陳寧娟

(西安電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，陜西 西安 710126)

基于GBM模型的價(jià)差期權(quán)定價(jià)方法

陳寧娟

(西安電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，陜西 西安 710126)

摘要假定交易不連續(xù)，基于歷史信息、風(fēng)險(xiǎn)偏好中性和幾何布朗運(yùn)動(dòng)，文中主要從價(jià)差期權(quán)實(shí)值執(zhí)行邊界的不同情況出發(fā)，以定理的形式給出了價(jià)差期權(quán)和數(shù)字價(jià)差期權(quán)價(jià)格公式的優(yōu)化方法，并確立了價(jià)差期權(quán)價(jià)格公式的解析近似解的恰當(dāng)形式。同時(shí)，還對實(shí)值執(zhí)行邊界的單調(diào)性和凹凸性給出了性質(zhì)定理，這在一定程度上方便了價(jià)差期權(quán)和數(shù)字價(jià)差期權(quán)的定價(jià)公式研究。

關(guān)鍵詞風(fēng)險(xiǎn)中性；閉形式解；執(zhí)行邊界

價(jià)差期權(quán)[1]允許投資者對兩種或者兩種以上的期權(quán)進(jìn)行操作而從中獲取利潤，其在證券、固定收入、外貿(mào)交易和商品市場等方面相當(dāng)流行。例如將精煉石油與原油之間的差價(jià)作為標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)差期權(quán)就為煉油商提供了利用石油毛利進(jìn)行套期保值的路徑。還有一些交易者自創(chuàng)了新的價(jià)差期權(quán)形式，并不是以兩種而是多種資產(chǎn)的價(jià)差作為標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)差期權(quán)，由此就出現(xiàn)了涉及多種基礎(chǔ)資產(chǎn)的價(jià)差期權(quán)。

本文主要的工作分為以下幾部分：首先，對在幾何布朗運(yùn)動(dòng)[2]模型下價(jià)差期權(quán)和數(shù)字價(jià)差期權(quán)，給出價(jià)格的總體表達(dá)式；為了計(jì)算總體表達(dá)式，以定理的形式給出化簡總體表達(dá)式的工具；最后，給出幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型下，價(jià)差期權(quán)和數(shù)字價(jià)差期權(quán)價(jià)格的閉形式解。

1模型建立

在建立模型之前，先看一般假設(shè)，令兩個(gè)基礎(chǔ)資產(chǎn)的收益服從聯(lián)合正態(tài)分布。當(dāng)二者差價(jià)K=0時(shí)，交易期權(quán)的價(jià)格存在其所滿足的隱式方程式。然而，一般情況下K≠0，其所滿足的隱式方程式就不易得到。接下來，就一般情況給出其價(jià)格公式的解析近似解，且其相對誤差小于萬分之一(在這些期權(quán)的買賣價(jià)差觀察范圍內(nèi))。

當(dāng)在t時(shí)，標(biāo)記S1(t)和S1(t)為兩個(gè)基礎(chǔ)資產(chǎn)的價(jià)格，則在交割時(shí)刻T，價(jià)差期權(quán)的收益為[S1(T)-S2(T)-K]+，其中f+為f的正部。相應(yīng)的數(shù)字價(jià)差期權(quán)的收益就為I{S1(T)-S2(T)-K≥0}，則

由風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)方法可得出價(jià)差期權(quán)和數(shù)字價(jià)差期權(quán)的估價(jià)公式

V=erTEQ[S1(T)-S2(T)-K]+VD=

e-rTEQ[IS1(T)-S2(T)-K≥0]

(1)

其中，Q為風(fēng)險(xiǎn)中性測度；r為無風(fēng)險(xiǎn)利率，且在Q下標(biāo)的資產(chǎn)的折現(xiàn)價(jià)格為鞅。

為計(jì)算這兩個(gè)期權(quán)的價(jià)格，文中作出如下假設(shè)：假定logS1(T)log和S2(T)服從聯(lián)合正態(tài)分布，且初始價(jià)格為S1(0)=S1，S2(0)=S2，并取

(2)

上述的期望和方差均為定值，所以定義

(3)

同時(shí)二者的聯(lián)合分布是相關(guān)系數(shù)為ρ的正態(tài)分布函數(shù)，在測度Q下其邊緣分布服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。

下面介紹本文的根基模型：幾何布朗運(yùn)動(dòng)(GEM)模型。首先，幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型的價(jià)格滿足關(guān)系

dSi(t)=(r-qi)Si(t)dt+σiSi(t)dWi(t)

(4)

(5)

接下來，文中對價(jià)差期權(quán)的執(zhí)行范圍做如下分析。價(jià)差期權(quán)的邊界以logSi(T)的最小值為定義，且其是logS2(T)的函數(shù)，二者均是實(shí)值執(zhí)行的期權(quán)。需要注意的是，當(dāng)K=0，執(zhí)行邊界是一次函數(shù)形式，即滿足線性，而此時(shí)期權(quán)價(jià)格有解析解。當(dāng)K≠0，由于邊界的非線性而不容易獲得結(jié)果。

在執(zhí)行時(shí)刻T，當(dāng)S1(T)-S2(T)-K≥0時(shí)，期權(quán)為實(shí)值交易。設(shè)K≥0，則由(5)式可知，實(shí)值交易的條件可變形為

(6)

所以，令等式右邊為

(7)

在式(7)中令Y=y，則當(dāng)X≥x(y)時(shí)，期權(quán)進(jìn)行實(shí)值交割。當(dāng)K<0時(shí)，會(huì)有ev2Y+μ2+K<0的情況出現(xiàn)，因此式(6)中的條件不總是成立。所以文中給其進(jìn)行形式轉(zhuǎn)換

[S1(T)-S2(T)-K]+=S1(T)-S2(T)-

K+[S2(T)-S1(T)-K]+

(8)

由此就能將出現(xiàn)的不利情況有利化。所以，當(dāng)出現(xiàn)K<0的情況時(shí)，可轉(zhuǎn)化為K≥0的情況來計(jì)算VD和V。

2價(jià)差期權(quán)公式解析解的優(yōu)化

文中式(1)給出了兩個(gè)期權(quán)組合的宏觀表達(dá)式，下面將其優(yōu)化，Pearson L[3]給出了一種將二維積分轉(zhuǎn)化為一維積分的方法，該方法不僅對期權(quán)價(jià)格的解析解計(jì)算較有用處，且對數(shù)值方法同樣有用。

定理1 假設(shè)收益是聯(lián)合正態(tài)分布[4]的，則式(1)還可進(jìn)一步表示如下

(9)

(10)

其中，n(·)和N(·)分別為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度函數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)累積分布函數(shù)。同時(shí)可定義

(11)

定理1中的式(9)給出的表達(dá)式類似于Black-Scholes公式。通常，認(rèn)為A(y)和Black-Scholes[2]表達(dá)式中的d2為同一個(gè)角色。所以，稱A(y)為價(jià)差期權(quán)的條件價(jià)值狀況[3]。N(A(y))為風(fēng)險(xiǎn)中性概率測度，且當(dāng)Y取y值時(shí)，價(jià)差期權(quán)為實(shí)值執(zhí)行。表示如下

N(A(y))=ProbQ[S1(T)≥S2(T)+K|Y=

(12)

與Black-Scholes公式不同，本文中的 是一個(gè)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量。對于一般的計(jì)價(jià)單位方法[5]的變化情況，本文不作討論。

對定理1繼續(xù)延伸，給出定理2。當(dāng)K=0時(shí)，定理2用建立數(shù)學(xué)恒等式的方式推導(dǎo)出了Margrabe[6]方程式。Li[7]和Zhou[8]在2008年就指出，若將n(y;μ,σ2)看作logS2(T)的密度函數(shù)，a+by看作條件價(jià)值狀況，則當(dāng)A(y)為y的線性函數(shù)時(shí)，這個(gè)密度函數(shù)就變?yōu)闊o條件的價(jià)值狀況，還可在閉形式下解出來。當(dāng)收益服從聯(lián)合正態(tài)分布(僅對GBM模型)時(shí)，文中給出的Margrabe[5]方程式比初始偏微分方程在所有模型中的應(yīng)用更為廣泛。

定理2設(shè)a,b∈R，則

(13)

當(dāng)K=0，條件價(jià)值狀況A(y)是y的線性函數(shù)。因此，由式(13)可知，交易期權(quán)的價(jià)格在假設(shè)收益體系下由下面的Margrabe方程式給出

(14)

圖1　執(zhí)行邊界

圖1展示了在不同的K值下執(zhí)行邊界函數(shù)x(y)的圖像,各參數(shù)取值如表1所示。

表1　各個(gè)參數(shù)的取值

文中用低階的泰勒展開式逼近x(y)，比如用一次函數(shù)或二次函數(shù)，這點(diǎn)對Ji的逼近均各有優(yōu)勢。注意到，在K=0和σ2=0時(shí)，x(y)均為線性函數(shù)，因此在這種思想下，文中的逼近均有效。這也揭示了當(dāng)σ2=0時(shí)，估價(jià)公式就會(huì)退化為Black-Scholes方程；當(dāng)K=0時(shí)，卻會(huì)變?yōu)榻灰灼跈?quán)的Margrabe方程式。圖2說明了當(dāng)y→0時(shí)A(y)的變化情況。

圖2　當(dāng)y→0時(shí)的A(y)

接下來，通過定理3給出x(y)、A(y)和N(A(y))的單調(diào)性、凹凸性以及在所滿足的不同條件下所呈現(xiàn)的相應(yīng)情況。

定理3K≥0令|ρ<1|，則有：

(1)執(zhí)行邊界x(y)是y的增、凸函數(shù);

(3)條件價(jià)值狀況A(y)為y的凹函數(shù);

3價(jià)格閉形式解

當(dāng)K=0時(shí)，可計(jì)算相應(yīng)分量。因此，純幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型下的數(shù)字價(jià)差期權(quán)和價(jià)差期權(quán)的價(jià)格公式為

(15)

(16)

其中，S11=S1eq1T，S22=S2eq2T。

4結(jié)束語

當(dāng)下，盡管這種涉及多種基礎(chǔ)資產(chǎn)的價(jià)差期權(quán)應(yīng)用范圍有限，但隨著交易市場的日益完善、風(fēng)險(xiǎn)管理的日益完整以及全球資本市場一體化的飛速發(fā)展，這種多元化的價(jià)差期權(quán)將會(huì)成為人們普通使用的金融衍生品工具。

參考文獻(xiàn)

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Spread Options Pricing Methods Based on Geometric Brownian Motion Model

CHEN Ningjuan

(School of Mathematics and Statistics，Xidian University, Xi’an 710126, China)

AbstractOption pricing plays an important role in financial mathematics research.Spread option is application and popularization of options.Assumes transactions are not continuous,based on historical information and risk-neutral preference and the Geometric Brownian motion as a reference model and taking different exercise boundaries in the money into consideration,the pricing optimization methods for spread option and digital spread option are introduced.Finally, the appropriate and closed-form formula for spread option and digital spread option is established.Furthermore, the monotonicity and convexity theorems of exercise boundary in the money is given,which facilitates the spread option and digital spread option pricing formula to a certain extent.

Keywordsrisk-neutral；closed-form formula；exercise boundary

收稿日期:2015-10-16

作者簡介:陳寧娟(1989-)，女，碩士研究生。研究方向：隨機(jī)過程與金融風(fēng)險(xiǎn)計(jì)算。

doi:10.16180/j.cnki.issn1007-7820.2016.06.017

中圖分類號(hào)F830.59；O21

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼A

文章編號(hào)1007-7820(2016)06-058-03