吳成晶,李 華
(西安航空學(xué)院 理學(xué)院,陜西 西安 710077)
關(guān)于方程Zt(p)=p的解
吳成晶,李華
(西安航空學(xué)院 理學(xué)院,陜西 西安 710077)
摘要:偽Smarandache-totient函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)研究是初等數(shù)論研究的一個重要問題,受到很多學(xué)者關(guān)注。文章用初等方法給出了關(guān)于偽Smarandache-totient函數(shù)的方程Zt(p)=p,p為素數(shù)的所有解。
關(guān)鍵詞:偽Smarandache-totient函數(shù);Euler函數(shù);初等方法
0引言
關(guān)于偽Smarandache-totient函數(shù)已得到許多結(jié)論,例如Zt(n)既不可加也不可乘,即當(dāng)(m,n)=1時
Zt(m+n)≠Zt(m)+Zt(n),
Zt(mn)≠Zt(m)Zt(n)
本文所要研究的是尋求方程Zt(p)=p的所有正整數(shù)解,其中p為素數(shù)。
對于60以內(nèi)的Zt(n)的值,我們發(fā)現(xiàn)有兩個解[2]
Zt(2)=2,Zt(5)=5.
本文給出該方程的所有解,并給出定理的證明。
1定理及證明
定理1p為素數(shù),若
則Zt(p)=p.
定理2p為素數(shù),方程
Zt(p)=p
有且僅有兩個解,其中
p1=2,p2=5.
這樣我們就找到了該方程的所有解,以下給出定理的證明過程。
首先給出定理1的證明.
若Zt(p)=p,即就是p|φ(1)+φ(2)+…+φ(p).
由素數(shù)的性質(zhì)[3]知,要滿足上式成立,則存在整數(shù)M,使得
φ(1)+φ(2)+…+φ(p)=Mp
再由歐拉函數(shù)的性質(zhì)[4],我們有
φ(1)+φ(2)+…+φ(p)≤1+2+3+…+(p-1)
而
整理之后得到
p2-(2M+1)p+(2-2t)=0.
要使上式有正整數(shù)解,則
其中
整理之后,得到
(M+k+1)(M-k)=2(1-t)
p=M+k+1
即
2(1-t)=p(M-k)
得到
p|2(1-t)
由素數(shù)的性質(zhì)[5],解得t=1,所以
Zt(p)=p.
定理1得證。
從上述定理的證明過程中我們可以得到,要使Zt(p)=p,當(dāng)且僅當(dāng)t=1,即
從上述證明過程知道,要使上式成立,對于任意的正整數(shù),1
則方程Zt(p)=p在p≥7時是無解的,而易于驗證Zt(2)=2,Zt(5)=5.
定理2得證。
2結(jié)論
由上述證明過程,我們得到,方程
Zt(p)=p
的所有解只有兩個,即:
p1=2,p2=5
而沒有其他的解,這樣就完整地解決了該方程的解的問題。
參考文獻(xiàn)
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[責(zé)任編輯、校對:周千]
Solution to the Equation Zt(p)=p
WUCheng-jing,LIHua
(School of Mathematics,Xi′an Aeronautical University,Xi′an 710077,China)
Abstract:Research on the Smarandache-totient function is an important aspect of elementary number theory.Many scholars have paid attention to this problem.The main purpose of this paper is to use the elementary method to give a solution toZt(p)=p,where p represents a prime.
Key words:Smarandache-totient function;Euler function;Elementary method
收稿日期:2016-04-13
作者簡介:吳成晶(1987-),女,陜西安康人,助教,從事初等數(shù)論的研究。
中圖分類號:O156.4
文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A
文章編號:1008-9233(2016)03-0080-02