譚沈陽，黃體仁，張學(xué)華

(1.南京理工大學(xué)泰州科技學(xué)院基礎(chǔ)部，江蘇 泰州 225300;2.浙江理工大學(xué)數(shù)學(xué)系，浙江 杭州 310018;3.黃山學(xué)院數(shù)理統(tǒng)計學(xué)院，安徽 黃山 245041)

黎曼流形上漂移薛定諤算子的加權(quán)特征值估計

譚沈陽1，黃體仁2，張學(xué)華3

(1.南京理工大學(xué)泰州科技學(xué)院基礎(chǔ)部，江蘇 泰州 225300;2.浙江理工大學(xué)數(shù)學(xué)系，浙江 杭州 310018;3.黃山學(xué)院數(shù)理統(tǒng)計學(xué)院，安徽 黃山 245041)

[摘要]研究了黎曼流形上漂移薛定諤算子-Δφ+V的加權(quán)特征值估計問題，利用試驗函數(shù)方法得到了特征值的楊洪倉型不等式，同時得到了高階特征值的上界估計，將已有文獻(xiàn)結(jié)果推廣到更一般的情形.

[關(guān)鍵詞]黎曼流形；特征值估計；漂移拉普拉斯

0引言

1956年P(guān)ayne等[1]考慮了下列固定膜問題

(1)

得到了特征值的一個全局不等式，并將之推廣到n維情形即PPW不等式

(2)

1980年Hile和Protter[2]得到了下面的HP不等式

1991年楊洪倉[3]證明了著名的第一楊型不等式

和第二楊型不等式

關(guān)于算子特征值的研究進(jìn)展可參考文獻(xiàn)[1-5].

近來一些數(shù)學(xué)家研究了權(quán)重黎曼流形上的漂移拉普拉斯算子的特征值問題[6-8]

(3)

其中φ是定義在Ω上的光滑函數(shù).2013年夏昌玉和許洪偉[9]考慮了黎曼流形上該算子的特征值估計，得到了一個楊型不等式

本文主要考慮特征值問題

(4)

其中v表示非負(fù)位勢函數(shù)，ρ為M上正的連續(xù)函數(shù).

由分部積分可知

0<λ1≤λ2≤…≤λr≤….

本文通過試驗函數(shù)的方法得到了關(guān)于算子-Δφ+v特征值的一個廣義不等式，并通過特殊的試驗函數(shù)得到了一個楊洪倉型不等式，該結(jié)果包含了夏昌玉和許洪偉[9]的結(jié)果.

1一個關(guān)鍵引理

引理1假設(shè)λi為問題(4)的第i個特征值，μi為λi的正交特征函數(shù)，即

(5)

則對任意的h∈C3(M)∩C2(?M)和任意的整數(shù)k，

(6)

證明定義試驗函數(shù)

(7)

其中

Aij=∫Mρhuiujdμ=Aji.

則

∫Mρφiujdμ=0，φi|?M=0，?i，j=1，…，k.

(8)

直接計算可知

(9)

將(9)式代入著名的Rayleigh-Ritz不等式得

(10)

(11)

令

(12)

則

(13)

令

(14)

利用(8)，(12)，(13)式與h?lder不等式得

(15)

從而

(16)

(17)

另一方面，根據(jù)(14)式有

(18)

將(18)式代入(17)式中并將i從1加到k得

(19)

(20)

將(20)式代入(19)式中即可完成證明.

2主要結(jié)果及證明

引理2假設(shè)M為n維完備黎曼流形，Ω?M為具有光滑邊界的有界區(qū)域，φ為Ω上的光滑函數(shù)，λi為下面問題的第i個特征值

(21)

如果M等距嵌入到Rm且平均曲率為h，則

(22)

證明設(shè)xα(α=1，2，…，m)為Rm的標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)函數(shù)，在(22)式中取h=xα，關(guān)于α從1加到m有

(23)

(24)

同時

Δ(x1，x2，…，xm)≡Δ(x1，x2，…，xm)=nH，

(25)

(26)

(27)

將(24)─(27)式代入(23)式即可完成引理的證明.

定理1假設(shè)引理2的條件均成立，令

則

(28)

證明顯然

(29)

(30)

(31)

將(29)─(31)式代入(22)式即可證得定理結(jié)論.

注當(dāng)ρ=1，v=0時定理1的結(jié)論即為文獻(xiàn)[9]中的結(jié)果.

易見不等式(28)是一個二次不等式，通過解該不等式可得關(guān)于特征值的第二楊洪倉型不等式.

推論1假設(shè)引理2條件成立，則

(32)

其中

注由推論1易知第k+1個特征值可以用前面的k個低階特征值來控制

[參考文獻(xiàn)]

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[10]FRIEDRICHS K O.Spectral theory of operators in Hilbert space[M].New York:Springer Verlag，1980:143-163.

(責(zé)任編輯：李亞軍)

nequalities for weighted eigenvalues of the drifting Schrodinger operator on Riemannian manifolds

TAN Shen-yang1，HUANG Ti-ren2，ZHANG Xue-hua3

(1.Department of Basic Courses，Taizhou Institute of Science and Technology，Taizhou 225300，China; 2.Department of Mathematics，Zhejiang Science and Technology University，Hangzhou 310018，China; 3.School of Mathematics and Statistics，Huangshan University，Huangshan 245041，China)

Abstract:The Dirichlet weighted eigenvalue problem of the operator -Δφ+V on compact Riemannian manifolds is investigated，where Δφis the drifting Laplacian operator on compact Riemannian manifolds.A yang-type inequality of this problem is established.Estimates for upper bounds of higher order eigenvalues are also obtained.

Keywords:Riemannian manifolds；eigenvalue estimates；drifting Laplacian

[文章編號]1000-1832(2016)02-0035-05

[收稿日期]2014-12-10

[基金項目]國家青年自然科學(xué)基金資助項目(11401531)；江蘇省高校自然科學(xué)基金資助項目(14KJD110004).

[作者簡介]譚沈陽(1982—)，碩士，主要從事微分幾何研究.

[中圖分類號]O 186[學(xué)科代碼]110·2745

[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]A

[DOI]10.16163/j.cnki.22-1123/n.2016.02.009