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        關(guān)于方程Zt(p)=p的解

        2016-07-02 03:23:30吳成晶
        關(guān)鍵詞:數(shù)論素?cái)?shù)正整數(shù)

        吳成晶,李 華

        (西安航空學(xué)院 理學(xué)院,陜西 西安 710077)

        關(guān)于方程Zt(p)=p的解

        吳成晶,李華

        (西安航空學(xué)院 理學(xué)院,陜西 西安 710077)

        摘要:偽Smarandache-totient函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)研究是初等數(shù)論研究的一個(gè)重要問(wèn)題,受到很多學(xué)者關(guān)注。文章用初等方法給出了關(guān)于偽Smarandache-totient函數(shù)的方程Zt(p)=p,p為素?cái)?shù)的所有解。

        關(guān)鍵詞:偽Smarandache-totient函數(shù);Euler函數(shù);初等方法

        0引言

        關(guān)于偽Smarandache-totient函數(shù)已得到許多結(jié)論,例如Zt(n)既不可加也不可乘,即當(dāng)(m,n)=1時(shí)

        Zt(m+n)≠Zt(m)+Zt(n),

        Zt(mn)≠Zt(m)Zt(n)

        本文所要研究的是尋求方程Zt(p)=p的所有正整數(shù)解,其中p為素?cái)?shù)。

        對(duì)于60以?xún)?nèi)的Zt(n)的值,我們發(fā)現(xiàn)有兩個(gè)解[2]

        Zt(2)=2,Zt(5)=5.

        本文給出該方程的所有解,并給出定理的證明。

        1定理及證明

        定理1p為素?cái)?shù),若

        則Zt(p)=p.

        定理2p為素?cái)?shù),方程

        Zt(p)=p

        有且僅有兩個(gè)解,其中

        p1=2,p2=5.

        這樣我們就找到了該方程的所有解,以下給出定理的證明過(guò)程。

        首先給出定理1的證明.

        若Zt(p)=p,即就是p|φ(1)+φ(2)+…+φ(p).

        由素?cái)?shù)的性質(zhì)[3]知,要滿(mǎn)足上式成立,則存在整數(shù)M,使得

        φ(1)+φ(2)+…+φ(p)=Mp

        再由歐拉函數(shù)的性質(zhì)[4],我們有

        φ(1)+φ(2)+…+φ(p)≤1+2+3+…+(p-1)

        整理之后得到

        p2-(2M+1)p+(2-2t)=0.

        要使上式有正整數(shù)解,則

        其中

        整理之后,得到

        (M+k+1)(M-k)=2(1-t)

        p=M+k+1

        2(1-t)=p(M-k)

        得到

        p|2(1-t)

        由素?cái)?shù)的性質(zhì)[5],解得t=1,所以

        Zt(p)=p.

        定理1得證。

        從上述定理的證明過(guò)程中我們可以得到,要使Zt(p)=p,當(dāng)且僅當(dāng)t=1,即

        從上述證明過(guò)程知道,要使上式成立,對(duì)于任意的正整數(shù),17時(shí),有

        則方程Zt(p)=p在p≥7時(shí)是無(wú)解的,而易于驗(yàn)證Zt(2)=2,Zt(5)=5.

        定理2得證。

        2結(jié)論

        由上述證明過(guò)程,我們得到,方程

        Zt(p)=p

        的所有解只有兩個(gè),即:

        p1=2,p2=5

        而沒(méi)有其他的解,這樣就完整地解決了該方程的解的問(wèn)題。

        參考文獻(xiàn)

        [1] 潘承洞,潘成彪.初等數(shù)論[M].北京:北京大學(xué)出版社,2013:141.

        [2] Liu Y N,Li L Liu B L.Smarandache Unsolved Problems and New Progress[M].USA:High American Press,2008:91-99.

        [3] 張文鵬,李海龍.初等數(shù)論[M].西安:陜西師范大學(xué)出版社, 2008:41.

        [4] 樂(lè)茂華.關(guān)于Smarandache函數(shù)的一個(gè)猜想[J].黑龍江大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2007,24(5):687-688.

        [5] Lu Y M:On the Solutions of an Equation Involving the Smarandache Function[J].Scientia Magna,2006,2(1):76-79.

        [責(zé)任編輯、校對(duì):周千]

        Solution to the Equation Zt(p)=p

        WUCheng-jing,LIHua

        (School of Mathematics,Xi′an Aeronautical University,Xi′an 710077,China)

        Abstract:Research on the Smarandache-totient function is an important aspect of elementary number theory.Many scholars have paid attention to this problem.The main purpose of this paper is to use the elementary method to give a solution toZt(p)=p,where p represents a prime.

        Key words:Smarandache-totient function;Euler function;Elementary method

        收稿日期:2016-04-13

        作者簡(jiǎn)介:吳成晶(1987-),女,陜西安康人,助教,從事初等數(shù)論的研究。

        中圖分類(lèi)號(hào):O156.4

        文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

        文章編號(hào):1008-9233(2016)03-0080-02

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