王　維，張永華，梁向前

(1.山東科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266590；2.山東科技大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，山東 青島 266590)

具有多噪聲的馬爾科夫跳變隨機(jī)系統(tǒng)的精確能觀性

王維1，張永華2，梁向前1

(1.山東科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266590；2.山東科技大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，山東 青島 266590)

摘要：本文研究了具有多噪聲的馬爾科夫(Markov)跳變隨機(jī)系統(tǒng)的精確能觀性問(wèn)題，利用H-表示和譜算子的方法以及伊藤公式，建立了馬爾科夫跳變隨機(jī)系統(tǒng)的系數(shù)矩陣和確定性系統(tǒng)的系數(shù)矩陣之間的關(guān)系，將隨機(jī)系統(tǒng)的精確能觀性轉(zhuǎn)化為確定性系統(tǒng)的完全能觀性，從而得到了離散時(shí)間馬爾科夫跳變隨機(jī)系統(tǒng)的精確能觀性的格拉姆矩陣判據(jù)(Gramian matrix criterion)。

關(guān)鍵詞：精確能觀性；H-表示；格拉姆矩陣判據(jù)

在現(xiàn)代控制理論中，能觀性是控制問(wèn)題中的一個(gè)基本而重要的特性。系統(tǒng)的能觀性可以反映系統(tǒng)直接測(cè)量輸入輸出量的量測(cè)值以便確定系統(tǒng)狀態(tài)的可能性。隨著控制理論的發(fā)展，能觀性對(duì)于控制和狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題研究的作用越來(lái)越重要。馬爾科夫(Markov)跳變系統(tǒng)有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用背景，也是近年來(lái)控制領(lǐng)域熱門的研究方向之一。

近年來(lái)，譜技術(shù)被成功的運(yùn)用到線性隨機(jī)系統(tǒng)的精確能觀測(cè)問(wèn)題中，Zhang等[1-2]用廣義Lyapunov算子的方法給出了連續(xù)時(shí)間隨機(jī)時(shí)不變系統(tǒng)的精確能觀測(cè)的隨機(jī)Popov-Belevitch-Hautus(PBH)判據(jù)，并將確定性系統(tǒng)的能觀性問(wèn)題推廣到隨機(jī)系統(tǒng)上，采用隨機(jī)譜方法得到了判定精確能觀性的PBH判據(jù)。Zhang等[3]研究了線性隨機(jī)時(shí)變系統(tǒng)的精確能觀性，給出了判定連續(xù)時(shí)間和離散時(shí)間的精確能觀性的格拉姆矩陣判據(jù)和秩判據(jù)。由于馬爾科夫跳變系統(tǒng)能被應(yīng)用到自然和工程中，因此該類系統(tǒng)也已經(jīng)得到了廣泛的研究。Hou等[4]研究了離散時(shí)間馬爾科夫跳變參數(shù)和乘積噪聲隨機(jī)系統(tǒng)的精確能觀性的PBH判據(jù)。Vasile等[5-6]研究了馬爾科夫跳和多個(gè)白噪聲的隨機(jī)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和能穩(wěn)性問(wèn)題，給出了保證隨機(jī)能穩(wěn)性和隨機(jī)能檢測(cè)性的充要條件，得到了隨機(jī)馬爾科夫跳系統(tǒng)的一個(gè)有界實(shí)引理，并引入了隨機(jī)能觀性的定義，推廣了確定性離散線性時(shí)變系統(tǒng)的一致能觀性的定義。Costa等[7]引入了連續(xù)時(shí)間馬爾科夫跳變系統(tǒng)的MS-穩(wěn)定性和W-能觀性的定義，利用能觀性矩陣得到了W-能觀性的檢驗(yàn)條件。Ma等[8-9]研究了帶乘積噪聲的離散時(shí)間隨機(jī)馬爾科夫跳變系統(tǒng)的有限時(shí)域和無(wú)限時(shí)域的H2/H∞控制。

本文找到了一個(gè)判別具有多噪聲的馬爾科夫跳變隨機(jī)系統(tǒng)的精確能觀性的方法，即利用文獻(xiàn)[10]中去掉重復(fù)元素的H-表示方法，將馬爾科夫跳變隨機(jī)系統(tǒng)的精確能觀性轉(zhuǎn)化為確定性系統(tǒng)的完全能觀性問(wèn)題，給出了具有多噪聲的離散時(shí)間馬爾科夫跳變隨機(jī)系統(tǒng)精確能觀的充分必要條件——格拉姆矩陣判據(jù)(Gramianmatrixcriterion)。

在給定的概率空間(Ω,Fk,P)中，考慮以下形式的具有多噪聲的離散時(shí)間馬爾科夫跳變隨機(jī)系統(tǒng)：

(1)

而且，矩陣Xi(k),Yi(k)滿足下面的方程。

證明由前面的假設(shè)，即x(k)x(k)′和θ(k)都是Fk可測(cè)的，隨機(jī)變量{wp(k),k∈NK}和馬爾科夫鏈{θk,k∈NK}相互獨(dú)立，由系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述(1)以及Xi(k)的定義，可得

Xi(k+1)=E[x(k+1)x(k+1)′I{θk+1=i}]=

并且

下面證明Yi(k)式，

Yi(k)=E[y(k)y(k)′I{θk=i}]=

因此，引理1得證。

對(duì)于系統(tǒng)(1)，定義算子L{A,C}，其表達(dá)式為

其中

[18][19]羅莎莉：《儒學(xué)與女性》，丁佳偉、曹秀娟譯，南京：江蘇人民出版社，2015年，第6、173-181頁(yè)。

其中

Ψ(X(i))=(x11(i),…,x1n(i),…,xn1(i),…,xnn(i))′∈Rn2，

下面的定理推廣了對(duì)于確定性離散時(shí)間隨機(jī)系統(tǒng)的能觀性格拉姆矩陣判據(jù)。

定理1具有多噪聲的離散時(shí)間馬爾科夫跳變隨機(jī)系統(tǒng)(1)在時(shí)刻h∈Jk(Jk是一個(gè)離散時(shí)間定義的區(qū)間)精確能觀的充分必要條件為存在一個(gè)有限時(shí)刻l∈Jk,l>h時(shí)，使得格拉姆矩陣

為非奇異，其中

證明由引理1，對(duì)k∈NK有

(2)

將式(2)兩邊同時(shí)拉直，結(jié)合引理2，并運(yùn)用克羅內(nèi)克積的性質(zhì)以及H-表示方法，可得

其中

(3)

I為n2階的單位矩陣。用同樣方法，對(duì)Y(k)進(jìn)行上述變換，可得

其中

(4)

因此，結(jié)合式(3)(4)，系統(tǒng)(1)就等價(jià)于下面的確定性系統(tǒng)

(5)

所以當(dāng)系統(tǒng)(5)滿足完全能觀性時(shí)，系統(tǒng)(1)就滿足精確能觀性。由系統(tǒng)(5)滿足精確能觀性的格拉姆矩陣判據(jù)[12]可知，存在一個(gè)時(shí)刻h∈Jk,l>h，使系統(tǒng)(5)的格拉姆矩陣

非奇異。定理得證。

推論1離散時(shí)間馬爾科夫跳變隨機(jī)系統(tǒng)

精確能觀的充分必要條件為存在一個(gè)時(shí)刻l>0，使得格拉姆矩陣

為非奇異，其中

通過(guò)這種方法，我們就把馬爾科夫跳變隨機(jī)系統(tǒng)的精確能觀性轉(zhuǎn)化為確定系統(tǒng)的完全能觀性。這種方法在馬爾科夫跳變系統(tǒng)與線性時(shí)變系統(tǒng)之間建立了有效的橋梁。

在實(shí)際應(yīng)用中，多維系統(tǒng)是很常見(jiàn)的，相關(guān)的計(jì)算也都可以借助Matlab軟件編程完成。為了能直觀說(shuō)明格拉姆矩陣判據(jù)的可應(yīng)用性，本文經(jīng)過(guò)大量反復(fù)驗(yàn)證，找到一個(gè)非常典型的二維例子來(lái)說(shuō)明定理的有效性。

系數(shù)矩陣Aθ(k)，Cθ(k)，Qθ(k)和Dθ(k)分別為

其中

經(jīng)過(guò)設(shè)計(jì)Matlab循環(huán)程序得，直到當(dāng)l=1的時(shí)候，格拉姆矩陣

非奇異，得到此系統(tǒng)是精確能觀的。

本文利用H-表示方法，找到了具有多噪聲的離散時(shí)間馬爾科夫跳變隨機(jī)系統(tǒng)和確定性系統(tǒng)系數(shù)之間的關(guān)系，進(jìn)而得到了馬爾科夫跳變隨機(jī)系統(tǒng)的精確能觀性和確定系統(tǒng)的完全能觀性之間的等價(jià)關(guān)系。同時(shí)，論文也給出了一個(gè)推論，使得能觀性格拉姆矩陣判據(jù)的形式簡(jiǎn)單，更為方便實(shí)用。

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(責(zé)任編輯：傅游)

ExactObservabilityofMarkovJumpStochasticSystemswithMultiplicativeNoise

WANGWei1,ZHANGYonghua2,LIANGXiangqian1

(1.CollegeofMathematicsandSystemsScience,ShandongUniversityofScienceandTechnology,Qingdao,Shandong266590,China; 2.CollegeofInformationScienceandEngineering,ShandongUniversityofScienceandTechnology,Qingdao,Shandong266590,China)

Abstract:This paper studied the issue of exact observability of Markov jump stochastic systems with multiplicative noise. Using H-representation, the method of spectral operator and formula, the relationship between the coefficient matrix of Markov jump stochastic systems and that of deterministic systems is established, and the exact observability of Markov jump stochastic systems is transformed into complete observability of deterministic systems. Finally, the Gramian matrix criterion of exact observability relating to discrete-time of Markov jump stochastic systems with multiplicative noise is obtained.

Key words:exact observability;H-representation; Gramian matrix criterion

收稿日期：2015-12-31

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61402265)；山東科技大學(xué)群星計(jì)劃項(xiàng)目(qx2013111)

作者簡(jiǎn)介：王維(1990—)，女，山東棗莊人，碩士研究生，主要從事隨機(jī)控制及其應(yīng)用研究.E-mail：wangwevi@163.com E-mail：liangxq87@126.com

中圖分類號(hào)：O231

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1672-3767(2016)03-0099-07

梁向前(1969—)，河南伊川人，副教授，博士，主要從事復(fù)分析、計(jì)算機(jī)密碼學(xué)研究，本文通信作者.