◇宋顯慶

關(guān)注學(xué)習(xí)活動的實效，促進(jìn)代數(shù)思維的有效發(fā)展
——以“等量關(guān)系”案例研究為例

◇宋顯慶

【研究的問題】

在小學(xué)高年級及初中剛開始階段，教師們經(jīng)常會碰到這樣的尷尬：雖然學(xué)生學(xué)習(xí)了方程，但依然不喜歡用方程解決實際應(yīng)用問題，而喜歡用算術(shù)方法解決。其主要原因就是學(xué)生長期受算術(shù)方法的影響，用實驗教師劉克群老師的話來講就是對代數(shù)方法“學(xué)得少,用得到的地方少”。

列方程解決問題的關(guān)鍵是找等量關(guān)系，并且要讓學(xué)生習(xí)慣找等量關(guān)系。鑒于等量關(guān)系的重要作用，北師大版教材為等量關(guān)系安排了獨立的課時進(jìn)行學(xué)習(xí)，將內(nèi)容安排在“用字母表示數(shù)”之后和“認(rèn)識方程”之前，這為更好地促進(jìn)學(xué)生從算術(shù)思維向代數(shù)思維的發(fā)展架設(shè)了一座橋梁。教材結(jié)合具體情境，對如何找等量關(guān)系進(jìn)行了重點討論，在采用多種方法表示等量關(guān)系的活動中了解等量關(guān)系，知道同一個等量關(guān)系可以有不同的表示形式，初步體會等量關(guān)系在日常生活中的廣泛存在，突出體現(xiàn)了數(shù)學(xué)核心知識的作用與價值。教材后續(xù)內(nèi)容的編排也為學(xué)生提供了描述具體情境中等量關(guān)系的問題，有效幫助學(xué)生經(jīng)歷將現(xiàn)實問題抽象成等式與方程的過程，積累將等量關(guān)系符號化的活動經(jīng)驗。

本案例旨在通過研究，在深入細(xì)致分析教材內(nèi)涵與外延的基礎(chǔ)上，科學(xué)合理地處理和加工教材，精心設(shè)計好數(shù)學(xué)教學(xué)活動，找尋有利于促進(jìn)學(xué)生代數(shù)思維發(fā)展的數(shù)學(xué)活動組織形式，促使學(xué)生結(jié)合具體的情境能夠找到并建立等量關(guān)系，并使之成為一種思維習(xí)慣，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)方程作好鋪墊，促進(jìn)學(xué)生從習(xí)慣的算術(shù)思維向代數(shù)思維的有效發(fā)展。

【研究的情境】

本案例研究的實驗教師是江西省學(xué)科帶頭人劉克群老師，他有15年以上的教學(xué)經(jīng)歷。其學(xué)生為四年級學(xué)生，屬于南昌市中心城區(qū)學(xué)生，學(xué)習(xí)習(xí)慣較好。

【研究實踐描述】

本研究按照時間先后順序分四步實施，采取兩個班進(jìn)行對比實驗研究。第一步，做課前問卷調(diào)查；第二步，做教材加工；第三步，設(shè)計數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，組織課堂實施；第四步，做課后檢測，特別關(guān)注課堂數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動的實施效果。

前測能讓研究更加具有針對性、實效性。“等量關(guān)系”在學(xué)生的日常生活中其實已經(jīng)存在，但學(xué)生到底對這些是否有所關(guān)注或者了解呢？他們對“等量關(guān)系”的理解是怎樣的？這些問題成為我前測的方向。我選擇了兩個班共計125名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查。

1.下面哪幅圖是平衡的？為什么會平衡？請說明理由。

圖1

2.什么是相等？請你舉個熟悉的例子說一說。

3.姐姐身高152厘米，弟弟的身高比姐姐矮37厘米，請用你喜歡的形式表示出姐姐和弟弟身高之間的關(guān)系，不用計算。

對于第1、第2兩題，我選擇兩個班不同層次的8名學(xué)生的答卷進(jìn)行分析。從學(xué)生的回答中可以發(fā)現(xiàn)：

1.學(xué)生都能正確判斷哪幅圖是平衡的，說明他們通過直觀觀察能發(fā)現(xiàn)生活中的平衡（相等）現(xiàn)象?；灸芙忉屍胶馐且驗樗鼈兊馁|(zhì)量相等，一樣重，學(xué)生對平衡的理解具有一定的認(rèn)知基礎(chǔ)。

2.學(xué)生能通過具體事物質(zhì)量相等、相同的東西等文字語言來直觀描述相等的含義，但從數(shù)量或關(guān)系上描述相等的含義較少。

3.學(xué)生不習(xí)慣從數(shù)量上建立等量關(guān)系，更習(xí)慣用直觀圖形及文字語言描述相等關(guān)系。

對于第3題，我做了統(tǒng)計。（如下表）從統(tǒng)計表中可以發(fā)現(xiàn)，通過各種形式學(xué)生基本能夠發(fā)現(xiàn)姐姐與弟弟身高之間的關(guān)系，只是無法規(guī)范地表示出等量關(guān)系，更不用說用字母來代替未知數(shù)列出等量關(guān)系式了。

學(xué)生回答形式 文字?jǐn)⑹?畫線段圖 算式計算所占比例 4% 27.2%68.8%

北師大版教材編排了三個問題，逐步加深學(xué)生對等量關(guān)系的了解：第一個問題是通過觀察和描述蹺蹺板兩邊平衡的現(xiàn)象，了解等量關(guān)系；第二個問題是結(jié)合具體情境畫圖或用式子等方式表示等量關(guān)系；第三個問題是了解用式子表示相同的等量關(guān)系，往往可以寫成不同的形式。（如圖2）

圖2

在北師大版教材中，編者精心設(shè)計了一個層層遞進(jìn)、不斷引導(dǎo)學(xué)生深入思考的問題串，這不僅有利于教師教，也有利于學(xué)生學(xué)。在設(shè)計教學(xué)時，教師對整堂課的結(jié)構(gòu)已經(jīng)心中有數(shù)，可以花更多時間考慮教材的編寫意圖，讓課本上靜態(tài)的學(xué)習(xí)素材動起來，把與課本上有同樣數(shù)學(xué)教育功效的生活素材搜集起來，使學(xué)生充分感受生活中的等量關(guān)系無處不在。在結(jié)合以往學(xué)過的天平平衡圖幫助學(xué)生理解“相等”含義的基礎(chǔ)上，教師還精心設(shè)計了抓棋子活動，幫助學(xué)生遷移數(shù)量間的相等關(guān)系。為提升活動的實效，教師通過試一試、說一說、畫一畫、寫一寫等活動，充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和求知欲，讓他們在不知不覺中掌握等量關(guān)系的含義，并開始習(xí)慣尋找生活中的等量關(guān)系，有效促進(jìn)他們代數(shù)思維的發(fā)展。

活動一：通過蹺蹺板讓學(xué)生直觀感受相等關(guān)系。

師：你們玩過蹺蹺板嗎？一群小動物也來到了蹺蹺板上，我們一起看看。（播放課件，如圖2）從圖中，你發(fā)現(xiàn)了什么？說一說，什么時候相等？

生：第三幅圖是相等的，因為蹺蹺板平衡了。

師：是什么相等了？

生：1只鵝的質(zhì)量等于1只雞的質(zhì)量加2只鴨的質(zhì)量。

師：你們都聽清楚了嗎？誰還能再說一說？

（生答略）

師：掌聲送給他！你們都是這樣想的嗎？的確，蹺蹺板平衡了，表示1只鵝的質(zhì)量等于1只雞和2只鴨的質(zhì)量。這樣一種相等的關(guān)系我們就把它叫作“等量關(guān)系”。

設(shè)計意圖：讓學(xué)生觀察，直觀感受生活中的平衡關(guān)系，嘗試用語言描述生活中的平衡關(guān)系就是相等關(guān)系，為構(gòu)建等量關(guān)系做好鋪墊。

活動二：從天平平衡中尋找并敘述等量關(guān)系。

師：（課件出示天平）用天平稱物體質(zhì)量時，一般左邊放物體，右邊放砝碼，左右兩邊平衡也能反映出物體間的等量關(guān)系。

出示圖一：1個蘋果和1個梨一共重300克。（圖略）

師：這幅圖中有等量關(guān)系嗎？你的依據(jù)是什么呢？

生：我覺得這幅圖中有等量關(guān)系，因為天平平衡了，說明兩端的物體質(zhì)量相等。

生：物體的質(zhì)量相等了，就存在等量關(guān)系。

師：了不起！那誰能用一句話描述這幅圖的等量關(guān)系？

（課件出示：1個蘋果的質(zhì)量加上1個梨的質(zhì)量等于300克）

設(shè)計意圖：再次感受生活中的平衡現(xiàn)象，嘗試用文字來敘述生活中的質(zhì)量相等關(guān)系。

活動三：借操作理解數(shù)量間的等量關(guān)系。

1.從蹺蹺板、天平的平衡直觀現(xiàn)象過渡到活動體驗，通過抓棋子游戲在體驗中尋找數(shù)量上的等量關(guān)系。

師：看來同學(xué)們都能根據(jù)天平平衡說出等量關(guān)系，在我們的游戲里也能找到等量關(guān)系。下邊進(jìn)行抓棋子游戲：請一位同學(xué)上來，和老師都用一只手從棋盒里抓棋子，數(shù)一數(shù)，比一比。

（記錄在黑板上。老師抓了22顆，學(xué)生小明抓了26顆）

師：誰來說一說我與小明所抓棋子數(shù)量之間的關(guān)系？

生：老師比小明少抓4顆，小明比老師多抓4顆。

師：說得不錯！這里沒有了天平、蹺蹺板，難道也有等量關(guān)系？

生：有，只要用老師的棋子數(shù)加上4顆就得到小明的。

師：你真會思考，說說你是怎么想到的。

生：就像剛才的天平一樣，本來老師和小明的棋子數(shù)不相等，但是只要把老師的加上比小明少的4顆就相等。相等了就有等量關(guān)系。

師：大家聽明白了嗎？盡管這里沒有平衡的天平，但它們之間有等量關(guān)系嗎？（生：有）是什么？誰再來說一說？

生：把老師的棋子數(shù)加上4顆就等于小明的。

生：我還發(fā)現(xiàn)把小明的棋子數(shù)減去4顆就等于老師的。

師：真了不起！那你們能不能想辦法把自己的想法表示出來？

2.學(xué)生嘗試表示等量關(guān)系。

教師讓學(xué)生嘗試用自己的方式表示出等量關(guān)系。學(xué)生有的畫出平衡的天平圖，左邊寫上老師的棋子數(shù)加4，右邊寫的是小明的。有的學(xué)生畫了線段圖，還有的學(xué)生寫出了式子。

3.學(xué)生動手，全班體驗找、寫等量關(guān)系式。

師：剛才我和小明同學(xué)比一比，你們想不想和同桌比一比？

（出示游戲規(guī)則并要求記錄和寫出等量關(guān)系式。表揚(yáng)根據(jù)一條信息寫出多個等量關(guān)系式的學(xué)生）

4.變換數(shù)量，由找含加減的等量關(guān)系過渡到找含乘除的等量關(guān)系。

學(xué)生匯報結(jié)束后，教師在此基礎(chǔ)上出示條件：小東抓了24顆，是小芳抓的2倍。然后提問：它們之間的等量關(guān)系，你們能找到嗎？

設(shè)計意圖：在操作活動中體驗數(shù)量間的相等關(guān)系（含加減乘除運算），通過數(shù)量的變化找到建立等量關(guān)系的條件，體驗變化、未知，為后續(xù)學(xué)習(xí)方程做鋪墊。

活動四：結(jié)合情境寫一寫等量關(guān)系式。

學(xué)生在活動中積累了活動經(jīng)驗，又進(jìn)一步理解了等量關(guān)系的含義，接下來從活動過渡到具體情境，并寫等量關(guān)系式。（略）

活動五：結(jié)合圖形，用字母表示等量關(guān)系。

教師用課件出示：長方形的長、寬、周長、面積分別用字母a、b、C、S表示，寫出它們之間的等量關(guān)系。

活動六:找一找，感受生活中的等量關(guān)系。

師：生活中有很多等量關(guān)系，請大家找一找、說一說。

設(shè)計意圖：活動四、五、六旨在幫助學(xué)生進(jìn)一步理解等量關(guān)系，在無痕中滲透存在未知量時可以用字母表示，滲透代數(shù)思維，為思維水平的提高奠定基礎(chǔ)。

后測題目如下：

1.王阿姨今年 36歲，她的年齡是笑笑的4倍。用你喜歡的方式表示出王阿姨跟笑笑年齡間的等量關(guān)系。

2.圖書館藏有故事書1200本，故事書比科技書多500本。用你喜歡的方式表示出故事書跟科技書之間的等量關(guān)系。

對學(xué)生解答的情況統(tǒng)計如下：

非實驗班統(tǒng)計表（62人）

實驗班統(tǒng)計表（63人）

【反思和啟示】

要實現(xiàn)課程目標(biāo)的整體落實，在教學(xué)設(shè)計中就要把知識技能、數(shù)學(xué)思考、問題解決、情感態(tài)度四個方面的目標(biāo)有機(jī)結(jié)合起來。在組織數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動時，不僅要重視學(xué)生獲得知識技能，而且要充分發(fā)揮學(xué)生的主體地位。在充分感受和體驗的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生通過獨立思考或合作交流感悟數(shù)學(xué)的基本思想，引導(dǎo)學(xué)生在參與數(shù)學(xué)活動的過程中積累基本經(jīng)驗，幫助學(xué)生形成認(rèn)真勤奮、獨立思考、合作交流、反思質(zhì)疑等良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

基于這些思考，本案例通過多次實踐，不斷改進(jìn)，最終確定通過六個精心設(shè)計的活動，將抽象的等量關(guān)系與生活緊密聯(lián)系，充分發(fā)揮學(xué)生的主體地位，讓學(xué)生有充足的時間感受和體驗。通過觀察和體會蹺蹺板平衡與天平平衡兩個生活中的現(xiàn)象，讓學(xué)生用語言描述生活中的平衡現(xiàn)象，初步感受和體驗生活中的等量關(guān)系；通過抓棋子游戲，讓學(xué)生經(jīng)歷從具體情境中的多少關(guān)系到數(shù)量間的相等關(guān)系，進(jìn)行初步的抽象，積累抽象思維的經(jīng)驗。

在“等量關(guān)系”的認(rèn)識和建構(gòu)過程中，教師通過前測了解學(xué)生的學(xué)習(xí)困難，知道學(xué)生在建立等量關(guān)系時的重點、難點是抽象出數(shù)量關(guān)系。基于這一認(rèn)識，教師把握住了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容的本質(zhì)，注重讓學(xué)生自己經(jīng)歷、體驗和感悟。課堂上，人人參與活動，個個動腦思考，時時體驗快樂，融知識、技能、思維、情感、意志、想象、創(chuàng)造于一體，煥發(fā)出生命的活力！

一系列有層次的活動設(shè)計，基于前測加強(qiáng)了活動的針對性，旨在通過情境描述、結(jié)合圖形直觀感受與生活的緊密聯(lián)系，在看一看、找一找、說一說、寫一寫等活動中，把抽象的知識與直觀的活動進(jìn)行整合，幫助學(xué)生自然建立等量關(guān)系的概念。

活動三的設(shè)計源于前測中了解到學(xué)生在建立數(shù)量間的等量關(guān)系時存在困難，通過抓棋子游戲，讓學(xué)生意識到數(shù)量間可以建立相等關(guān)系，進(jìn)而發(fā)展到已知量與未知量之間也可以建立等量關(guān)系，做到了代數(shù)思維的無痕滲透?；顒游宓脑O(shè)計是有意識地滲透符號化的思想，溝通前后知識之間的聯(lián)系，為后續(xù)學(xué)習(xí)方程做好鋪墊，逐步滲透代數(shù)思維，促進(jìn)算術(shù)思維向代數(shù)思維的進(jìn)一步發(fā)展。

活動中學(xué)生邊動手邊思考，既積累了活動經(jīng)驗，又豐富了思維經(jīng)驗，知識與技能在自然中掌握，學(xué)習(xí)習(xí)慣在自然中形成。“四維”目標(biāo)得到了有效的落實，課堂教學(xué)活動的實效得到了很好的提升。

江西省教育廳教學(xué)教材研究室）