陸金鈺　沈　圣　牛　暢　楊　湛

(1東南大學(xué)混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)教育部重點實驗室,南京210096)(2東南大學(xué)土木工程學(xué)院,南京210096)(3東南大學(xué)吳健雄學(xué)院,南京210096)

基于免疫粒子群-齒行法的桁架結(jié)構(gòu)分層優(yōu)化

陸金鈺1,2沈圣3牛暢3楊湛3

(1東南大學(xué)混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)教育部重點實驗室,南京210096)(2東南大學(xué)土木工程學(xué)院,南京210096)(3東南大學(xué)吳健雄學(xué)院,南京210096)

摘要:針對考慮應(yīng)力約束、位移約束和壓桿穩(wěn)定約束的桁架結(jié)構(gòu)進(jìn)行形狀和尺寸優(yōu)化,提出了一種基于免疫粒子群優(yōu)化算法和齒行法的桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化算法．對形狀和尺寸2類耦合變量進(jìn)行分層處理．內(nèi)層考慮各類約束條件,利用收斂速度較快的齒行法對給定形狀的結(jié)構(gòu)進(jìn)行截面優(yōu)化,使其自重最輕,將約束問題轉(zhuǎn)化為非約束問題;外層則通過全局搜索能力較強(qiáng)的免疫粒子群算法對結(jié)構(gòu)形狀進(jìn)行全局搜索,得出最終優(yōu)化結(jié)果．通過37桿平面簡支桁架橋和25桿空間桁架2個經(jīng)典算例驗證了所提算法的有效性．結(jié)果表明,所提算法采用內(nèi)外層嵌套搜索,能夠更好地處理2類變量的耦合關(guān)系,有效縮小了解空間的范圍,具有良好的優(yōu)化效果和較高的搜索效率．

關(guān)鍵詞:桁架形狀與尺寸優(yōu)化;分層優(yōu)化;免疫粒子群優(yōu)化算法;齒行法

桁架結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計是一個經(jīng)典問題．優(yōu)化設(shè)計通常以結(jié)構(gòu)自重最輕為目標(biāo),以截面尺寸、結(jié)構(gòu)形狀、拓?fù)潢P(guān)系等為設(shè)計變量．目前針對截面尺寸優(yōu)化的理論和方法已基本成熟,但同時考慮桁架形狀和尺寸的優(yōu)化方法仍不夠完善．形狀變量通常體現(xiàn)為節(jié)點坐標(biāo),而節(jié)點坐標(biāo)和截面尺寸這2類變量性質(zhì)不同并且相互耦合,導(dǎo)致優(yōu)化問題的維度及復(fù)雜性都大大增加,可能出現(xiàn)收斂困難乃至病態(tài)現(xiàn)象[1]．

目前,關(guān)于結(jié)構(gòu)形狀和尺寸共同優(yōu)化問題的解決方法通?？煞譃橐韵?類:① 將2類變量的優(yōu)化分層處理,截面尺寸和節(jié)點坐標(biāo)2種優(yōu)化算法并列,交替進(jìn)行直至收斂．隋允康等[2-3]在第1層上采用已成熟的方法優(yōu)化截面,第2層上則利用數(shù)學(xué)規(guī)劃優(yōu)化形狀．王棟等[4]在第1層上運用滿應(yīng)力方法結(jié)合射線步優(yōu)化截面,第2層上則采用漸進(jìn)節(jié)點移動法優(yōu)化形狀．分層優(yōu)化算法可以縮小問題規(guī)模,減少計算量;但鑒于問題非線性及2類變量的耦合,分層優(yōu)化會導(dǎo)致解空間可行域縮小而丟失全局最優(yōu)解,且優(yōu)化結(jié)果很大程度上依賴初始形狀的選?。?將2類變量同時考慮,在整個解空間中進(jìn)行優(yōu)化．劉軍偉等[1]通過數(shù)學(xué)變換將2類變量統(tǒng)一為無量綱的設(shè)計變量,結(jié)合變尺度法在整個解空間中尋優(yōu)．近年來智能算法在桁架優(yōu)化的問題中得到了廣泛應(yīng)用,如遺傳算法(GA)[5]、模擬退火算法(SA)[6]、粒子群算法(PSO)[7-9]、蟻群算法(ACO)[10]、微分演化算法(DE)[11]等及其相應(yīng)的改進(jìn)智能算法,這些算法將2類變量聯(lián)合為變量序列,直接在解空間中搜索,取得了較好的效果．這類算法雖然可以方便地處理2類變量的耦合關(guān)系,不依賴于初始形狀的選取,但由于搜索空間隨變量數(shù)目的增加而迅速擴(kuò)大,迭代次數(shù)和計算量通常十分龐大,容易陷入局部最優(yōu)解．

為了更好地協(xié)調(diào)解空間的完整性和計算規(guī)模的矛盾,本文將改進(jìn)的智能算法——免疫粒子群算法(I-PSO)與成熟的截面優(yōu)化方法——齒行法相結(jié)合,提出了一種內(nèi)外嵌套分層優(yōu)化的算法．利用2個經(jīng)典算例驗證了該算法的可行性和穩(wěn)定性．

1桁架形狀和尺寸優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

桁架形狀和尺寸的優(yōu)化問題是一個帶約束的最優(yōu)化問題．優(yōu)化變量為節(jié)點坐標(biāo)和各桿件截面尺寸,一般需要考慮對稱性或構(gòu)件連接因素來進(jìn)行變量合并．目標(biāo)函數(shù)為結(jié)構(gòu)質(zhì)量．約束條件主要包括應(yīng)力約束、位移約束、壓桿穩(wěn)定約束、頻率約束[12]等,本文考慮前3種約束．其中,應(yīng)力約束為各桿件應(yīng)力在材料容許的拉壓應(yīng)力范圍內(nèi),位移約束為節(jié)點在指定自由度的位移不大于限值,壓桿穩(wěn)定約束為桿件應(yīng)力不小于失穩(wěn)臨界應(yīng)力．此外,還需考慮可行的變量范圍．桁架優(yōu)化數(shù)學(xué)模型為

minW=∑n1ρiAiLi(Z)

(1)

s.t.

σmini≤σi≤σmaxi i=1,2,…,n

A={A1,A2,…,An}∈Rn

Z={Z1,Z2,…,Zm}∈Rm

式中,下標(biāo)i表示第i根桿件;下標(biāo)h表示第h個節(jié)點自由度;下標(biāo)t表示第t個約束位移;上標(biāo)max,min分別表示上限和下限;W為結(jié)構(gòu)質(zhì)量;ρ為桿件密度;L為桿件長度;A為桿件截面面積;Z為節(jié)點坐標(biāo);u為節(jié)點位移;σ為桿件應(yīng)力;σcr為桿件失穩(wěn)臨界應(yīng)力;n為桿件數(shù);m為節(jié)點坐標(biāo)數(shù);p為位移約束個數(shù)．

2優(yōu)化算法

基于分層優(yōu)化策略,將桁架的形狀和尺寸優(yōu)化問題分為內(nèi)外2個層次考慮．內(nèi)層為尺寸優(yōu)化,采用齒行法對給定形狀的桁架結(jié)構(gòu)求得其最優(yōu)截面序列和對應(yīng)的最輕質(zhì)量,將每種形狀與其最輕質(zhì)量形成一一映射;外層為形狀優(yōu)化,采用免疫粒子群算法,在形狀空間內(nèi)進(jìn)行全局搜索,每一步搜索都調(diào)用內(nèi)層尺寸優(yōu)化的子算法,從而得到最輕質(zhì)量及對應(yīng)的最優(yōu)形狀和尺寸．

2.1齒行法

采用齒行法[13]進(jìn)行內(nèi)層的尺寸優(yōu)化．齒行法的基本思想為按照力學(xué)準(zhǔn)則,每執(zhí)行一次滿應(yīng)力步或滿位移步,便通過射線步將解拉至約束邊界,交替進(jìn)行直至收斂．朱伯芳等[13]提出并證明,對于結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題,最優(yōu)解一定落在最嚴(yán)格的約束曲面上．因此,齒行法所求出的解應(yīng)為全局最優(yōu)解．

2.2免疫粒子群算法

采用免疫粒子群算法[14]進(jìn)行外層的形狀優(yōu)化．

粒子群算法是一種基于群智能的進(jìn)化算法,具有易實現(xiàn)、精度高、收斂快等優(yōu)點．該算法將每個解視為一個粒子Xj={xj1,xj2,…,xjd},由N個粒子組成種群,迭代過程中每個粒子按照如下公式進(jìn)行更新:

(2)

(3)

式中,上標(biāo)k表示第k次迭代;Ij為第j個粒子的個體最優(yōu)位置;Vj為第j個粒子的速度;J為群體最優(yōu)位置;c1,c2為加速度因子,此處取c1=c2=1.494;r1,r2為[0,1]區(qū)間生成的隨機(jī)數(shù);ω為慣性權(quán)重,且

(4)

式中,最大慣性權(quán)重ωmax=0.9,最小慣性權(quán)重ωmin=0.4;Tmax為最大迭代次數(shù)．

標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法容易早熟收斂,易陷入局部最優(yōu),且后期搜索速度較慢．為克服這些缺點、提高算法的全局搜索能力,將免疫機(jī)制引入粒子群算法中,形成免疫粒子群算法．在免疫調(diào)節(jié)機(jī)制中,抗體與抗原的親和度越高且自身濃度越小,則越受到促進(jìn);反之，則受抑制．在粒子群算法中,將粒子視作抗體,目標(biāo)函數(shù)視作抗原．每次迭代過程中,除了粒子群更新產(chǎn)生的N個粒子外,隨機(jī)產(chǎn)生M個新粒子,對這N+M個粒子進(jìn)行篩選．

求解最小值問題時,定義抗體與抗原的親和度為目標(biāo)函數(shù)值的倒數(shù),基于親和度的選擇概率為

(5)

式中,f(Xj)為粒子Xj對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值．

定義抗體濃度為

(6)

基于濃度的選擇概率為

(7)

將兩者相結(jié)合,則粒子(抗體)的生存概率為

PL(Xj)=aPF(Xj)+(1-a)PD(Xj)

(8)

式中,a為加權(quán)系數(shù),用于調(diào)節(jié)親和度．

將N+M個粒子按照生存概率PL(Xj)降序排列,取前N個粒子進(jìn)入下一輪迭代,從而能夠綜合考慮粒子的優(yōu)劣度與相似性,保證了群體的多樣性,減少粒子早熟收斂和陷入局部最優(yōu)的可能性,提高了算法的全局搜索能力．

2.3分層優(yōu)化算法

基于免疫粒子群-齒行法(I-PSO-齒行法)的桁架結(jié)構(gòu)分層優(yōu)化算法步驟如下:

① 設(shè)定參數(shù),初始化N個粒子(節(jié)點坐標(biāo)向量);

② 利用齒行法計算N個粒子的適應(yīng)度值(質(zhì)量);

③ 根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)粒子群方法生成新的N個粒子;

④ 隨機(jī)生成M個新的粒子;

⑤ 利用齒行法計算N+M個粒子的適應(yīng)度值;

⑥ 按照生存概率篩選獲得下一代N個粒子;

⑦ 判斷是否滿足收斂條件或達(dá)到最大迭代次數(shù),若滿足則結(jié)束計算并輸出結(jié)果,否則轉(zhuǎn)至步驟③．

3算例

3.137桿平面簡支桁架橋

圖1　37桿平面簡支桁架橋的初始形狀

節(jié)點編號x/my/m1-502-403-4H14-305-3H26-207-2H38-109-1H41000節(jié)點編號x/my/m110H51210131H41420152H31630173H21840194H12050注:x,y為節(jié)點坐標(biāo).

表237桿平面簡支桁架橋尺寸變量

截面面積/cm2桿件A11-3,19-20A22-3,18-19A33-4,16-19A43-5,17-19A54-5,16-17A65-6,14-17A75-7,15-17A86-7,14-15A97-8,12-15A107-9,13-15截面面積/cm2桿件A118-9,12-13A129-10,10-13A139-11,11-13A1410-11A151-2,18-20A162-4,16-18A174-6,14-16A186-8,12-14A198-10,10-12

采用本文算法(I-PSO-齒行法)和PSO-齒行法分別對結(jié)構(gòu)進(jìn)行10次優(yōu)化,最優(yōu)結(jié)果見表3,結(jié)構(gòu)平均質(zhì)量分別為89.97和90.24kg．利用本文算法前5次優(yōu)化所得的結(jié)構(gòu)質(zhì)量變化曲線見圖2．可以看出,本文算法呈現(xiàn)良好的收斂趨勢,與PSO-齒行法相比更加穩(wěn)定,并且所得的最優(yōu)結(jié)果優(yōu)于文獻(xiàn)[4]中結(jié)果．

表337桿平面簡支桁架橋優(yōu)化結(jié)果

設(shè)計變量文獻(xiàn)[4]算法PSO-齒行法本文算法A1/cm28.8318.90588.9149A2/cm20.5000.50000.5000A3/cm20.5000.50000.5000A4/cm27.1546.86726.8100A5/cm20.5000.50000.5000A6/cm21.1530.50000.5000A7/cm26.4616.31256.3205A8/cm20.5000.50000.5000A9/cm23.4810.50000.5000A10/cm25.8355.83615.8701A11/cm20.5410.50000.5000A12/cm20.5000.50000.5000A13/cm25.2825.52735.5387A14/cm20.5000.50000.5000A15/cm21.8371.78191.7757A16/cm21.8371.78191.7757A17/cm21.9401.99642.0159A18/cm21.9282.05492.0783A19/cm21.8742.06012.0769H1/m1.0211.05221.0559H2/m1.7181.66971.6535H3/m2.2692.12902.1051H4/m2.6692.42712.4074H5/m2.7342.50112.5084質(zhì)量/kg105.1590.0289.94

圖2　37桿平面簡支桁架橋的質(zhì)量收斂曲線

利用本文算法得到的最優(yōu)結(jié)構(gòu)形狀見圖3,最優(yōu)結(jié)構(gòu)各桿件應(yīng)力見表4．跨中節(jié)點豎向撓度為1cm．

圖3　37桿平面簡支桁架橋的最優(yōu)形狀

截面面積/cm2應(yīng)力/MPa容許應(yīng)力/MPa拉應(yīng)力壓應(yīng)力A1-69.52240-69.52A2200.00240-7.40A3167.67240-3.90A4-82.77240-82.76A578.26240-3.02A657.84240-2.21A7-86.59240-86.59A8150.51240-1.86A9-1.52240-1.52A10-88.71240-88.71A11201.37240-1.42A12-0.72240-1.21A13-90.43240-90.43A14201.32240-1.31A15240.00240-29.29A16240.00240-29.29A17240.00240-33.25A18240.00240-34.28A19240.00240-34.26

3.225桿空間桁架

25桿空間桁架的初始形狀見圖4,節(jié)點坐標(biāo)和尺寸變量見表5和表6．令(X4,Y4,Z4)為節(jié)點4的坐標(biāo)，(X8,Y8,Z8)為節(jié)點8的坐標(biāo)，初始取X4= Y4=0.952 5m, Z4= X8= Y8=2.54m, Z8=0m.2種工況下的節(jié)點荷載見表7．位移約束為節(jié)點1,2在X,Y,Z方向上的位移都不超過±0.889cm,桿件截面面積下限為0.064 5cm2．材料彈性模量E=68.95GPa,密度ρ=2 678kg/m3,桿件容許應(yīng)力為-275.8～275.8MPa,局部穩(wěn)定臨界應(yīng)力為-39.27EAi/Li2.設(shè)定種群規(guī)模N=20,附加粒子數(shù)M=5,最大迭代次數(shù)Tmax=120.

圖4　25桿空間桁架的初始形狀

m

表625桿空間桁架尺寸變量

截面面積/cm2桿件A11-2A21-4,2-3,1-5,2-6A32-5,2-4,1-3,1-6A43-6,4-5A53-4,5-6A63-10,6-7,4-9,5-8A73-8,4-7,6-9,5-10A83-7,4-8,5-9,6-10

表7　荷載工況　kN

利用本文算法對結(jié)構(gòu)進(jìn)行10次優(yōu)化,最優(yōu)結(jié)果見表8,所得的結(jié)構(gòu)平均質(zhì)量為69.52 kg．利用本文算法時前5次優(yōu)化所得的結(jié)構(gòu)質(zhì)量變化曲線見圖5.可以看出,本文算法具有良好的收斂趨勢,結(jié)果較文獻(xiàn)[2,9-10]算法更具有優(yōu)越性．

表825桿空間桁架的優(yōu)化結(jié)果

設(shè)計變量文獻(xiàn)[2]算法文獻(xiàn)[9]算法文獻(xiàn)[10]算法本文算法A1/cm20.06450.65100.65200.0645A2/cm23.58063.01003.20904.0575A3/cm29.73556.42106.35806.3230A4/cm20.06450.64700.68300.0645A5/cm20.86450.91000.89601.4412A6/cm20.94842.63502.47500.4360A7/cm25.12264.42304.19303.4286A8/cm24.44524.11004.22403.4402X4/m0.91360.91200.91280.9149Y4/m1.23041.53031.48252.1705Z4/m3.09553.06043.07522.1841X8/m1.18080.97120.96450.9435Y8/m3.06433.11703.16213.8052質(zhì)量/kg84.9682.0281.5468.96

利用本文算法得到的最優(yōu)結(jié)構(gòu)形狀見圖6,最優(yōu)結(jié)構(gòu)的節(jié)點位移和各桿件應(yīng)力分別見表9和表10．

圖5　25桿空間桁架的質(zhì)量收斂曲線

圖6　25桿空間桁架的最優(yōu)形狀

cm

4結(jié)語

本文將齒行法與免疫粒子群相結(jié)合,對桁架結(jié)構(gòu)的形狀和尺寸進(jìn)行內(nèi)外分層優(yōu)化．內(nèi)層采用齒行法,將每一種給定形狀與其最輕質(zhì)量和最優(yōu)截面形成一一映射關(guān)系;外層則利用免疫粒子群算法,基于內(nèi)層形成的映射關(guān)系對形狀變量空間進(jìn)行搜索,從而得到問題的最終解．

齒行法具有較高的迭代效率,能夠收斂到最優(yōu)解,對于解決截面優(yōu)化子問題行之有效．本文未采用并列分層、交替優(yōu)化的方法,而是通過內(nèi)外層嵌套搜索,更好地處理了2類變量的耦合關(guān)系, 避免了全局最優(yōu)解的丟失．與直接在聯(lián)合變量空間中搜索的方法相比,本文算法有效地縮小了解空間的范圍,提高了搜索效率,減少了計算量．在基本粒子群算法中加入免疫調(diào)節(jié)機(jī)制, 形成免疫粒子群算法,減小了算法陷入局部最優(yōu)的概率,提高了算法的全局搜索能力．2個經(jīng)典算例的結(jié)果證明了本文算法的可行性和穩(wěn)定性．

表10　25桿空間桁架的桿件應(yīng)力　MPa

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LayeredoptimizationoftrussstructuresbasedonI-PSOandzigzagmethod

LuJinyu1,2ShenSheng3NiuChang3YangZhan3

(1KeyLaboratoryofConcreteandPrestressedConcreteStructuresofMinistryofEducation,SoutheastUniversity,Nanjing210096,China)(2SchoolofCivilEngineering,SoutheastUniversity,Nanjing210096,China)

(3Chien-ShiungWuCollege,SoutheastUniversity,Nanjing210096,China)

Abstract:The shape and size optimization of truss structures with consideration of stress constraints, displacement constraints and pressure bar stability constraints is carried out, and an optimization algorithm based on the particle swarm optimization algorithm with immunity (I-PSO algorithm) and the zigzag method is presented. Two coupled variables, the shape and the size, are hierarchically processed. In the inner layer, the zigzag method with a fast convergence rate is applied to optimize the cross-section of the structure with a certain shape to achieve the lightest weight under various constraints, turning the constrained problem into an unconstrained one. In the outer layer, the I-PSO algorithm makes use of its global searching ability to obtain the final optimized results. Two typical examples, a 37-bar plane truss bridge and a 25-bar spatial truss, are illustrated to validate the effectiveness of the proposed algorithm. The results show that with inner and outer layer nesting searching, this algorithm can deal well with the coupled variables and reduce the solution space effectively. The proposed algorithm has a good optimization result and high efficiency.

Key words:shape and size optimization of truss; layered optimization; particle swarm optimization algorithm with immunity; zigzag method

doi:10.3969/j.issn.1001-0505.2016.02.017

收稿日期:2015-07-25.

作者簡介:陸金鈺(1981— )，男，博士，副教授，davidjingyu@gmail.com.

基金項目:國家自然科學(xué)基金資助項目(51008065,51208263)、東南大學(xué)優(yōu)秀青年教師教學(xué)科研資助計劃資助項目(2242014R30005).

中圖分類號:TU323.4

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號:1001-0505(2016)02-0335-06

引用本文:陸金鈺,沈圣,牛暢,等.基于免疫粒子群-齒行法的桁架結(jié)構(gòu)分層優(yōu)化 [J].東南大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2016,46(2):335-340.DOI:10.3969/j.issn.1001-0505.2016.02.017.