陳雪娟,陳景華

(集美大學(xué)理學(xué)院,福建廈門361021)

非線性空間分?jǐn)?shù)階Fisher方程的數(shù)值解法

陳雪娟*,陳景華

(集美大學(xué)理學(xué)院,福建廈門361021)

摘要：考慮非線性空間分?jǐn)?shù)階Fisher方程的數(shù)值解,提出一種基于二次多項(xiàng)式樣條函數(shù)的數(shù)值解法,并證明該方法具有無(wú)條件穩(wěn)定性和收斂性．為了驗(yàn)證所構(gòu)造格式的有效性,引入分?jǐn)?shù)階行方法 (FMOL) 與之進(jìn)行比較．最后通過(guò)一個(gè)數(shù)值算例說(shuō)明本文的理論分析是正確的,所構(gòu)造的離散格式是有效的.

關(guān)鍵詞：分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程;Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù);二次多項(xiàng)式樣條函數(shù);行方法

分?jǐn)?shù)階微分方程(時(shí)間、空間或時(shí)間空間分?jǐn)?shù)階)是傳統(tǒng)整數(shù)階微分方程的推廣．由于分?jǐn)?shù)階微積分具有記憶和遺傳特性,目前已被廣泛地應(yīng)用于模擬工程、物理、化學(xué)和其他科學(xué)領(lǐng)域的許多現(xiàn)象[1-4]．眾所周知,要得到偏微分方程的解析解是很困難的,對(duì)于分?jǐn)?shù)階偏微分方程而言更是如此,常用的方法是借助于各種積分變換和特殊函數(shù)的方法[5-7]．近年來(lái)許多學(xué)者在這個(gè)領(lǐng)域里做了大量的研究工作[8-11].

本文考慮非線性空間分?jǐn)?shù)階Fisher方程的數(shù)值解問(wèn)題,Fisher方程主要用來(lái)模擬物種增長(zhǎng)和擴(kuò)散問(wèn)題．在已有的研究成果中,主要的數(shù)值解法是差分法、有限元法和譜方法等,但是采用二次多項(xiàng)式樣條函數(shù)進(jìn)行數(shù)值逼近的研究文獻(xiàn)卻較缺乏[12-13]．本文提出一種基于二次樣條函數(shù)的數(shù)值解法,并分析所構(gòu)造迭代格式的穩(wěn)定性和收斂性.

1一些記號(hào)和簡(jiǎn)單的結(jié)論

非線性空間分?jǐn)?shù)階Fisher方程如下:

1<α≤2,0

(1)

初始條件和邊界條件分別為:

u(x,0)=g(x),0

(2)

u(0,t)=u(l,t)=0,0≤t≤T．

(3)

其中,f(x,t)和g(x)為充分光滑的已知函數(shù),非線性源項(xiàng)是關(guān)于u滿足Lipschitz 條件.

α階的Caputo分?jǐn)?shù)階左導(dǎo)數(shù)定義如下：

a

(4)

α階的Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階左導(dǎo)數(shù)定義如下：

u(s,t)ds,a

(5)

以上2種分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義之間具有如下關(guān)系式[14]：

(6)

在實(shí)際求解微分方程初值問(wèn)題的過(guò)程中,Caputo導(dǎo)數(shù)比Riemann-Liouville導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用更為廣泛而且更具有物理背景[15]．本文采用Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義,即

本文首先利用二次多項(xiàng)式樣條函數(shù)提出一種逼近Fisher方程數(shù)值解的迭代格式,并證明該格式具有無(wú)條件穩(wěn)定性和收斂性．然后給出非線性空間分?jǐn)?shù)階Fisher方程的分?jǐn)?shù)階行方法(FMOL),用于驗(yàn)證所構(gòu)造格式的有效性．最后通過(guò)一個(gè)數(shù)值算例說(shuō)明本文理論分析的的正確性和可行性.

2基于多項(xiàng)式樣條函數(shù)的數(shù)值解法

2.1二次多項(xiàng)式樣條函數(shù)

我們考慮如下二次多項(xiàng)式樣條函數(shù)Pi(x,tj):

Pi(x,tj)=ai(tj)(x-xi)2+bi(tj)(x-xi)+

ci(tj),x∈[xi,xi+1],i=0,1,2,…,m-1;

j=0,1,…,n.

(7)

為了確定函數(shù)Pi(x,tj)的系數(shù)表達(dá)式,首先定義

(8)

(9)

(10)

由等式(7)～(9),可得

(11)

又由等式(10)和Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義,有

(12)

因此,Pi(x,tj)系數(shù)的表達(dá)式為

(13)

2.2數(shù)值解法的迭代格式

為了使二次函數(shù)Pi(x,t)在x=xi,(i=1,2,…m-2.)處滿足連續(xù)性條件:

Pi(xi,tj)=Pi-1(xi,tj),

由等式(7)和(13),可以推出

(14)

(15)

證明由于

i=1,2,…,m-2;j=0,1,…,n.

(16)

將等式(16)的右邊在點(diǎn)(xi,tj)處進(jìn)行Taylor展開(kāi),得到

O(h

4

)．

(17)

證畢.

所以,迭代格式(14)的截?cái)嗾`差階為O(hα),我們得到

(18)

利用向后差分法

O(τ)

(19)

和等式

(20)

由方程(1)可得:

(21)

將等式(21)代入等式(18),并忽略截?cái)嗾`差τO(hα+τ),可以推出如下的迭代格式:

(22)

設(shè)

則式(22)可以寫成

(23)

為了求解這個(gè)線性代數(shù)方程組,我們還需要兩個(gè)方程．利用邊界條件(3),通過(guò)線性插值得到下面兩個(gè)方程:

(24)

(25)

j=1,2,…,n.

因此,我們得到求解非線性空間分?jǐn)?shù)階Fisher方程(1)的數(shù)值方法.

3收斂性和穩(wěn)定性分析

首先,將迭代格式(23)寫成矩陣的形式

AUj=δBUj-1+δτBFj-1,

(26)

其中,

j=1,2,…,n.

A=

B=

這里,a=δ-τ,b=2τ+6δ．A和B都是對(duì)稱矩陣．而且A是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣,所以矩陣A是非奇異的．設(shè)A-1是A的逆矩陣,則由矩陣(26)可得

Uj=δA-1BUj-1+δτA-1BFj-1.

(27)

記

3.1穩(wěn)定性分析

記

由等式(27),可得誤差滿足

εj=δA-1Bεj-1+δτA-1Bβj-1,

這里,

k=1,2,…,m-2.

(28)

容易看出,矩陣B的特征值絕對(duì)值的最大值為

(29)

矩陣A的特征值絕對(duì)值的最小值為

(30)

所以

(31)

由于βj-1滿足Lipschitz條件,所以存在L使得

其中L是個(gè)正的常數(shù).所以

(32)

將(32)迭代n次,可得

因此,迭代格式(23)是無(wú)條件穩(wěn)定的.

3.2收斂性分析

設(shè)

由等式(27),誤差滿足

ej=δA-1Bej-1+δτA-1Bηj-1+τA-1Rj,

這里,

類似地,可得

所以

利用離散Gronwall不等式,可得

C1TeLT(τ+hα)=C(τ+hα).

其中,C是個(gè)正的常數(shù)．因此,迭代格式(23)是無(wú)條件收斂的.

4FMOL

由于非線性偏微分方程的精確解很難通過(guò)計(jì)算得到,為了說(shuō)明所構(gòu)造的隱式差分格式的計(jì)算有效性及理論分析的正確性,我們給出了空間分?jǐn)?shù)階Fisher方程的FMOL[17-18].

u(xk-1,tj)][(i-k+1)2-α-(i-k)2-α]}+

2u(xi-k+1,tj)+u(xi-k,tj)]}+

tj)-2u(xi-k+1,tj)+u(xi-k,tj)]}+O(h2).

那么Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的數(shù)值近似可以由下面表達(dá)式計(jì)算得到:

u(xi-k+1,tj)+u(xi-k,tj)]}，

因此,空間分?jǐn)?shù)階Fisher方程的行方法可以寫成如下形式:

5數(shù)值例子

為了證明我們的理論結(jié)果,考慮如下非線性空間分?jǐn)?shù)階Fisher方程:

(33)

表1給出當(dāng)α=1.5,T=0.1,l=1.0時(shí)用隱式格式(23)～(25)和FMOL計(jì)算方程(33)的數(shù)值結(jié)果．可以看出,使用迭代格式(23)～(25)計(jì)算所得的數(shù)值解與理論分析完全吻合,而且與用FMOL計(jì)算所得的數(shù)值解非常接近．圖1給出了當(dāng)α=1.5,m=100,n=200時(shí),含非線性源項(xiàng)的擴(kuò)散系統(tǒng)隨時(shí)間t變化的特征.

圖1　空間分?jǐn)?shù)階Fisher方程當(dāng)α=1.5,h=0.01,τ=0.000 5時(shí)隨時(shí)間t變化的性態(tài)Fig.1Comparison of the response of the space-Fractional Fisher′s equation at different times when α=1.5,h=0.01,τ=0.000 5

表1　當(dāng)α=1.5,T=0.1,l=1.0 時(shí),本文所提出的數(shù)值方法對(duì)應(yīng)于不同的時(shí)間和

6結(jié)論

本文給出了非線性空間分?jǐn)?shù)階Fisher方程的數(shù)值模擬,并證明該數(shù)值方法是無(wú)條件穩(wěn)定和收斂的．通過(guò)一個(gè)數(shù)值例子的結(jié)果證明了本文的理論分析的有效性．該數(shù)值方法和理論分析方法也能用來(lái)求解和分析其他類型的分?jǐn)?shù)階偏微分方程.

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Numerical Simulation for the Space Fractional Fisher′s Nonlinear Equation

CHEN Xuejuan*,CHEN Jinghua

(School of Sciences,Jimei University,Xiamen 361021,China)

Abstract:A numerical method based on the quadratic polynomial spline function is used to find approximate solutions for the space fractional Fisher′s nonlinear equation．The proposed method is proved to be unconditionally stable and convergent．For the purpose of evaluating the efficiency of the method,a comparison with a fractional method of lines (FMOL) is made．Finally,a numerical example is presented to show that the theoretical analysis in this paper is both correct and effective.

Key words:fractional diffusion equation;Caputo fractional derivative;quadratic polynomial spline function;line method

doi：10.6043/j.issn.0438-0479.2016.03.010

收稿日期：2015-07-03錄用日期：2015-10-25

基金項(xiàng)目：福建省教育廳項(xiàng)目(KB14014)；集美大學(xué)留學(xué)基金

*通信作者：chenxuejuan@gmail.com

中圖分類號(hào):O 241.82

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：0438-0479(2016)03-0360-06

引文格式：陳雪娟,陳景華.非線性空間分?jǐn)?shù)階Fisher方程的數(shù)值解法.廈門大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2016,55(3)：360-365.

Citation：CHEN X J,CHEN J H．Numerical simulation for the space fractional Fisher′s nonlinear equation.Journal of Xiamen University(Natural Science)，2016,55(3)：360-365．(in Chinese)