李世杰，李治安，龐春雷，劉　明

(空軍工程大學(xué) 信息與導(dǎo)航學(xué)院，陜西 西安 710077)

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基于改進(jìn)型最小二乘搜索的GNSS姿態(tài)測(cè)量方法

李世杰，李治安，龐春雷，劉明

(空軍工程大學(xué) 信息與導(dǎo)航學(xué)院，陜西 西安 710077)

摘要：結(jié)合全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(global navigation satellite system，GNSS)用于姿態(tài)測(cè)量具有基線已知的特點(diǎn)，提出了一種改進(jìn)型最小二乘搜索算法：將整周模糊度分為基本組和剩余組，在偽距精度和基線長(zhǎng)度約束條件下確定出基本模糊度組的搜索空間；然后根據(jù)模糊度與基線俯仰角、航向角的關(guān)系，并以俯仰、航向角度組合作為聯(lián)系基本組和剩余組的中間變量，通過(guò)搜索基本模糊度組來(lái)確定出剩余模糊度組合；最后利用最小二乘解算基線矢量，在二次殘差比值檢驗(yàn)條件下，完成整周模糊度的固定及姿態(tài)解算。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，改進(jìn)算法不僅有效減小了模糊度的搜索空間，而且縮短了模糊度初始化時(shí)間，具有較高的測(cè)姿精度，適用于GNSS姿態(tài)測(cè)量。

關(guān)鍵詞：全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)；最小二乘搜索；整周模糊度；姿態(tài)測(cè)量；基線約束

0引言

基于全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(global navigation satellite system，GNSS)的姿態(tài)測(cè)量是以整周模糊度的正確固定為前提，并通常在基線較短、長(zhǎng)度固定已知等約束條件下完成姿態(tài)解算。最小二乘搜索算法是一種有效的模糊度解算方法[1]，其基本思想為：首先根據(jù)偽距精度確定模糊度的搜索空間，并選取其中3個(gè)作為基本模糊度組，由于所有雙差整周模糊度中只有3個(gè)是相互獨(dú)立的[2]，因此可以利用基本模糊度組求解出所有的模糊度組合，從而大大減小了模糊度的搜索空間。近些年，隨著GNSS測(cè)姿技術(shù)的不斷發(fā)展，許多學(xué)者也在研究基于最小二乘搜索的GNSS姿態(tài)測(cè)量方法。文獻(xiàn)[3]利用基線長(zhǎng)度約束條件并基于喬氏(Cholesky)分解減小了基本模糊度組的搜索范圍，提高了搜索效率；文獻(xiàn)[4]采用多天線測(cè)姿方法，對(duì)最小二乘搜索算法的測(cè)姿精度進(jìn)行了分析；文獻(xiàn)[5]提出了短基線約束條件下的模糊度二維搜索算法，給出了具體搜索方法，并簡(jiǎn)化了搜索模型；文獻(xiàn)[6]提出了利用傾角傳感器提供基線俯仰角，并和基線長(zhǎng)度、衛(wèi)星間幾何關(guān)系等共同作為約束條件的最小二乘搜索算法，有效減小了搜索范圍，縮短了模糊度初始化時(shí)間，但其需要外部傳感器的輔助。綜合文獻(xiàn)[3-6]可以看出，基于最小二乘搜索的GNSS測(cè)姿算法還未充分考慮基線約束條件下的搜索域與基線長(zhǎng)度之間的互相制約關(guān)系，基本上還是進(jìn)行遍歷搜索，未考慮模糊度確認(rèn)方法對(duì)初始化時(shí)間的影響，效率有待進(jìn)一步提高。

本文在此基礎(chǔ)上，提出了一種新的GNSS姿態(tài)測(cè)量方法：利用偽距精度和基線長(zhǎng)度確定基本模糊度組的搜索范圍，并對(duì)其進(jìn)行搜索，根據(jù)其與俯仰角和航向角對(duì)應(yīng)關(guān)系，以俯仰和航向角度組合作為中間變量確定出剩余模糊度組合，不僅實(shí)現(xiàn)了模糊度的二維搜索、減小了搜索空間，而且充分利用了基線和角度之間的約束關(guān)系，減小了其他待搜索模糊度組合對(duì)最佳搜索組合的影響，有利于模糊度的快速確認(rèn)，縮短了初始化時(shí)間；同時(shí)該算法給出了選星依據(jù)，通過(guò)確定最佳基本模糊度組，提高了算法可靠性。

1傳統(tǒng)最小二乘搜索算法

最小二乘搜索算法是從所有雙差模糊度中選取3個(gè)作為基本模糊度組，并利用模糊度之間的相關(guān)性，由基本模糊度組確定出剩余模糊度組合，從而將模糊度的搜索維數(shù)降為3維?；灸：冉M對(duì)應(yīng)的雙差方程可表述為[6]

(1)

(1)式中：ΔN12，ΔN13，ΔN14為基本模糊度組中的雙差模糊度值；ΔL12，ΔL13，ΔL14為對(duì)應(yīng)雙差載波相位觀測(cè)量；d為基線矢量；s1，s2，s3，s4為用戶到對(duì)應(yīng)衛(wèi)星的觀測(cè)矢量；λ為載波波長(zhǎng)。

對(duì)基本模糊度組中所有可能的模糊度組合進(jìn)行搜索，代入(1)式，解得基線矢量d，設(shè)雙差整周模糊度個(gè)數(shù)為n-1(n>4)，再利用基線矢量解得剩余模糊度組ΔN1x(5≤x≤n)為

(2)

由此得到所有待搜索的模糊度組合，并通過(guò)比率檢驗(yàn)法完成模糊度的固定。在確認(rèn)出正確的雙差模糊度后，利用最小二乘解算得到精確的基線矢量，并通過(guò)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換得到姿態(tài)角參數(shù)。

實(shí)際上，在GNSS測(cè)姿過(guò)程中，通常還可以利用基線長(zhǎng)度約束限制模糊度的搜索范圍，進(jìn)而減小基本模糊度組搜索空間。但從文獻(xiàn)分析中可以看出， 搜索效率和初始化速度還可以進(jìn)一步改善。

2新方法

2.1模型建立

圖1為基線AB在東北天(ENU)坐標(biāo)系的示意圖。A，B分別為2個(gè)衛(wèi)星天線位置，以A為原點(diǎn)的ENU坐標(biāo)系中，由A到B的基線矢量記為d，基線長(zhǎng)度、航向角、俯仰角分別記為d，φB和θB；衛(wèi)星i的航向角、俯仰角分別記為φSi和θSi；Δφi為衛(wèi)星i與基線AB的航向角之差，即Δφi=φSi-φB；si為用戶到衛(wèi)星i的單位矢量。

圖1　基線AB在ENU坐標(biāo)系示意圖Fig.1　Baseline AB in the ENU coordinate system

設(shè)ΔPi為A，B到衛(wèi)星距離的差值，Li為A，B對(duì)衛(wèi)星i的單差載波相位觀測(cè)值，Ni為單差整周模糊度，則有[7]

(3)

進(jìn)一步做雙差，可得

(4)

(4)式中：ΔLij為雙差載波相位觀測(cè)值；ΔNij為雙差整周模糊度；θSj為衛(wèi)星j的仰角；Δφj為衛(wèi)星j與基線的航向角之差。

2.2基本模糊度組搜索范圍確定

從所有雙差模糊度中選取2個(gè)作為基本模糊度組，選取方法見2.4節(jié)推導(dǎo)。首先利用偽距精度對(duì)搜索范圍進(jìn)行約束?？紤]觀測(cè)噪聲的影響，偽距和載波相位雙差方程可表示為

(5)

(5)式中：Δρij為雙差偽距；ερij為雙差偽距噪聲；εΔLij為雙差載波相位噪聲。

由于載波相位觀測(cè)噪聲遠(yuǎn)小于偽距觀測(cè)噪聲，兩式相減可忽略εΔLij的影響[8]，得

(6)

(7)

進(jìn)一步利用基線約束條件限制模糊度搜索范圍，將雙差方程移項(xiàng)整理得

(8)

(9)

綜合(7)式和(9)式，可確定模糊度搜索范圍為

(10)

由于整周模糊度為整數(shù)，所以根據(jù) (10) 式可確定出雙差模糊度的整數(shù)取值范圍。

2.3剩余模糊度組合確定

選取衛(wèi)星k為參考衛(wèi)星，與衛(wèi)星i和衛(wèi)星j共同作為基本衛(wèi)星組，根據(jù)(3)式，可得雙差方程組為

(11)

記eik，ejk的俯仰角、航向角分別為θik，φik和θjk，φjk，有

(12)

(13)

記g=φik-φB，f=φjk-φik，則可解得基線俯仰角θB和航向角φB分別為

(14)

由于解算過(guò)程中的三角函數(shù)變換導(dǎo)致了多值問(wèn)題，每一組整周模糊度對(duì)應(yīng)12組俯仰角和航向角解。為了檢驗(yàn)解的正確性，根據(jù)俯仰角和航向角的實(shí)際取值范圍(分別為-90°～90°，0°～360°)剔除誤解，再將剩余解代回方程組(12)進(jìn)行檢驗(yàn)。多次實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，每一組整周模糊度對(duì)應(yīng)0～2組俯仰角和航向角的解。

對(duì)所有俯仰角和航向角組合進(jìn)行搜索，由(4)式可知，每一組角度值都可以解算出一組整周模糊度浮點(diǎn)解，為

(15)

(16)

可以看出，新方法以俯仰角和航向角作為中間變量，只需2個(gè)基本模糊度就完成了所有待搜索模糊度的解算，有效減小了搜索空間。

2.4基本衛(wèi)星組選取

俯仰角和航向角的解算精度與基本衛(wèi)星組的選取有關(guān)，合理的衛(wèi)星選取能夠解得更加精確的角度組合，從而保證剩余模糊度的正確解算[10]。由算法具體過(guò)程可知，載波相位觀測(cè)噪聲會(huì)對(duì)u和v產(chǎn)生影響，進(jìn)而影響俯仰角和航向角的解算精度。分別求u對(duì)ΔLik，v對(duì)ΔLjk的偏導(dǎo)數(shù)為

(17)

由于仰角最大的衛(wèi)星信號(hào)條件較好，一般選取其作為參考衛(wèi)星k，并作為基本衛(wèi)星之一。另外2顆基本衛(wèi)星i和j的選取原則是使(17)式中偏導(dǎo)數(shù)絕對(duì)值盡可能小，從而可以減小噪聲對(duì)解算精度的影響。由θik和θjk定義，衛(wèi)星i，j的俯仰角越小，sinθik和sinθjk的值越大，但仰角過(guò)低又會(huì)影響信號(hào)質(zhì)量，綜合考慮，論文取仰角為45°附近的2顆衛(wèi)星，同時(shí)還應(yīng)使衛(wèi)星i和j的航向角與參考衛(wèi)星k的差值盡量大從而使|si-sk|和|sj-sk|的值盡量大。

2.5整周模糊度固定

L=Ax(t)+BN

(18)

(18)式中：L為雙差載波相位觀測(cè)值；A，B為系數(shù)矩陣；N為整周模糊度值；x(t)為基線矢量。由最小二乘解算得到基線矢量，并與實(shí)際長(zhǎng)度相比得基線殘差為

(19)

理論上，當(dāng)搜索到正確模糊度組時(shí)，所解算出的基線殘差最小。然而由于觀測(cè)噪聲等因素的影響，在短時(shí)間內(nèi)，并不能保證正確模糊度組所對(duì)應(yīng)的基線殘差與其他搜索組合所對(duì)應(yīng)的殘差有明顯不同。但是正確的模糊度組合所解得的基線殘差在多個(gè)歷元內(nèi)應(yīng)始終保持較小，因此可利用多個(gè)歷元下的觀測(cè)數(shù)據(jù)，在基線殘差之和最小的情況下完成整周模糊度的固定。設(shè)歷元個(gè)數(shù)為m，分別找出基線二次殘差之和的次小值與最小值，令：

(20)

當(dāng)滿足(20)式時(shí)，將xi(t)所對(duì)應(yīng)的模糊度組作為最終固定解。算法流程如圖2所示。

圖2　改進(jìn)型最小二乘搜索流程圖Fig.2　Flow chart of improved least squares search

3實(shí)驗(yàn)分析

3.1實(shí)驗(yàn)條件

將2個(gè)型號(hào)為GPS-703-GGG的GNSS天線分別固定在基線兩端，并放置在小車上。利用2個(gè)NovAtel OEM628板卡和一個(gè)SPAN-CPT型號(hào)的組合系統(tǒng)(提供姿態(tài)信息，其Y軸方向與基線方向一致)進(jìn)行數(shù)據(jù)采集，實(shí)驗(yàn)地點(diǎn)為學(xué)院操場(chǎng)，采樣頻率為1 Hz，衛(wèi)星截止角設(shè)為10°。第1組實(shí)驗(yàn)，記為Ⅰ，基線長(zhǎng)度為1.907 m，俯仰角和航向角分別為0.10°和229.15°，可視衛(wèi)星共8顆，PRN(pseudo random noise)分別為1，14，16，20，25，29，31，32，其中PRN31仰角最大，取其為參考衛(wèi)星，首先進(jìn)行400 s靜態(tài)數(shù)據(jù)采集，然后繞操場(chǎng)行駛進(jìn)行動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)采集。第2組實(shí)驗(yàn)，記為Ⅱ，基線長(zhǎng)度為3.49 m，俯仰角和航向角分別為7.76°和9.30°，可視衛(wèi)星共6顆，PRN分別為2，4，10，17，20，28，取仰角最大的PRN4為參考衛(wèi)星。

3.2靜態(tài)實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

根據(jù)論文選星原則，第1組實(shí)驗(yàn)選取PRN31，PRN14和PRN32為基本衛(wèi)星組，第2組實(shí)驗(yàn)選取PRN4，PRN17和PRN10為基本衛(wèi)星組。首先根據(jù)(10)式確定出基本模糊度組的搜索范圍分別為Ⅰ：[8 388 602,83 88 619]和 [8 388 607,8 388 621]；Ⅱ：[99 713,99 740]和[-91311,-91 273]，再利用俯仰角和航向角的范圍及方程組(12)的約束剔除誤解，最終分別得到340組和1 592組的待檢測(cè)模糊度。根據(jù)文獻(xiàn)[6],采用普通最小二乘搜索算法時(shí)，模糊度搜索范圍為±2int(基線長(zhǎng)度/λ+0.5),所以在基線長(zhǎng)度為1.907 m和3.49 m情況下分別需要搜索433=79 507次和713=357 911次。可以看出新方法所需搜索次數(shù)明顯少于普通最小二乘搜索。然后根據(jù)確定的搜索空間，利用文中算法進(jìn)行整周模糊度的固定，并與傳統(tǒng)最小二乘搜索算法進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如表1所示。

由于固定整周模糊度時(shí)對(duì)浮點(diǎn)解進(jìn)行了取整，所以不同的角度值可能對(duì)應(yīng)相同的模糊度值，也就是說(shuō)只要搜索的俯仰角和航向角組合與真實(shí)值差距很小，就可以保證該角度組合能夠解得正確的模糊度組合。2次實(shí)驗(yàn)中最終確定的角度組合分別為(0.883 5°，229.327 9°)和(7.063 3°，9.573 5°)，與真實(shí)值(0.10°，229.15°)和(7.76°，9.30°)基本相當(dāng)，從另一方面也證明了該算法的正確性。

表1　整周模糊度解算結(jié)果

在模糊度的確認(rèn)過(guò)程中，基線殘差次小值與最小值往往需要較長(zhǎng)的時(shí)間才能滿足比值要求，而新方法利用基線及其與俯仰角、航向角的約束關(guān)系，不僅有效減少了待搜索模糊度組合的個(gè)數(shù)，而且降低了出現(xiàn)與最佳角度組合相近值的可能性，從而有利于模糊度的確認(rèn)，縮短了初始化時(shí)間。兩組實(shí)驗(yàn)所需初始化時(shí)間分別為39 s和43 s，而采用普通最小二乘搜索均需要100 s以上。

根據(jù)姿態(tài)解算方法，分別計(jì)算出基線的長(zhǎng)度、俯仰角和航向角，得到其誤差曲線如圖3和圖4所示，均方根誤差(root mean square error,RMSE)如表2所示。

圖3　基線長(zhǎng)度1.907 m時(shí)結(jié)果誤差曲線Fig.3　Error curve with 1.907 m baseline

圖4　基線長(zhǎng)度3.49 m時(shí)結(jié)果誤差曲線Fig.4　Error curve with 3.49 m baseline

基線長(zhǎng)度/mRMSE基線長(zhǎng)/m俯仰角/°航向角/°1.9070.00190.08570.05473.4900.00270.05960.0458

可以看出，采用本文方法，在基線長(zhǎng)度分別為1.907 m和3.490 m時(shí)，只需在較短時(shí)間內(nèi)分別搜索340次和1 952次即能正確固定整周模糊度，進(jìn)而得到精度較高的姿態(tài)信息，基線長(zhǎng)度均方根誤差在1 cm內(nèi)，俯仰角和航向角的RMSE均在0.1°內(nèi)。

3.3動(dòng)態(tài)實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

在第1組靜態(tài)實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步進(jìn)行動(dòng)態(tài)實(shí)驗(yàn)，小車在操場(chǎng)內(nèi)做近似圓周運(yùn)動(dòng)，基線俯仰角變化較小，航向角在0°～360°變化。利用同樣的方法進(jìn)行動(dòng)態(tài)姿態(tài)解算，得到基線長(zhǎng)度誤差、俯仰角誤差和航向角誤差曲線如圖5所示。

由于動(dòng)態(tài)情況下基線的俯仰、航向信息基準(zhǔn)較難獲取[11]，本文利用SPAN-CPT型號(hào)GPS/INS組合系統(tǒng)提供的姿態(tài)角作為基準(zhǔn)，但其本身也存在較大的誤差(水平姿態(tài)誤差0.1°，航向誤差0.2°)，進(jìn)而會(huì)影響姿態(tài)測(cè)量精度的驗(yàn)證，這也是圖5出現(xiàn)較大誤差的主要原因，但整體上看，動(dòng)態(tài)條件下基線長(zhǎng)度均方根誤差為0.39 cm，基線航向角和俯仰角誤差分別在0.5°和0.7°以內(nèi)，可以體現(xiàn)出姿態(tài)測(cè)量的有效性。

圖5　動(dòng)態(tài)實(shí)驗(yàn)結(jié)果誤差曲線Fig.5　Error curve of dynamic experiment

4結(jié)束語(yǔ)

理論分析及實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：

1)本文所提基于改進(jìn)型最小二乘搜索的GNSS姿態(tài)測(cè)量方法充分利用了基線長(zhǎng)度與俯仰角、航向角之間的關(guān)系，將基本模糊度組中的模糊度個(gè)數(shù)由3個(gè)減少為2個(gè)，不僅縮小了搜索范圍，提高了搜索效率，同時(shí)減弱了其他模糊度搜索組合對(duì)最佳組合的影響，縮短了初始化時(shí)間。

2)利用偽距和基線約束條件進(jìn)一步限制了基本模糊度組的取值范圍，并對(duì)基本衛(wèi)星組的選取進(jìn)行了分析，靜態(tài)和動(dòng)態(tài)實(shí)驗(yàn)均取得了較好效果。

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Method based on improved least squares search for GNSS attitude measurement

LI Shijie, LI Zhian, PANG Chunlei, LIU Ming

(Information and Navigation College, Air Force Engineering University, Xi’an 710077, P.R.China)

Abstract:Based on the feature that the baseline is known in the attitude measurement of Global Navigation Satellite System (GNSS), an improved least squares search method is proposed in the following procedures: First, the integer ambiguity group is divided into basic group and remaining group. Given the pseudo range accuracy and baseline length, the search space for basic group is deduced. Then the remaining group could be constructed from the basic group, based on the relations between ambiguity and baseline heading and elevation. In this process, the heading and elevation was regarded as the intermediate variable. Finally, the baseline vector is calculated by least squares method. By comparing two-order residuals of baseline, integer ambiguity can be defined and therefore the attitude measurement is completed. The experiment result reveals that this improved method can effectively reduce the size of search space and the initialization time. The method is with a relatively high precision, meeting the demand for GNSS attitude measurement.

Keywords：global navigation satellite system; least squares search; integer ambiguity; attitude measurement; baseline constrain

DOI：10.3979/j.issn.1673-825X.2016.02.008

收稿日期：2015-03-25

修訂日期：2015-12-30通訊作者：李世杰lishijiepaper@163.com

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61273049)

Foundation Item：The National Natural Science Foundation of China(61273049)

中圖分類號(hào)：TN967.1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1673-825X(2016)02-0187-07

作者簡(jiǎn)介：

李世杰(1990-),男，河南安陽(yáng)人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)樾l(wèi)星導(dǎo)航與定位。E-mail:lishijiepaper@163.com

(編輯：魏琴芳)