汪威,陳明劍，閆建巧，尹子明，劉天恒

(信息工程大學 導航與空天目標工程學院,鄭州 450001)

北斗三類衛(wèi)星精密星歷內(nèi)插方法分析比較

汪威,陳明劍，閆建巧，尹子明，劉天恒

(信息工程大學 導航與空天目標工程學院,鄭州 450001)

摘要：全球連續(xù)監(jiān)測評估(iGMAS)分析中心能夠提供GPS/BDS/GLONASS三系統(tǒng)衛(wèi)星精密星歷、精密鐘差、電離層與對流層等產(chǎn)品,在使用北斗衛(wèi)星進行高精度定位過程中必須對北斗精密星歷進行內(nèi)插。由于我國北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)(BDS)包含不同軌道的衛(wèi)星,因此,本文選取iGMAS分析中心精密星歷,采用拉格朗日多項式內(nèi)插和切比雪夫多項式擬合兩種方法分別進行北斗GEO/IGSO/MEO三類衛(wèi)星三維坐標內(nèi)插實驗,分析兩種插值方法對不同軌道衛(wèi)星插值誤差與多項式的階數(shù)之間的關(guān)系。計算結(jié)果表明,兩種算法適合北斗不同軌道衛(wèi)星內(nèi)插,并且不同軌道衛(wèi)星達到最佳插值精度所取的階數(shù)不同。

關(guān)鍵詞：iGMAS;北斗精密星歷;拉格朗日插值;切比雪夫多項式擬合

0引言

在GNSS定位中,高動態(tài)運行的GNSS衛(wèi)星位置為已知值,它是一種原始數(shù)據(jù)誤差,對用戶的定位精度有直接影響。在衛(wèi)星導航定位過程中,廣播星歷由于其實時性,得到了廣泛的應用,但是精度不能滿足高精度定位的需要[1]。為了降低星歷誤差對用戶定位精度的影響,IGS組織免費提供不同等級精度與時延的精密星歷產(chǎn)品,最終精密星歷精度優(yōu)于5 cm[2]?；诒倍犯呔榷ㄎ坏男枰?我國成立了iGMAS,能為用戶提供高精度的精密星歷,精密鐘差,電離層與對流層等產(chǎn)品,由于其它一些因素,目前還沒有公開發(fā)布北斗精密星歷。iGMAS分析中心提供的精密星歷間隔為15 min的衛(wèi)星三維坐標,因此,要想得到任意時刻北斗衛(wèi)星坐標就必須對精密星歷進行高精度內(nèi)插。目前常用的插值方法主要有拉格朗日多項式插值法、內(nèi)維爾插值法、牛頓插值法、三次樣條插值法、三角多項式插值法和切比雪夫多項式插值法等[3,5]。但以上方法均針對GPS衛(wèi)星精密星歷而言,對北斗衛(wèi)星精密星歷很少涉及。由于北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)(BDS)采用的是混合星座,包含GEO、IGSO、MEO,其中MEO衛(wèi)星與GPS一樣均為中軌軌道衛(wèi)星,但是地球靜止軌道衛(wèi)星GEO與傾斜地球同步軌道衛(wèi)星IGSO與GPS還是有一定的區(qū)別,如利用廣播星歷擬合算法在對GEO進行衛(wèi)星位置計算時需要對擬合參考面進行一個角度旋轉(zhuǎn)。因此,本文以iGMAS分析中心精密星歷為例,分析拉格朗日多項式內(nèi)插與切比雪夫多項式擬合對北斗精密星歷的影響,得出一些結(jié)論并為以后的深入研究提供參考。

1插值與擬合算法數(shù)學模型

1.1拉格朗日多項式內(nèi)插[6]

假設已給區(qū)間[a,b]上的節(jié)點x0,x1,…,xn,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b] 上有n+1階導數(shù),且y=f(x)在xi的值為yi=f(xi),Pn(x) 是通過yi=f(xi)數(shù)據(jù)點的不超過n的多項式,則Pn(x)是唯一的,且對區(qū)間[a,b]內(nèi)任意x的n階拉格朗日的多項式可表示為

(1)

在進行n階拉格朗日多項式內(nèi)插任意時刻的衛(wèi)星位置,需要選取一個區(qū)間[ta,tb],使得t∈[ta,tb],并且在所選區(qū)間內(nèi)滿足m≥n+1,其中,n為插值階數(shù),m為插值節(jié)點個數(shù),拉格朗日多項式函數(shù)模型簡單,易于編程實現(xiàn),是經(jīng)典的插值算法,但是插值節(jié)點的增刪則需要重新構(gòu)造多項式,利用式(1)計算衛(wèi)星的三維坐標可以表示為

(2)

1.2切比雪夫多項式擬合[9]

切比雪夫多項式擬合的原理是通過根據(jù)給定的一些數(shù)據(jù)擬合出一個逼近函數(shù),使其在給定的函數(shù)值與給定值之間的方差和達到最小,且該函數(shù)是以切比雪夫多項式為函數(shù)的,在多項式階數(shù)發(fā)生改變時只需改變多余觀測量,無需額外增加新的節(jié)點,原有的公式不需要再重新建立。由于切比雪夫多項式只適用于自變量區(qū)間為[-1,1]的情況,因此在采樣時間段[t0,t0+Δt]內(nèi)(t0為初始時刻,Δt為擬合時間長度)采用n階切比雪夫多項式擬合時,首先需要利用下述公式將時間進行標準化

(3)

將時間變量t的區(qū)間歸化到變量區(qū)間[-1,1]后,則GNSS衛(wèi)星的切比雪夫的多項式擬合表達式在衛(wèi)星的三個分量可以表示為

(4)

式中: n為切比雪夫多項式的階數(shù); Cxi,Cyi,Czi分別為 衛(wèi)星在X,Y,Z三個坐標分量方向的切比雪夫多項式系數(shù)。則第i階切比雪夫項式Ti則表示為

(5)

通過式(4)可計算出t∈[t0,t0+Δt]時間區(qū)間內(nèi)任意時刻的衛(wèi)星坐標。

1.3實驗設計過程

iGMAS分析中心精密星歷通用格式為AACwwwwd.sp3的文本文件,其中AAC為各分析中心三字符英文首字母縮寫,wwww為北斗周計數(shù)(四位數(shù)字),不足四位最前補零,d取0到6為天文件,取0為周日,其具體格式說明如圖1所示。

圖1　北斗精密星歷數(shù)據(jù)格式

從圖1可以看出,北斗精密星歷文件由頭文件與數(shù)據(jù)記錄文件組成,基本格式與IGS分析中心發(fā)布的精密星歷格式差別不大。圖1飄紅的部分中第一行“LSN”代表北斗精密星歷發(fā)布機構(gòu)之一,第二行“484”表示北斗周,第三至六行表示多系統(tǒng)衛(wèi)星數(shù)目及列表,第二十三行“M”與“BDT”分別表示混合系統(tǒng)與北斗時,第三十二行/*表示頭文件結(jié)束標志。數(shù)據(jù)記錄歷元以*開始,按照衛(wèi)星列表順序依次給出衛(wèi)星的三維坐標與鐘差。

由于衛(wèi)星的精密星歷是根據(jù)大量的觀測數(shù)據(jù)并通過嚴密的平差計算得來,其軌道變化是平滑的,由上面介紹,衛(wèi)星坐標是以15 min間隔X,Y,Z的形式給出,實驗設計基本思路為讀取*.sp3數(shù)據(jù),構(gòu)造坐標與時間之間的函數(shù)關(guān)系,通過編程實現(xiàn)對任意時刻衛(wèi)星位置的計算,其程序設計流程圖如圖2所示。

圖2　衛(wèi)星星歷插值設計流程圖

2算例分析與比較

為了分析北斗不同軌道衛(wèi)星的插值精度與插值階數(shù)的關(guān)系,本文選取了iGMAS分析中心精密星歷數(shù)據(jù),起始歷元為2015年4月16日0時0分0秒,終止歷元時刻為2015年4月16日23時45分0秒的.sp3精密星歷數(shù)據(jù)作為對象進行內(nèi)插計算,方法采用拉格朗日與切比雪夫多項式擬合兩種插值算法。選擇的衛(wèi)星包含北斗混合星座的三類衛(wèi)星,選取的衛(wèi)星號為PC02(GEO)、PC08(IGSO)和PC14(MEO),在實驗過程中將擬合的時間間隔設為30 min,將30 min間隔的歷元作為內(nèi)插點計算各個內(nèi)插時間段中間時刻的衛(wèi)星位置,將內(nèi)插值與真值進行比較,計算出殘差的均方差。根據(jù)以上分析,利用Visual Fortran編程語言進行了實現(xiàn),表1、表2與表3分別給出了PC02、PC08和PC14號三顆衛(wèi)星7～20階的拉格朗日與切比雪夫內(nèi)插均方差結(jié)果,圖3、圖4與圖5為根據(jù)表1、表2與表3繪制出插值精度圖隨階數(shù)的變化關(guān)系。為了更能直觀地反映插值結(jié)果情況,文中繪制了插值結(jié)果殘差圖,鑒于文章篇幅,文章以PC08衛(wèi)星為例畫出兩種插值算法最佳插值結(jié)果殘差分布圖,結(jié)果如圖6和圖7所示。

2.1GEO衛(wèi)星精密星歷插值精度分析

從表1與圖3可以看出,PC02(GEO)衛(wèi)星的插值精度隨著階數(shù)的增加而發(fā)生變化。對于拉格朗日插值算法,GEO衛(wèi)星三維坐標分量表現(xiàn)在8～12范圍內(nèi)精度變化比較平穩(wěn)。超過14階精度有所下降,當階數(shù)超過17階時精度明顯變差,拉格朗日在取10階時精度達到最高。GEO衛(wèi)星三維坐標插值精度表現(xiàn)在z坐標插值精度大于x與y,小于16階時,x與y精度幾乎相等,當超過16階以上表現(xiàn)在插值精度z>x>y;對于切比雪夫多項式擬合,GEO衛(wèi)星三維坐標分量表現(xiàn)在階數(shù)小于8階時,精度比較差。在8～12范圍內(nèi)精度變化比較平穩(wěn),當階數(shù)超過17階時精度明顯變差,切比雪夫在取9階時精度達到最高。采用切比雪夫多項式擬合GEO衛(wèi)星三維坐標精度表現(xiàn)在階數(shù)小于8階時z>x>y,在8～14階范圍內(nèi)表現(xiàn)在x插值精度最高,y與z精度相當,在14～16范圍內(nèi)表現(xiàn)在x>y>z.

2.2IGSO衛(wèi)星精密星歷插值精度分析

從表2與圖4可以看出,PC08(IGSO)衛(wèi)星的

插值精度表現(xiàn)在當插值階數(shù)過高或者過低時,插值精度效果都非常差。對拉格朗日插值算法,在8～11階范圍內(nèi),隨著階數(shù)的增加插值精度有所提高。當階數(shù)取9時,可以達到厘米級的精度。在11～14階達到毫米級,并且在取12階時精度最高,超過18階插值精度明顯為下降。在8～10階范圍內(nèi)IGSO三維坐標分量表現(xiàn)在z>x>y,在10～12階時表現(xiàn)在y與z精度相當均高于x,12～18階表現(xiàn)在y>x>z;對于切比雪夫多項式擬合,IGSO衛(wèi)星三維坐標分量表現(xiàn)在階數(shù)小于9階時精度比較差。在12～16階范圍內(nèi)精度變化比較平穩(wěn),當階數(shù)超過17階時精度明顯變差。當階數(shù)取11時,可以達到厘米級的精度。在12～14階可以達到毫米級,在取13階時精度最高。在階數(shù)小于11階時z>x>y,在11～13階范圍內(nèi)表現(xiàn)在z>y>x.在13～17階范圍內(nèi)表現(xiàn)在y>x>z．

表2　IGSO衛(wèi)星兩種插值方法結(jié)果對比

圖4　兩種插值算法對IGSO衛(wèi)星插值誤差　　　隨階數(shù)變化關(guān)系

2.3MEO衛(wèi)星精密星歷插值精度分析

從表3可以看出,對PC14(MEO)衛(wèi)星的插值精度表現(xiàn)在當插值階數(shù)過高或者過低時,插值精度效果都非常差。對拉格朗日插值算法,在9～12階范圍內(nèi),隨著階數(shù)的增加插值精度有所提高。當階數(shù)取11階時可以達到厘米級的精度,在13與14階時達到毫米級,超過18階插值精度明顯為下降,并且在取12階時精度最高。在9～11與13～16階時MEO三維坐標分量表現(xiàn)在z>x>y,在16～18階表現(xiàn)在月x>z>y;對于切比雪夫多項式擬合,MEO衛(wèi)星三維坐標分量表現(xiàn)在階數(shù)小于10階時精度比較差,在14～17階范圍內(nèi)精度變化比較平穩(wěn),當階數(shù)超過17階時精度明顯變差,當階數(shù)取12時,可以達到厘米級的精度,14～16階可以達到毫米級,在取14階時精度最高,超過18階插值精度明顯為下降。在小于12階時三維坐標分量表現(xiàn)在z>x>y,在14～17階范圍內(nèi)表現(xiàn)在z>x>y;圖5示出的是兩種插值算法不同階次對PC08(IGSO)衛(wèi)星的插值殘差圖。

表3　MEO衛(wèi)星兩種插值方法結(jié)果對比

圖5　兩種插值算法對MEO衛(wèi)星插值誤差　　　隨階數(shù)變化關(guān)系

從圖6與圖7可以看出,無論采用何種插值算法,當取算法達到最佳階數(shù)時,衛(wèi)星的插值精度能夠保持在毫米的范圍之內(nèi)。

圖6　拉格朗日12階插值殘差圖

圖7　切比雪夫13階插值殘差圖

3結(jié)束語

1) 本文以北斗系統(tǒng)三顆不同軌道衛(wèi)星分析了拉格朗日插值與切比雪夫擬合對衛(wèi)星精密星歷插值實驗,結(jié)果分析表明,拉格朗日插值與切比雪夫多項式擬合適合于北斗不同軌道衛(wèi)星的精密星歷內(nèi)插。

2) 在階數(shù)選取方面兩種方法插值階數(shù)都不應過低或者過高,GEO衛(wèi)星對兩種插值算法在9～13階范圍內(nèi)插值結(jié)果比較好。IGSO衛(wèi)星對于拉格朗日在11～14階范圍內(nèi)插值結(jié)果比較好,對切比雪夫在12～15階插值結(jié)果較好。MEO衛(wèi)星對于拉格朗日在12～14階插值結(jié)果比較好,對切比雪夫在14～16階范圍內(nèi)插值結(jié)果比較好,超出17階三類衛(wèi)星的插值精度較差。同種插值算法對不同軌道衛(wèi)星達到最佳精度所取的階數(shù)不同,不同插值算法對同一類衛(wèi)星的最佳插值階數(shù)也不相同。

3) 衛(wèi)星軌道的三個坐標分量的插值精度在取同一插值階數(shù)時插值精度不同,并且衛(wèi)星的三個坐標分量達到最佳插值精度所取的階數(shù)也不完全相同。因此,在進行衛(wèi)星精密星歷內(nèi)插計算時可以對三個坐標選取不同的插值階數(shù),以期達到精度最優(yōu)。

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汪威(1989-),男,碩士生,主要研究方向為北斗CORS關(guān)鍵技術(shù)。

陳明劍(1976-),男,副教授,研究方向為GNSS精密單點定位及地基增強系統(tǒng)建設及其應用。

閆建巧(1989-),女,碩士生,研究方向為精密單點定位相關(guān)技術(shù)研究。

尹子明(1990-),男,碩士生,研究方向為基于CORS的BDS數(shù)據(jù)質(zhì)量分析。

劉天恒(1990-),男,碩士生,主要研究方向為網(wǎng)絡RTD技術(shù)應用研究。

Three Kinds of Compass Satellite Precise Ephemeris Interpolation Method Analysis Comparative

WANG Wei，CHEN Mingjian,YAN Jianqiao, YIN Ziming,LIU Tianheng

(1.SchoolofNavigationandAerospaceEngineering,InformationEngineeringUniversity,Zhengzhou450001,China)

Abstract: The global continuous monitoring and assessment iGMAS analysis center can provide GPS/BDS/GLONASS three system satellite precise ephemeris and precision clock error, ionosphere and troposphere products and so on.High precision positioning process must be carried out on the precise ephemeris interpolation using compass satellite, Because of our country's Beidou satellite navigation system (BDS) contains different orbits of the satellite, therefore,This paper selects the iGMAS Analysis Center precise ephemeris, Using Lagrange polynomial interpolation and Chebyshev polynomial fitting two methods respectively Beidou GEO/IGSO/MEO three kinds of satellite Three dimensional coordinate interpolation experiments, Two interpolation methods are analyzed to analyze the relationship between the interpolation errors of different orbit satellites and the order of polynomial. and draws some conclusions. The calculation results show that the two algorithms are suitable for the interpolation of different orbit satellites, and the order of the different orbit satellites to achieve the best interpolation accuracy is different.

Keywords:International GNSS monitoring and assessment system; compass precise ephemeris; Lagrange interpolation; Chebyshev polynomial fitting

doi:10.13442/j.gnss.1008-9268.2016.02.011

收稿日期：2016-01-12

中圖分類號：P228.4

文獻標志碼：A

文章編號：1008-9268(2016)02-0060-06

作者簡介

資助項目： 裝備科研基金項目(編號：9140A24011314JB52001)

聯(lián)系人： 汪威E-mail:1101019365@qq.com