邵秀芹，趙德剛

(山東省聊城市第一中學(xué)，山東聊城 252059)

最近，很多老師、同學(xué)或者家長(zhǎng)都注意到這樣一個(gè)問(wèn)題：高中數(shù)學(xué)成績(jī)不好的學(xué)生，即使在高中物理上學(xué)習(xí)非常努力，物理成績(jī)也提高甚微。還有一些同學(xué)，高中數(shù)學(xué)成績(jī)也可以，但是因?yàn)椴荒莒`活地將高中數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用到物理問(wèn)題中來(lái)，所以解決物理問(wèn)題的方法也不多，而那些善于運(yùn)用數(shù)學(xué)方法來(lái)分析解決高中物理問(wèn)題的同學(xué)卻學(xué)得輕松自如。那么，高中數(shù)學(xué)和高中物理在內(nèi)容上有哪些結(jié)合點(diǎn)呢？這里，我們重點(diǎn)介紹三角函數(shù)、不等式、極值、微積分在高中物理中的應(yīng)用。當(dāng)然，許多函數(shù)、幾何知識(shí)、數(shù)列等知識(shí)在高中物理中都有非常重要的應(yīng)用，在此限于篇幅，不一一贅述。

一、三角知識(shí)在高中物理中的應(yīng)用

高中物理問(wèn)題很多都涉及矢量，而矢量的運(yùn)算遵循三角形法則，所以三角知識(shí)在高中物理問(wèn)題中的應(yīng)用非常廣泛。比如：設(shè)一條河寬為，水流速度為，船在靜水中的速度為，那么怎樣渡河時(shí)間最短，最短時(shí)間是多少？

如圖所示，設(shè)船頭斜向上游與河對(duì)岸所成角度為，這時(shí)船速與y方向的分量為，而渡河所需時(shí)間為。由此可以看出，當(dāng)v與l 一定時(shí)，隨著的增大而減?。划?dāng)時(shí)，即船頭與河岸垂直時(shí)，渡河時(shí)間最短。

這說(shuō)明，力學(xué)中的力的合成分解等都需要三角知識(shí)來(lái)解決。如果三角知識(shí)掌握得好，并將其靈活地運(yùn)用到物理問(wèn)題中來(lái)，解決物理問(wèn)題會(huì)非常得心應(yīng)手。

二、不等式在高中物理中的應(yīng)用

在高中物理問(wèn)題中，不等式也有自己的用武之地。例如下面是一個(gè)完全非彈性碰撞中能量損失最大化的問(wèn)題。這個(gè)問(wèn)題完全可以通過(guò)球碰撞前后能量的比較進(jìn)行解決，方法是利用不等式知識(shí)進(jìn)行直接求解。比如：如下圖所示，有一個(gè)帶正電小球，其質(zhì)量為m=0.01kg，帶電量大小為將其置于光滑水平面上的A點(diǎn)，當(dāng)空間存在著斜向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，該小球從靜止開(kāi)始，始終沿著水平面做勻加速直線運(yùn)動(dòng)；當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)時(shí)，可以測(cè)量到小球的速度為而此時(shí)小球的位移為m，求這個(gè)勻強(qiáng)電場(chǎng)取值的范圍。

分析：為了使小球一直沿著水平面進(jìn)行移動(dòng)，電場(chǎng)力在豎直方向上的分力需要不大于重力，即：，所以有

三、極值在高中物理中的應(yīng)用

極值方法在高中物理中的應(yīng)用非常廣泛，下面我們將通過(guò)一個(gè)常見(jiàn)的例子進(jìn)行說(shuō)明：質(zhì)量為m的小球靜止停放在光滑的 弧形軌道的點(diǎn)A上，圓弧軌道的半徑為R，現(xiàn)在小球從點(diǎn)A開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，則這個(gè)小球從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B的過(guò)程中，重力對(duì)小球做功的最大功率是多少？

問(wèn)題分析：設(shè)小球從A點(diǎn)由靜止并釋放并運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)的速度為v，根據(jù)機(jī)械能守恒定律

重力對(duì)小球做功的功率為

由上二式得

此時(shí)可以用極值法求的的最大值。令，則

要想使得最大，只需使得y最大。將兩端同時(shí)取四次方，得

利用，且當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值。

四、微積分在高中物理中的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)和積分作為高中數(shù)學(xué)的兩個(gè)重要內(nèi)容，是新課改以后出現(xiàn)的新內(nèi)容。這兩個(gè)內(nèi)容在高中數(shù)學(xué)教材中出現(xiàn)已逾十年。而正因?yàn)閷?dǎo)數(shù)在高中物理中的應(yīng)用的廣泛性，使得高中學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)理解很多物理知識(shí)。比如：某物體做直線運(yùn)動(dòng)，位移對(duì)時(shí)間的變化規(guī)律為：，求物體運(yùn)動(dòng)的加速度和初始速度各是多少？

問(wèn)題分析：由速度和導(dǎo)數(shù)的定義有

而初速度是t=0時(shí)刻的速度，將t=0代入上式得，而。

微積分思想也經(jīng)常進(jìn)行功率計(jì)算。功是一個(gè)基本的物理量，能量轉(zhuǎn)化中經(jīng)常能看到功率的身影。而正如我們所熟知，功是能量轉(zhuǎn)化的一個(gè)量度。在實(shí)際應(yīng)用中，我們經(jīng)常會(huì)遇到變力做功的問(wèn)題，或者是場(chǎng)力對(duì)連續(xù)介質(zhì)做功的問(wèn)題。我們通常采用這樣的處理方法：首先是將力做功的過(guò)程或?qū)ο蠓纸獬蔁o(wú)數(shù)微元，然后計(jì)算出各元功后再求和，一般來(lái)說(shuō)，這一個(gè)求和過(guò)程經(jīng)常需要依賴積分的計(jì)算。

通過(guò)上述分析我們知道，微積分思想在解決高中物理問(wèn)題中的作用非常明顯。比如瞬時(shí)速度、瞬時(shí)加速度、瞬時(shí)電流、電磁感應(yīng)中的電磁感應(yīng)勢(shì)等問(wèn)題。這種情況普遍存在于電學(xué)、力學(xué)以及一些綜合性問(wèn)題中。因此在物理教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)微積分知識(shí)的滲透，在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該加入一些物理背景，使得物理知識(shí)和數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)相得益彰。

當(dāng)然，在解決物理問(wèn)題中，用到的數(shù)學(xué)知識(shí)還有很多，由于篇幅所限，這里不再一一贅述。很多物理學(xué)家都是數(shù)學(xué)家。正是由于物理中提出的許多問(wèn)題，使得物理學(xué)家們想到提出新的數(shù)學(xué)方法去解決它們。從某種意義上講，物理問(wèn)題的解決是數(shù)學(xué)發(fā)展的源泉和動(dòng)力所在。

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