陳學(xué)靈，王美清

（福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，福建福州350108）

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結(jié)合動(dòng)態(tài)亮度的活動(dòng)輪廓模型分割相似圖像組

陳學(xué)靈，王美清

（福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，福建福州350108）

摘要：ACGS模型（Actjve Contours Wjth Group Sjmj1arjty）在CV模型（Actjve Contours Wjthout Edges）的基礎(chǔ)上結(jié)合了矩陣的低秩性約束，是能較好地分割目標(biāo)特征缺失或錯(cuò)誤的相似圖像組的一種活動(dòng)輪廓模型，但其對(duì)于局部灰度不均的相似圖像組分割效果較差。對(duì)此，本文提出了包含演化曲線內(nèi)外的動(dòng)態(tài)亮度信息的改進(jìn)的ACGS模型。在全局信息的基礎(chǔ)上引入曲線內(nèi)外動(dòng)態(tài)變化的亮度信息，不僅增強(qiáng)了曲線對(duì)于局部灰度不均圖像的模糊邊界的識(shí)別，而且提高了能量函數(shù)梯度趨于零的速度，使函數(shù)更快達(dá)到最小值，從而加快了演化曲線達(dá)到目標(biāo)邊界的速度。最后，實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了改進(jìn)的ACGS模型對(duì)于局部灰度不均的相似圖像組，無論在分割效果還是分割速度上均優(yōu)于ACGS模型。

關(guān)鍵詞：組相似性；ACGS模型；動(dòng)態(tài)亮度；局部灰度不均

圖像分割是指將圖像分割成幾個(gè)互不相交且具有相同性質(zhì)的有意義的區(qū)域，它是圖像處理領(lǐng)域中極為重要的內(nèi)容之一，而基于PDE（partja1 djfferentja1 equatjon）方法的活動(dòng)輪廓模型受到了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。該類方法定義了一個(gè)能量泛函，并通過最小化該能量泛函來驅(qū)使演化曲線朝目標(biāo)邊界逼近?；赑DE的活動(dòng)輪廓模型可分為基于邊界的模型［1］和基于區(qū)域的模型［2］。由于利用活動(dòng)輪廓模型來分割單張圖像已無法滿足現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用需求，因此對(duì)用于分割序列圖像的活動(dòng)輪廓模型的研究是當(dāng)前的一個(gè)熱門話題。

ACGS［3］（Actjve Contours Wjth Group Sjmj1arjty）模型在CV模型的基礎(chǔ)上與矩陣的低秩性約束條件相結(jié)合，是一種用于分割目標(biāo)特征缺失或錯(cuò)誤的相似圖像組的模型。該模型利用一些特征點(diǎn)的坐標(biāo)來表示各圖像的演化曲線，并將這些曲線按列排序來構(gòu)造形狀矩陣，通過形狀矩陣的秩的大小與目標(biāo)形狀的相似程度之間的關(guān)系來分割和還原相似圖像組。由于ACGS模型摒棄了CV模型利用水平集函數(shù)來演化曲線的方法，并且約束條件作為正則項(xiàng)能更好的調(diào)整演化曲線，所以該模型具有算法計(jì)算量小，收斂快速等優(yōu)點(diǎn)；但由于其結(jié)合了CV模型而只考慮圖像的全局信息，以及未考慮目標(biāo)區(qū)域的位置問題，所以ACGS模型對(duì)于目標(biāo)區(qū)域過于偏離圖像中心或者局部灰度不均勻的相似圖像組分割效果不好。

針對(duì)ACGS模型對(duì)于局部灰度不均勻的相似圖像組分割效果不好這一缺點(diǎn)，本文提出了結(jié)合演化曲線內(nèi)外變化的亮度信息來改進(jìn)ACGS模型。引入演化曲線內(nèi)外的亮度信息既能較好地考慮到圖像的局部信息，有利于分割局部灰度不均的相似圖像組；又能加快能量泛函梯度趨于零的速度，使演化曲線快速收斂到目標(biāo)邊界。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明本文模型對(duì)于灰度不均的相似圖像組，無論在分割效果還是分割速度上均優(yōu)于ACGS模型。

1　ACGS模型

周曉巍等人結(jié)合CV模型所提出的ACGS模型可用于分割目標(biāo)特征缺失或錯(cuò)誤的相似圖像組。設(shè)I1，I2，L，In為一組序列圖像，C1，C2，L，Cn分別表示每幅圖像上的閉合輪廓曲線。用曲線C上的一些特征點(diǎn)（xi，yi）來表示曲線C，則可得C=［x1，L，xp，y1，L，yp］T∈R2p。由于C1，C2，L，Cn之間存在仿射變換關(guān)系，所以對(duì)?n，p，形狀矩陣X=［C1，C2，L，Cn］∈R2p×n滿足rank（X）≤K，其中K為預(yù)先給定的常數(shù)。

由于形狀矩陣的秩可以描述圖像組中每幅圖像的目標(biāo)形狀之間的相似程度，秩越低則形狀越相似，因此文獻(xiàn)［3］提出了帶有約束條件的能量函數(shù)（1）來求解目標(biāo)輪廓組C1，C2，L，Cn

其中fi（Ci）是第i幅圖像中演化輪廓曲線的CV模型，

λ1，λ2＞0，β≥0，u1和u2分別為Cin和Cout的像素點(diǎn)的平均亮度值。不失一般性，文獻(xiàn)［3］中的λ1，λ2均取值為1，而β取值為0。

由于形狀矩陣的秩是離散算子難以優(yōu)化，因此將（1）改為松弛形式（3）

其中PXP*表示形狀矩陣X的奇異值之和。利用近端梯度法［4-5］求解（3），可得表示Frobenjus范數(shù)，u為常數(shù)，X′表示上一次迭代中X的估計(jì)值，且

其中p表示演化曲線C上的點(diǎn)，np表示點(diǎn)p的單位法向量，其正方向?yàn)橹赶蜻h(yuǎn)離圓心的反方向［6］。由于F（X）在Ljpschjtz連續(xù)梯度下可微，所以（3）的解等價(jià)于（7）的解而（7）的等式右端的解為

其中，ui，vi表示矩陣Z的左，右奇異向量，σi為Z的奇異

u為SVT［7］（sjngu1ar thresho1djng operator）算子。所以文獻(xiàn)（3）的解等價(jià)于（9）

為了加快收斂速度，文獻(xiàn)［3］采用Nesterov法［8］，引入中間變量Yk來更新X，所以

最后，通過不斷地迭代和判斷是否滿足收斂條件，可得（3）的最優(yōu)解，即所要求的目標(biāo)形狀矩陣。

由于ACGS模型利用特征點(diǎn)的坐標(biāo)而非水平集函數(shù)來表示演化曲線，并且引入了約束項(xiàng)來調(diào)整曲線，所以算法計(jì)算量小，且收斂快速；但由于其結(jié)合了CV模型而只考慮圖像的全局信息，以及未考慮目標(biāo)區(qū)域的位置問題，所以ACGS模型對(duì)于目標(biāo)區(qū)域過于偏離圖像中心或者局部灰度不均勻的相似圖像組分割效果不好。

2　結(jié)合動(dòng)態(tài)亮度的ACGS模型

2.1ACGS模型的改進(jìn)

為了使ACGS模型能更好地處理局部灰度不均的相似圖像組，文中考慮在全局信息的基礎(chǔ)上引入演化曲線內(nèi)外動(dòng)態(tài)變化的亮度信息來改進(jìn)ACGS模型。

由于梯度下降法是利用負(fù)梯度方向來決定每次迭代的搜索方向，使得每次迭代后的目標(biāo)函數(shù)逐漸變小，并且當(dāng)梯度趨于零時(shí)，目標(biāo)函數(shù)可達(dá)到最小值。因此，如果梯度的模值下降地越快，即梯度趨于零的速度越快，那么目標(biāo)函數(shù)也將越快達(dá)到最小值，則此時(shí)演化曲線也將越快收斂到目標(biāo)邊界。因此，將公式（6）修改為：所對(duì)應(yīng)的梯度系數(shù)為：

Cin，Cout，分別表示演化曲線的內(nèi)外部區(qū)域，u1，u2分別表示Cin和Cout內(nèi)像素點(diǎn)的平均亮度值。

改進(jìn)后的ACGS模型所對(duì)應(yīng)的梯度為：

（13）的數(shù)值實(shí)現(xiàn)與文獻(xiàn)［3］中對(duì)（5）的實(shí)現(xiàn)方式類似，即可通過（7），（8），（9）（10）求得最優(yōu)的目標(biāo)形狀矩陣X。下面解釋比（6）中的下降更快的原因。

2.2包含動(dòng)態(tài)亮度信息的梯度系數(shù)的性質(zhì)

設(shè)待分割圖像Ii（x，y）為同質(zhì)圖像，目標(biāo)區(qū)域像素點(diǎn)的灰度值為m，背景區(qū)域像素點(diǎn)的灰度值為n。令則。

為了最大化m1，m2對(duì)梯度的作用，我們可根據(jù)目標(biāo)的位置適當(dāng)?shù)卦O(shè)置初始輪廓。

1）當(dāng)目標(biāo)大致位于圖像中間時(shí)，可將初始輪廓設(shè)置成如下兩種情況。

①初始輪廓在目標(biāo)區(qū)域內(nèi)部，略靠近目標(biāo)邊界（圖1 （a））。此時(shí)u1=m，u2在m1，m2之間。當(dāng)點(diǎn)在演化曲線內(nèi)部時(shí)，像素值等于m，所以m1等于0；當(dāng)點(diǎn)在演化曲線外部時(shí)，像素值m為或n。將演化曲線的外部區(qū)域分成2個(gè)部分：

N1，N2分別表示doi和doo中的元素個(gè)數(shù)，則可知N2等于背景區(qū)域的像素點(diǎn)個(gè)數(shù)，且N1＜N2。令m2的分子、分母分別表示為K2，K1，則

即當(dāng)m＞n時(shí)，n＜u2＜m，則；當(dāng)m＜n時(shí)，m＜u2＜n，則。由于N1＜N2，上述兩種情況均滿足0＜m2＜1，所以a情況時(shí)m1等于0，m2屬于（0，1）之間。所以0＜S2=m2*（m-u2）2＜（m-u2）2=S1，又=1，所以下降更快。

②初始輪廓在目標(biāo)區(qū)域外部，略靠近目標(biāo)邊界（圖1 （b））。此時(shí)u2=n，u1在m1，m2之間。當(dāng)點(diǎn)在演化曲線外部時(shí)，像素值等于n，所以m2等于0；當(dāng)點(diǎn)在演化曲線內(nèi)部時(shí)，像素值為m或n。將演化曲線的內(nèi)部區(qū)域分成兩個(gè)部分：

N1，N2分別表示dii和dio中的元素個(gè)數(shù)，則可知N1等于目標(biāo)區(qū)域的像素點(diǎn)個(gè)數(shù)，且N1＞N2。與1類似方法，求得當(dāng)m＞n時(shí)，n＜u1＜m，則；當(dāng)m＜n時(shí)，m＜u1＜n，則。由于N1＞N2，上述兩種情況均滿足0＜m1＜1，所以b情況時(shí)m2等于0，m1屬于（0，1）之間。所以，所以下降更快。

圖1　目標(biāo)位置與初始輪廓位置的關(guān)系

2）當(dāng)目標(biāo)偏離圖像中間時(shí)，可通過適當(dāng)?shù)卣{(diào)整初始輪廓位置，使曲線內(nèi)部的絕大部分區(qū)域均在目標(biāo)區(qū)域內(nèi)部（圖1 （c）），此時(shí)u1≈m，u2在m1，m2之間，因此與a情況類似可得，下降地更快。

因此，改進(jìn)后的ACGS模型不僅能根據(jù)動(dòng)態(tài)變化的亮度信息來更好的分割灰度不均的相似圖像組，而且將有效地提高分割速度。

3　實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

本節(jié)通過對(duì)文獻(xiàn)［3］中的心形相似圖像組，左乳腺交接性葉狀腫瘤相似圖像組，右乳淋巴瘤相似圖像組以及肱骨病變過程圖像組進(jìn)行試驗(yàn)，驗(yàn)證改進(jìn)后的ACGS模型在分割速度和效果上均優(yōu)于ACGS模型。實(shí)驗(yàn)程序用Mat1ab R2012a編寫，運(yùn)行環(huán)境為Wjndows XP系統(tǒng)。對(duì)ACGS模型和本文模型選取同樣的參數(shù)：λ=25，u=1。每個(gè)相似圖像組內(nèi)的各幅圖像的初始輪廓大小和位置均相同，均為以圖像中心為圓心的圓，每組的初始形狀矩陣為X=［C0，C0，L，C0］；各組之間的圖像的初始輪廓大小不同。此外，每幅圖像的形狀矩陣X在進(jìn)行SVT之前均利用基于全局信息的CV模型迭代10次。

圖2是對(duì)文獻(xiàn)［3］中的心形相似圖像組的分割效果。第一列為ACGS模型的分割效果，第二列為本文模型的分割效果。對(duì)于ACGS模型，初始輪廓的半徑大小采用文獻(xiàn)［3］中設(shè)定的值，即r=50；本文模型設(shè)定r=44?？梢钥闯?，ACGS模型和本文模型對(duì)心形相似圖像組均能取得良好的分割效果，但本文模型在分割速度上略優(yōu)于ACGS模型（見表1）；

圖3是對(duì)左乳腺交接性葉狀腫瘤相似圖像組的分割效果，該組圖像為一位患者同一患處的整體和局部x線診斷圖片。第一列為ACGS模型的分割效果，第二列為本文模型的分割效果，第三列的上、下兩行分別為ACGS模型和本文模型對(duì)第二幅圖分割后的放大圖。黑色虛線表示手工畫出的目標(biāo)的真實(shí)邊界，白色實(shí)線為輸出輪廓。選取ACGS模型分割效果最佳時(shí)的初始輪廓的半徑大小，為r=50；本文模型的初始輪廓半徑大小為r=24。觀察圖片可以看出，和ACGS模型相比，本文模型的輸出輪廓更靠近目標(biāo)的真實(shí)邊界，而且分割速度更快（見表1）。

圖2　心形相似圖像組的分割結(jié)果

表1　3組實(shí)驗(yàn)的初始輪廓半徑、迭代次數(shù)和運(yùn)行時(shí)間

圖3　左乳腺交接性葉狀腫瘤相似圖像組的分割結(jié)果

圖4是對(duì)右乳淋巴瘤相似圖像組的分割效果，該組圖像為一位患者的同一患處在不同角度拍攝的x線診斷圖片。第一列為ACGS模型的分割效果，第二列為本文模型的分割效果，第三列的上、下兩行分別為ACGS模型和本文模型對(duì)第一幅圖分割后的放大圖。黑色虛線表示手工畫出的目標(biāo)的真實(shí)邊界，白色實(shí)線為輸出輪廓。ACGS模型不收斂，故選取分割效果最佳時(shí)的初始輪廓的半徑大小，為r=35；本文模型的初始輪廓半徑大小設(shè)定為r=16?？梢钥闯?，與ACGS模型相比，本文模型在分割效果上既優(yōu)于ACGS模型，分割時(shí)間上也只為ACGS模型的1/4（見表1）。

圖4　右乳淋巴瘤相似圖像組的分割結(jié)果

表1為ACGS模型和本文模型對(duì)以上3個(gè)相似圖像組進(jìn)行實(shí)驗(yàn)時(shí)，所選取的初始輪廓半徑、達(dá)到收斂時(shí)的迭代次數(shù)以及運(yùn)行時(shí)間。通過觀察表格，可以看出本文模型能有效地提高了ACGS模型的分割速度。

4　結(jié)論

文中針對(duì)ACGS模型對(duì)于局部灰度不均的相似圖像組分割效果較差的問題，提出結(jié)合演化曲線內(nèi)外的動(dòng)態(tài)亮度信息來改進(jìn)ACGS模型。在全局信息的基礎(chǔ)上引入曲線內(nèi)外的亮度信息既能較好地考慮到圖像的局部信息，有利于分割局部灰度不均的相似圖像組，而且使得能量函數(shù)的梯度模值下降地更快，從而使曲線快速達(dá)到目標(biāo)邊界。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明本文模型對(duì)于局部灰度不均的相似圖像組，無論在分割效果還是分割速度上均優(yōu)于ACGS模型。但是，對(duì)于各幅圖像中的目標(biāo)位置均以不同方向偏離圖像中心的相似圖像組，本文模型的分割效果較差，因此考慮下一步的工作將在這方面做進(jìn)一步的研究。

參考文獻(xiàn)：

［1］Mjchae1 K，Andrew W，Demetrj T.Snakes：Actjve contour mode1s ［J］.Internatjona1 Journa1 of Computer Vjsjon，1988，1（4）321-331.

［2］Mumford D，Shah J. Optjma1 approxjmatjons by pjecewjse smooth functjons and assocjated varjatjona1 prob1ems［J］. Communjcatjons on Pure and App1jed Mathematjcs，1989，42（5）：577-685.

［3］Zhou X，Huang X，James S. Duncan，Yu W. Actjve contours wjth group sjmj1arjty［J］. In：Proceedjngs of IEEE Conference on Computer Vjsjon and Pattern Recognjtjon（CVPR），2013：2969-2976.

［4］A. Beck，M. Tebou11e. A fast jteratjve shrjnkage-thresho1djng a1gorjthm for 1jnear jnverse prob1ems［J］. SIAM Journa1 on Imagjng Scjences，2009，2（1）：183-202.

［5］Nob1e J，Boukerrouj D.U1trasound jmage segmentatjon：A survey［J］.IEEE Transactjons on Medjca1 Imagjng，2006，25（8）：987-1010.

［6］S. Zhu，A. Yuj11e. Regjon competjtjon：Unjfyjng snakes，regjon growjng，and bayes/md1 for mu1tjband jmage segmentatjon［J］. IEEE Transactjons on Pattern Ana1ysjs and Machjne Inte11jgence，1996，18（9）：884-900.

［7］Caj J，Candes E，Shen Z.A sjngu1ar va1ue thresh-o1djng a1gorjthm for matrjx comp1etjon［J］. SIAM Journa1 on Optjmjzatjon，2010，20：1956.

［8］Nesterov Y.Gradjent methods for mjnjmjzjng composjte objectjve functjon［J］. CORE Djscussjon Papers，2007.

Actlve contours wlth the dynamlc brlghtness for segmentlng the grouPs of slmllar lmages

CHEN Xue-1jng，WANG Mej-qjng
（College of Mathematics and Computer Science，F(xiàn)uzhou University，F(xiàn)uzhou 350108，China）

Abstract:The ACGS（Actjve Contours Wjth Group Sjmj1arjty）mode1 js the kjnd of actjve contour mode1 whjch re1jes on the CV（Actjve Contours Wjthout Edges）mode1 and combjnes wjth the constrajnt of the matrjx's 1ow-rank property. It can p1ay a good ro1e jn segmentjng the groups of sjmj1ar jmages jn whjch the features of the object js mjssjng or mjs1eadjng，but jt performs poor1y on the groups of sjmj1ar jmages wjth 1oca1 jntensjty jnhomogenejty. In thjs paper，an jmproved ACGS mode1 js proposed to avojd thjs prob1em. The new mode1 adds the jnformatjon of varjab1e brjghtness outsjde and jnsjde the evo1vjng curve based on the g1oba1 jnformatjon，whjch can not on1y jmprove both the recognjtjon of object's b1urred boundarjes jn the jmages wjth 1oca1 jntensjty jnhomogenejty，but a1so acce1erate the segmentjng speed for jt makes energy functjon's gradjent c1oser to zero. Fjna11y，the experjmenta1 resu1ts verjfy that the proposed mode1 has a better performance on the segmentjng speed and resu1t than the ACGS mode1，for the groups of sjmj1ar jmages wjth 1oca1 jntensjty jnhomogenejty.

Key words:group sjmj1arjty；ACGS mode1；dynamjc brjghtness；1oca1 jntensjty jnhomogenejty

中圖分類號(hào)：TN0

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1674-6236（2016）07-0164-04

收稿日期：2015-08-29稿件編號(hào)：201508163

基金項(xiàng)目：福建省自然科學(xué)基金項(xiàng)目（2015J01013）

作者簡(jiǎn)介：陳學(xué)靈（1991—），女，福建福州人，碩士研究生。研究方向：圖像處理。