要任務(wù)是模型剛度的計算設(shè)計及結(jié)構(gòu)應(yīng)力的校核。

1.2.1模型剛度分析

對于非對稱彈簧總成來說，由于長、短端的長度不一樣，導(dǎo)致剛度和撓度不一致，但計算方法一樣，限于篇幅只取半長進行分析，如圖2所示。主片端部的變形就是彈簧總成一端的變形，所以計算主片端部的變形，進而利用第1.1節(jié)求得總成剛度K。

(3)

式中：I2為第一片板簧的根部慣性矩；

μ1為力作用于第一片板簧端部時，板簧變形的截面形狀系數(shù)：

h=h2-h1

Lc=L-c

La=L-a

μm為根部慣性矩與端部慣性矩之比，μm=I2/I1。

其他參數(shù)意義如圖2所示。

μ2為力作用于第一片板簧中部時，板簧變形的截面形狀系數(shù)，與μ1具有相同的計算方法與樣式，限于篇幅，不再贅述。

μPk+1為根據(jù)兩片簧接觸點處變形一致的原理進行受力分析所得的計算關(guān)系式：

式中：μPO為力作用于端部時，中間某斷面處的變形截面系數(shù)；

μOO為力作用于中間某斷面處時，其相應(yīng)斷面的變形；

μPP為力作用于端部時，端部處的變形；

μOP為力作用于中間某斷面處時，端部處的變形。

1.2.2單片最大應(yīng)力分析

單片最大應(yīng)力σkmax應(yīng)根據(jù)結(jié)構(gòu)及作用力分段考慮，然后取其最大應(yīng)力處，如圖3所示。

板簧應(yīng)力計算示意圖如圖3所示。板簧端部和中間任意位置處受載荷P和P2作用，假設(shè)P和P2已知，板簧沿片長的應(yīng)力計算式為：

(4)

(5)

(6)

(7)

式中：I1、I2、Ix分別為板簧端部截面、根部截面以及變截面對應(yīng)位置處的慣性矩。

2非對稱板簧優(yōu)化模型建立

2.1優(yōu)化設(shè)計理論

最優(yōu)化問題可歸結(jié)為：在滿足給定的約束條件(決定n維空間En中的可行域Ω)下，選取適當(dāng)?shù)脑O(shè)計變量X，使其目標(biāo)函數(shù)f(X)達到最優(yōu)值。其數(shù)學(xué)表達式(數(shù)學(xué)模型)表示為[1]：

設(shè)計變量：

X=[x1x2…xn]T,X∈Ω∈En

(8)

在滿足約束條件:

hv(X)=0,v=1,2,…,p

(9)

gu(X)≤0,u=1,2,…,m

(10)

目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值一般可用最小值或者是最大值的形式來表示，因此上述所述最優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型可表示如下：

(11)

在結(jié)構(gòu)設(shè)計中最常使用的目標(biāo)函數(shù)就是結(jié)構(gòu)件的質(zhì)量，就是以結(jié)構(gòu)輕量化為優(yōu)化目標(biāo)，使得目標(biāo)函數(shù)取得最小值。鋼板彈簧的優(yōu)化設(shè)計就是為了結(jié)構(gòu)的輕量化，是取目標(biāo)函數(shù)的最小值。

2.2設(shè)計變量的確定

如圖2所示，第k片變截面鋼板彈簧設(shè)計參數(shù)有hk1、hk2、Lk、a、c、w、n等參數(shù)。其中：hk1、hk2分別為第k片板簧根部和端部厚度；Lk為板簧展開之半長；a為騎馬螺栓中心距之半長，其值取決于彈簧在車上的裝夾情況；ck為第k片板簧端部長度；w為板簧寬度，其參數(shù)值取決于布置空間，在整車參數(shù)已確定的情況下，該參數(shù)為定值；n是板簧總片數(shù)，少片簧片數(shù)一般不大于4片。

優(yōu)化模型建立過程中，可認為裝夾a、寬度w、片數(shù)n為常數(shù)。由于不對稱鋼板彈簧前、后兩端長度不一致，優(yōu)化過程中分別考慮其設(shè)計參數(shù)，因此，非對稱鋼板彈簧設(shè)計變量就有8個。如此龐大的設(shè)計變量無論是對方程本身還是對計算機的求解都是個考驗?？紤]到鋼板彈簧的布置裝夾及制造工藝等情況，可做如下的假設(shè)：板簧的長端和短端，其根部及短邊厚度應(yīng)該一致，即設(shè)計變量hk1f=hk1r、hk2f=hk2r；而前期的布置設(shè)計中不對稱度λ為已知值，故長、短端Lk存在對應(yīng)關(guān)系，即Lkr=λ·Lkf。

綜上所述，優(yōu)化過程中，對于某一固定片數(shù)n來說，非對稱變截面鋼板彈簧的優(yōu)化設(shè)計變量有5n個，即：

(12)

2.3目標(biāo)函數(shù)建立

由上述可知，對于鋼板彈簧來說，在保證板簧剛度和結(jié)構(gòu)應(yīng)力均符合設(shè)計要求的條件下，降低彈簧總質(zhì)量成為其優(yōu)化設(shè)計所追求的目標(biāo)。為此，文中優(yōu)化設(shè)計以總質(zhì)量最小作為目標(biāo)函數(shù)，即：

(13)

式中：ρ為板簧材料密度，對于彈簧鋼取ρ=7.8×10-6kg/mm3；

w為板簧設(shè)計寬度；

mk為第k片板簧的質(zhì)量。

2.4約束條件建立

為了使彈簧能達到理想的結(jié)構(gòu)和性能設(shè)計目標(biāo)，必須給予足夠的邊界條件約束，約束條件建立的好壞直接影響優(yōu)化結(jié)果精度。以下根據(jù)鋼板彈簧在總體布置、剛度、強度、材料工藝性及尺寸規(guī)格等各方面的要求列出主要的約束條件。

(1)板簧剛度約束

在板簧設(shè)計過程中，要分別對主簧剛度Km以及副簧參加工作后的復(fù)合剛度Ka進行設(shè)計。在對主簧剛度和復(fù)合剛度進行優(yōu)化工程中，為保證其設(shè)計剛度與目標(biāo)剛度的一致性，彈簧的設(shè)計剛度與目標(biāo)剛度K0m、K0a之間的誤差應(yīng)小于ε0，須符合的約束條件為：

(14)

(15)

(2)材料允許應(yīng)力的約束

不同的制造能力及工藝要求，鋼板彈簧所需要的材料不一樣。根據(jù)板簧的強度要求，彈簧在受到一定載荷作用下，其計算的系統(tǒng)應(yīng)力σc以及材料最大應(yīng)力σkmax應(yīng)不大于所選材料的許用應(yīng)力[σk]，據(jù)此可得約束條件為：

g3(x)=σc-[σc]≤0

(16)

g4(x)=σkmax-[σk]≤0

(17)

式中：σc為板簧總成系統(tǒng)的應(yīng)力，對于非對稱鋼板彈簧，可用各片根部應(yīng)力總和的平均值作為彈簧系統(tǒng)應(yīng)力：

σkmax為第k片的最大應(yīng)力，可通過上述式(4)—(7)進行計算后取最大值。

(3)極限載荷工況應(yīng)力約束

汽車行駛時，由于加速或制動時板簧會受到縱向方向上的力和力矩以及沖擊載荷等作用，因此必須對這些受力工況的極限狀態(tài)進行強度限制，以保證彈簧能可靠地工作。

由于汽車驅(qū)動時，后鋼板彈簧承受的載荷最大，鋼板彈簧前半段出現(xiàn)最大的縱扭應(yīng)力(見圖4)。根據(jù)工程經(jīng)驗，縱扭應(yīng)力一般都很高,但發(fā)生的次數(shù)不多，應(yīng)力許用值取材料的屈服強度的95%計算。

(18)

(19)

G為軸荷，單位為N；

hg為車輛質(zhì)心高度；

L2為車輛后軸中心到整車質(zhì)心的縱向距離；

l為鋼板彈簧的主片半長；

c彈簧固定點到路面的距離；

φ為路面附著系數(shù)，一般取0.8；

W0為彈簧的縱截面系數(shù)。

當(dāng)板簧為不對稱時，為保證彈簧在極限工況下能可靠地工作，其工作應(yīng)力不能超過材料的許用應(yīng)力[σd]，即有約束條件：

(20)

當(dāng)板簧是對稱時，此時有l(wèi)′=l″。

(4)端部厚度約束

為保證彈簧卷耳具有足夠的強度，主片端部厚度h1應(yīng)不大于某允許厚度h01，h01可通過驗算卷耳處的應(yīng)力得到。鑒于葉片在驅(qū)動和制動時Fx可能很大，故需要較大的安全系數(shù)，其許用應(yīng)力較低，可取[σ]=350～400 MPa，即有約束條件：

(21)

R為卷耳內(nèi)徑。

為滿足板簧變截面條件，同一根板簧的端部厚度hk1應(yīng)不大于其根部厚度hk2,即有約束條件：

g9(x)=hk1-hk2≤0

(22)

(5)根部厚度約束

為保證彈簧鋼材料的淬透性，彈簧根部厚度hk2應(yīng)限制在某允許厚度h02之內(nèi)。目前，隨著工藝的發(fā)展，國內(nèi)可以有效地對25 mm以下厚度的彈簧鋼材進行處理，如表1所示。

表1板寬和板厚對應(yīng)表

表1即為板寬對應(yīng)的根部厚度。即有約束條件：

g10(x)=hk2-h02≤0

(23)

(6)板簧布置長度約束

彈簧最大伸直長度受總布置限制，所以主片長度之半Lk應(yīng)不大于某允許長度L0，即有約束條件：

g11(x)=L1-L0≤0

(24)

根據(jù)各片長度分配合理條件，第k+1片長度之半Lk+1應(yīng)不大于第k片長度之半Lk，即有約束條件：

g12(x)=Lk+1-Lk≤0

(25)

為保證U形螺栓裝夾要求，最末片長度之半Ln應(yīng)不小于裝夾長度a，即有約束條件：

g13(x)=a-Ln≤0

(26)

3求解最優(yōu)化問題的方法

從所建立的優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型可以看出，該問題是一個維數(shù)較高、約束條件較多的非線性最優(yōu)化問題，而且約束條件均為不等式約束，選用內(nèi)點罰函數(shù)法求解該模型優(yōu)化問題，方法簡單，使用方便，迭代成功率與計算效率均較高。內(nèi)點懲罰函數(shù)法的計算程序框圖如圖6所示。

4計算實例分析與驗證

根據(jù)所建立的優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型，利用MATLAB語言進行程序編寫，實現(xiàn)對上述鋼板彈簧優(yōu)化模型的求解。在程序編寫過程中，由于該優(yōu)化模型的約束條件中存在非線性約束，因此不可能將所有的約束條件按照一般的系數(shù)矩陣直接包含在函數(shù)的輸入?yún)?shù)中，必須將約束函數(shù)單獨建立返回每一個點x處的約束值。所以需要建立3個函數(shù)文件，分別是目標(biāo)函數(shù)文件Leafobjfun.m、約束函數(shù)文件Leafconfun.m以及內(nèi)點罰函數(shù)的求解文件Leafoptprog.m，最后通過賦給初值從而求解出最優(yōu)化值。

以某微客車型后鋼板彈簧為例。已知后軸滿載軸荷14 270 N，板簧受到的極限載荷為13 000 N，板簧片寬60 mm，U型螺栓裝夾長度之半55 mm，卷耳內(nèi)徑25 mm，總成許用應(yīng)力900 MPa，材料使用55CrVA，其強度極限為1 275 MPa，屈服極限為1 130 MPa，卷耳允許應(yīng)力400 MPa，設(shè)計的主簧剛度48 N/mm，復(fù)合剛度94 N/mm，剛度允許誤差為0.5%，主片允許的長度之半在(660±2) mm之間，板簧長、短端的不對稱度為1.22，彈性模量206 000 MPa，泊松比0.3。

利用所建立的優(yōu)化模型，取片數(shù)n=3進行優(yōu)化計算，并根據(jù)布置參數(shù)及經(jīng)驗給出如下設(shè)計變量的初始值：

x0=[7,10,650,200,100,8,10,640,200,100,9,13,550,200,150];

采用內(nèi)點罰函數(shù)優(yōu)化方法得到的鋼板彈簧結(jié)構(gòu)參數(shù)結(jié)果如表1所示。

從表1可以看出：當(dāng)總成片數(shù)n=3片時，作為優(yōu)化目標(biāo)的鋼板彈簧總質(zhì)量m=14.01。

除了質(zhì)量之外，板簧剛度作為汽車平順舒適性的一個評價指標(biāo)，當(dāng)鋼板彈簧的片數(shù)n=3片時，優(yōu)化所得的主簧剛度及復(fù)合剛度分別為48.24和94.47 N/mm。作為輸入?yún)?shù)的主簧和復(fù)合設(shè)計剛度K1=48 N/mm和K0=94 N/mm，其剛度偏差分別如下：

主簧剛度：ε1=(48.24-48)/48=0.005

復(fù)合剛度：ε0=(94.47-94)/94=0.005

從以上偏差量可以看出，主簧剛度和復(fù)合剛度的偏差量相同，而且都是正偏差并在規(guī)定的約束范圍之內(nèi)。

5結(jié)束語

介紹了非對稱鋼板彈簧的設(shè)計計算理論及其優(yōu)化算法，利用MATLAB建立了鋼板彈簧的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，在使強度和剛度條件滿足要求的情況下，盡量減少板簧的質(zhì)量，并最終實現(xiàn)板簧輕量化。

參考文獻:

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【4】郭孔輝.鋼板彈簧剛度計算的主片分析法[J].汽車工程,1984(2)：22-28.

Optimization Design of Asymmetric Leafspring Based on Interior-point Barrier Function Method

PAN Junbin1, WEI Jianping2, XIAO Guangyu1,HE Yu1

(1.SAIC GM Wuling Automobile Co., Ltd., Liuzhou Guangxi 545006,China;2.KH Automotive Technologies (Liuzhou) Co.,Ltd., Liuzhou Guangxi 545006,China)

Keywords:Asymmetric few leaf spring; Interior-point barrier function method; Optimization design

Abstract:By taking the asymmetric variable cross-section leaf spring in the developing process of minivans as research object, the optimization design and calculation for the leaf spring were carried out. A mathematical model for optimal design of the leaf spring was established, and the interior-point barrier function method was used to the optimization designed for the leaf spring. Under meeting the constraints condition of structure strength and stiffness, the quality of the spring was reduced so as to achieve the goal of lightweight optimization design. Finally, the optimization results and the calculation results of ABAQUS were compared. The results show that the optimization results not only keep the calculation precision of the leaf spring, but also can improve the computation efficiency.

收稿日期：2016-01-05

作者簡介：潘俊斌(1976—)，男，學(xué)士，從事汽車底盤懸架系統(tǒng)及零部件的開發(fā)設(shè)計工作。E-mail：junbin.pan@sgmw.com.cn。

中圖分類號:U465.2

文獻標(biāo)志碼：A

文章編號：1674-1986(2016)04-010-05