鄧　飆，張　瀟，龍　勇，郭　楊

(火箭軍工程大學(xué) 二系，西安　710025)

基于五次B樣條的起豎裝置時(shí)間最優(yōu)軌跡規(guī)劃*

鄧飆，張瀟，龍勇，郭楊

(火箭軍工程大學(xué) 二系，西安710025)

摘要：針對(duì)含二級(jí)電動(dòng)缸的起豎裝置當(dāng)前運(yùn)動(dòng)軌跡時(shí)間不夠優(yōu)化，且存在不連續(xù)沖擊的問(wèn)題，提出了新的高階樣條軌跡規(guī)劃方法。通過(guò)對(duì)起豎裝置進(jìn)行建模分析，解得了運(yùn)動(dòng)學(xué)約束、動(dòng)力學(xué)約束以及邊界條件。使用五次B樣條插值規(guī)劃軌跡，引入罰函數(shù)處理約束條件，以樣條曲線相鄰控制點(diǎn)的時(shí)間間隔為設(shè)計(jì)變量，利用非支配排序遺傳算法(NSGA-II)對(duì)B樣條軌跡進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化。運(yùn)算后得到一組Pareto最優(yōu)解，從中選擇最為平滑且時(shí)間最優(yōu)的解作為最終解。仿真結(jié)果表明，相對(duì)于多項(xiàng)式插值，樣條插值理論上能實(shí)現(xiàn)時(shí)間最優(yōu)；而采用高次樣條插值能得到高階連續(xù)的運(yùn)動(dòng)軌跡，使起豎過(guò)程更加平穩(wěn)。

關(guān)鍵詞：起豎裝置；電動(dòng)缸；軌跡規(guī)劃； B樣條；多目標(biāo)優(yōu)化

0引言

二級(jí)電動(dòng)缸相較單級(jí)電動(dòng)缸具有更長(zhǎng)的行程，在要求結(jié)構(gòu)緊湊的工業(yè)現(xiàn)場(chǎng)設(shè)備、農(nóng)機(jī)農(nóng)具以及大行程軍用雷達(dá)、火炮、導(dǎo)彈起落架等起豎裝置中均有廣泛應(yīng)用[1]。目前，對(duì)含二級(jí)電動(dòng)缸的大型起豎裝置起豎過(guò)程控制，通常采用分段線性控制的方式及勻加速勻減速方法規(guī)劃，該方法雖然能實(shí)現(xiàn)理論上的時(shí)間最優(yōu)，但由于加速度不連續(xù)，起豎時(shí)存在較大沖擊，起豎過(guò)程平穩(wěn)性差，嚴(yán)重時(shí)影響到系統(tǒng)的安全，所以在設(shè)計(jì)時(shí)往往對(duì)加速度的選取比較保守，造成規(guī)劃時(shí)間過(guò)長(zhǎng)，不能實(shí)現(xiàn)快速起豎。

為解決這一問(wèn)題，田桂等引入了機(jī)器人軌跡規(guī)劃中常用的五次多項(xiàng)式規(guī)劃方法[2]，該方法能解決起豎過(guò)程中加速度不連續(xù)，平穩(wěn)性差的問(wèn)題，但其往往受曲線本身制約，理論上無(wú)法實(shí)現(xiàn)時(shí)間最優(yōu)。Aribowo、毛征宇等采用三次B樣條曲線插值的方法對(duì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程進(jìn)行軌跡規(guī)劃[3-4]，利用樣條函數(shù)分段處理的特性，綜合運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)約束，求解出了起豎過(guò)程時(shí)間最優(yōu)軌跡，但該軌跡由于加加速度不連續(xù)，往往會(huì)產(chǎn)生較大且不連續(xù)的沖擊，引起機(jī)械振動(dòng)，縮短設(shè)備壽命且增大跟蹤控制誤差。

為解決傳統(tǒng)規(guī)劃方式平穩(wěn)性和快速性難以兼顧的問(wèn)題，選擇五次B樣條插值的方法對(duì)負(fù)載運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行規(guī)劃。以樣條曲線相鄰控制點(diǎn)的時(shí)間間隔為一組優(yōu)化目標(biāo)，提出基于NSGA-II算法求解多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的方案。引入罰函數(shù)對(duì)非顯式非線性不等式約束進(jìn)行處理，運(yùn)行算法獲得多個(gè)Pareto最優(yōu)解，從中篩選出自身和各階導(dǎo)數(shù)都平滑的運(yùn)動(dòng)軌跡集合，再?gòu)脑摷现羞x擇總體時(shí)間最優(yōu)的解作為最終解[5]。

1起豎裝置建模分析

1.1起豎裝置的結(jié)構(gòu)與工作原理

大型電動(dòng)起豎裝置典型結(jié)構(gòu)如圖1。該系統(tǒng)主要由二級(jí)電動(dòng)缸和負(fù)載兩部分組成。負(fù)載后端與固定裝置鉸接，電動(dòng)缸的上支耳與負(fù)載鉸接，下支耳與固定裝置鉸接，電動(dòng)缸工作時(shí)驅(qū)動(dòng)負(fù)載繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，從而實(shí)現(xiàn)負(fù)載的起豎。從機(jī)構(gòu)學(xué)角度分析，該系統(tǒng)做單自由度平面運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)的初始位姿、目標(biāo)位姿和運(yùn)動(dòng)路徑均已知，運(yùn)動(dòng)時(shí)間不確定。

圖1　起豎裝置結(jié)構(gòu)示意圖

1.2起豎裝置運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

建立起豎裝置運(yùn)動(dòng)學(xué)模型[6]。負(fù)載從水平狀態(tài)起豎到與水平面成90°角的位置。在運(yùn)動(dòng)平面內(nèi)建立固定坐標(biāo)系xAy，原點(diǎn)A為回轉(zhuǎn)中心，C為電動(dòng)缸上支耳鉸鏈中心，B為電動(dòng)缸下支耳回轉(zhuǎn)中心，P為負(fù)載重心，r為負(fù)載總長(zhǎng)，∠CAB=θ0，∠C′AC=θ，∠PAB=β，∠C′AB=ψ，∠BC′A=α。

其中ψ=θ0+θ，則電動(dòng)缸推桿的伸出位移為：

(1)

推桿的伸出速度為：

(2)

推桿伸出的加速度為：

(3)

(4)

1.3起豎裝置動(dòng)力學(xué)模型

設(shè)整個(gè)負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，重力為G，電動(dòng)缸驅(qū)動(dòng)力為F，由系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程得：

(5)

2軌跡優(yōu)化方案

二級(jí)電動(dòng)缸通過(guò)碰撞實(shí)現(xiàn)限位。其換級(jí)過(guò)程是當(dāng)?shù)谝患?jí)運(yùn)行到了行程末端，通過(guò)第一級(jí)絲杠上的中間塊，將第一級(jí)絲杠與第一級(jí)推桿固連為一體，共同帶動(dòng)第二級(jí)空心絲杠轉(zhuǎn)動(dòng)，使第二級(jí)推桿伸出。在進(jìn)行軌跡規(guī)劃時(shí)，最理想的狀況就是實(shí)現(xiàn)碰撞前的速度為零，為此可將二級(jí)電動(dòng)缸的運(yùn)動(dòng)過(guò)程分級(jí)規(guī)劃。因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)學(xué)逆問(wèn)題比運(yùn)動(dòng)學(xué)正問(wèn)題更為簡(jiǎn)單，因此先對(duì)負(fù)載在關(guān)節(jié)空間的運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行規(guī)劃，再通過(guò)對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程式求取逆解得到二級(jí)電動(dòng)缸的運(yùn)動(dòng)軌跡。

2.1基于五次B樣條曲線插值的軌跡規(guī)劃

k次B樣條曲線可統(tǒng)一描述為[7]：

(6)

每一段B樣條曲線可表示為：

(7)

式中，i表示第i段B樣條。

(8)

代入式(7)得到n-1個(gè)方程。

又因?yàn)樵诔跏嘉恢煤湍┪恢锰帲b置的運(yùn)動(dòng)情況已知

(9)

(10)

(11)

且各階導(dǎo)矢可根據(jù)DeBoor遞推公式求出[8]：

(12)

2.2設(shè)計(jì)變量

2.3約束條件及其處理

在對(duì)每級(jí)電動(dòng)缸的運(yùn)動(dòng)軌跡做規(guī)劃時(shí)，為保證起豎平穩(wěn)性，負(fù)載的起豎軌跡必須是光滑連續(xù)的，且滿足以下邊界約束條件[10]。記tf為規(guī)劃時(shí)間，θ0、θf(wàn)分別為初始和末態(tài)位姿。

(13)

(14)

(15)

且

(16)

將式(1)、(2)、(3)、(5)帶入(16)中，得到了運(yùn)動(dòng)軌跡的非顯式非線性約束。

在對(duì)約束的處理機(jī)制上采用罰函數(shù)法，即任何對(duì)約束的違反都要在適應(yīng)度函數(shù)中添加懲罰項(xiàng)。在構(gòu)造適應(yīng)度函數(shù)時(shí)，選取罰函數(shù)如下：

(17)

3使用NSGA-II算法進(jìn)行多目標(biāo)尋優(yōu)

采用多目標(biāo)遺傳算法(multi-objectivegeneticalgorithm,MOGA)模擬生物進(jìn)化過(guò)程，處理的是一個(gè)種群，能夠在一次優(yōu)化過(guò)程中生成大量的非劣解，因此可以搜索到多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的近似Pareto最優(yōu)解集。許多優(yōu)化問(wèn)題往往是對(duì)多個(gè)相互沖突的目標(biāo)同時(shí)優(yōu)化，經(jīng)常需要得到一個(gè)解集而不是一個(gè)優(yōu)化解。就全體適應(yīng)度函數(shù)而言，這些解之間是無(wú)法比較優(yōu)劣的。特點(diǎn)如下：無(wú)法在改進(jìn)任何適應(yīng)度函數(shù)的同時(shí)不削弱至少一個(gè)其他適應(yīng)度函數(shù)。這種解稱作非支配解(non-dominatedsolution)或Pareto最優(yōu)解(Paretooptimalsolution)。

定義Pareto支配關(guān)系如下：對(duì)于m個(gè)目標(biāo)分量的最小化多目標(biāo)向量：

(18)

在整個(gè)解空間S中都不被其他解支配的所有解得集合P，稱為Pareto最優(yōu)集(Pareto前沿)。NSGA-II采用快速非支配排序機(jī)制，驅(qū)使搜索過(guò)程收斂到Pareto最優(yōu)前沿，降低了算法的復(fù)雜度；定義擁擠度和擁擠度比較算子，保證了Pareto最優(yōu)解的多樣性；同時(shí)引入精英策略，擴(kuò)大采樣空間。所謂擁擠距離是指Pareto最優(yōu)解集中個(gè)體的密集程度，表示Pareto解集中個(gè)體的分布狀況，擁擠距離越大，說(shuō)明個(gè)體分布越均勻.算法具有O(MN2)的復(fù)雜性(其中M為優(yōu)化目標(biāo)的個(gè)數(shù)，N為種群規(guī)模)，求得的Pareto最優(yōu)前沿具有良好的分布性。

3.1種群初始化

3.2適應(yīng)度函數(shù)值的計(jì)算

根據(jù)式(6)計(jì)算出每一段B樣條軌跡，并帶入到非顯式約束條件中檢驗(yàn)，在對(duì)約束的處理機(jī)制上采用罰函數(shù)法，即任何對(duì)約束的違反都要在適應(yīng)度函數(shù)中添加懲罰項(xiàng)。文中適應(yīng)度函數(shù)的選取如式(17)所示。依據(jù)適應(yīng)度函數(shù)值可求出每代種群個(gè)體間的支配關(guān)系。

3.3快速非支配排序

在選擇運(yùn)算之前，根據(jù)支配關(guān)系計(jì)算個(gè)體的Pareto秩，以獲取其非劣水平(表征該個(gè)體對(duì)其他個(gè)體的支配能力)。假定個(gè)體xi在g代是種群中有pi個(gè)個(gè)體支配于它，則：

(19)

按非劣水平對(duì)每一代個(gè)體進(jìn)行分層[11]。

3.4虛擬適應(yīng)度

為保持個(gè)體多樣性，NSGA-II算法提出了虛擬適應(yīng)度的概念。計(jì)算個(gè)體擁擠距離id，圖2中目標(biāo)空間第i點(diǎn)的擁擠距離等于它在同一等級(jí)相鄰的點(diǎn)i-1和i+1組成的矩形2個(gè)邊長(zhǎng)之和。這一方法可自動(dòng)調(diào)整小生境(niche)，使計(jì)算結(jié)果在目標(biāo)空間比較均勻地散布，具有較好的魯棒性。

圖2　局部擁擠距離示意圖

(20)

3.5選擇運(yùn)算

3.6交叉與變異

(21)

其中，r為在[0,1]之間產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)。

仍然選取父代個(gè)體x1，針對(duì)其中符合約束條件的子目標(biāo)采用非一致方式[12]變異，從而實(shí)現(xiàn)局部尋優(yōu)。

3.7精英策略

精英策略是遺傳算法以概率1收斂的必要條件。采用的方法如圖3所示。采用精英策略能保留父代中的優(yōu)良個(gè)體直接進(jìn)入子代。

3.8選擇最終解

圖3　NSGA-II算法用于B樣條軌跡多目標(biāo)優(yōu)化的流程圖

4仿真算例

此外在算例中NSGA-II的參數(shù)設(shè)置如下：種群規(guī)模100，迭代次數(shù)為100，交叉率為0.9，變異率為0.1。

經(jīng)仿真計(jì)算，得到一級(jí)缸和二級(jí)缸的最優(yōu)起豎時(shí)間分別為38.624s和29.837s。經(jīng)運(yùn)動(dòng)學(xué)反解后得到了二級(jí)電動(dòng)缸位移、速度、加速度和加加速度(沖擊)與時(shí)間的關(guān)系，如圖4、圖5所示。

圖4　二級(jí)電動(dòng)缸經(jīng)規(guī)劃后運(yùn)動(dòng)情況

圖5　負(fù)載沖擊曲線放大圖

可見(jiàn)，基于五次B樣條的加速度具有C2連續(xù)的平滑特性，而基于三次樣條的軌跡加速度雖然也連續(xù)，但存在加速度變化劇烈的拐點(diǎn)，在這些拐點(diǎn)所處的時(shí)刻，加加速度不連續(xù)，這導(dǎo)致電動(dòng)缸產(chǎn)生軸向振動(dòng)、擴(kuò)大跟蹤誤差。

5結(jié)論

仿真結(jié)果表明：

(1)采用分級(jí)規(guī)劃策略得到的軌跡，能避免換級(jí)碰撞的發(fā)生，使沖擊連續(xù)平滑，保證了起豎過(guò)程的平穩(wěn)性。

(2)基于五次B樣條插值的時(shí)間最優(yōu)分級(jí)軌跡規(guī)劃方法，在滿足約束條件的同時(shí)，相對(duì)多項(xiàng)式規(guī)劃方法，五次B樣條插值法能夠?qū)崿F(xiàn)起豎過(guò)程的時(shí)間最優(yōu)；相對(duì)傳統(tǒng)勻加速勻減速線性規(guī)劃和低階樣條規(guī)劃的方法，經(jīng)五次B樣條插值得到的電動(dòng)缸運(yùn)動(dòng)軌跡具有速度、加速度、脈動(dòng)連續(xù)的特點(diǎn)。

(3)使用NSGA-II算法對(duì)五次B樣條插值點(diǎn)時(shí)間間隔進(jìn)行多目標(biāo)尋優(yōu)，在適應(yīng)度函數(shù)中引入罰函數(shù)處理非顯式非線性約束，相對(duì)傳統(tǒng)多目標(biāo)搜索算法，NSGA-II算法采用精英策略使收斂速度更快；應(yīng)用快速非支配排序方法使搜索結(jié)果分布更均勻，增大了搜索范圍、加強(qiáng)了全局搜索能力。

(4)采用五次B樣條插值的軌跡規(guī)劃方法，雖然增加了計(jì)算量，但由于起豎過(guò)程一般是重復(fù)作業(yè)，因此軌跡規(guī)劃與優(yōu)化只需進(jìn)行一次，且起豎過(guò)程是離線進(jìn)行的，對(duì)算法的實(shí)時(shí)性無(wú)特殊要求，因此以增加離線計(jì)算量為代價(jià)獲得性能更優(yōu)的運(yùn)動(dòng)軌跡是一種理想的方案。

該方法對(duì)同類的電動(dòng)起豎裝置軌跡規(guī)劃具有一定借鑒意義，也可以應(yīng)用到工業(yè)機(jī)械臂領(lǐng)域。

[參考文獻(xiàn)]

[1] 許兵宗, 盧博友. 二級(jí)電動(dòng)缸的設(shè)計(jì)與研究[D].西安：西北農(nóng)林大學(xué),2010.

[2] 田桂，謝建，陳永寧. 大型導(dǎo)彈起豎過(guò)程最優(yōu)時(shí)間軌跡規(guī)劃研究[J]. 計(jì)算機(jī)仿真, 2012,29(1):41-44.

[3] Wisnu Aribowo, Kazuhiko Terashima. Cubic Spine Trajectory Planning and Vibration Suppression of Semiconductor Wafer Transfer Robot Arm[J]. Automation Technology, 2014,8(2):265 - 274.

[4] 毛征宇，劉中堅(jiān). 一種三次均勻B樣條曲線的軌跡規(guī)劃方法[J].中國(guó)機(jī)械工程,2010,21(21):2569-2572,2577.

[5] Hiroshi R. Yamasaki, Urara Nakamura. Temporal Optimality of a Via-Posture on Trajectory during Sit-to-Stand and Back-to-Sit Movements[J]. Biomedical Science and Engineering, 2014, 7:387 -396.

[6] 田桂，謝建，陳永寧,等. 含多級(jí)液壓缸的大型液壓舉升系統(tǒng)時(shí)間最優(yōu)軌跡規(guī)劃[J]. 機(jī)床與液壓,2012,40(3):50-53.

[7] P M 普倫特普. 樣條函數(shù)與變分方法[M]. 上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1980.

[8] 王會(huì)方，朱世強(qiáng)，吳文祥. 基于INSGA_算法的機(jī)械手多目標(biāo)軌跡規(guī)劃[J].浙江大學(xué)學(xué)報(bào)(工學(xué)版),2012,46(4):622-628.

[9] 余陽(yáng)，林明，林永才. 基于混合遺傳算法的工業(yè)機(jī)器人最優(yōu)軌跡規(guī)劃[J]. 計(jì)算機(jī)工程與設(shè)計(jì), 2012,33(4):1575-1580.

[10] 李小霞，汪木蘭，劉坤. 基于五次B樣條的機(jī)械手關(guān)節(jié)空間平滑軌跡規(guī)劃[J].組合加床與自動(dòng)化加工技術(shù), 2012(8):39-42.

[11] 馮士剛，艾芊. 帶精英策略的快速非支配排序遺傳算法在多目標(biāo)無(wú)功優(yōu)化中的應(yīng)用[J]. 電工技術(shù)學(xué)報(bào), 2007,22(12):146-151.

[12] 陳丹, 方康玲. 基于遺傳算法B樣條曲線優(yōu)化在機(jī)器人軌跡規(guī)劃中應(yīng)用[D].武漢：武漢科技大學(xué),2007.

(編輯趙蓉)

Time Optimal Trajectory Planning Based on Five Orders B-spline for Erection Equipment

DENG Biao, ZHANG Xiao, LONG Yong, GUO Yang

(The Second Department,Rocket Force University of Engineering,Xi′ an 710025,China)

Abstract：A new trajectory planning method based on spline interpolation was proposed to solve the problem that the unoptimizable time consumption and discontinuous impact exist in the current trajectory for erection equipment containing the two-stage electric cylinder. Actuating constrains and boundary conditions are obtained through the analysis of kinetic and dynamic models for erection equipment. The five order B-spline interpolation algorithm was adopted for trajectory planning, and penalty function was introduced to process constrains. An NSGA-II algorithm was used to conduct multi-objective optimization for B-spline trajectory while the intervals between each control points of splines were taken as the designed variations. The calculation result was a Pareto optimal solution aggregate, from which the optimal solution is chosen for being the smoothest and the quickest set of intervals. The simulation results show that spline interpolation could achieve optimal time consumption theoretically while the polynomial couldn′t. And high order spline interpolation led to high order continuous trajectories, which makes the erection process more stable.

Key words：erection equipment; electric cylinder; trajectory planning; B-spline; multi-objective optimization

文章編號(hào)：1001-2265(2016)06-0021-05

DOI:10.13462/j.cnki.mmtamt.2016.06.006

收稿日期：2015-06-19

*基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助(61304239)

作者簡(jiǎn)介：鄧飆(1969—)，男，湖北恩施人，火箭軍工程大學(xué)教授，碩士研究生導(dǎo)師，博士，研究方向?yàn)闄C(jī)電控制，(E-mail)zx82854616@163.com。

中圖分類號(hào)：TH112；TG506

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A