金　瑾

(1.貴州工程應(yīng)用技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)系，貴州 畢節(jié) 551700；2.畢節(jié)循環(huán)經(jīng)濟(jì)研究院，貴州 畢節(jié) 551700)

一類差分方程組的亞純允許解

金瑾1，2

(1.貴州工程應(yīng)用技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)系，貴州 畢節(jié) 551700；2.畢節(jié)循環(huán)經(jīng)濟(jì)研究院，貴州 畢節(jié) 551700)

[摘要]利用亞純函數(shù)的Nevanlinna值分布理論，研究了一類差分方程組的亞純解的存在性問題.得到差分方程組的亞純解或同為允許、或同為非允許的結(jié)論，進(jìn)而得到了更一般的結(jié)果.

[關(guān)鍵詞]差分方程組；亞純函數(shù)；允許解；Nevanlinna理論；值分布理論

1預(yù)備知識

我們假設(shè)讀者熟悉亞純函數(shù)的Nevanlinna值分布理論的基本知識和通常記號.[1-19]關(guān)于微分方程組的允許解問題，有很多作者做了大量的工作，得到了一大批很好的結(jié)果.[1-12]

對下面的高階非線性代數(shù)微分方程組

(1.1)

其中

引理3設(shè)函數(shù)f(z)為復(fù)平面上的超越亞純函數(shù)，則對任意的正整數(shù)k都有

證明由已知條件和引理2，

故

引理4設(shè)函數(shù)f(z)為復(fù)平面上的亞純函數(shù)，k是任意的正整數(shù)且f(0)=0，f(i-1)(0)=1，f(i)(0)=0 (i=1，2，…，k).則N(r，f(k))≤kN(r，f).

證明由已知，f(k)(z)和f(k-1)(z)以且僅以f(z)的極點(diǎn)為它們的極點(diǎn).若當(dāng)f(z)以某點(diǎn)z0為j(j≥1)重極點(diǎn)時，f(k-1)(z)以點(diǎn)z0為k+j-1重極點(diǎn)，f(k)(z)以點(diǎn)z0為k+j重極點(diǎn).從而

引理5設(shè)w1，w2，…，wn都是有限級函數(shù)，且T(r，A(i))=o(T(r，wL))，(L=1，2，…，n)，

證明定義

故

由引理3得

所以

(1.2)

下面估計N(r，Ωt(z，w1，w2…，wn)).由已知和引理2，

N(r，Ω1(z，w1，w2，…，wn))=

即

(1.3)

其中I1和I2都是對數(shù)測度為有限的例外值集.

證明由已知有

2主要結(jié)論

本文利用Nevanlinna值分布理論，對高階非線性代數(shù)微分方程組(1.1)的亞純允許解的存在性問題進(jìn)行了研究.根據(jù)以上定義以及眾多研究的基礎(chǔ)上，我們得到以下改進(jìn)和推廣的結(jié)論.

定理1設(shè)(w1，w2，…，wn)是非線性微分方程組(1.1)的有限級亞純允許解，則

證明由已知和引理1得：

T(r，R1(z，w1))=max{p1，q1}T(r，w1)+S(r)；

T(r，R2(z，w2))=max{p2，q2}T(r，w2)+S(r)；

??

T(r，Rn(z，wn))=max{pn，qn}T(r，w2)+S(r).

(2.1)

由引理5有：

??

(2.2)

由(1.1)、(2.1)與(2.2)式我們可得：

??

(2.3)

由(2.3)式有：

??

(2.4)

[參考文獻(xiàn)]

[2]高凌云.復(fù)微分方程組m分量-可允許解[J].數(shù)學(xué)年刊，1997，18(2):149-154.

[3]高凌云.關(guān)于兩類復(fù)微分方程組的允許解[J].數(shù)學(xué)學(xué)報，2000，43(1):149-156.

[4]高凌云.具有允許解的代數(shù)微分方程組的形式[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，2004，24(1):96-101.

[5]高凌云.代數(shù)微分方程組允許解的值分布[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，2007，27(4):629-632.

[6]高凌云.Malmquist型復(fù)差分方程組[J].數(shù)學(xué)學(xué)報，2012，55(2):293-300.

[7]王鑰，高凌云.關(guān)于兩類復(fù)非線性微分方程的代數(shù)體函數(shù)解[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，2013，33(2):246-254.

[8]高凌云.復(fù)高階差分方程解[J].數(shù)學(xué)學(xué)報，2013，56(4):451-458.

[9]吳桂榮.復(fù)域內(nèi)代數(shù)微分方程組的可允許解[J].福建師范大學(xué)學(xué)報，1992，8(1):16-20.

[10]宋述剛.代數(shù)微分方程組的可允許解[J].數(shù)學(xué)雜志，2008，28(6):685-688.

[11]LAINE I.Nevanlinna theory and complex differential equation [M].Berlin:Walter de Gruyter，1993:18-49.

[12]KORHONEN R.A new clunie type theorem for difference polynomials[J].J difference Equ Appl，2011，17(3):387-400.

[13]楊樂.值分布論及其新研究[M].北京:科學(xué)出版社，1982:104-165.

[13]丁勇.一類微分方程組的非可允許分量[J].暨南大學(xué)學(xué)報，2013，34(1):25-18.

[14]金瑾.關(guān)于一類高階齊次線性微分方程解的增長性[J].中山大學(xué)報，2013，52(1):51-55.

[15]金瑾.一類高階齊次線性微分方程解的增長性[J].華中師范大學(xué)報，2013，47(1):4-7.

[16]金瑾.關(guān)于高階線性微分方程解與其小函數(shù)的增長性[J].上海交通大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2013，47(7):1155-1159.

[17]金瑾.單位圓內(nèi)高階齊次線性微分方程解與小函數(shù)的關(guān)系[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報，2014，37(4)：254-264.

[18]金瑾，武玲玲，樊藝.高階非線性微分方程組的亞純允許解[J].東北師大學(xué)報(自然科學(xué)版)，2015，47(1):22-25.

[19]李廣兵，唐先華.一類二階非線性微分積分方程兩點(diǎn)邊值問題[J].東北師大學(xué)報(自然科學(xué)版)，2015，47(1):26-30.

(責(zé)任編輯：李亞軍)

On the meromorphic admissible solution of systems of differential equations

JIN Jin1，2

(1.Department of Mathematics，Guizhou University of Engineering Science，Bijie 551700，China；2.Research Institute of Circular Economy of Bijie，Bijie 551700，China)

Abstract:Using Nevanlinna theory of the value distribution of meromorphic functions，the problem of the existence of solutions on the higher-order nonlinear algebraic differential equation is investigated.It is shown that the meromorphic solution of the differential equations system are all admissible or non admissible.Moreover，some more general results are deduced.

Keywords:differential equations systems；meromorphic function；admissible solution；Nevanlinna theory；value distribution

[文章編號]1000-1832(2016)02-0027-04

[收稿日期]2014-10-15

[基金項目]貴州省科學(xué)技術(shù)基金資助項目(2010GZ43286，2012GZ10526)；貴州省畢節(jié)市科研基金資助項目 ([2011]02)；貴州省教育廳科學(xué)技術(shù)基金重點(diǎn)資助項目([2015]392).

[作者簡介]金瑾(1962—)，男，教授，主要從事復(fù)分析研究.

[中圖分類號]O 174.52[學(xué)科代碼]110·41

[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]A

[DOI]10.16163/j.cnki.22-1123/n.2016.02.007