陳　良, 杜紅軍， 王　剛, 張　浩

(1. 空軍第一航空學(xué)院 航空機(jī)械工程系，河南 信陽(yáng)　464000；2. 湖南大學(xué) 機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院，長(zhǎng)沙　410082；3.國(guó)防科技大學(xué) 裝備綜合保障重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)沙　410073)

含負(fù)電容諧振分流電路的壓電聲子晶體梁的局域共振帶隙與振動(dòng)衰減

陳良1, 杜紅軍1， 王剛2, 張浩3

(1. 空軍第一航空學(xué)院 航空機(jī)械工程系，河南 信陽(yáng)464000；2. 湖南大學(xué) 機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院，長(zhǎng)沙410082；3.國(guó)防科技大學(xué) 裝備綜合保障重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)沙410073)

摘要：通過(guò)在樹脂梁上周期貼敷壓電片，并連接由被動(dòng)電阻-電感(RL)諧振分流電路和負(fù)電容(NC)電路串聯(lián)而成的分流電路，構(gòu)造了壓電聲子晶體梁結(jié)構(gòu)。采用傳遞矩陣法計(jì)算了該類型壓電聲子晶體梁結(jié)構(gòu)的帶隙特性，并對(duì)電阻、電感和負(fù)電容對(duì)局域共振帶隙的影響進(jìn)行了深入分析，發(fā)現(xiàn)分流電路中的LC電磁振蕩回路可產(chǎn)生局域共振帶隙，而串聯(lián)的負(fù)電容電路則可增強(qiáng)壓電片的機(jī)電耦合效率，從而增強(qiáng)帶隙衰減范圍和衰減幅值。采用振動(dòng)實(shí)驗(yàn)方法對(duì)理論分析結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證，證實(shí)串聯(lián)的負(fù)電容對(duì)局域共振帶隙的增強(qiáng)作用，為局域共振聲子晶體的設(shè)計(jì)提供了新的思路。

關(guān)鍵詞：聲子晶體；壓電分流；負(fù)電容；局域共振

聲子晶體作為一種人工周期結(jié)構(gòu)在近十幾年時(shí)間里引起了科研工作者的廣泛關(guān)注。聲子晶體具有帶隙特性，可以抑制帶隙頻率范圍內(nèi)的彈性波傳播，因此，在減振降噪、聲波濾波器、新型換能器等方面具有廣泛的應(yīng)用前景[1]。

然而，對(duì)于傳統(tǒng)的聲子晶體，當(dāng)其組分和結(jié)構(gòu)參數(shù)被確定后，帶隙的頻率范圍即被確定，無(wú)法改變。隨著智能材料的發(fā)展，智能材料被引入到聲子晶體中，以實(shí)現(xiàn)帶隙可調(diào)的智能型結(jié)構(gòu)。其中，通過(guò)引入壓電材料及分流電路而構(gòu)建的壓電分流陣列是實(shí)現(xiàn)智能型聲子晶體中一種很有前景的方法。Thorp等[2]首次將電阻及電感諧振型壓電分流電路引入到聲子晶體結(jié)構(gòu)中。隨后具有壓電分流電路的周期結(jié)構(gòu)中的彈性波傳播特性受到廣泛研究[3-5]。然而，基于電阻-電感(RL)等被動(dòng)元件壓電分流電路的聲子晶體的局域共振帶隙非常窄，帶隙衰減也較小。為了獲得寬頻局域共振帶隙，Airoldi等[6]引入了具有多諧振模態(tài)的分流電路,但電路比較復(fù)雜且?guī)兜乃p幅度仍有待提升。最近，負(fù)電容分流技術(shù)被認(rèn)為是一種簡(jiǎn)單卻高效的拓寬Bragg帶隙的新方法[7]。Chen等[8]提出了具有負(fù)電容(NC)分流電路的一維聲子晶體梁的分析模型。Casadei等[9]研究了分別連接負(fù)電容電路和被動(dòng)RL分流電路的懸臂板的振動(dòng)特性，但負(fù)電容分流電路和RL分流電路被連接的不同的壓電片上，結(jié)構(gòu)形式較為復(fù)雜。Zhang等[10]從理論上分析了并聯(lián)負(fù)電容諧振分流電路的聲子晶體梁結(jié)構(gòu)的彎曲波帶隙特性。

本文從理論和試驗(yàn)兩方面深入研究了含串聯(lián)負(fù)電容諧振分流電路(SNCRL)的聲子晶體梁結(jié)構(gòu)的局域共振帶隙特性。其中，分流電路中的LC電磁振蕩回路被用于產(chǎn)生局域共振帶隙，而串聯(lián)的負(fù)電容電路則被用來(lái)增強(qiáng)壓電片的機(jī)電耦合效率，從而增強(qiáng)局域共振帶隙。傳遞矩陣法被用于壓電分流聲子晶體梁結(jié)構(gòu)的帶隙特性計(jì)算，并對(duì)電阻、電感和負(fù)電容對(duì)局域共振帶隙的影響進(jìn)行了深入分析。最后本文搭建了振動(dòng)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，采用振動(dòng)實(shí)驗(yàn)方法對(duì)文中理論分析結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證，證實(shí)了RL分流電路可使聲子晶體梁產(chǎn)生局域共振帶隙，而負(fù)電容則對(duì)局域共振帶隙具有增強(qiáng)作用。

1聲子晶體梁的物理建模

如圖1所示，在基體梁上周期性對(duì)稱特貼敷壓電陶瓷(PZT)片，形成一維聲子晶體梁。每一組成對(duì)貼敷的兩片壓電片的極化方向相反，電極并聯(lián)，并與分流電路相連。分流電路由電阻R，電感L和電容Cn串聯(lián)而成。圖中，梁上貼有壓電片的部分用A表示，未貼壓電片的部分用B表示。

壓電片的極化方向?yàn)閦軸方向，除去沿x軸方向受力外，其余表面均自由。設(shè)對(duì)應(yīng)于坐標(biāo)軸x,y,z的方向在壓電方程中分別用1,2,3表示，則d型壓電方程可以簡(jiǎn)化為[9]

(1)

每組壓電片外接分流電路的電阻抗為：

(2)

式中：s為L(zhǎng)aplace算子,R、L和Cn分別為電阻、電感和電容的值。

由基本電學(xué)公式，可得分流電路中的電流為：

(3)

式中：V為壓電片兩電極之間的電勢(shì)差，Q為電荷。

壓電片內(nèi)電場(chǎng)與電極上的電勢(shì)差之間的關(guān)系為：

V=E3hp

(4)

式中：hp為壓電片的厚度。

若采用精確積分方法[11]求解電極上的電荷，那么電極上的電荷Q為：

Q=?AsD3ds

(5)

式中：As為壓電片的表面面積。

將式(1)代入到式(5)得：

(6)

對(duì)于聲子晶體梁中傳播的彎曲波ψ(x,t)，壓電片x處的應(yīng)變可以表示為：

(7)

式中：hb為基體梁的厚度。

將式(7)代入式(6)，積分得：

(8)

聯(lián)立式(3) ，(4) ，(8)，解得：

(9)

最后，將式(9)代入式(1)可得：

(10)

式中：

(11)

從式(10)和式(11)可以看出，分流電路對(duì)壓電片的作用等效于在壓電片各個(gè)位置保持一個(gè)大小相同，只隨時(shí)間變化的附加應(yīng)力。

如圖1所示的聲子晶體梁，忽略剪切變形和截面繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)彎曲振動(dòng)的影響，采用Euler-Bernoulli梁模型，其彈性波波動(dòng)方程為[12]：

(12)

式中：ψ(x,t)表示x處質(zhì)點(diǎn)t時(shí)刻的橫向位移。E和I分別為聲子晶體梁在x處的彈性模量、橫截面慣性矩。ρ和A分別為聲子晶體梁在x處密度和橫截面面積。

將基體梁和壓電片參數(shù)代入式(12)則可以得到聲子晶體梁中第n個(gè)原胞中A，B段的彈性波波動(dòng)方程：

(13)

式中：ψn,A(x,t)，ψn,B(x,t)分別為聲子晶體梁第n個(gè)原胞中A，B段的橫向位移。Eb和Ep分別為基體梁和壓電片的彈性模量，Ib和Ip分別為基體梁和壓電片的橫截面慣性矩。ρb和ρp分別為基體梁和壓電片的密度，Ab和Ap分別為基體梁和壓電片的橫截面面積。

設(shè)其中的彎曲波為頻率ω的簡(jiǎn)諧波，即：

(14)

式中：ψn,A(x)、ψn,B(x)為振動(dòng)幅值。

將式(14)代入式(13)，則可以化為四階線性常微分方程，求解得：

(15)

式中，An,1,An,2,An,3,An,4,Bn,1,Bn,2,Bn,3和Bn,4為待定系數(shù)，λi為波數(shù)，可以表示為[8]：

(16)

在元胞n中，不同組元A、B的邊界處位移、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力連續(xù)條件為：

(17)

將式(14)代入式(17)，并整理為矩陣形式:

H1An=K1Bn

(18)

Bn=[Bn,1Bn,2Bn,3Bn,4]T。

同理，在元胞n和n-1之間的邊界處位移、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力連續(xù)條件為：

式中：l=lb+lp為晶格常數(shù)。

將式(14)代入式(19)，并整理為矩陣形式：

H2An=K2Bn-1

(20)

聯(lián)立式(18)和式(20)，可得：

Bn=TBn-1

(21)

式中，T為改進(jìn)積分建模方法得到的傳遞矩陣，可以表示為：

T=K1-1H1H2-1K2

(22)

對(duì)于圖1所示的無(wú)限周期聲子晶體梁結(jié)構(gòu)，由其在x軸方向的周期性，根據(jù)Bloch定理[14]可得：

Bn=eμBn-1

(23)

式中：μ=α+iβ為波傳播常數(shù)，實(shí)部α為衰減常數(shù)，虛部β為相位常數(shù)。

那么，聯(lián)立式(21)和式(23)可以得到特征值方程：

(24)

I為單位矩陣，對(duì)于給定的頻率ω，由式(24)可以計(jì)算傳播常數(shù)μ。當(dāng)頻率ω位于某些頻率范圍內(nèi)時(shí)，若α=0，那么彈性波可以在聲子晶體梁中無(wú)衰減的傳播，意味著該頻率處于通帶內(nèi)；若α≠0，那么彈性波在聲子晶體梁中傳播發(fā)生衰減，意味著這些頻率范圍形成帶隙，α越大則彈性波衰減幅度越大。

2數(shù)值計(jì)算

對(duì)于具有無(wú)限周期的聲子晶體梁，傳播常數(shù)可以用來(lái)描述其波傳播特性。作為例子，基體梁材料選用環(huán)氧樹脂，壓電陶瓷片為PZT-5H，其材料參數(shù)和結(jié)構(gòu)參數(shù)分別如表1和表2所示。

表1　基體梁所用材料參數(shù)和結(jié)構(gòu)參數(shù)

表2　壓電片所用材料參數(shù)和結(jié)構(gòu)參數(shù)

2.1梁的帶隙結(jié)構(gòu)

由以上參數(shù)計(jì)算得到聲子晶體梁的帶隙結(jié)構(gòu)如圖2所示。圖中細(xì)實(shí)線是電路短路(L=0，Cn=0，R=0)時(shí)梁的帶隙結(jié)構(gòu)，此時(shí)無(wú)局域共振帶隙，只有由壓電片和基體梁的阻抗失配引起的Bragg帶隙。圖中點(diǎn)線是RL電路(L=0.44 H，Cn=0，R=50 Ω)時(shí)梁的帶隙結(jié)構(gòu)，此時(shí)分流電路的電磁振蕩作用產(chǎn)生局域共振帶隙。粗實(shí)線為串聯(lián)負(fù)電容諧振(SNCRL)電路(L=0.1 H，Cn=-1.3Cp=-234 nF，R=50 Ω) 時(shí)梁的帶隙結(jié)構(gòu)，此時(shí)有局域共振帶隙，且相比于RL電路，其局域共振帶隙得到了增強(qiáng)。綜上可以發(fā)現(xiàn)：RL電路能使聲子晶體梁產(chǎn)生局域共振帶隙，而在RL電路中串聯(lián)負(fù)電容能有效增強(qiáng)局域共振帶隙，提高帶隙內(nèi)的衰減和增大帶隙寬度。

圖2　聲子晶體梁的帶隙結(jié)構(gòu)Fig.2 Band gaps of phononic crystal beam

2.2電阻、電感和負(fù)電容對(duì)局域共振帶隙的影響

2.2.1電阻對(duì)局域共振帶隙的影響

圖3為局域共振帶隙隨電阻R的變化關(guān)系曲線(此時(shí)設(shè)定Cn=0，L=0.44 H)。從圖中可以看出，隨著電阻的增大，局域共振帶隙內(nèi)最大衰減幅值逐漸減小，而帶隙位置保持不變。衰減幅值減小的原因是電阻的增大會(huì)使得分流電路的電磁振蕩作用減弱。

蘭德通過(guò)商業(yè)管理創(chuàng)新來(lái)幫助美國(guó)軍事物流實(shí)現(xiàn)現(xiàn)代化，這些研究為國(guó)防部節(jié)省了數(shù)百萬(wàn)美元，同時(shí)提高了軍隊(duì)?wèi)?zhàn)斗力。

圖3　帶隙隨電阻的變化Fig.3 Band gaps’ variation with the resistance

2.2.2電感對(duì)局域共振帶隙的影響

圖4為局域共振帶隙隨電感L的變化關(guān)系曲線(此時(shí)設(shè)定Cn=0，R=50 Ω)。從圖中可以看出，隨著電感值的增大，局域共振帶隙的位置向低頻移動(dòng)。其原因是隨著電感值的增大，分流電路的諧振頻率fr逐漸變小，從而導(dǎo)致局域共振帶隙的頻率往低頻移動(dòng)。

(25)

圖4　帶隙隨電感的變化Fig.4 Band gaps’ variation with the inductance

2.2.3負(fù)電容對(duì)局域共振帶隙的影響

(26)

由式(26)可知，串聯(lián)負(fù)電容的作用等效于增大壓電片的固有電容Cp。隨著負(fù)電容幅值的增大，諧振電路中的總電容值(CpCn)/(Cp+Cn)減少。如保持電路電感值不變，隨著負(fù)電容幅值的增大，分流電路的諧振頻率會(huì)升高。為分析負(fù)電容對(duì)局域共振帶隙的影響，根據(jù)式(26)分別調(diào)節(jié)負(fù)電容Cn和分流電感L的取值，以保持電路的諧振頻率fr不變，得到局域共振帶隙隨負(fù)電容的變化關(guān)系曲線。

從圖5中可以看出，隨著負(fù)電容幅值的減小,局域共振帶隙增強(qiáng)效果越好，且負(fù)電容幅值越接近壓電片固有電容時(shí)，局域共振帶隙增強(qiáng)效果越好。

圖5　帶隙隨負(fù)電容的變化Fig.5 Band gaps’ variation with the negative capacitance

3實(shí)驗(yàn)

3.1大值電感和負(fù)電容的實(shí)現(xiàn)

為實(shí)現(xiàn)較低頻的局域共振帶隙，諧振分流電路中的電感L需要取較大的值；但為了同時(shí)實(shí)現(xiàn)較大的局域共振衰減，電路中的電阻R不能太大。常用的繞線電感器難以在自身電阻較小的情況下實(shí)現(xiàn)較大的電感值，難以滿足需要。所以實(shí)驗(yàn)中采用Antoniou’s電路[15]來(lái)模擬大值電感。Antoniou’s電路如圖6(a)所示，其等效電感由式(27)計(jì)算，可通過(guò)改變電阻參數(shù)進(jìn)行調(diào)節(jié)。

(27)

實(shí)驗(yàn)中設(shè)計(jì)的模擬電路采用的運(yùn)算放大器為OPA445AP，其最大工作電壓為±45 V，其他各元器件參數(shù)為R1=R2=10 kΩ，R3=1 kΩ，R4為取值范圍為0～10 kΩ的可調(diào)電阻，C1=220 nF，那么利用式(27)計(jì)算該電路的模擬電感L的取值范圍為0～2.2 H。

負(fù)電容模擬電路如圖6(b)所示，該電路[16-17]的等效電容值可表示為：

(28)

(a) Antoniou’s電路　　　(b) 負(fù)電容模擬電路圖6　模擬電路Fig.6 Synthetic circuit

3.2實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為了驗(yàn)證被動(dòng)RL分流電路能夠產(chǎn)生局域共振帶隙和負(fù)電容對(duì)局域共振帶隙的增強(qiáng)作用，設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)測(cè)試方案和實(shí)驗(yàn)測(cè)試系統(tǒng)分別如圖7和圖8所示。圖7中，激振器(B&K4824)對(duì)梁A點(diǎn)進(jìn)行激勵(lì)，采用Polytec激光掃描測(cè)振系統(tǒng)(PSV-500)測(cè)量A點(diǎn)和B點(diǎn)的振動(dòng)速度，分別記為VA，VB，從而得到A、B兩點(diǎn)之間的振動(dòng)速度傳輸特性T為：

(29)

實(shí)驗(yàn)中使用的樣品梁共8個(gè)周期，晶格常數(shù)為0.08 m,總長(zhǎng)為0.64 m?；w梁和壓電片的幾何參數(shù)和材料參數(shù)與數(shù)值計(jì)算的參數(shù)一樣，參見表1和表2。根據(jù)圖7搭建的實(shí)驗(yàn)測(cè)試系統(tǒng)如圖8所示，利用細(xì)繩對(duì)實(shí)驗(yàn)樣品進(jìn)行懸掛，模擬橫向自由邊界條件，激振器輸入為0～2 kHz的白噪聲。當(dāng)接入為RL諧振分流電路時(shí)，調(diào)節(jié)電路參數(shù)使電感L=0.44 H，電阻R=50 Ω；當(dāng)接入為串聯(lián)負(fù)電容諧振分流電路(SNCRL)時(shí)，調(diào)節(jié)電路參數(shù)使電感L=0.1 H，電阻R=50 Ω，負(fù)電容Cn=-1.3Cp=-234 nF。

圖7　實(shí)驗(yàn)測(cè)試方案Fig.7 Experimental measurement scheme

圖8　實(shí)驗(yàn)測(cè)試系統(tǒng)Fig.8 Experimental measurement system

圖9　實(shí)驗(yàn)測(cè)試與理論分析結(jié)果Fig.9 Experimental measurement results and theoretical analysis results

實(shí)驗(yàn)測(cè)得的A、B兩點(diǎn)的振動(dòng)速度傳輸特性曲線如圖9(a)所示，其中細(xì)實(shí)線，點(diǎn)線，粗實(shí)線分別表示分流電路短路，RL諧振分流電路,串聯(lián)負(fù)電容諧振分流電路(SNCRL)時(shí)的速度傳輸特性曲線。從圖9(a)中可以看出,在局域共振帶隙中心頻率572 Hz附近處，RL諧振分流電路聲子晶體梁的衰減頻段為556～589 Hz，衰減帶寬為33 Hz，最大衰減幅值為7 dB；而串聯(lián)負(fù)電容諧振分流電路聲子晶體梁的衰減頻段為541～604 Hz，衰減帶寬為63 Hz，最大衰減幅值達(dá)13 dB。

圖9(b)為理論分析結(jié)果(同圖2)，為了方便對(duì)比分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果和理論結(jié)果。從實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)RL諧振電路的確能使聲子晶體梁產(chǎn)生局域共振帶隙，而在RL諧振電路中串聯(lián)負(fù)電容能有效增強(qiáng)局域共振帶隙，從而證明了理論分析的正確性。

此外，需要說(shuō)明的是，雖然實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果較好的驗(yàn)證了相應(yīng)的理論分析結(jié)果，但是實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果在帶隙頻率范圍、衰減幅度等方面也存在少許誤差。產(chǎn)生這些誤差的主要原因有：① 理論計(jì)算時(shí)的模型是無(wú)限周期結(jié)構(gòu)，衰減系數(shù)表征的是其帶隙衰減特性；而實(shí)驗(yàn)測(cè)試時(shí)的樣件是有限周期結(jié)構(gòu)，具有自身的模態(tài)特性。實(shí)驗(yàn)測(cè)試得到的振動(dòng)傳輸特性曲線將體現(xiàn)為模態(tài)特性和帶隙特性的綜合效果(如帶隙范圍內(nèi)的模態(tài)峰被明顯抑制)；② 計(jì)算中未考慮結(jié)構(gòu)的阻尼，這些阻尼常常是非線性的，而且較難測(cè)量；③ 材料參數(shù)和電路參數(shù)的誤差。

4結(jié)論

通過(guò)對(duì)具有壓電分流電路的聲子晶體梁的理論建模分析和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，可以得到如下結(jié)論：

(1) 具有壓電分流電路的聲子晶體梁的帶隙由布拉格帶隙和局域共振帶隙組成。當(dāng)RL諧振電路中電感為零時(shí)，無(wú)局域共振帶隙；當(dāng)RL諧振電路中電感值不為零時(shí)，由于分流電路的電磁振蕩作用形成局域共振帶隙；在RL諧振電路中串聯(lián)負(fù)電容能有效增強(qiáng)局域共振帶隙，提高帶隙內(nèi)的衰減和增大帶隙寬度。

(2) 隨著分流電路中電阻的增大，局域共振帶隙的衰減幅值減小而衰減范圍變寬；隨著電感的增大，局域共振帶隙向低頻移動(dòng)；隨著負(fù)電容幅值的減小，局域共振帶隙增強(qiáng)效果越好。

具有壓電分流電路的聲子晶體梁與傳統(tǒng)機(jī)械振子局域共振聲子晶體梁相比，具有附加質(zhì)量小、帶隙主動(dòng)可調(diào)等優(yōu)點(diǎn)。總之，本文的研究結(jié)論為局域共振聲子晶體的設(shè)計(jì)提供了新的思路。

參 考 文 獻(xiàn)

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Local resonance band gaps and corresponding vibration attenuations of a piezoelectric phononic beam consisting of negative capacitor based resonant circuits

CHEN Liang1, DU Hong-jun1, WANG Gang2, ZHANG Hao3

(1. Department of Aeronautical Mechanical Engineering, The First Aeronautical College of Air Force,, Xinyang 464000, China;2. College of Mechanical and Vehicle Engineering, Hunan University, Changsha 410082, China;3. Laboratory of Science and Technology on Integrated Logistics Support, National University of Defense Technology, Changsha 410073, China)

Abstract:Periodic arrays of piezoelectric patches connected with serial negative capacitive-resistive-inductive (SNCRI) circuits were attached to an epoxy beam so as to construct a piezoelectric phononic beam structure. The band-gap structure of the piezoelectric phononic beam was analysed with the transfer matrix approach. Subsequently, the influences of the resistance, inductance and negative capacitance parameters on local resonance band-gap were discussed. It is found that the LC oscillator circuit can lead to local resonance band-gap, and the negative capacitive circuits can enhance the electromechanical coupling efficiency of piezoelectric patches, i.e. the attenuation in the local resonance band-gap is enlarged thereby. Vibration experiments were conducted to validate the theoretical predictions, and considerable gap enhancements by negative capacitance were observed. The work provides a new way in the design of phononic crystals with tunable band gaps.

Key words:phononic crystal; piezoelectric shunting; negative capacitance; local resonance

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目資助(51322502)

收稿日期：2015-04-09修改稿收到日期：2015-06-02

通信作者王剛 男，教授，博士生導(dǎo)師，1975年11月生

中圖分類號(hào):TH113；O48

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.10.006

第一作者 陳良 男，碩士,助教，1989年10月生

E-mail: zaehwang@hotmail.com