王　涵，那惠欣，張慶成

(東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130024)

一類雙色代數(shù)的構(gòu)造

王涵，那惠欣，張慶成

(東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130024)

[摘要]引入了Novikov色代數(shù)和Gel’fand-Dorfman雙色代數(shù)的概念，構(gòu)造了三類Gel’fand-Dorfman雙色代數(shù).

[關(guān)鍵詞]李代數(shù)；Novikov色代數(shù)；Gel’fand-Dorfman雙色代數(shù)

李色代數(shù)是李代數(shù)和李超代數(shù)的自然推廣，近年來(lái)逐漸成為數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家感興趣的課題并得到了許多研究成果.[1-11]共形超代數(shù)在弦理論和共形場(chǎng)理論中起著基本作用，文獻(xiàn)[12-15]系統(tǒng)地研究了共形超代數(shù)，得到其結(jié)構(gòu)、分類和表示的一系列成果.文獻(xiàn)[13]研究了二次共形超代數(shù)的分類，并證明了二次共形超代數(shù)和超Gel’fand-Dorfman雙代數(shù)是等價(jià)的，同時(shí)指出這類代數(shù)的徹底分類仍是一個(gè)挑戰(zhàn).受文獻(xiàn)[15]的啟發(fā)，我們把二次共形超代數(shù)推廣到更一般的情形，在一般情形下給出了Novikov色代數(shù)和Gel’fand-Dorfman雙色代數(shù)的概念，構(gòu)造了三類Gel’fand-Dorfman雙色代數(shù)，有助于我們了解這類代數(shù)的結(jié)構(gòu).

1Novikov色代數(shù)

設(shè)f是一個(gè)域，g是一個(gè)交換群，映射ε:g×g→f被稱為g上的反對(duì)稱特征標(biāo)，如果下列條件成立：

ε(f，g+h)=ε(f，g)ε(f，h)，f，g，h∈g；

(1)

ε(g+h，f)=ε(g，f)ε(h，f)，f，g，h∈g；

(2)

ε(g，h)ε(h，g)=1，g，h∈g.

(3)

不難得到，對(duì)任意的g∈g，ε(g，g)=±1，可以把g分解成兩個(gè)子集合：

g+={g∈g|ε(g，g)=1}；

g-={g∈g|ε(g，g)=-1}.

顯然g+是g的一個(gè)子群.當(dāng)g被定義了反對(duì)稱特征標(biāo)時(shí)，一個(gè)g-階化代數(shù)(或者一個(gè)g-階化向量空間)被稱為一個(gè)色代數(shù)(或者色向量空間).本文涉及的理想，子空間，子模都是色的.

[u，v]=-ε(u，v)[v，u]，

(4)

ε(w，u)[u，[v，w]]+ε(u，v)[v，[w，u]]+ε(v，w)[w，[u，v]]=0.

(5)

其中所有的元素都是齊次的，并且u，v，w∈L，ξ，η∈g.特別地，g={1，g}?Z2和ε(g，g)=-1給出了一個(gè)通常的李超代數(shù).

(u°v)°w=ε(v，w)(u°w)°v，

(6)

(u，v，w)=ε(u，v)(v，u，w).

(7)

其中(u，v，w)=(u°v)°w-u°(v°w)，u，v，w∈A，ξ，η∈g.

例1.1如果g={0}，即ε(0，0)=1，則每一個(gè)Novikov代數(shù)都是Novikov色代數(shù).

例1.3設(shè)A是一個(gè)色交換代數(shù)，滿足

u°v=ε(u，v)v°u.

則A是一個(gè)Novikov色代數(shù).

定義1.2設(shè)A是一個(gè)Novikov色代數(shù)，h是A的一個(gè)g-階化向量空間，滿足

其中g(shù)∈g.

(1)如果對(duì)所有的x∈A，y∈h，我們有x°y∈h，y°x∈h，則稱h為A的一個(gè)Novikov色子代數(shù).

(2)如果h°A?h，A°h?h，則稱h為A的一個(gè)Novikov色理想.

定義1.3設(shè)A是Novikov色代數(shù)，?∈(EndA)η，η∈g.如果?(Aξ)?Aξ+η，且

?(u°v)=?(u)°v+ε(u，v)u°?(v)，ε，η∈g，

則?被稱為次數(shù)為η的色導(dǎo)子；如果η∈g+，則稱?是一個(gè)偶導(dǎo)子；如果η∈g-，我們稱η為奇導(dǎo)子.

對(duì)于Novikov色代數(shù)(A，°)，我們?cè)贏上定義運(yùn)算[·，·]：

[A，b]=A°b-ε(A，b)b°A，A，b∈A.

(8)

2Gel’fand-Dorfman雙色代數(shù)

[w°u，v]-ε(u，v)[w°v，u]+[w，u]°v-ε(u，v)[w，v]°u-w°[u，v]=0，u，v，w∈A.

(9)

定理2.1設(shè)(A，°)是一個(gè)Novikov色代數(shù).則(A，[·，·]，°)(見(jiàn)(8)式)是一個(gè)Gel’fand-Dorfman雙色代數(shù).

證明不難驗(yàn)證(A，[·，·]，°)是一個(gè)李色代數(shù).對(duì)u，v，w∈A，利用(6)─(7)式有

[w°u，v]-ε(u，v)[w°v，u]+

[w，u]°v-ε(u，v)[w，v]°u-w°[u，v]=

(w°u)°v-ε(u+w，v)v°(w°u)-ε(u，v)(w°v)°u+

ε(w，u)u°(w°v)+(w°u)°v-

ε(w，u)(u°w)°v-ε(u，v)(w°v)°u+

ε(u+w，v)(v°w)°u-w°(u°v)+ε(u，v)w°(v°u)=

-ε(u+w，v)v°(w°u)+ε(w，u)u°(w°v)-ε(w，u)(u°w)°v+

ε(u+w，v)(v°w)°u+ε(u，v)w°(v°u)-w°(u°v)=

ε(u+w，v)((v°w)°u-v°(w°u))-

ε(w，u)((u°w)°v-u°(w°v))-

w°(u°v)+ε(u，v)w°(v°u)=

ε(u+w，v)(v，w，u)-ε(w，u)(u，w，v)-

w°(u°v)+ε(u，v)w°(v°u)=

ε(u，v)(w，v，u)-(w，u，v)-w°(u°v)+ε(u，v)w°(v°u)=

ε(u，v)(w°v)°u-ε(u，v)w°(v°u)-(w°u)°v+

w°(u°v)-w°(u°v)+ε(u，v)w°(v°u)=0，

從而(9)式成立.

設(shè)A是一個(gè)色交換結(jié)合代數(shù).用w(A)表示A的導(dǎo)子代數(shù)的集合，在w(A)上定義括積[·，·]為

[?1，?2]=?1?2-ε(?1，?2)?2?1，

(10)

(ad)(v)=ad(v)(A，v∈A，d∈w(A))

(11)

構(gòu)成一個(gè)左A-模.

令N=w(A)?A，在N上定義代數(shù)運(yùn)算[·，·]，“°”如下:

[d1+ξ1，d2+ξ2]=[d1，d2]+d1(ξ2)-ε(d1，d2)d2(ξ1)，

(12)

(d1+ξ1)°(d2+ξ2)=ε(d1，d2)ξ2d1+ξ1ξ2，

(13)

其中d1+ξ1，d2+ξ2∈N.

定理2.2代數(shù)(N，[·，·]，°)是一個(gè)Gel’fand-Dorfman雙色代數(shù).

證明不難驗(yàn)證(N，[·，·]，°)是一個(gè)李色代數(shù).設(shè)di+ξi∈N，i=1，2，3，有

((d1+ξ1)°(d2+ξ2))°(d3+ξ3)=(ε(d1，d2)ξ2d1+ξ1ξ2)°(d3+ξ3)=

ε(d1，d2)ε(d1+d2，d3)ξ3ξ2d1+ξ1ξ2ξ3，

(14)

ε(d2，d3)((d1+ξ1)°(d3+ξ3))°(d2+ξ2)=

ε(d2，d3)(ε(d1，d3)ξ3d1+ξ1ξ3)(d2+ξ2)=

ε(d2，d3)(ε(d1，d3)ε(d1+d3，d2)ξ2ξ3d1+ξ1ξ3ξ2)=

ε(d1+d2，d3)ε(d1+d3，d2)ε(d2，d3)ξ3ξ2d1+ε(d2，d3)ξ1ξ3ξ2=

ε(d1，d2)ε(d1+d2，d3)ξ3ξ2d1+ξ1ξ2ξ3.

(15)

上面兩個(gè)表達(dá)式意味著結(jié)合性

((d1+ξ1)°(d2+ξ2))°(d3+ξ3)=

ε(d2+d3)((d1+ξ1)°(d3+ξ3))°(d2+ξ2)，

(16)

而且有

((d1+ξ1)°(d2+ξ2))°(d3+ξ3)-(d1+ξ1)°((d2+ξ2)°(d3+ξ3))=

(ε(d1，d2)ξ2d1+ξ1ξ2)°(d3+ξ3)-(d1+ξ1)°(ε(d2，d3)ξ3d2+ξ2ξ3)=

ε(d1，d2)ε(d1+d2，d3)ξ3ξ2d1)-ε(d2，d3)ε(d1，d2+d3)ξ2ξ3d1=

ε(d1，d2+d3)ξ2ξ3d1(1-ε(d2，d3))，

(17)

ε(d2，d3)[((d1+ξ1)°(d3+ξ3))°(d2+ξ2)-(d1+ξ1)°((d3+ξ3)°(d2+ξ2))]=

ε(d2，d3)ε(d1，d3)ε(d1+d3，d2)ξ2ξ3d1-ε(d2，d3)ε(d1，d2+d3)ε(d3，d2)ξ2ξ3d1=

ε(d1，d2+d3)ξ2ξ3d1-ε(d1，d2+d3)ε(d2，d3)ξ2ξ3d1=

ε(d1，d2+d3)ξ2ξ3d1(1-ε(d2，d3)).

(18)

(17)─(18)式證明了(7)式中的第二個(gè)等式成立，因此(N，°)是一個(gè)Novikov色代數(shù).

下面我們驗(yàn)證相容性條件成立.

[(d3+ξ3)°(d1+ξ1)，d2+ξ2]-

ε(d1，d2)°[(d3+ξ3)°(d2+ξ2)，d1+ξ1]+

[d3+ξ3，d1+ξ1]°(d2+ξ2)-

ε(d1，d2)[d3+ξ3，d2+ξ2]°(d1+ξ1)-

(d3+ξ3)°[d1+ξ1，d2+ξ2]=

[ε(d1，d3)ξ3d3+ξ3ξ1，d2+ξ2]-

ε(d1，d2)°[ε(d2，d3)ξ2d3+ξ3ξ2，d1+ξ1]+

([d3，d1]+d3(ξ1)-ε(d1，d3)d1(ξ3))°(d2+ξ2)-

ε(d1，d2)°([d3，d2]+d3(ξ2)-ε(d2，d3)d2(ξ3))°(d1+ξ1)-

(d3+ξ3)°([d1，d2]+d1(ξ2)-ε(d1，d2)d2(ξ1))=

ε(d1，d3)ξ1[d3，d2]-ε(d1，d3)(d2，d1+d3)d2(ξ1)d3+

ε(d1，d3)ξ1d3(ξ2)-ε(d2，d1+d3)d2(ξ3ξ1)-

ε(d2，d1+d3)ξ2[d3，d1]+ε(d3，d1+d2)d1(ξ2)d3-

ε(d2，d1+d3)ξ2d2(ξ1)+ε(d1，d3)d1(ξ3ξ2)+

ε(d2，d1+d3)ξ2[d3，d1]+(d3(ξ1)-ε(d1，d3)d1(ξ3))ξ2-

ε(d1，d3)ξ1[d3，d2]-ε(d1，d2)(d3(ξ2)-ε(d2，d3)d2(ξ3))ξ1-

ε(d3，d1+d2)d1(ξ2)d3+ε(d1，d3)ε(d2，d1+d3)d2(ξ1)d3-

ξ3d1(ξ2)+ε(d1，d3)ξ3d2(ξ1)=0.

定義2.2一個(gè)李Poisson色代數(shù)A是一個(gè)g-階化向量空間有兩種代數(shù)運(yùn)算°和[·，·]，使得(A，°)是一個(gè)色交換結(jié)合代數(shù)，(A，[·，·])是一個(gè)李色代數(shù)，并滿足相容性條件

[u，v·w]=[u，v]·w+ε(u，v)v·[u，w]，u，v，w∈A.

(19)

設(shè)(A，[·，·])是一個(gè)Poisson色代數(shù)，w(A)是A的導(dǎo)子空間.假設(shè)d∈w(A)0滿足

d[u，v]=[d(u)，v]+[u，d(v)]+ξ[u，v]，u，v∈A，

(20)

其中ξ∈f是一常數(shù).現(xiàn)在我們?cè)贏上定義一個(gè)新的代數(shù)運(yùn)算·如下:

u·v=u°d(v)+ξu°v，u，v∈A.

(21)

定理2.3代數(shù)(A，[·，·]，·)是一個(gè)Gel’fand-Dorfman雙色代數(shù).

證明對(duì)于u，v，w∈A，有

(u·v)·w=(u°d(v)+ξu°v)·w=(u°d(v))·w+ξ(u°v)·w=

(u°d(v))°d(w)+ξ(u°d(v))°w+ξ(u°v)°d(w)+ξ2(u°v)°w，

ε(v，w)(u·w)·v=ε(v，w)(u°d(w)+ξu°v)·v=

ε(v，w)((u°d(w))°d(v)+ξ(u，d(w))°v+ξ(u°w)°d(v)+ξ2(u°w)°v=

(u°d(v))°d(w)+ξ(u，d(v))°w+ξ(u°v)°d(w)+ξ2(u°v)°w，

從而(6)式成立.可以類似證明(7)式的正確性，因此(A，·)是一個(gè)Novikov色代數(shù).

進(jìn)一步，對(duì)于u，v，w∈A，有

[w·u，v]-ε(u，v)[w·v，u]+

[w，u]·v-ε(u，v)[w，v]·u-w·[u，v]=

[w°(d+ξ)(u)，v]-ε(u，v)[w°(d+ξ)(v)，u]+

[w，u]°(d+ξ)(v)-ε(u，v)[w，v]°(d+ξ)(u)-w°(d+ξ)[u，v]=

[w°d(u)，v]-ε(u，v)[w°d(v)，u]+[w，u]°d(v)-

ε(u，v)[w，v]°d(u)+ξ([w°u，v]-ε(u，v)[w°v，u]+

[w，u]°v-ε(u，v)[w，v]°u)-w°([d(u)，v]+[u，d(v)]+2ξ[u，v])=0.

因此(A，[·，·]，·)是一個(gè)Gel’fand-Dorfman雙色代數(shù).

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(責(zé)任編輯：李亞軍)

The structure of a kind of double color algebra

WANG Han，NA Hui-xin，ZHANG Qing-cheng

(School of Mathematics and Statistics，Northeast Normal University，Changchun，130024，China)

Abstract:The concepts of Novikov color algebra and color Gel’fand-Dorfman double algebra are introduced.Meanwhile，three types of color Gel’fand-Dorfman double algebra are constructed.

Keywords:Lie algebra；Novikov color algebra；color Gel’fand-Dorfman double algebra

[文章編號(hào)]1000-1832(2016)02-0001-05

[收稿日期]2014-10-21

[基金項(xiàng)目]國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11471090);吉林省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(20130101068JC).

[作者簡(jiǎn)介]王涵(1990—)，女，碩士，主要從事李理論研究；通訊作者:張慶成(1960—)，男，博士，教授，主要從事李理論研究.

[中圖分類號(hào)]O 152.5[學(xué)科代碼]110·2130

[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]A

[DOI]10.16163/j.cnki.22-1123/n.2016.02.001