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湘潭大學(xué)，湘潭，411105

RV減速器扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的固有特性及靈敏度分析

劉柏希王文軍聶松輝

湘潭大學(xué)，湘潭，411105

摘要：以RV減速器為研究對(duì)象，綜合考慮系統(tǒng)剛度和擺線輪偏心角度對(duì)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)特性的影響，采用集中參數(shù)法，建立了該系統(tǒng)13個(gè)自由度的修正扭轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)模型。通過求解自由振動(dòng)方程得到系統(tǒng)固有頻率及主振型，分析了擺線輪偏心角度對(duì)系統(tǒng)固有頻率的影響。利用偏導(dǎo)數(shù)法分析了系統(tǒng)固有頻率對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剛度的影響。研究結(jié)果表明，軸承剛度為系統(tǒng)固有頻率的關(guān)鍵影響因素。

關(guān)鍵詞：RV減速器；扭轉(zhuǎn)振動(dòng)；固有特性；靈敏度分析

0引言

RV減速器是由K-H型行星傳動(dòng)與K-H-V型行星傳動(dòng)復(fù)合而成的一種新型傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，具有體積小、剛度高、傳動(dòng)比大等一系列優(yōu)點(diǎn)，被廣泛運(yùn)用于工業(yè)機(jī)器人、雷達(dá)等領(lǐng)域[1]。由于機(jī)器人等機(jī)構(gòu)對(duì)低振動(dòng)水平的要求特別嚴(yán)格，因此有必要對(duì)RV減速器的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行研究，以解決機(jī)器人的抖顫問題。

國內(nèi)外學(xué)者對(duì)RV減速器傳動(dòng)精度的研究較為深入，取得了豐富的研究成果。但涉及RV減速器動(dòng)力學(xué)特性的研究還不多。Mirko[2]建立了擺線行星傳動(dòng)的動(dòng)力學(xué)仿真模型，分析了系統(tǒng)各構(gòu)件位移及速度的動(dòng)態(tài)響應(yīng)；張大衛(wèi)等[3]建立了擺線針輪傳動(dòng)副的嚙合剛度模型，分析了結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)嚙合力的影響；王剛等[4]計(jì)算了擺線針輪嚙合剛度并建立了五自由度的扭轉(zhuǎn)模型；嚴(yán)細(xì)海等[5]基于等效原理建立了五自由度的等效扭轉(zhuǎn)模型；Hsieh[6]考慮擺線傳動(dòng)的接觸條件，建立了動(dòng)力學(xué)模型，研究了系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)和應(yīng)力特性；李充寧等[7]利用ADAMS對(duì)2K-V減速器進(jìn)行了多剛體動(dòng)力學(xué)仿真，得到了擺線輪的固有頻率及動(dòng)態(tài)嚙合力。經(jīng)過國內(nèi)外學(xué)者的努力，較為精細(xì)的RV減速器動(dòng)力學(xué)模型已建立，但上述模型均未考慮擺線輪偏心角度的變化對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的影響，也未定量研究系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剛度對(duì)固有頻率的影響。

筆者根據(jù)RV減速器的傳動(dòng)原理，考慮曲柄軸和擺線輪公轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的切向平移自由度以及擺線輪偏心角度的變化，建立修正扭轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)模型，計(jì)算系統(tǒng)的固有頻率及主振型，并利用偏導(dǎo)數(shù)法對(duì)系統(tǒng)固有頻率靈敏度進(jìn)行分析，分析固有頻率對(duì)系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剛度的靈敏度。

1RV傳動(dòng)原理

1.太陽輪　2.行星輪　3.曲柄軸　4.擺線輪5.針齒　6.行星架　7.針齒殼圖1　RV傳動(dòng)的機(jī)構(gòu)簡圖

RV傳動(dòng)的機(jī)構(gòu)是由漸開線與擺線齒輪組成的二級(jí)行星輪系，如圖1所示。高速級(jí)為漸開線齒輪組成的K-H 型差動(dòng)輪系，由太陽輪、徑向均勻分布的n(n=2，3)個(gè)行星輪和行星架組成；低速級(jí)為擺線齒輪組成的K-H-V 型行星輪系，由徑向均勻分布的曲柄軸、2個(gè)對(duì)稱布置的擺線輪、若干針齒以及行星架組成。曲柄軸的偏置方向一致，一端與對(duì)應(yīng)的行星輪固連，另一端與行星架上對(duì)應(yīng)的銷孔組成轉(zhuǎn)動(dòng)副，軸中部則與擺線輪構(gòu)成轉(zhuǎn)動(dòng)副。

RV傳動(dòng)的傳動(dòng)原理為：電機(jī)的順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)由太陽輪傳遞給n個(gè)行星輪，實(shí)現(xiàn)第一級(jí)減速；行星輪的轉(zhuǎn)動(dòng)作為第二級(jí)減速部分的輸入傳遞給與其連成一體的曲柄軸，曲柄軸逆時(shí)針方向的自轉(zhuǎn)帶動(dòng)擺線輪產(chǎn)生偏心運(yùn)動(dòng)(公轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng))。針輪固定后，擺線輪在公轉(zhuǎn)的同時(shí)，還將反向自轉(zhuǎn)(順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng))。擺線輪的自轉(zhuǎn)帶動(dòng)曲柄軸做公轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，曲柄軸將此運(yùn)動(dòng)通過行星架上的軸承傳遞給行星架，使其做順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，即以1∶1的速比將擺線輪的自轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為輸出轉(zhuǎn)速。

2系統(tǒng)修正扭轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)模型的建立

RV傳動(dòng)包含曲柄軸和擺線輪的公轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，其輸出轉(zhuǎn)動(dòng)是通過曲柄軸的公轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)的，故現(xiàn)有的RV減速器純扭轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)模型僅考慮曲柄軸和擺線輪的扭轉(zhuǎn)自由度是不夠精細(xì)的，應(yīng)進(jìn)一步計(jì)入曲柄軸和擺線輪的公轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的平移自由度。偏心曲柄軸帶動(dòng)擺線輪做偏心運(yùn)動(dòng)過程中，曲柄軸與擺線輪的相互作用力會(huì)隨擺線輪質(zhì)心的偏心角度的周期性變化而變化[8]，但現(xiàn)有的動(dòng)力學(xué)模型并沒有考慮此種變化對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響。

基于以上分析，本文采用集中參數(shù)法，考慮曲柄軸和擺線輪公轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的切向平移自由度，以及曲柄軸與擺線輪作用力周期性變化等因素，建立系統(tǒng)的修正扭轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)模型。

動(dòng)力學(xué)模型基于以下簡化和假設(shè)：①采用集中參數(shù)模型，并認(rèn)為各構(gòu)件的幾何中心與其質(zhì)心重合；②軸承剛度和齒輪嚙合剛度取其均值，忽略其剛度非線性變化；③忽略嚙合副的摩擦力和阻尼的影響；④擺線輪與針輪間的嚙合力按集中力處理；⑤曲柄軸上軸承之間間距很小，使得曲柄軸彎曲剛度較大，經(jīng)計(jì)算可知其彎曲剛度至少為軸承剛度的5倍，故可忽略曲柄軸的彎曲變形；⑥公轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，行星輪和曲柄軸的切向平移自由度相同。

如圖2所示，以針輪中心O為原點(diǎn)，建立與行星架固連的動(dòng)坐標(biāo)系Oxy，y軸指向第一個(gè)曲柄軸理論軸線與擺線輪的交點(diǎn)Oh1，動(dòng)坐標(biāo)系Oxy隨行星架以理論角速度ωc勻速轉(zhuǎn)動(dòng)；設(shè)定第一個(gè)擺線輪的理論中心Oc1與針輪中心O連線OOc1初始時(shí)與y軸一致，隨著擺線輪的公轉(zhuǎn)，OOc1與y軸的夾角變?yōu)棣?。在第一個(gè)擺線輪上建立與其固連的動(dòng)坐標(biāo)系Oηζ，使ζ軸指向擺線輪偏心方向OOc1。

圖2　RV減速器動(dòng)力學(xué)模型

為簡化圖形，圖2中只表示了第一個(gè)曲柄軸，同理可建立相對(duì)于第二個(gè)曲柄軸的坐標(biāo)系。據(jù)此可得動(dòng)力學(xué)模型的13個(gè)自由度：輸入軸、太陽輪、2個(gè)行星輪、2個(gè)曲柄軸、2個(gè)擺線輪與行星架的9個(gè)扭轉(zhuǎn)自由度，2個(gè)曲柄軸與2個(gè)擺線輪公轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的4個(gè)切向平移自由度。兩曲柄軸編號(hào)為i(i=1，2)，兩擺線輪編號(hào)為j(j=1，2)。圖2中，ua、us、upi、uhi、ucj、uo分別為輸入軸、太陽輪、行星輪、曲柄軸、擺線輪和行星架振動(dòng)扭轉(zhuǎn)角位移折算到圓周上的線位移。xhi、xcj分別為曲柄軸和擺線輪的公轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)平移線位移。各位移方向的規(guī)定如下：輸入軸順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，以各個(gè)構(gòu)件實(shí)際運(yùn)動(dòng)方向?yàn)槲灰普较颍煌瑯?gòu)件間作用線上的相對(duì)位移方向由接觸面的受力來規(guī)定，當(dāng)接觸面所受的力為壓力時(shí)，規(guī)定該相對(duì)位移方向?yàn)檎较?。系統(tǒng)受力最為復(fù)雜的是曲柄軸與擺線輪間的作用力，現(xiàn)以其為例進(jìn)行受力分析，如圖3所示。

圖3　第一個(gè)擺線輪與曲柄軸動(dòng)力學(xué)模型局部圖

由圖3可知，曲柄軸和擺線輪的相對(duì)位移在η向的投影為

(1)

βi=β+(i-1)π

(2)

則曲柄軸和擺線輪之間在η向的作用力為

Fhicj=khcδη ij

(3)

其中，khc為轉(zhuǎn)臂軸承的支承剛度。同理可推導(dǎo)出兩者之間在x方向的作用力：

(4)

限于篇幅，其他構(gòu)件間作用力不一一列舉，根據(jù)牛頓第二定律可得系統(tǒng)自由振動(dòng)方程：

(5)

Fspi=ksp(us-upi-xhicosα)

(6)

式中，Ja、Js、Jp、Jh、Jc、Jo分別為輸入軸、太陽輪、行星輪、曲柄軸、擺線輪和行星架的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；mp、mh、mc分別為行星輪、曲柄軸和擺線輪的質(zhì)量；α為漸開線齒輪嚙合壓力角；a為偏心距；rs、rp分別為太陽輪和行星輪的基圓半徑；rh為曲柄軸分布圓半徑；rc為擺線輪節(jié)圓半徑；kas、kph分別為輸入軸和曲柄軸扭轉(zhuǎn)剛度；ksp、kcd分別為漸開線齒輪和擺線針輪嚙合剛度；khc、koh分別為轉(zhuǎn)臂軸承和支撐軸承的支承剛度；Ts、Tc分別為輸入轉(zhuǎn)矩和輸出轉(zhuǎn)矩。

整理式(5)可得矩陣形式的動(dòng)力學(xué)一般方程：

(7)

式中，X、M、K、F分別為廣義坐標(biāo)列陣、質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和廣義力列陣。

本文研究的是系統(tǒng)固有特性，則令輸入轉(zhuǎn)矩的值為0，即廣義力列陣F為0列陣。

3系統(tǒng)固有特性分析

模態(tài)(特征值與特征矢量)是決定模型實(shí)際響應(yīng)的內(nèi)在依據(jù)，利用模態(tài)理論對(duì)上述動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行分析，可得式(7)對(duì)應(yīng)的特征方程：

(8)

式中，ωi為系統(tǒng)第i階固有頻率；φi為ωi對(duì)應(yīng)的正則化振型。

求解式(8)可獲得系統(tǒng)的各階固有頻率和振型。

以RV-6型減速器為例進(jìn)行計(jì)算，其基本參數(shù)如下：太陽輪齒數(shù)Zs=10，行星輪齒數(shù)Zp=34，模數(shù)m=1 mm，壓力角α=20°；擺線輪齒數(shù)Zc=29，針輪齒數(shù)Zb=30，短幅系數(shù)K=0.675，偏心距a=0.9 mm，針齒分布圓半徑R=40 mm，輸入轉(zhuǎn)速為3000r/min，額定負(fù)載為58N·m；各構(gòu)件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和質(zhì)量均利用Pro/E軟件經(jīng)實(shí)體造型后得出，構(gòu)件各剛度的計(jì)算方法參照文獻(xiàn)[3,9]，其中，嚙合剛度均取其相應(yīng)時(shí)變嚙合剛度的均值。

經(jīng)MATLAB編程計(jì)算可求得系統(tǒng)的各階固有頻率和振型。限于篇幅，圖4只繪出了系統(tǒng)前七階的固有頻率；圖5只繪出了太陽輪、2個(gè)曲柄軸、行星輪的前4階振型。

(a)1～3階振型

(b)4～7階振型圖4　系統(tǒng)前7階固有頻率

圖5　部分構(gòu)件前4階振型

計(jì)算結(jié)果表明，系統(tǒng)奇數(shù)階固有頻率不受擺線輪偏心角度周期性變化的影響，為恒值，相應(yīng)的振型也不受影響；同時(shí)，由于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，導(dǎo)致2個(gè)行星輪、2個(gè)曲柄軸、2個(gè)擺線輪的振型大小相同、方向一致。系統(tǒng)的偶數(shù)階固有頻率隨著擺線輪偏心角度的周期性變化，呈現(xiàn)出類三角函數(shù)的變化規(guī)律，相應(yīng)的振型呈現(xiàn)出行星輪振動(dòng)模式，即中心類構(gòu)件，如輸入軸、太陽輪、行星架沒有振動(dòng)，振型為零；行星類構(gòu)件，如行星輪、曲柄軸、擺線輪的振型呈現(xiàn)出余弦函數(shù)變化規(guī)律，并且兩行星輪、兩曲柄軸、兩擺線輪之間的振型大小相同、方向相反。這種模式表明，擺線輪和曲柄軸的偏心運(yùn)動(dòng)只對(duì)系統(tǒng)的行星類構(gòu)件產(chǎn)生影響。這一現(xiàn)象可用行星齒輪相位調(diào)諧理論[10]進(jìn)行物理解釋：各構(gòu)件間的作用力可用傅里葉級(jí)數(shù)展開為一系列諧波激勵(lì)。中心類構(gòu)件僅受到行星類構(gòu)件的偶數(shù)階諧波激勵(lì)時(shí)，因其結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，其合力矩為零，處于平衡狀態(tài)，不產(chǎn)生振動(dòng)；行星類構(gòu)件僅受到偶數(shù)階諧波激勵(lì)，各構(gòu)件的力矩不為零，且大小相等、方向相反，故而產(chǎn)生方向相反的等幅度扭轉(zhuǎn)振動(dòng)。

考慮到RV-6型減速器系統(tǒng)的輸入轉(zhuǎn)頻為50Hz，比計(jì)算的系統(tǒng)第一階固有頻率小很多，與高階頻率相差較大，因此采用固有頻率測(cè)量系統(tǒng)只對(duì)系統(tǒng)的第一階固有頻率進(jìn)行試驗(yàn)測(cè)定。用敲擊法測(cè)得其一階固有頻率為126.9Hz，動(dòng)力學(xué)模型計(jì)算結(jié)果為121.4Hz，與實(shí)驗(yàn)值接近，因此實(shí)驗(yàn)結(jié)果既驗(yàn)證了修正扭轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)模型的有效性，又說明系統(tǒng)不會(huì)發(fā)生共振。

4系統(tǒng)固有頻率靈敏度分析

對(duì)傳動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行靈敏度分析可以提高設(shè)計(jì)效率并降低設(shè)計(jì)成本，亦可為系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性優(yōu)化設(shè)計(jì)提供可靠依據(jù)。靈敏度分析方法一般有兩種，即伴隨結(jié)構(gòu)法和偏導(dǎo)數(shù)法。偏導(dǎo)數(shù)法[11]是將特征值視為結(jié)構(gòu)參數(shù)的多元函數(shù)，對(duì)其求導(dǎo)而得出靈敏度計(jì)算公式的方法。偏導(dǎo)數(shù)法數(shù)學(xué)推導(dǎo)簡單，物理概念明確，本文采用此方法。對(duì)于系統(tǒng)的正則化振型，滿足：

(9)

(10)

(11)

對(duì)式(11)進(jìn)行量綱一化處理可得到量綱一靈敏度：

(12)

對(duì)于無阻尼的自由振動(dòng)系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)參數(shù)pj可取各構(gòu)件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剛度。低階固有頻率對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性影響最大，故對(duì)擺線輪偏心角度β=0時(shí)系統(tǒng)前4階固有頻率的靈敏度進(jìn)行分析。通過MATLAB可求得系統(tǒng)固有頻率對(duì)各構(gòu)件轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剛度的靈敏度，用直線分別連接各轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剛度的靈敏度數(shù)值離散點(diǎn)，得到固有頻率對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剛度的靈敏度曲線。如圖6、圖7所示。

圖6　固有頻率對(duì)各構(gòu)件轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的靈敏度

圖7　固有頻率對(duì)各剛度的靈敏度

由圖6、圖7分析可知，固有頻率對(duì)行星架和曲柄軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量最為敏感。其中，一階固有頻率對(duì)行星架轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的敏感度相對(duì)較大，設(shè)計(jì)和優(yōu)化時(shí)，可在保證性能要求的前提下調(diào)整其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，以滿足預(yù)期動(dòng)態(tài)特性要求。固有頻率對(duì)支撐軸承和轉(zhuǎn)臂軸承的剛度最為敏感。RV減速器傳動(dòng)過程中，減速器傳動(dòng)比較大，支撐軸承和轉(zhuǎn)臂所受動(dòng)載荷較大，是系統(tǒng)的薄弱環(huán)節(jié)，容易因疲勞磨損等原因造成軸承剛度的減小，從而影響系統(tǒng)的固有特性。

為探討軸承剛度的變化對(duì)系統(tǒng)固有頻率的影響，以軸承剛度為變量，計(jì)算系統(tǒng)固有頻率，圖8為支撐軸承和轉(zhuǎn)臂軸承剛度的變化對(duì)系統(tǒng)一階固有頻率的影響曲線圖。

圖8　軸承剛度對(duì)一階固有頻率的影響

由圖8可知，當(dāng)支撐軸承和轉(zhuǎn)臂軸承因疲勞磨損而剛度減小時(shí)，系統(tǒng)一階固有頻率也迅速下降，并不斷接近輸入轉(zhuǎn)速的頻率，引起系統(tǒng)共振。這一結(jié)論與實(shí)際工況相符。因此，為避免系統(tǒng)發(fā)生共振，應(yīng)適當(dāng)提高軸承剛度，并對(duì)軸承進(jìn)行合理的工藝處理，增強(qiáng)軸承抗疲勞強(qiáng)度，或者增加曲柄軸的數(shù)量，減小軸承的負(fù)載，從而延長其有效工作壽命。

5結(jié)論

(1)在現(xiàn)有純扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模型的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步計(jì)入曲柄軸和擺線輪公轉(zhuǎn)的切向自由度，建立了RV減速器的修正扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模型。

(2)研究了擺線輪偏心角度的周期性變化對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響，結(jié)果表明，擺線輪偏心角度的周期性變化只對(duì)系統(tǒng)的偶數(shù)階固有頻率及其對(duì)應(yīng)的振型產(chǎn)生影響，偶數(shù)階振型呈現(xiàn)出行星振動(dòng)模式。

(3)分析了各階固有頻率對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剛度靈敏度，結(jié)果表明：曲柄軸和行星架的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、支撐軸承和轉(zhuǎn)臂軸承剛度對(duì)系統(tǒng)固有頻率影響較大。

(4)軸承因疲勞磨損造成剛度下降，導(dǎo)致系統(tǒng)振動(dòng)加劇，為優(yōu)化RV減速器動(dòng)態(tài)特性，應(yīng)增大軸承剛度或增加曲柄軸數(shù)量，改善軸承受力狀況。

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(編輯張洋)

Analyses of Natural Characteristics and Sensitivity for Torsional Vibration of RV Reducer

Liu BaixiWang WenjunNie Songhui

Xiangtan University，Xiangtan，Hunan，411105

Abstract:Taking the RV reducer as the research object, and considering the influences of the system stiffness and the eccentric angle of cycloid gear on torsional vibration characteristics, a 13 DOF modified torsional dynamics model was established by lumped-parameter method. The impacts of cycloid gear eccentric angle on the natural frequency were analyzed by calculating the natural frequency and corresponding modal shapes of the system. Using the partial derivative method, the sensitivity of natural frequency to moment of inertia and stiffness was calculated. The results show that the key factor influencing the natural frequency is the bearing stiffness.

Key words:rotate vector(RV) reducer; torsional vibration; natural characteristics; sensitivity analysis

收稿日期：2015-03-11

基金項(xiàng)目：湖南省自然科學(xué)湘潭聯(lián)合基金資助項(xiàng)目(14JJ5028)；湖南省教育廳科學(xué)研究優(yōu)秀青年項(xiàng)目(13B115)

中圖分類號(hào)：TH132．46

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2016.03.007

作者簡介：劉柏希，男，1978年生。湘潭大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院副教授。主要研究方向?yàn)闄C(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)、振動(dòng)系統(tǒng)建模與分析。發(fā)表論文20余篇。王文軍，男，1987年生。湘潭大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院碩士研究生。聶松輝，男，1968年生。湘潭大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院教授。