彭翕成

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數(shù)學(xué)科普與數(shù)學(xué)教研

彭翕成

有觀點(diǎn)認(rèn)為，科普書籍是可有可無的課外讀物，看看更好，開闊眼界；沒時(shí)間，不看也沒關(guān)系。還有觀點(diǎn)認(rèn)為，科普書籍是給中小學(xué)生看的，主要是以激發(fā)學(xué)習(xí)興趣為目的；中小學(xué)老師沒必要看，學(xué)不到東西。

對(duì)以上兩種看法，筆者認(rèn)為都有待商榷。以筆者十多年的研究經(jīng)驗(yàn)來看，若對(duì)數(shù)學(xué)科普加以重視，精選一些材料，數(shù)學(xué)科普能對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)起到積極的促進(jìn)作用，不單是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，對(duì)老師更深刻地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)、講好數(shù)學(xué)也有幫助。

一、教材PK科普書籍

平時(shí)教學(xué)，最為重要的資料就是教材。那么教材和科普書籍有何差別？先來看一個(gè)具體案例。

例1函數(shù)教學(xué)。

關(guān)于函數(shù)性質(zhì)的整理，教材（或教輔）常出現(xiàn)這樣的表格（如圖1），而科普書籍中則可能如圖2所示。前者規(guī)范而死板，后者隨意而活潑。

圖1

圖2

彭翕成讀者QQ群：306162497，博客：http: //blog.sina.com.cn/pxc417。

通過對(duì)比，我們?nèi)菀卓闯鼋滩暮涂破諘牟顒e。教材是很多專家（包括數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家、教研員、一線教師等）集體智慧的結(jié)晶，以課程標(biāo)準(zhǔn)為依據(jù)，反復(fù)修改，千錘百煉而成。科普書籍則常常是科普作家的個(gè)人作品（也有少量是集體創(chuàng)作的，如《十萬個(gè)為什么》），無需依賴大綱、課標(biāo)，也沒人審查，寫作時(shí)可天馬行空，自由發(fā)揮。教材因?yàn)橐?jīng)過相關(guān)部門的嚴(yán)格審查，聽取各方面人士的不同意見，每一處都要字斟句酌，所以最后呈現(xiàn)出來的是一個(gè)極為規(guī)范的面孔，換一個(gè)角度而言，就是顯得有點(diǎn)死板?？破諘?yàn)闆]受到什么束縛，顯得隨意，給人的感覺是更活潑，更有生氣。

筆者也參與過一些教材的編寫，深知其難，并不是教材編寫者寫不出精彩有趣的內(nèi)容，而是顧慮太多，難以發(fā)揮。中學(xué)老師若看看教材編委們的其他一些書籍，你會(huì)從那些書籍里看到不一樣的暢所欲言的編委。基于教材和科普書籍各自的特點(diǎn)，老師們教學(xué)應(yīng)以教材為基準(zhǔn)，因?yàn)榻滩牡囊?guī)范性是其他書籍所不具備的。適當(dāng)加入科普書籍中的有趣素材，能調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)節(jié)課堂氣氛，真正做到“用教材教”而不是“教教材”。

二、教材融合科普：我的科普觀

傳統(tǒng)的科普書籍作為課外讀物出現(xiàn)，大多選取一些趣味故事，怎么有趣怎么來，借以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，出發(fā)點(diǎn)是好的。很多科學(xué)家談起自己中學(xué)時(shí)期時(shí)，也會(huì)提及當(dāng)時(shí)看了某本課外書，很有意思，于是發(fā)憤圖強(qiáng)，走上了科研之路。但考慮到當(dāng)前教育的現(xiàn)狀，科普的創(chuàng)作，或者說科普素材的選用，還得作一些調(diào)整，因?yàn)橛行┤の豆适驴赡芘c課堂上學(xué)的數(shù)學(xué)有較遠(yuǎn)的差距。

筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)科普不應(yīng)僅僅定位為課外讀物，應(yīng)該發(fā)揮更大的作用，可嘗試將數(shù)學(xué)科普和課堂內(nèi)的知識(shí)結(jié)合，除了讓學(xué)生喜歡上數(shù)學(xué)，還能切切實(shí)實(shí)提高學(xué)生的成績(jī)。有人將科普總結(jié)為四句話：立足于科，著眼于普，給人以趣，授人以技。科學(xué)是基礎(chǔ)，普及是目的，趣味是手段，授技是關(guān)鍵。只講趣味，不講扎實(shí)內(nèi)容，不就成聽相聲了么？有時(shí)我也反思，科普就是以趣味性見長(zhǎng)，一定要它擔(dān)負(fù)教育的責(zé)任，擔(dān)負(fù)得起么？就像郭德綱所說，聽相聲就是得一樂，非得有什么教育意義么？但我還是想試一試。

大家對(duì)牛頓蘋果砸頭、高斯倒序相加的故事一定很熟悉。這就是科普資料反復(fù)宣傳的結(jié)果。但仔細(xì)分析，我們發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)故事雖然都是名人軼事，但對(duì)學(xué)習(xí)而言，意義不同。我們很難從蘋果砸頭中學(xué)習(xí)到什么，而聽過1+2+3+…+100的故事之后，倒序相加的思想就在其中了。很多小學(xué)生都會(huì)計(jì)算前n個(gè)自然數(shù)相加，并不需要等到高中學(xué)了等差數(shù)列。

我們不排斥牛頓蘋果砸頭的故事，但我們更需要高斯倒序相加的故事，因?yàn)楹笳吲c教學(xué)聯(lián)系更緊密。將數(shù)學(xué)科普和數(shù)學(xué)教育相結(jié)合，是希望將趣味性和知識(shí)性相結(jié)合。這種想法由來已久。

不少老師上公開課前來問我，這個(gè)知識(shí)點(diǎn)有什么趣事么？最好是我一講學(xué)生就有興趣的。我知道，他們希望的是“國王與象棋”一類的故事，以此吸引學(xué)生?！皣跖c象棋”，原本是在科普書上的，后被人引進(jìn)課堂，成為經(jīng)典。這反映老師們本身有借助科普輔助教學(xué)的想法，只是找不到合適的材料。

如果能以中小學(xué)知識(shí)點(diǎn)為線索，編排一套趣味科普，為中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)服務(wù)，這是一件大好事。筆者在這方面做了一些工作，與人合編了《課本上學(xué)不到的數(shù)學(xué)》（小學(xué)、初中），《不等式探秘》等，但還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，甚至連教材上基本的知識(shí)點(diǎn)都沒有完全覆蓋。這是一個(gè)浩大的工程，需要大家共同努力。那我們可以從哪些方面下手呢？

三、讓數(shù)學(xué)變有趣，大家一起行動(dòng)

科普創(chuàng)作并不是高不可攀，遙不可及的。一個(gè)優(yōu)秀的老師，常常會(huì)想辦法幫助學(xué)生更好地理解，譬如用生活實(shí)例，打比方等。這其實(shí)就是一種科普。

如果有意進(jìn)一步走向科普，將科普融入課堂，建議分三步走。

第一步：廣泛閱讀科普書籍，積累可以直接使用的案例。

第二步：通過閱讀，反思，將科普資料上的案例改造，使之能夠進(jìn)入課堂。

第三步：時(shí)刻留心，尋找可以進(jìn)入課堂的科普素材，自我創(chuàng)作。

簡(jiǎn)而言之，就是照搬、改造、創(chuàng)作三階段。

第一步：照搬。因?yàn)橛糜诮虒W(xué)的素材并不要求一定是老師原創(chuàng)，適用就好。在目前出版的資料中，已有大量案例可直接用于教學(xué)。

例2完全平方公式。

講平方和公式，最經(jīng)典的莫過于面積證法（圖3）。但這并不排除其他的講述方式。譬如要強(qiáng)調(diào)（a+ b）2≠a2+b2，可講述故事：

有一個(gè)老人很喜歡小朋友去他家玩，去的人越多他越高興。他還立下一個(gè)規(guī)矩：每次發(fā)給小朋友的糖和來的小朋友個(gè)數(shù)一樣多。譬如你一個(gè)人來，只能得到一個(gè)糖。如果帶一個(gè)小朋友來，你倆可以各得兩個(gè)糖。

第一天，a個(gè)男孩一起來，每人得a個(gè)糖。他們走之后，來了b個(gè)女孩，每人得b個(gè)糖。算起來這一天這些小朋友總共得a2+b2個(gè)糖。第二天，a個(gè)男孩和b個(gè)女孩一起來，總共得（a+b）2個(gè)糖。

你想想看，這兩天小朋友得的糖是一樣多的嗎？第二天比第一天，每個(gè)男孩多得b個(gè)糖，因?yàn)橛衎個(gè)女孩一起來，于是所有男孩一共多得ab個(gè)糖。因?yàn)橛衋個(gè)男孩一起來，于是所有女孩一共多得ab個(gè)糖。所以（a+b）2=a2+b2+2ab。（對(duì)照?qǐng)D3，可清楚地看到，多出的糖其實(shí)對(duì)應(yīng)著兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積）

圖3

例3段子手也要學(xué)點(diǎn)數(shù)學(xué)：函數(shù)怎么講？

函數(shù)是比較抽象的概念，教學(xué)時(shí)需要使初學(xué)者明白函數(shù)是用來刻畫兩個(gè)變量之間的相依關(guān)系。明白一個(gè)變量變化，另一個(gè)變量也隨之變化?？蓢L試讓學(xué)生閱讀。

這是網(wǎng)上流傳的段子，說的是女人沒有自主地位，主要由男人決定其地位。道理上并沒有太大新意，只是俗語“嫁雞隨雞，嫁狗隨狗”的另一說法罷了?！凹揠u隨雞，嫁狗隨狗”原本應(yīng)作“嫁乞隨乞，嫁叟隨叟”，后來在流傳過程中發(fā)生了變化，意為一個(gè)女人即使嫁給乞丐和老人也要隨其生活一輩子。宋代筆記作家莊季裕著有《雞肋編》，其中一則是：“杜少陵《新婚別》云‘雞狗亦得將’。世謂諺云‘嫁得雞逐雞飛，嫁得狗逐狗走’之語也。”

而將此與數(shù)學(xué)相連，所見最早的是1933年出版的《數(shù)學(xué)的園地》，作者是著名科普作家劉薰宇。劉先生在講函數(shù)的時(shí)候認(rèn)為：科學(xué)上所用名詞，板著面孔定義，太乏味了。什么是函數(shù)，可以這樣講：

戲文中有這樣的故事：某書生娶了富家千金，常被老婆教訓(xùn)。后來進(jìn)京趕考當(dāng)了官，衣錦還鄉(xiāng)?？墒撬睦掀胚€是那么神氣。他很納悶，我窮的時(shí)候你向我擺架子，現(xiàn)在我當(dāng)官了，你怎么還向我擺架子？老婆回答很巧妙，虧你還是讀書人，連水漲船高的道理都不懂嗎？

船的地位高低是隨著水的漲落發(fā)生變化。用數(shù)學(xué)語言就是，船的地位是水的漲落的函數(shù)。同理，女人是男人的函數(shù)。從大的方面講，在家從父，出嫁從夫，夫死從子；從細(xì)的方面講，女人一生下來，若父親是官僚政客，她就是千金小姐；若父親挑糞擔(dān)水，她就是丫頭。這個(gè)地位一直到她嫁人才得以改變。她若嫁的是大官僚，她變成了夫人；嫁的是小官僚，她便是太太；嫁的是教書匠，她便是師母；嫁的是生意人，她便是老板娘；嫁的是x，她便是y；y總隨x改變，自己全然不能做主。這和水漲船高不就是一樣的么？

劉薰宇先生以舊社會(huì)婦女沒地位（此處要說明：現(xiàn)在女性地位是很高的），處處要服從男人這個(gè)事實(shí)，作為從屬關(guān)系的例子，把“一個(gè)變化另一個(gè)也跟著變”的道理說得幽默生動(dòng)。不管是數(shù)學(xué)教育工作者還是段子手，遇到這樣的科普材料，他看得進(jìn)去，也會(huì)有所收益。

第二步：改造。由于原來科普創(chuàng)作的初衷并不是完全為教育教學(xué)服務(wù)，有些科普素材進(jìn)入課堂還需要加以改造。像“女人是男人的函數(shù)”這樣與現(xiàn)代時(shí)勢(shì)不相符的案例需要加以改造，否則女同學(xué)聽了可能會(huì)不高興，甚至告狀，認(rèn)為老師看不起女性。還有些科普資料上的素材存在不科學(xué)性，這也是科普不如教材規(guī)范之處，需要我們加以辨別。

例4差之毫厘，謬以千里，近似計(jì)算要小心。有科普資料介紹費(fèi)馬大定理的最新進(jìn)展：存在大于2的整數(shù)n，使得an+bn=cn成立。不信，用幾何畫板做計(jì)算試試（圖4）。這是不是有圖有真相呢？其實(shí)不然，使用精度更高的計(jì)算工具，容易發(fā)現(xiàn)問題所在（圖5）。事實(shí)上，不用計(jì)算機(jī)，我們也能發(fā)現(xiàn)其錯(cuò)誤。分子是個(gè)奇數(shù)，分母是個(gè)偶數(shù)，怎么可能相等？

精度不夠，還會(huì)“發(fā)現(xiàn)”圓周率是有理數(shù)，計(jì)算試試：33102π≈103993.0000，多保留幾位小數(shù)就會(huì)發(fā)現(xiàn)：33102π≈103993.000019。

為什么科普資料上有這樣的錯(cuò)誤？調(diào)查發(fā)現(xiàn)，相當(dāng)部分是由于國外流行愚人節(jié)，很多人會(huì)把一些容易混淆的結(jié)論在那一天公布出來，第二天澄清。而有些人只看到那個(gè)“愚人”的結(jié)果，沒看到澄清，于是以訛傳訛。將這樣有錯(cuò)的材料譬如本案例用于教學(xué)，就可以提醒學(xué)生們注意近似結(jié)果和精確結(jié)果之間也許只相差毫厘，但些許差別會(huì)導(dǎo)致根本性質(zhì)的變化。

圖4

圖5

例5多項(xiàng)式形式的素?cái)?shù)公式的背景。

一些資料中有這樣的段落：“是否對(duì)一切正整數(shù)n，n2+n+41都是素?cái)?shù)？當(dāng)n=1，2，3，…，39時(shí)，n2+n+41都是素?cái)?shù)。是否可以確定對(duì)于一切n，n2+n+41都是素?cái)?shù)呢？如果就此下結(jié)論，那就犯了以偏概全的錯(cuò)誤。事實(shí)上，402+40+41=412，412+41+41=41×43都是合數(shù)。”

編寫者的意圖常常是為了說明使用歸納法要謹(jǐn)慎，不能妄下判斷，從另一角度說明了數(shù)學(xué)歸納法的重要性和科學(xué)性。

假如你看到這個(gè)問題，會(huì)不會(huì)從1到40去試驗(yàn)?zāi)?？絕對(duì)不會(huì)，至少筆者不會(huì)這樣做，太繁瑣了。對(duì)于f（x）=x2+x+M，當(dāng)x=M時(shí)是合數(shù)是顯然的。對(duì)于這樣簡(jiǎn)單的推理，一般人都能輕松做到，又怎會(huì)一個(gè)個(gè)去試？所以這樣的材料進(jìn)入課堂還需要改造加工。

筆者猜測(cè)：類似n2+n+41的素?cái)?shù)公式流傳甚廣，恐怕這樣的素?cái)?shù)公式還是有背景的。查閱史料發(fā)現(xiàn)，果然如此。當(dāng)初歐拉研究類似n2+n+41這樣的式子，并不是一個(gè)數(shù)一個(gè)數(shù)那樣驗(yàn)算的。歐拉超凡的計(jì)算能力，敏銳的數(shù)學(xué)直覺，在數(shù)學(xué)史上都是有名的。歸納法常常是在問題無法一下子看清，慢慢試探時(shí)使用。而對(duì)于簡(jiǎn)單問題，能夠一次性分析解決不是更好么？有興趣的讀者可參看《談?wù)劧囗?xiàng)式形式的素?cái)?shù)公式》（《數(shù)學(xué)通訊》2010年第18期）。

第三步：創(chuàng)作。創(chuàng)作并不是遙不可及的事情，在我們身邊就有很多的好素材，適當(dāng)加工，就可以寫成科普文章，用于課堂。

例6有解還是無解，給出理由來。

網(wǎng)絡(luò)上流傳一題：如圖6，添加一條直線，將一個(gè)五邊形分成兩個(gè)三角形。

此題所謂的標(biāo)準(zhǔn)答案就是劃一條粗線（圖7）。而數(shù)學(xué)中的直線是沒有寬度的，這個(gè)答案讓很多人無法接受。那么此題有沒有其他解呢？

需要注意：不能以自己做不出來就判定問題無解。一個(gè)問題有解，我們就要把解求出來，若無解，則需要說明為何無解，是題目條件自相矛盾，還是題目條件不足。譬如證明三角形全等，邊邊角能不能稱為定理？如果說能，給出證明，如果說不能，舉出反例。

此題不按常理出牌，但如果仔細(xì)分析，也能作為教學(xué)的素材。從角的角度分析，添加一條線，并不會(huì)改變內(nèi)角和，兩個(gè)三角形內(nèi)角和360°，而這已經(jīng)是540°。矛盾！

圖6

圖7

例7負(fù)數(shù)運(yùn)算與六尺巷。

清康熙年間，張英的老家人與鄰居吳家在宅基的問題上發(fā)生了爭(zhēng)執(zhí)，因兩家宅地都是祖上基業(yè)，時(shí)間又久遠(yuǎn)，對(duì)于宅界誰也不肯相讓。雙方將官司打到縣衙，又因雙方都是官位顯赫、名門望族，縣官也不敢輕易了斷。于是張家人千里傳書到京城求救。張英收書后批詩一首：“一紙書來只為墻，讓他三尺又何妨。長(zhǎng)城萬里今猶在，不見當(dāng)年秦始皇?！睆埣胰嘶砣婚_朗，退讓了三尺。吳家見狀深受感動(dòng)，也讓出三尺，形成了一個(gè)六尺寬的巷子。

此事被傳為佳話，至今不絕。它告訴我們，做人做事要學(xué)會(huì)忍讓包容。聯(lián)系數(shù)學(xué)則是，A和B原來挨在一起，A往一方向走了3尺，記為+3，B往相反方向走了3尺，記為-3，此時(shí)A和B相隔多遠(yuǎn)？+3-（-3）=6。

例8兩對(duì)父子三個(gè)人？

有一個(gè)經(jīng)典謎語：古時(shí)候，兩對(duì)父子去打獵，每人都獵得一只老虎，回家數(shù)一數(shù)，總共只有三只虎。為何？（此問題有各種各樣的版本，如：兩對(duì)父子一起去照相，相片里只有三個(gè)人。）原來的謎底很簡(jiǎn)單，就是爺爺、爸爸、兒子。祖孫三代，爺爺和爸爸是一對(duì)父子，爸爸和兒子是一對(duì)父子。這樣兩對(duì)父子就是三個(gè)人。

也可從數(shù)學(xué)角度思考。由于虎與人是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，三只虎對(duì)應(yīng)著三個(gè)人。一對(duì)父子是兩個(gè)人，另一對(duì)父子也是兩個(gè)人，并在一起，變成了三個(gè)人。說明這兩個(gè)父子集合有重合因素。

設(shè)兩對(duì)父子為：父1、子1、父2、子2。父1和子1構(gòu)成父子1這個(gè)集合，父2和子2構(gòu)成父子2這個(gè)集合，兩個(gè)集合合并，只有3個(gè)元素，說明這兩個(gè)集合當(dāng)中有公共元素。

設(shè)父1=父2，則可推出這兩對(duì)父子是：一個(gè)爸爸+兩兄弟兒子。

設(shè)父1=子2，則可推出這兩對(duì)父子是：爺爺、爸爸、兒子祖孫三代。

設(shè)子1=父2，則可推出這兩對(duì)父子是：爺爺、爸爸、兒子祖孫三代。

設(shè)子1=子2，這種情況一般不存在，因?yàn)橐粋€(gè)人不可能有兩個(gè)爸爸。如果是養(yǎng)父、岳父之類，就另當(dāng)別論。這樣分析的話，就可發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)解答漏解。而使用集合進(jìn)行討論，則不重不漏，所有情況都包含在內(nèi)。這一過程也是數(shù)學(xué)建模的過程：將非數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，將數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成解方程的問題。這樣一來，“兩對(duì)父子三個(gè)人”這樣的腦筋急轉(zhuǎn)彎問題和下面這道考題本質(zhì)是一樣的：設(shè)A=｛2，4，a3-2a2-a+7｝，B=｛-4，a+3，a2-2a+2，a3+a2+3a+7｝，若A∩B=｛2，5｝，則A=___，A∪B=___。

（作者單位：華中師范大學(xué)國家數(shù)字化學(xué)習(xí)工程技術(shù)研究中心）

作者簡(jiǎn)介：邵陽武岡人，工作于華中師范大學(xué)，主要從事數(shù)學(xué)文化傳播和數(shù)學(xué)教育技術(shù)的普及。多次參與國家重大課題的研究并獲獎(jiǎng)。參與編寫湘教版數(shù)學(xué)教材、《十萬個(gè)為什么》等。著作十余部，主要有《數(shù)學(xué)哲學(xué)》《繞來繞去的向量法》《仁者無敵面積法》《動(dòng)態(tài)幾何教程》《數(shù)學(xué)教育技術(shù)》《課本上學(xué)不到的數(shù)學(xué)》《師從張景中》《向量、復(fù)數(shù)與質(zhì)點(diǎn)》《不等式探秘》等。曾在《數(shù)學(xué)通訊》等刊物開設(shè)專欄，發(fā)表文章200余篇。