王亞莉　賈宏進(jìn)

(1.91404部隊　秦皇島　066001)(2.91336部隊　秦皇島　066001)

基于TLS-LASSO算法基矩陣自適應(yīng)校正的稀疏空時自適應(yīng)處理

王亞莉1賈宏進(jìn)2

(1.91404部隊秦皇島066001)(2.91336部隊秦皇島066001)

摘要機載預(yù)警雷達(dá)雜波抑制的STAP算法所需平穩(wěn)快拍數(shù)過多,在實際環(huán)境中由于地物散射特性的快變很難得到足量訓(xùn)練樣本,通過引入稀疏恢復(fù)可以大大減少雜波估計所需快拍數(shù)。然而,在稀疏恢復(fù)估計雜波空時譜的過程中,基矩陣的空時頻率和雜波真實的空時頻率之間會有不匹配現(xiàn)象,即off-grid問題。off-grid會嚴(yán)重影響稀疏恢復(fù)估計空時譜的性能。論文提出了一種基于總體最小二乘-LASSO方法的基矩陣空時頻率自適應(yīng)校正方法,可以較好解決off-grid問題。該算法在估計稀疏空時譜的同時對基矩陣中每一個導(dǎo)引矢量的空時頻率進(jìn)行自適應(yīng)校正,從而尋找到與真實雜波位置相匹配的基向量,進(jìn)而求得對應(yīng)的稀疏空時譜,避免了off-grid問題帶來的稀疏恢復(fù)性能下降問題。仿真實驗表明論文所提算法具有較好的恢復(fù)性能。

關(guān)鍵詞機載預(yù)警雷達(dá); 空時二維自適應(yīng)處理; 稀疏恢復(fù); off-grid; 基矩陣自適應(yīng)校正; 空時譜估計

Class NumberTN958.92

1引言

機載預(yù)警(Airborne Early Warning,AEW)雷達(dá)的主要功能是探測低空運動目標(biāo),為己方提供空中預(yù)警[1]。AEW雷達(dá)一般工作于斜下視狀態(tài),在這種工作狀態(tài)下,地面回波往往具有相比目標(biāo)更強的能量,強地雜波會將小目標(biāo)掩蓋而使得目標(biāo)檢測難以實現(xiàn)。因此,地雜波抑制是機載預(yù)警雷達(dá)中一個非常重要的課題。

空時自適應(yīng)處理(Space-Time Adaptive Processing,STAP)是AEW雷達(dá)雜波抑制和動目標(biāo)檢測的一種重要手段[2]。但傳統(tǒng)的STAP方法面臨著訓(xùn)練協(xié)方差矩陣所需平穩(wěn)快拍數(shù)過多、實際環(huán)境難以滿足的問題。因此有學(xué)者將稀疏恢復(fù)(Sparse Recovery)這一信號處理領(lǐng)域中的新理論和新方法引入到STAP中,充分利用稀疏恢復(fù)在欠采樣和小樣本條件下信號估計的優(yōu)勢,試圖解決傳統(tǒng)STAP方法訓(xùn)練樣本不足的問題,提出了基于稀疏恢復(fù)的STAP方法[3]。該方法將雜波協(xié)方差矩陣估計問題的關(guān)鍵步驟轉(zhuǎn)化為一個稀疏空時譜的估計問題。

但是,稀疏恢復(fù)方法作為一種參數(shù)化的估計手段,有其固有的問題。其中最突出、對估計性能影響最明顯的一個問題就是off-grid問題。off-grid問題是指稀疏恢復(fù)的基矩陣中,每個基向量的空時頻率是人為指定的,它們和雜波源真實的空時頻率并不一定匹配,由此帶來稀疏恢復(fù)性能的下降。

本文提出了一種基于總體最小二乘和LASSO算法的稀疏恢復(fù)方法TLS-LASSO,可以在估計稀疏空時譜的同時,可以自適應(yīng)校正基矩陣,得到正確的雜波源空時頻點。仿真實驗表明該方法效果較好,能夠顯著改善稀疏空時自適應(yīng)處理的性能。

2稀疏空時自適應(yīng)處理方法

2.1自適應(yīng)處理與STAP

自適應(yīng)處理方法是雷達(dá)信號處理中應(yīng)對干擾的一種有效手段。這種方法的基本思想是,通過對環(huán)境、干擾的采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行學(xué)習(xí)和訓(xùn)練,得到關(guān)于干擾的統(tǒng)計信息或特征參數(shù),進(jìn)而設(shè)計能夠?qū)⒏蓴_濾除的自適應(yīng)濾波器,對包含了潛在目標(biāo)和干擾的采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波操作[4]。經(jīng)過自適應(yīng)濾波器的濾波操作,輸出數(shù)據(jù)中就濾除了干擾信息而僅剩目標(biāo)信息。在輸出數(shù)據(jù)上做檢測就能有效降低干擾對檢測性能的影響[5]。

對AEW雷達(dá)來說,強地雜波是主要的干擾來源。因此也可以采用上述抑制干擾的自適應(yīng)處理方法來抑制地雜波。對于一維的情形,自適應(yīng)陣列處理理論保證了可以在干擾所在的空間角度位置形成凹陷,從而形成針對干擾的自適應(yīng)濾波器;對于動目標(biāo)檢測來說,MTI和MTD理論保證了可以自適應(yīng)濾除多普勒域上的干擾,同時在檢測出動目標(biāo)。但是,由于AEW雷達(dá)位于機載平臺上,載機的運動導(dǎo)致地面靜止的雜波散射體具有相對載機平臺的運動速度,并且雜波散射體的角度和其相對運動速度(對應(yīng)多普勒頻率)具有一定的耦合關(guān)系,在主波束照射到的范圍內(nèi)地雜波在角度和多普勒維度都會展寬,覆蓋可探測目標(biāo)的角度或速度。這樣,無論在陣列(即角度)維還是在脈沖(即多普勒或速度)維都無法將地雜波和目標(biāo)區(qū)分開來。因此,對于AEW雷達(dá),抑制地雜波的自適應(yīng)操作必須聯(lián)合空域(角度)和時域(多普勒),在空時二維進(jìn)行。這就是空時自適應(yīng)處理(Space-Time Adaptive Processing,STAP)的基本思想[6～7]。

2.2稀疏STAP方法

在自適應(yīng)處理中,對抑制對象統(tǒng)計特性或特征參數(shù)的獲取是通過大量滿足平穩(wěn)假設(shè)的樣本進(jìn)行訓(xùn)練得到的。一個最典型的做法就是首先獲取滿足平穩(wěn)(即獨立同分布)條件的若干個采樣樣本向量,然后求其自相關(guān)矩陣。如果訓(xùn)練樣本滿足零均值條件,則該自相關(guān)矩陣可以認(rèn)為是對樣本數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的一個估計。前人的工作已經(jīng)證明,當(dāng)訓(xùn)練樣本數(shù)滿足大于2倍的系統(tǒng)自由度時,用這樣的方法獲得的協(xié)方差矩陣估計才是有效的[2]。

在STAP中,訓(xùn)練樣本是沿著距離向獲得的。用上面所述的統(tǒng)計方法估計雜波協(xié)方差矩陣時,要求平穩(wěn)訓(xùn)練樣本數(shù)不小于系統(tǒng)自由度,假設(shè)系統(tǒng)的線性陣列天線有N個陣元,一個CPI內(nèi)有M個脈沖,那么系統(tǒng)自由度為NM,則要求滿足獨立同分布的樣本數(shù)要不小于2NM。但是,在實際環(huán)境中,由于地物散射特性的變化,距離向上雜波散射體并不嚴(yán)格滿足平穩(wěn)條件,甚至起伏很大;而且實際系統(tǒng)的系統(tǒng)自由度一般較大(尤其是一個CPI內(nèi)的脈沖數(shù)可能達(dá)到上百之多),這樣就要求有大量的平穩(wěn)訓(xùn)練樣本。這顯然是難以滿足的。因此如何減少估計雜波特性所需的平穩(wěn)訓(xùn)練樣本數(shù)就成為STAP中的一個重要課題。

稀疏恢復(fù)是信號處理領(lǐng)域最近十年來一個重要的突破性的進(jìn)展[8]。如果一個信號在某個域是稀疏的,即只有少量元素是有顯著值的,那么就可以通過稀疏恢復(fù)算法,從其壓縮觀測中恢復(fù)出原始信號。為了解決前面所提到的傳統(tǒng)STAP方法訓(xùn)練樣本不足的問題,有學(xué)者提出了基于稀疏恢復(fù)的STAP方法,即SR-STAP[9]。

假設(shè)系統(tǒng)由N個陣元,一個CPI內(nèi)有M個脈沖,那么,空域?qū)б噶亢蜁r域?qū)б噶糠謩e為

as=[1,exp(j2πKθ),…,exp(j2π(N-1)Kθ)]

(1)

at=[1,exp(j2πfd),…,exp(j2π(M-1)fd)]

(2)

其中Kθ=d/λsinθ。那么空時導(dǎo)引矢量為

a=as?at

(3)

向量化的空時快拍x可以寫成空時導(dǎo)引矢量的線性組合

(4)

(5)

其中,σi=E{|αi|2}為雜波散射源的平均(后向)散射能量。于是,如果能夠得到每一個雜波散射源的平均后向散射能量,那么就可以估計出協(xié)方差矩陣。將雜波的平均后向散射能量排列成一個二維矩陣,我們稱之為空時功率譜。由于功率譜和幅度譜的眾所周知的對應(yīng)關(guān)系,也可以先估計雜波的平均后向散射強度,將平均后向散射強度排列而成的矩陣稱為雜波的空時幅度譜,簡稱為空時譜。所以,雜波協(xié)方差矩陣估計問題就轉(zhuǎn)化為雜波空時譜估計問題。將式(4)重寫為矩陣形式:

x=Φα+n

(6)

則α就是向量化的空時頻譜。由于機載AEW雷達(dá)雜波的角度和多普勒頻率之間眾所周知的雜波脊線關(guān)系:

(7)

很容易證明,雜波在空時(頻域)平面上,即角度-多普勒平面上,是僅僅分布在雜波脊線上的,在空時頻域平面內(nèi)雜波是稀疏的,也就是說向量α是一個稀疏向量[11]。那么,就可以用稀疏恢復(fù)算法來通過式(6)估計雜波的空時譜,進(jìn)而估計雜波協(xié)方差矩陣。這就是基于稀疏恢復(fù)的空時自適應(yīng)處理方法(SR-STAP)的基本框架。可以看出,采用了稀疏恢復(fù)之后,估計雜波協(xié)方差矩陣所需的快拍數(shù)顯著下降。

3TLS-LASSO-STAP方法

3.1off-grid問題

在前面所介紹的SR-STAP方法中,基矩陣中空時導(dǎo)引矢量的空時頻點都是人為指定的,即在角度-多普勒平面上,有一個人為預(yù)設(shè)的離散化網(wǎng)格。但是,真實的雜波散射源所對應(yīng)的角度和多普勒頻率并不一定完全落在人為預(yù)設(shè)的網(wǎng)格上,這就是格點失配問題,即off-grid問題[12]。off-grid問題會給稀疏恢復(fù)估計空時譜帶來嚴(yán)重的性能下降[13]。

[θ1,θ2,…,θNs],[fd1,fd2,…,fdNd]

(8)

對于某個雜波散射體對應(yīng)的多普勒頻率和角度,用與其鄰近的fdi和θi和相應(yīng)的多普勒誤差Δfdi、角度誤差Δθi的和來表示:

(fd,θ)=(fdi+Δfi,θi+Δθi)

(9)

那么真實雜波對應(yīng)的空時導(dǎo)引矢量就變成如下形式:

(10)

可見在導(dǎo)引矢量的每一項中都含有未知參數(shù)。進(jìn)而,基矩陣就變?yōu)閰?shù)化的,其中每一列也就是每一個空時導(dǎo)引矢量中都含有與格點失配誤差相關(guān)的參數(shù),稀疏恢復(fù)估計空時譜問題就變成了這樣一個參數(shù)化稀疏恢復(fù)問題:

x=Φ(Δfd,Δθ)α+n

(11)

其中參數(shù)化的基矩陣具體形式為

Φ(Δfd,Δθ)=[a1(Δfd1,Δθ1),…,ai(Δfdi,Δθi),…,

aNc(ΔfdNc,ΔθNc)]

(12)

以上就是稀疏空時自適應(yīng)處理中off-grid問題的基本描述。

3.2TLS-LASSO-STAP方法

對于這樣一個問題,我們的思路是設(shè)計一個算法,在稀疏恢復(fù)估計空時譜的同時,在線估計角度誤差參數(shù)和多普勒誤差參數(shù)Δfdi、Δθi。這就相當(dāng)于在進(jìn)行稀疏恢復(fù)的同時對基矩陣進(jìn)行校正。直觀上,可以看做根據(jù)采樣數(shù)據(jù)自適應(yīng)調(diào)整基矩陣中的空時“格子”。

對于基矩陣中某一列導(dǎo)引矢量的第n項,假設(shè)其角度誤差Δθ和多普勒誤差Δfd都很小,那么,

這塊石頭不但不美觀，而且還經(jīng)常擋著別人的道路，大家都嫌棄它，看到它都繞著走。我一看到這塊石頭就想吐，因為它的身上經(jīng)常有蜘蛛絲和其他動物的口水?？磥磉@塊石頭真的是毫無用處，要提醒保安爺爺把它弄走。

exp(j2πm(fd+Nfd))≈exp(j2πmfd)(1+j2πmΔfd)

(13)

(14)

所以,對于空時導(dǎo)引矢量的某一項,有

(15)

其中,省略了二階無窮小項ΔθΔfd。所以,對于空時導(dǎo)引矢量,可以得到:

a′=ae(1+Δa)=a+aeΔa

(16)

其中導(dǎo)引矢量誤差項:

(17)

記如下的一個復(fù)合導(dǎo)引矢量矩陣為

(18)

那么空時導(dǎo)引矢量進(jìn)一步可以寫成:

(19)

從而真實的基矩陣也可以寫成預(yù)設(shè)基矩陣和誤差矩陣的和的形式,

Φ′=Φ+ΔΦ

(20)

其中,誤差矩陣

ΔΦ=BQ

(21)

其中B=[B1,…,BNc]NM×2Nc,矩陣Q為誤差變量構(gòu)成的矩陣,其形式為:

(22)

至此,將需要求解的誤差變量從指數(shù)項和指數(shù)項中的三角函數(shù)項中全部提出并置于矩陣Q中,并且和確定矩陣B做線性相乘。式(11)所表示參數(shù)化稀疏恢復(fù)問題變?yōu)槿缦碌暮谢仃嚰有哉`差項的稀疏恢復(fù)問題:

x=(Φ+ΔΦ)α+n

(23)

最終希望求解off-grid問題,同時得到稀疏空時譜的估計和空時頻率誤差的估計。對于稀疏空時譜估計,采用經(jīng)典的l1范數(shù)最小化方法,求解LASSO問題[14]。而誤差項又在基矩陣表現(xiàn)為加性誤差,所以,考慮引入總體最小二乘(Total Least Square,TLS)方法[15]。所以,建立如下的總體最小二乘-LASSO(TLS-LASSO)優(yōu)化問題:

s.t.x=(Φ+BQ)α+n

(24)

上述問題沒有閉式解,只能通過迭代方式求得近似解。在迭代的每一步中,分別求對稀疏空時譜α和誤差矩陣Q的估計。可以證明,當(dāng)固定α?xí)r,原優(yōu)化問題退化為

(25)

這是一個關(guān)于Q的凸優(yōu)化問,可以通過凸優(yōu)化工具包cvx來求解。而當(dāng)Q固定時,原問題退化為一個關(guān)于的常規(guī)LASSO問題:

(26)

這仍然是一個凸優(yōu)化問題,可以通過相關(guān)工具包求解。

所以,最終在式(25)和式(26)之間反復(fù)迭代,直到滿足收斂條件,就得到了關(guān)于稀疏空時譜和空時頻率誤差的估計。這樣,同時實現(xiàn)了空時譜估計和基矩陣自適應(yīng)校正。

4仿真實驗

通過產(chǎn)生雜波數(shù)據(jù)對本文所提算法進(jìn)行仿真實驗。在仿真實驗中設(shè)置仿真參數(shù)如表1所示。

表1　仿真參數(shù)設(shè)置

分別設(shè)置兩個、七個雜波散射源,對比未經(jīng)過基矩陣校正的LASSO方法和TLS-LASSO方法的稀疏空時譜估計結(jié)果。

圖1、圖2分別展示了兩個和七個雜波散射源的對比實驗結(jié)果。圖中橫坐標(biāo)為歸一化的多普勒頻率,縱坐標(biāo)為角度,整個圖所表示的空時頻譜。上圖為TLS-LASSO的校正結(jié)果,綠色的點代表預(yù)設(shè)的基矩陣空時頻點網(wǎng)格,藍(lán)色的點代表對真實雜波源估計而校正之后的空時頻點位置。下圖為未經(jīng)基矩陣空時頻率校正的LASSO算法的結(jié)果,可見,未經(jīng)基矩陣校正的估計有嚴(yán)重的空時譜擴散現(xiàn)象,使得估計精度嚴(yán)重下降;而經(jīng)過TLS-LASSO基矩陣空時頻率校正之后,真實雜波源附近的基向量的空時頻率能夠較好的匹配雜波源的真實空時頻率,空時譜估計擴散的現(xiàn)象得到消除,估計精度大為提高。

圖1　基矩陣校正結(jié)果示意(兩個雜波散射源)

圖2　基矩陣校正結(jié)果示意(七個雜波散射源)

同時,我們展示了最終濾波輸出的改善因子對比圖,該圖是在主波束方向沿著歸一化多普勒頻率得到的。從圖中可以看出,TLS-LASSO方法的改善因子效果明顯好于常規(guī)稀疏恢復(fù)方法,主雜波區(qū)凹口寬度更窄,意味著能夠獲得更好的雜波抑制性能和更好的慢速小目標(biāo)檢測性能。

圖3　改善因子對比圖

以上實驗結(jié)果充分說明了TLS-LASSO方法在校正基矩陣導(dǎo)引矢量空時頻率中的有效性,可以通過自適應(yīng)校正得到對空時頻率誤差的估計,實現(xiàn)對基矩陣空時頻率的校正,從而獲得更加準(zhǔn)確的稀疏空時譜估計,獲得更好的雜波抑制性能。

5結(jié)語

本文研究了機載預(yù)警雷達(dá)雜波抑制的重要方法——基于稀疏恢復(fù)的STAP方法中,基矩陣空時頻率與真實雜波源不匹配的off-grid問題。通過建立參數(shù)化的空時頻率誤差模型以及合理的近似,將空時頻率誤差從非線性項中提取出來,成為基矩陣的加性誤差項,進(jìn)而建立了基于總體最小二乘和稀疏約束的優(yōu)化問題,通過迭代求解該優(yōu)化問題,同時獲得了對稀疏空時譜和基矩陣空時頻率誤差的估計,從而實現(xiàn)了對基矩陣空時頻率誤差的校正。仿真實驗表明,該方法能夠較好估計空時頻率誤差,實現(xiàn)基矩陣校正,獲得更加精確的稀疏空時譜估計,有效提高了雜波抑制性能。

6附錄

式(13)～式(14)的推導(dǎo)

exp(j2πm(fd+Δfd))

=exp(j2πmfd)exp(j2πmΔfd)

=exp(j2πmfd)[cos(2πmΔfd)+jsin(2πmΔfd)]

≈exp(j2πmfd)(1+j2πmΔfd)

(27)

在上述推導(dǎo)中使用了Δfd→0這一假設(shè),從而有cos(2πmΔfd)→0和sin(2πmΔfd)≈2πmΔfd。

(28)

上述推導(dǎo)中使用了Δθ←0這一假設(shè),同前可得相應(yīng)的近似。

參 考 文 獻(xiàn)

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Basis Matrix Adaptive Correction of TLS-LASSO Algorithm Based on Sparse STAP

WANG Yali1JIA Hongjin2

(1. No. 91404 Troops of PLA, Qinhuangdao066001)(2. No. 91336 Troops of PLA, Qinhuangdao066001)

AbstractThe STAP algorithm of AEW radar clutter suppression required for stable snapshots too much, in the actual environment, it is difficult to get enough training samples for the scattering property of ground objects, through the introduction of sparse recovery can greatly reduce the required number of snapshots of clutter estimation. However, in the process of estimating the clutter space-time spectrum of the sparse recovery, there is not match phenomenon between the space-time frequency of the basis matrix and the real space-time frequency of the clutter, that is the off-grid problem. Off-grid severely affects the performance of sparse recovery space-time spectrum. In this paper, a basis matrix adaptive correction method based on TLS-LASSO is proposed for space-time frequency, it can solve the problem of off-grid. In the algorithm, the space-time frequency of each vector in the basis matrix is adaptively corrected while the space-time spectrum of sparse space is estimated, to find the base vector with the true position of the clutter, then obtain the corresponding sparse space-time spectrum, to avoid the problem of sparse recovery performance caused by off-grid. The simulation experiments show that the proposed algorithm has better recovery performance.

Key Wordsairborne early warning radar, space-time two-dimensional adaptive processing, sparse recovery, off-grid, basis matrix adaptive correction, space-time spectrum estimation

收稿日期:2015年12月18日,修回日期:2016年1月19日

作者簡介:王亞莉,女,碩士,高級工程師,研究方向:雷達(dá)試驗總體。賈宏進(jìn),男,博士,高級工程師,研究方向:電子對抗仿真。

中圖分類號TN958.92

DOI:10.3969/j.issn.1672-9722.2016.06.008