蘭　蓉, 朱倩瀾

(西安郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院， 陜西 西安 710121)

改進(jìn)的Vague值相似度及多準(zhǔn)則決策方法

蘭蓉, 朱倩瀾

(西安郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院， 陜西 西安 710121)

摘要:為了區(qū)分Vague值的相似性，提出一種基于Vague值的區(qū)間中點(diǎn)值的相似度量?？紤]隸屬度與非隸屬度間的運(yùn)算關(guān)系,構(gòu)成區(qū)間中點(diǎn)值，在基于Vague值相似度量的公理化條件的基礎(chǔ)上，將隸屬度、非隸屬度及Vague值的區(qū)間中間值3個(gè)因素結(jié)合起來，構(gòu)成了一個(gè)改進(jìn)的相似度量公式。與已有的相似度量進(jìn)行仿真比較，結(jié)果表明該度量能有效區(qū)分Vague值數(shù)據(jù)。將該度量應(yīng)用于多準(zhǔn)則決策問題，實(shí)例驗(yàn)證了該度量的有效性。

關(guān)鍵詞:Vague值；相似性；相似度量；多準(zhǔn)則決策

Vague集理論[1]描述了元素支持或反對隸屬集合的證據(jù)，并且考慮了除支持和反對以外的未知部分。因此，對于不確定信息，Vague集理論可以對考察對象進(jìn)行準(zhǔn)確的描述。若要將Vague集理論應(yīng)用于實(shí)踐中，相似度量是必不可少的工具。Vague值的相似度量公式可以區(qū)分Vauge值間的相似性，在信息處理及選擇、模式識別等領(lǐng)域中發(fā)揮了積極的作用。

結(jié)合Vague值的定義及隸屬度和非隸屬度間的運(yùn)算關(guān)系，成為構(gòu)造相似度量公式重要方法。文獻(xiàn)[2]提出基于記分函數(shù)的相似度量，為研究新的度量及應(yīng)用提供了方法，但該度量無法完全滿足相似度量的公理化條件。文獻(xiàn)[3]提出的相似度量公式滿足了公理化條件，但對Vague值的相似性的區(qū)分能力較弱。文獻(xiàn)[4]通過Vague值間的運(yùn)算得到新的真、假隸屬度以及記分函數(shù)，并對這些參數(shù)加權(quán)平均，但未充分地考慮每個(gè)參數(shù)的權(quán)重，使得對數(shù)據(jù)區(qū)分不夠準(zhǔn)確。文獻(xiàn)[5]中的度量結(jié)合了Vague值的真假隸屬度，猶豫度以及記分函數(shù)，較文獻(xiàn)[3]有所改進(jìn)，但仍無法區(qū)分普遍Vague值。文獻(xiàn)[6]提出相似度量是基于最大最小值，不確定性較大，使得對數(shù)據(jù)區(qū)分不合理。文獻(xiàn)[7]的公式較已有的相似度量公式有所改進(jìn)，但對于一些特殊Vague值的相似性仍無法區(qū)分。本文將針對已有的相似度量無法有效區(qū)分Vague值的相似性的不足，參考已有的度量，在綜合分析相似度量函數(shù)公理化條件的基礎(chǔ)上，把真隸屬度、假隸屬度與區(qū)間中點(diǎn)相結(jié)合，構(gòu)成一個(gè)基于區(qū)間中點(diǎn)的改進(jìn)相似度量公式，并參考文獻(xiàn)[7]和文獻(xiàn)[8]中的多準(zhǔn)則決策方法，將改進(jìn)的度量應(yīng)用于多準(zhǔn)則模糊決策中。

1Vague值(集)的相關(guān)知識

定義1[1]已知論域U(非空集合)，x是論域U中元素，論域U上的Vague集A是由x分別通過隸屬函數(shù)tA:U→[0,1]和fA:U→[0,1]映射得到真、假隸屬度數(shù)對集，即A可定義為

A={〈x,tA(x),fA(x)〉: x∈U}。

其中，0≤tA(x)+fA(x)≤1(x∈U)。稱tA(x)為Vague集A的真隸屬函數(shù)，即支持x屬于A的證據(jù)的隸屬度下界；稱fA(x)為Vague集A的假隸屬函數(shù)，表示反對x屬于A的證據(jù)的隸屬度下界。稱

πA(x)=1-tA(x)-fA(x)

為猶豫度。顯然，0≤πA(x)≤1。

定義2[1]若x∈U，則稱[tx,1-fx]為Vague值，記為x=[tx,1-fx]，tx為x的真隸屬度，fx為x的假隸屬度。

設(shè)x=[tx,1-fx]和y=[ty,1-fy]為2個(gè)Vague值，那么，x和y之間具有如下運(yùn)算關(guān)系。

x≤y ? tx≤ty,且fx≥fy,

x=y ? tx=ty,且fx=fy。

x∨y=[max{tx,ty},max{1-fx,1-fy}],

x∧y=[min{tx,ty},min{1-fx,1-fy}]。

2Vague值間改進(jìn)的相似度量公式

2.1Vague值相似度量的公理化條件

定義相似度量的公理化條件如下。

定義3若x=[tx,1-fx]，y=[ty,1-fy]，z=[tz,1-fz]為Vague值，則相似度量I(x,y)應(yīng)滿足條件

(1) 0≤I(x,y)≤1。

(2) I(x,y)=I(y,x)。

(4) I(x,y)=1當(dāng)且僅當(dāng)x=y。

(5) I(x,y)=0當(dāng)且僅當(dāng)

x=[1,1]且y=[0,0]，

或者

x=[0,0]且y=[1,1]。

(6) 如果x≤y≤z，那么

I(x,z)≤min{I(x,y),I(y,z)}。

2.2基于區(qū)間中點(diǎn)的Vague值相似度量

Vague值實(shí)質(zhì)上是區(qū)間[0,1]的1個(gè)子區(qū)間，比較2個(gè)Vague值的相似性，亦即比較2個(gè)區(qū)間段相似性，且Vague值之間具有運(yùn)算關(guān)系。因此，可以根據(jù)這種運(yùn)算關(guān)系改進(jìn)相似度量函數(shù)。本文將給出包含區(qū)間中點(diǎn)的相似度量公式，達(dá)到改進(jìn)相似度量的效果。

定理1設(shè)x=[tx,1-fx]和y=[ty,1-fy]為2個(gè)Vague值，它們之間的相似度量公式定義為

(1)

其中

證明只需證明式(1)滿足定義3即可。

(1) 因?yàn)?≤3|tx-ty|≤2+tx+ty，所以

同理可得

因此

亦即

0≤Inew(x,y)≤1。

(2) 將x,y代入公式即可證

Inew(x,y)=Inew(y,x)。

(3) 通過計(jì)算可知

將其分別代入式(1)中，即

(4) 若Inew(x,y)=1，則

而當(dāng)x≠y時(shí)，有

|tx-ty|>0,2+tx+ty>0,

|fx-fy|>0,2+fx+fy>0,

|mx-my|>0,2+mx+my>0。

所以，Inew(x,y)=1當(dāng)且僅當(dāng)x=y。

(5) 若Inew(x,y)=0，則

又因?yàn)?/p>

而且

0≤tx+fx≤1,0≤ty+fy≤1。

所以只可能同時(shí)成立

另因

0≤|tx-ty|≤1,

0≤|fx-fy|≤1,

0≤|mx-my|≤1,

所以,必然同時(shí)成立

|tx-ty|=1,

|fx-fy|=1,

|mx-my|=1。

所以，Inew(x,y)=0當(dāng)且僅當(dāng)

x=[1,1], 且y=[0,0],

或者

x=[0,0],且y=[1,1]。

(6) 如果x≤y≤z，亦即x?y?z，則

tx≤ty≤tx，

fx≥fy≥fz,

mx≤my≤mz。

由式(1)得

Inew(x,y)-Inew(x,z)=

亦即

Inew(x,y)≥Inew(x,z)。

同理可證

Inew(y,z)≥Inew(x,z)。

因此成立

Inew(x,z)≤min {Inew(x,y),Inew(y,z)}。

綜上可知，式(1)滿足定義3，是Vague值之間的一種相似度量。

3數(shù)據(jù)分析和比較

為了驗(yàn)證本文相似度量公式的性能，以Matlab2011為實(shí)驗(yàn)工具，選取具有代表性的數(shù)據(jù)，將已有的相似度量公式IC(x,y)[2]，IDWB(x,y)[7]，ILYH(x,y)[9]，IFJL(x,y)[10]，IXFS(x,y)[11]，IJW(x,y)[12]，ICJM(x,y)[13]和Inew(x,y)進(jìn)行對比仿真，將能否區(qū)分Vague值的相似性作為判斷指標(biāo)。對比結(jié)果如表1所示。

由表1可見，由相似度量公式IC(x,y)算得[0,1]和[0.5,0.5]與[0.5,0.8]和[0.4,0.9]這2組Vague值的相似性為1，與定義3中的條件(4)不相符。ILYH(x,y)對于Vague值[0,1]和[0.5,0.5]與[0.5,0.5]和[1,1]的相似性,以及Vague值[0.5,0.8]和[0.4,0.9]與[0.5,0.8]和[0.4,0.7]的相似性沒有區(qū)分。IJW(x,y)和IDWB(x,y)較已有公式有所改善，但均未區(qū)分Vague值在[0,0]和[0,1]與[0,1]和[1,1]相似性，且公式復(fù)雜，不便于求解。已有公式均未將Vague值[0,0]和[0,1]與[0,1]和[1,1]的相似性,以及Vague值[0.5,0.5]和[1,1]與[0,0]和[0.5,0.5]的相似性區(qū)分，而Inew(x,y)可以對上述數(shù)據(jù)有效區(qū)分。

表1　不同相似度量公式之間兩個(gè)Vague值的對比

綜上所述，Inew(x,y)在滿足相似度量公理化條件的前提下，對Vague值數(shù)據(jù)的區(qū)分更為有效。

4多準(zhǔn)則模糊決策的實(shí)例分析

為進(jìn)一步說明Inew(x,y)的有效性，將其應(yīng)用于多準(zhǔn)則決策的研究。

4.1多準(zhǔn)則模糊決策的相關(guān)知識

已知決策方案集A={A1,A2,…,Am},約束條件集C={C1,C2,…,Cn}，決策方案集矩陣Am×n為

其中，tij表示Ai屬于約束集Cj的程度，fij表示Ai不屬于約束集Cj的程度,且

0≤tij+fij≤1(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)。

在約束條件Cj下，理想方案集為

V={(C1,V1),(C2,V2),…,(Cn,Vn)}。

(2)

其中

(C1,V1)={Cj,[t1j,1-f1j]∧(∨)

[t2j,1-f2j]∧(∨)…

∧(∨)[tmj,1-fmj]}(j=1,2,…,n),

而∧或∨取決于實(shí)際情況以及約束條件集Cj。

4.2最優(yōu)決策的線性規(guī)劃模型

在實(shí)際中，約束條件集中的各個(gè)條件的重要性不同。因此，對于約束條件集C，需要根據(jù)其重要性給予權(quán)值，設(shè)約束集的權(quán)值分別為w1,w2,…,wn。

設(shè)約束條件Cj的Vague值為[ρj,1-τj]，記

采用最優(yōu)決策的線性規(guī)劃模型[7]

WC(Ai)=w1I(Ai1,V1)+w2I(Ai2,V2)+

…+wmI(Aim,Vm)。

(3)

其中

w1+w2+…+wn=1。

WC(Ai)的值越大，表明決策方案越好。

4.3實(shí)例分析

設(shè)有3種汽車品牌A1,A2和A3，方案集可表示為

A={A1,A2,A3}。

假設(shè)在選擇過程中僅需要考慮性能、外觀及安全性等3種約束條件，約束集可表示為

C={C1，C2，C3}。

為了驗(yàn)證公式(1)的準(zhǔn)確性，采用文獻(xiàn)[7]的實(shí)例數(shù)值。w1,w2,w3分別為約束集的權(quán)值。

已知方案Ai滿足約束條件Cj的矩陣A3×3為

約束條件Cj(j=1,2,3)為

[ρj,1-τj]j=([0.25,0.75],

[0.35,0.60],[0.30,0.35])。

由實(shí)際情況可知，在選購汽車時(shí)，性能、外觀及安全性都為重要因素，理想方案集應(yīng)該盡量滿足約束條件集。因此，取算子為“∨”理想方案集，取算子“∧”為負(fù)理想方案集。

取算子“∨”，由式(2)得理想方案集

V=([0.80,0.90],[0.75,0.95],

[0.80,0.80])。

根據(jù)改進(jìn)的相似度量式(1)可得，各備選方案Aij與理想方案V的相似性構(gòu)成矩陣

且由Cj可得線性規(guī)劃模型

0.25≤w1≤0.75,

0.35≤w2≤0.60,

0.30≤w3≤0.35，

w1+w2+w3=1。

為了便于比較實(shí)驗(yàn)結(jié)果，權(quán)值與文獻(xiàn)[7]中取值一樣，即取

w1=0.25, w2=0.45, w3=0.30。

由于

WC(A1)=0.975 2×0.25+0.797 6×0.45+

1×0.30=0.902 7,

WC(A2)=0.967 0×0.25+0.867 3×0.45+

0.661 9×0.30=0.830 6,

WC(A3)=0.597 6×0.25+1×0.45+

0.842 4×0.30=0.852 1，

根據(jù)計(jì)算結(jié)果可知，方案A1是最優(yōu)方案。

取算子“∧”，由式(2)可得負(fù)理想方案

V′=([0.40,0.55],[0.60,0.75],

[0.45,0.50])。

由相似度量公式Inew(x,y)可得，備選方案Aij與負(fù)理想方案V′的似相性構(gòu)成矩陣

同樣，為了便于分析，取權(quán)值

w1=0.25, w2=0.45, w3=0.30。

由于

WC(A1)=0.622×0.25+1×0.45+

0.661 9×0.30=0.804 1,

WC(A2)=0.63×0.25+0.930 1×0.45+

1×0.30=0.876 0,

WC(A3)=1×0.25+0.797 6×0.45+

0.818 5×0.30=0.854 4，

根據(jù)計(jì)算結(jié)果可知，方案A2為負(fù)理想方案集。

綜上所述，方案A1為最優(yōu)方案與文獻(xiàn)[7]中的結(jié)果一致，且得到了負(fù)理想方案集A2。本文的方法不但改進(jìn)了相似度量公式，并且通過實(shí)例驗(yàn)證了相似度量公式Inew(x,y)的有效性。

5結(jié)語

在已有相似度量公式的基礎(chǔ)上，構(gòu)成一種結(jié)合Vague值的區(qū)間中點(diǎn)的相似度量公式，論證了改進(jìn)相似度量函數(shù)滿足相似度量的公理化條件。對比仿真結(jié)果表明，改進(jìn)的相似度量公式對數(shù)據(jù)相似性的區(qū)分比已有的相似度量公式好，將其應(yīng)用于多準(zhǔn)則模糊決策中，可以驗(yàn)證改進(jìn)的相似度量公式是有效的。

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[責(zé)任編輯:祝劍]

Improvedsimilaritymeasurementonvaguevalueandthemulti-criteriadecisionmakingmethod

LANRong,ZHUQianlan

(SchoolofCommunicationandInformationEngineering,Xi’anUniversityofPostsandTelecommunications,Xi’an710121,China)

Abstract:In order to compare the similarity of vague values, a similarity measure formula including the medium value of vague is proposed. Considering the relational operator of vague values, based on the axiomatic definitions of similarity measurement, a new similarity measure formula is formed to combine the degree of membership, fake degree of membership, and the medium of vague value. Compared with existing similarity measurements, the new formula can effectively distinguish vague values. When the new formula is applied to multiple criteria decision, its effectiveness can be verified through case analysis.

Keywords:vague value， the similarity of vague value， similarity measure， multiple criteria decision

doi:10.13682/j.issn.2095-6533.2016.03.018

收稿日期：2015-12-28

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61571361)；陜西省科技計(jì)劃資助項(xiàng)目(2014KJXX-72)；陜西省教育廳科學(xué)研究計(jì)劃資助項(xiàng)目(15JK1658)

作者簡介：蘭蓉(1977-)，女，博士，副教授，從事決策分析及圖像處理研究。E-mail：ronglanlogic@163.com 朱倩瀾(1990-)，女，碩士研究生，研究方向?yàn)樾虃蓤D像處理。E-mail：244691953@qq.com

中圖分類號：TN911.7

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：2095-6533(2016)03-0105-06